專題1——利用定積分定義求極限

1、專題1利用定積分定義求極限對(duì)于滿足如下條件的極限，可以考慮采用利用定積分定義求極限的方法:是n時(shí)的極限n極限運(yùn)算中含有連加符號(hào)在定積分的定義中， 我們把區(qū)間a,b平均分成n個(gè)小區(qū)間（定積分的定義中是任意分割區(qū)間a,b,b a我們當(dāng)然可以平均分割），那么每個(gè)小區(qū)間的長度為 ba（即定義中的 x ）,這n個(gè)小區(qū)間分別為b a b aa, a , a ,annb aa (n 2),a (n 1)nc b a12 , ann_ b a2,a致取為每個(gè)小區(qū)間的右端點(diǎn)n的 f(i 1i） xi就變?yōu)樽蠖它c(diǎn)時(shí)nlim f (an i 1(i注意：定積分的定義中b a,，na (nn1)Un,b a.3,n,

2、b,在定義中每個(gè)小區(qū)間上任意取的i我們（也可以取左端點(diǎn)i a (i 1)ba),那么定義中f (a iba) b a n n,那么limnnf(ai 1ba f (x)dx。(取/、b a、b a b、1) f(x)dx)n n a0表示的意思是把區(qū)間分割為無線個(gè)小區(qū)間（n也表示把區(qū)間分割成無數(shù)個(gè)小區(qū)間，但是在任意分割的前提下，不能用來表示把區(qū)間分割成無數(shù)個(gè)小區(qū)間，這里的原因我是理解的，但是不好表述，你清楚結(jié)論就行了）,當(dāng)分割方式為均等分割時(shí)，n 就表示把區(qū)間分割成無數(shù)個(gè)小區(qū)間，所以這里是nlimn i 1f (ababa i-)一 n nba f (x)dx ,而不是nlim0 i 1bab

3、a f (a i)n nba f(x)dX。1如f(x)在區(qū)間0,1上的積分可以表示為0上1 nif (x) dx lim f ()n n i 1ni取每個(gè)小區(qū)間的右端1點(diǎn)，或者0f(x)dx.1 n lim 一nn i 1i取每個(gè)小區(qū)間的左端點(diǎn)。舉例：求lim n.3i-4n分析：函數(shù)f (x)x3在區(qū)間0,1上的定積分的定義可以表示為1x3dx0limn1 i 3一()(這里 i取n n的是每個(gè)小區(qū)間的右端點(diǎn))1x3dxnlimnlimni3二。所以41 nnlimn i 1.3i-4n43 . x 1x dxI04對(duì)于這個(gè)考點(diǎn)的考法應(yīng)該不會(huì)很深(這個(gè)方法經(jīng)常在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中用到)，給出的極限應(yīng)該可以化為某個(gè)函數(shù)在區(qū)間0,1上的定積分，基于此，遇到這類題時(shí)，一定要把給出的極限化為如下形式:limn1 _ i 1 n _ in 1 f() lim f ()或者 lim 一i 11f () limn nni 1 一 f (一),只要化為以上的幾種 n形式，那么給出的極限就是函數(shù)f(x)在區(qū)間0,