相似知識總結(jié)學生資料

1、 相似知識總結(jié) 知識點一：放縮與相似形 1、 圖形的放大或縮小，稱為 圖形的放縮運動。 2、 把形狀相同的兩個圖形說成是 相似的圖形，或者就說是 相似性。 注意：、相似圖形強調(diào)圖形形狀相同，與它們的位置、顏色、大小無關(guān)。 、相似圖形不僅僅指平面圖形，也包括立體圖形相似的情況。 、我們可以這樣理解相似形： 兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作是由另一個圖形放大 或縮小得到的. 、假設(shè)兩個圖形形狀與大小都相同，這時是相似圖形的一種特例一一全等形. 1. 相似多邊形的性質(zhì)：如果兩個多邊形是相似形，那么這兩個多邊形的對應角相等， 對應邊 的長度成比例。 注意：當兩個相似的多邊形是全等形時，他們的對應邊的

2、長度的比值是 1. 知識點二：比例線段有關(guān)概念及性質(zhì) 1有關(guān)概念 1、 比：選用同一長度單位量得兩條線段。 a、b的長度分別是 m n,那么就說這兩條線段的 a m 比是 a： b= m： n 或一=一 b n 2、 比的前項，比的后項：兩條線段的比 a： b中。a叫做比的前項，b叫做比的后項。 說明：求兩條線段的比時，對這兩條線段要用同一單位長度。 3、 比例：兩個比相等的式子叫做比例，如 a=- b d a c 4、 比例外項：在比例b = d 或a： b = c： d中a、d叫做比例外項。 a c . 5、 比例內(nèi)項：在比例=或a： b = c： d中b、c叫做比例內(nèi)項。 a c . 6

3、、 第四比例項：在比例=-或a： b = c： d中，d叫a、b、c的第四比例項。 a b 7、 比例中項：如果比例中兩個比例內(nèi)項相等，即比例為 一=或a:b = b:d時，我們把b 叫做a和d的比例中項。 8、 比例線段：對于四條線段a、b、c、d,如果其中兩條線段的長度的比與另兩條線段的長 a c 度的比相等，即 一=一或a： b=c: d,那么，這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線 b d 段。注意：在求線段比時，線段單位要統(tǒng)一， 單位不統(tǒng)一應先化成同一單位 即AC2=ABX BC,那么稱線段 AB被點C黃金分割，點 C叫做線段AB的黃金分割點，AC , ， 5-1 與AB的比叫做黃金比

4、。其中 AC = 一- AB 2比例性質(zhì) 1、 根本性質(zhì) 2、 反比性質(zhì): ad = be 兩外項的積等于兩內(nèi)項積 a c b d =u = 把比的前項、后項父換 b d a c 3、更比性質(zhì)交換比例的內(nèi)項或外項: -,交換內(nèi)項 c d -=e= d=E，交換外項 b d b a d=b.同時交換內(nèi)外項 、c a ac a二be 二 d 4、合比性質(zhì)：=孑二一-=-分子加減分母，分母不變 注意：實際上，比例的合比性質(zhì)可擴展為：比例式中等號左右兩個比的前項，后項之間 發(fā)生同樣和差變化比例仍成立.如: b a d c a c a c - BC),如果 AC _ BC AB AC 0.618 AB。

5、 2 2黃金分割的幾何作圖：線段 AB.求作：點C使C是線段AB的黃金分割點 1 作法：、過點 B作BDL AB,使BD = AB ； 2 、連結(jié) AD 在 DA截取 DE=DB 、在AB上截取AC=AE那么點C就是所求作的線段 AB的黃金分割點.黃金分割的比值為: AC _ BC _ ,5 -1 AB 一 AC 一 2 3矩形中，如果寬與長的比是黃金比，這個矩形叫做黃金矩形。 知識點四：平行線分線段成比例定理 一平行線分線段成比例定理 ，曰 AB DE AB DE 可得=或=。 BC EF AC DF 2、推論：平行于三角形一邊的直線截其它兩邊 或兩邊的延長線所得的對應線段成比例 只要求記住

6、。 1、平行線分線段成比例定理 :三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比. 例、 11 / l2 / l3 , 圖(1) : DE/ BC可得： AD DB AE = EC BD 或 AD EC = I EA 十AD AB AE 一 AC DE = .此推論較原定理應用 BC 史加J已,zK IJ ZH 1仃 圖(2) : DE/ BC可得: . ED BC EA _ AC DA IAB 3、 推論的逆定理：如果一條直線截三角形的兩邊 或兩邊的延長線所得的對應線段成比例. 那么這條直線平行于三角形的第三邊.即利用比例式證平行線 4、 定理：平行于三角形的一邊，并且和其它兩邊相交的直線 ，所截

7、的三角形的三邊 與原三角形 三凹對應成比例. 5、 平行線等分線段定理： 三條平行線截兩條直線，如果在一條直線上截得的線段相等， 難么 在另一條直線上截得的線段也相等。 三角形一邊平行線判定定理：如果一條直線截三角形的兩邊所得的對應線段成比例，那么 這條直線平行于三角形的第三邊 三角形一邊的平行線判定定理推論 如果一條直線截三角形兩邊的延長線這兩邊的延長 線在第三邊的同側(cè)所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊 . 1. 平行線分線段成比例定理: 兩條直線被三條平行的直線所截，截得的對應線段成比例 用符號語言表示： AB DE BC EF AB DE AD/ BE/ CF,二 =

8、，=，= BC EF AC DF AC DF 2.平行線等分線段定理：兩條直線被三條平行的直線所截，如果在一直線上所截得的線段 相等，那么在另一直線上所截得的線段也相等 . 口* 士一 ADUBE CF 用符號語言表示： -AB = BC. DE =DF 重心定義：三角形三條中線相交于一點，這個交點叫做三角形的重心 . 重心的性質(zhì)：三角形的重心到一個頂點的距離，等于它到對邊中點的距離的兩倍 知識點三：相似三角形 1、相似三角形 1 定義：如果兩個三角形中，三角對應相等，三邊對應成比例，那么這兩個三角形叫做相 似三角形。 幾種特殊三角形的相似關(guān)系： 兩個全等三角形一定相似。 兩個等腰直角三角形一

9、定相似。 兩個等邊三角形一定相似。 兩個直角三角形和兩個等腰三角形不一定相似。 補充：對于多邊形而言，所有圓相似；所有正多邊形相似如正四邊形、正五邊形等等 ； 2 性質(zhì)：兩個相似三角形中，對應角相等、對應邊成比例。 3 相似比：兩個相似三角形的對應邊的比，叫做這兩個三角形的 相似比。 如 ABC與 DEF相似，記作 ABC DEF。相似比為 k。 4 判定：、定義法：對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形相似。 、三角形相似的預備定理：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊相交， 所構(gòu)成的三角形與 原三角形相似。 三角形相似的判定定理： 判定定理1:如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等

10、，那么這兩 個三角形相似.簡述為：兩角對應相等，兩三角形相似. 此定理用的最多 判定定理2:如果一個三角形的兩條邊和另一個三角形的兩條邊對應成比例，并且夾 角相等，那么這兩個三角形相似. 簡述為：兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似. 判定定理3:如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應成比例， 那么這兩個三 角形相似.簡述為：三邊對應成比例，兩三角形相似. 直角三角形相似判定定理： 、斜邊與一條直角邊對應成比例的兩直角三角形相似。 直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原直角三角形相似，并且分成 的兩個直角三角形也相似。 補充一：直角三角形中的相似問題: 斜邊的高分直角三角形

11、所成的兩個直角三角形與原直角三角形相似 射影定理： CD2=AD- BD , AC2=AD AB , BC2=BDBA 在直角三角形的計算和證明中有廣泛的應用 補充二：三角形相似的判定定理推論 推論一：頂角或底角相等的兩個等腰三角形相似。 推論二：腰和底對應成比例的兩個等腰三角形相似。 推論三：有一個銳角相等的兩個直角三角形相似。 推論四：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形都相似。 推論五：如果一個三角形的兩邊和其中一邊上的中線與另一個三角形的對應局部成比 例，那么這兩個三角形相似。 相似三角形的性質(zhì) 、相似三角形對應角相等、對應邊成比例 、相似三角形對應高、對應角平分線、對

12、應中線、周長的比都等于相似比 對應邊的比. 、相似三角形對應面積的比等于相似比的 平方. 2、相似的應用：位似 1定義：如果兩個多邊形不僅相似，而且對應頂點的連線相交于一點，那么這樣的兩個圖 形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，這時的相似比又稱為位似比。 需注意：、位似是一種具有位置關(guān)系的相似， 所以兩個圖形是位似圖形， 必定是相似圖形， 而相似圖形不一定是位似圖形。 、兩個位似圖形的位似中心只有一個。 、兩個位似圖形可能位于位似中心的兩側(cè)，也可能位于位似中心的一側(cè)。 、位似比就是相似比。 2性質(zhì)：、位似圖形首先是相似圖形，所以它具有相似圖形的一切性質(zhì)。 、位似圖形是一種特殊的相似圖形， 它又

13、具有特殊的性質(zhì)，位似圖形上任意一對對應點到 位似中心的距離等于位似比相似比 。 、每對位似對應點與位似中心共線，不經(jīng)過位似中心的對應線段平行。 相似測試1 一、填空題。 a 1、線段a, b, c, d W足 c = 其中 a=2cm , b=4cm ,c=5cm,貝U d= b d 2、假設(shè)m=3,那么皇= o a 7 b 3、 邊長為12cm的等邊三角形按2:1的比例縮小后的三角形是邊長為 的 三角形. 4、 AABC DEF, AB = 6 , DE = 8 ,那么 S加C : SEF =. 5、 點P是MBC中AB邊上的一點，過點P作直線 不與直線AB重合截AABC,使截得 三角形與A

14、ABC相似，滿足這樣條件的直線最多 條. 6、 電視節(jié)目主持人在主持節(jié)目時 ，站在舞臺上的黃金分割點處最自然得體 ，假設(shè)舞臺AB長為 20m,試計算主持人應走到離 A點至少 m處.結(jié)果精確到0.1m 7、 一個4米高的電線桿的影長是 6米，它臨近的一個建筑物的影長是 36米.那么這個建筑的 高度是. 8、如圖，假設(shè) DE / BC,FD / AB,AD : AC = 2 ：3 ,AB = 9,BC = 6,那么四邊形 BEDF 的周長為 、選擇題。 2、：如圖2,在AABC中，/ADE= /C,那么以下等式成立的是 A. 0.266km 6、以下判斷正確的選項是 A. 不全等的三角形一定不是相

15、似三角形 B. 不相似的三角形一定不是全等三角形 C. 相似三角形一定不是全等三角形 D. 全等三角形不一定是相似三角形 7、如圖，D、E是AB的三等分點，DF / EG/ BC ,圖中三局部的面積分別為 S1,S2,S 3, 那么 &:S2:S3( ) A.1:2:3 B.1:2:4 C.1:3:5 D.2:3:4 8、在同一時刻的陽光下，小明的影子比小強的影子長 ，那么在同一路燈下 A.小明的影子比小強的影子長 B.小明的影子比小強的影子短 1、 假設(shè)果mn =ab，那么以下比例式中不正確的選項是 a A.- m b a m B.= n b m n C.- a b D. A. AD

16、 AB AE AC B. AE BC AD BD DE AE C. - = BC AB D. DE BC AD DB 3、正五邊形 ABCDE與正五邊形ABC DE的面積比為 1:2,那么它們的相似比為 4、 A. 1:2 如圖，兩個位似圖形 A.AB: AB = 3:1 C.OA: OB=2:1 5、在比例尺是1:3800 B. 2:1 C. 1： 2 D.、.2 :1 AABO 和 ABO,假設(shè) OA: OA= 3:1，那么正確的選項是( B. AA:BB = AB: D. ZA = Z B 的長沙交通游覽圖上 AB ，長約7cm的一段路程，它的實際長度約為 C.26.6km B.2.66

17、km D.266000km C.小明的影子和小強的影子一樣長 D.無法判斷誰的影子長 9、把AABC的各邊都擴大為原來的 2倍，得到 ABC,下面結(jié)論不正確的選項是 A.、 AABC ABC B、AABC和 ABC的各邊、各角對應相等 C、AABC和 ABC的相似比為1:2 D、AABC和ABC的相似比為1:3 10、如圖，四邊形 ABCD是平行四邊形，那么圖中與 A.1個 三、解答題。 1、如圖，在ZABC 中，/C=90 ,DE AB 于 E,DF BC 于 F.求證：ADEH - ABCA 2、如圖，平行四邊形 ABCD中，點E是DC中點，連AE并延長與BC延長線交于點F, 假設(shè) SEF

18、 = 10，求四邊形ABCE的面積。 F B.2個 C.3個 四、提高題。 如圖，平行四邊形 ABCD中,AE:EB = 1:2 . (1)、求 AE:DC 的值. 、AAEF與CDF相似嗎？假設(shè)相似，請說明理由，并求出相似比 相似測試2 1、從下面這些三角形中，選出相似的三角形. 、如果S逸EF = 6cm2,求S&DF 2、：如圖， QABCD中，AE : EB =1:2，求AAEF與ACDF的周長的比，如果 3、如圖， MBD sMCE，求證： MBC sAADE . 4、以下命題中哪些是正確的，哪些是錯誤的？ (1)所有的直角三角形都相似； (2)所有的等腰三角形都相似； 6c

19、m2 F DF (3)所有的等腰直角三角形都相似； (4)所有的等邊三角形都相似。 5、如圖，D點是AABC的邊AC上的一點，過D點畫線段DE ,使點E在AABC的邊上, 并且點D、點E和AABC的一個頂點組成的小三角形與 AABC相似.盡可能多地畫出滿足 條件的圖形，并說明線段 DE的畫法. 6、如圖，一人拿著一支刻有厘米分畫的小尺， 站在距電線桿約 30米的地方，把手臂向前伸 直，小尺豎直，看到尺上約12個分畫恰好遮住電線桿，手臂長約 60厘米，求電線桿的 高. 7、如圖，小明為了測量一高樓 MN的高，在離N點20m的A處放了一個平面鏡，小明沿 NA后退到C點，正好從鏡中看到樓頂 M點，假

20、設(shè)AC=1.5m,小明的眼睛離地面的高度為 1.6m，請你幫助小明計算一下樓房的高度精確到 0.1m. 8、格點圖中的兩個三角形是否是相似三角形，說明理由. 9、根據(jù)以下各組條件，判定 AABC和AABC是否相似，并說明理由： (1 )、 AB =3.5cm,BC = 2.5cm,CA = 4cm, A B =24.5cm,BC =17.5cm,C A = 28cm (2)、2A =35：2B =104,/。 = 44令2入=35七 (3 )、AB =3,BC =2.6,NB =48： AB = 1.5,BC=1.3,NB = 48 七 10、如圖，以下每個圖形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它們用字母表示出來, 并簡要說明識別的根據(jù). 11、：如圖，在 MBC中，AB =AC,NA = 36* B D是角平分線，試利用三角形相似 的關(guān)系說明AD? =DC