六年級奧數(shù)(學(xué)生版)

-、基本運算律及公式

1.加法

加法交換律：兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，他們的和不變。

即：a+/>=6+a

其中6各表示任意一數(shù).例如，7+8=8+7=15

總結(jié)：多個數(shù)相加，任意交換相加的次序，其和不變.

加法結(jié)合律：三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，再加上第三個數(shù)；或者先把后兩個

數(shù)相加，再與第一個數(shù)相加，他們的和不變。

即：a+6+c=(a+Z>)+c=a+(6+c)

其中mb,c各表示任意一數(shù).例如，5+6+8=(5+6)+8=5+(6

+8).

總結(jié)：多個數(shù)相加，也可以把其中的任意兩個數(shù)或者多個數(shù)相加，其和不變。

2.減法

在連減或者加減混合運算中，如果算式中沒有括號，那么計算時要帶數(shù)字前面的運

算符號“搬家

例如：a—b—c—a—c—b,a~b+c—a+c—b,其中“，b,c各表示一個數(shù).

在加減法混合運算中，去括號時：

如果括號前面是“+”號，那么去掉括號后，括號內(nèi)的數(shù)的運算符號不變；

如果括號前面是“一”號，那么去掉括號后，括號內(nèi)的數(shù)的運算符號變?yōu)椤耙弧保?/p>

“一，，變?yōu)椤?，，.

如：。+(b-c)=。+6-c

—(6+c)=a~b—c

a~(b~c)—a~b-\-c

在加、減法混合運算中，添括號時：

如果添加的括號前面是那么括號內(nèi)的數(shù)的原運算符號不變；

如果添加的括號前面是“一"，那么括號內(nèi)的數(shù)的原運算符號"+"變?yōu)椤耙弧保?一”變

為“+”。

如：a+b—c=a+(b—c)

a-b-\-c—a—(b-c)

a—b—c—a—(b+c)

3.乘、除法

1)商不變性質(zhì)：被除數(shù)和除數(shù)乘(或除)以同一個非零數(shù)，其商不變.

即：t?4-=(<7X/7)4-(/>X?)=(6Z4-W)4-(/)4-W)/W。0,〃二0

2)在連除時，可以交換除數(shù)的位置，商不變.即：〃+b+c=a+c+6

3)在乘、除混合運算中，被乘數(shù)、乘數(shù)或除數(shù)可以連同運算符號一起交換位置(即

帶著符號搬家).

如：axb+c=a+cxb=b+cxa

4)在乘、除混合運算中，去掉或添加括號的規(guī)則

去括號情形：括號前是“X”時，去括號后，括號內(nèi)的乘、除符號不變.

括號前是“”時，去括號后，括號內(nèi)的“X”變?yōu)椤?”，變?yōu)椤癤”.

即ax(bxc)=axbxcax(b+c)=axb+c

“+(bxc)=a+6+ca+(6+c)=a+bxc

添括號情形：括號前是“X”時，原符號不變；

括號前是時,原符號“X”變?yōu)椤?”，變?yōu)椤癤”.

ax.bx.c=ax(bxc)axb+c=ax(b+c)

即

"b+c="(bxc)a+6xc=a+(b+c)

5)兩個數(shù)之積除以兩個數(shù)之積，可以分別相除后再相乘.即

(axb)+(cxd)=(a+c)x(6+4)=+d)x(b+c)

上面的性質(zhì)都可以推廣到多個數(shù)的情形.

二、加減法中的速算與巧算

1、分組湊整法.把幾個互為“補數(shù)”的減數(shù)先加起來，再從被減數(shù)中減去，或先減去那

些與被減數(shù)有相同尾數(shù)的減數(shù)."補數(shù)''就是兩個數(shù)相加，如果恰好湊成整十、整百、

整干……，就把其中的一個數(shù)叫做另一個數(shù)的“補數(shù)

2、加補湊整法.有些算式中直接湊整不明顯，這時可“借數(shù)”或“拆數(shù)”湊整.

3、數(shù)值原理法.先把加在一起為整十、整百、整千……的數(shù)相加，然后再與其它的數(shù)

相加.

4、“基準(zhǔn)數(shù)”法，基準(zhǔn)當(dāng)幾個數(shù)比較接近于某一整數(shù)的數(shù)相加時，選這個整數(shù)為“基準(zhǔn)數(shù)”

(要注意把多加的數(shù)減去，把少加的數(shù)加上)\

三、乘法湊整

思想核心：先把能湊成整十、整百、整千的幾個乘數(shù)結(jié)合在一起，最后再與前面

的數(shù)相乘,使得運算簡便。例如:4x25=100,8x125=1000,5x20=100

12345679x9=111111111(去8數(shù)，重點記憶)

7x11x13=1001(三個常用質(zhì)數(shù)的乘積，重點記憶)

理論依據(jù)：乘法交換率：a、b=bxa

乘法結(jié)合率：(axb)xc=ax(bxc)

乘法分配率：(a+b)xc=axc+bxc

積不變規(guī)律：a*b=(axc)x(b+c)=(a+c)x(b><c)

四、分?jǐn)?shù)與小數(shù)混合運算的技巧

在分?jǐn)?shù)、小數(shù)的四則混合運算中，到底是把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)，還是把小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，

這不僅影響到運算過程的繁瑣與簡便，也影響到運算結(jié)果的精確度，因此，要具體情況

具體分析，而不能只機械地記住一種化法：小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，或分?jǐn)?shù)化成小數(shù)。

技巧1：一一般情況下，在加、減法中，分?jǐn)?shù)化成小數(shù)比較方便。

技巧2：在加、減法中，有時遇到分?jǐn)?shù)只能化成循環(huán)小數(shù)時，就不能把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)。

此時要將包括循環(huán)小數(shù)在內(nèi)的所有小數(shù)都化為分?jǐn)?shù)。

技巧3：在乘、除法中，一般情況下，小數(shù)化成分?jǐn)?shù)計算，則比較簡便。

技巧4：在運算中，使用假分?jǐn)?shù)還是帶分?jǐn)?shù)，需視情況而定。

技巧5：在計算中經(jīng)常用到除法、比、分?jǐn)?shù)、小數(shù)、百分?jǐn)?shù)相互之間的變，把這些常用

的數(shù)互化數(shù)表化對學(xué)習(xí)非常重要。

「15滔息

在“X”號后面添括號或者去括號，括號內(nèi)的“X”、號都不變，但此時括號內(nèi)不

能有加減運算，只能有乘除運算；

在“十”號后面添括號或者去括號，括號內(nèi)的“X”、號都改變，其中“X”號變成

“土，,號，“+，，號變成“X”號，但此時括號內(nèi)不能有加減運算，只能有乘除運算.

任做1題需窗

【例1】計算：

2005+2004-2003-2002+2001+2000-1999-1998+1997+1996-------7-6+5+4-3-2+1

【鞏固】計算：

1989+1988+1987-1986-1985-1984+1983+1982+1981-1980-1979-1978+???+9+8+7

一6—5—4+3+2+1

［例2］計算：19+199+1999+……+199^

1999個9

【鞏固】計巢9+99+999+…+3=

100個9

求算式44；二4-+88-8皿二0的計算結(jié)果的各位數(shù)字之和.

40個420個620個810個0

位值原理【難度】4星【題型】計算

44JL4-皈：16+88…8fiQ.；-0=坦二3-1QIL；U)+33…34+88…80m

40個420個620個810個040個420個019個320個810個0

=3」344J3+33…34+88…8皿L0=8+lQfJCLD-11…12皿二LD

19個420個419個320個810個019個419個730個019個】10個0

=4_4;二4口44377-7-8J1：一，1=3U533''32?165HL78,

9個4①41$7個19I個09個49個39個69個7

數(shù)字和為：(4+3+6+7)x9+5+2+5+8=200.

【鞏固】求1+11+111+…+的末四位數(shù)一

100^1

【例3】(123456789.987654321+234567891.198765432+--+912345678.876543219)+9

【鞏固】計算：(123456+234561+345612+456123+561234+612345)-111111

【例4】計算：12345678987654321x9=

【鞏固】算式12345678987654321x63值的各位數(shù)字之和為

【例5】若°=[515;-1日333…3,則整數(shù)。的所有數(shù)位上的數(shù)字和等于（）.

1004個152008個3

A.18063B.18072C.18079D.18054

【鞏固】兩個十位數(shù)1111111111與9999999999的乘積中有.個數(shù)字是奇數(shù)？

[例6]2x3x5x7x11x13x17-(2004-2)

【鞏固】計算：(4x5x6x9x11x17)4-(36x66x85)

【例7】2008x2006+2007x2005-2007x2006-2008x2005

【鞏固】計算2000x1999-1999x1998+1998x1997-1997x1996+1996x1995-

1995x1994

【例8】計算:9966x6+6678x18

【鞏固】計算:800x1.995—39.9+199.5x2.2

【例9】349.653.5—27.72-r2.8

【鞏固】計算：2003x2001+111+2003x73+37

【例10】計算:

7.816x1.45+3.14x2.184+1.69x7.816=

【鞏固】計算：9x17+91+17-5x17+45?17

【例11】計算39,%+148X也+48衛(wèi)

149149149

【鞏固】計算:139x—+137x1—

138138

112112321219951

H-------------F-----------FH-------++1995

【例12】122233333199519951995

1I112222333181819

【鞏固】-----1------1-------F???H-------+—I------1-------1-…H-------+-----1------1-…-I-------+…+一十一4-------

23420345204520192020

44444

9_+99-+999-+9999—+99999-

【例13】55555

【鞏固】1993』-19921+1991,-199()1+…+1'-,

232323

、［的々448021934,18556

【例14】］「舁/------------1--------

83332590935255

8個90

rxn由Y、I的12023030390^909

【鞏固】計算一+----+------+--------

19191919191919---19

v----V----'

9個19

吃篤臉蒯

求4,43,443,...,44…43這10個數(shù)的和。

9個4

一、等差數(shù)列的相關(guān)公式

（1）三個重要的公式

①通項公式：遞增數(shù)列：末項=首項+（項數(shù)-l）x公差，q,=q+（〃_Dx"

遞減數(shù)列：末項=首項-（項數(shù)-l）x公差，q“=%-（〃-l）x"

②項數(shù)公式：項數(shù)=（末項-首項）+公差+1

③求和公式：和=（首項+末項）x項數(shù)+2

（2）中項定理：對于任意一個項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列，中間一項的值等于所有項的

平均數(shù)，也等于首項與末項和的一半；或者換句話說，各項和等于中

間項乘以項數(shù).

-、常用公式

?,cr〃X（〃+1）

1.l+2+3-i--n=--------------；

2

2.―+…+心四"史上上工

6

3.尸+2?+33+…+“3=0+2+3+…+〃y=心與Wl；

4.1+3+5+7+—+（2勿-1）=1+2+3+.一+（〃-1）+"+（勿一1）+.??+3+2+1=w2；

5.等比數(shù)歹！|求和公式：S?=a,.?0+a.q'+■■■+a^1=1）；

q-1

6.平方差公式：a2-b2=（a+/））（?-/＞）；

7.完全平方公式：（q+6）-=/+2"+/,（a—Z＞）2=a2—lab+b2；

用文字表述為：兩數(shù)和（或差）的平方，等于這兩個數(shù)的平方和，力口上（或者減去）這

兩個數(shù)的積的2倍，兩條公式也可以合寫在一起：（°±6）2=片±2外+/.為便于

記憶，可形象的敘述為：“首平方，尾平方，2倍乘枳在中央”.

二、常用技巧

1.abcabc=abcx1001；

2.ababab=abx1010\；

123

3.-=0.142857,-=0.285714,一=0.428571,

777

456

-=0.571428,-=0.714285,—=0.857142；

777

4.3、十=123…〃…321,其中〃49.

〃個1"個1

-12sli意

本講知識點屬于計算板塊的部分，難度較三年級學(xué)到的該內(nèi)容稍大，最突出一點就是把

公式用字母表示。要求學(xué)生熟記等差數(shù)列三個公式，并在公式中找出對應(yīng)的各個量進行計算。

/?=做I題需富

例1.有許多等式:

2+4+6=1+3+5+3；

8+10+12+14=7+9+11+13+4；

16+18+20+22+24=15+17+19+21+23+5；

那么第10個等式的和是

【鞏固】觀察下列算式:

2+4=6=2X3,

2+4+6=12=3x4

2+4+6+8=20=4x5

然后計算：2+4+6+....+100=

例2.已知一個等差數(shù)列第8項等于50,第15項等于71.請問這個數(shù)列的第1項是多少？

【鞏固】如果等差數(shù)列的第4項為21,第10項為57,求它的第16項.

例3.計算(2+4+6+…+1984+1986+1988)-(1+3+5+…+1983+1985+1987)

【鞏固】計算：2007-2006+2005-2004+2003-2002+???+5-4+3-2+1

例4.計算:1.1+3.3+5.5+7.7+9.9+11.11+13.13+15.15+17.17+19.19

rp由14省1231990

[鞏j固]計算-----1------------F----------1--------------

1990199019901990

例5如圖所示，白色和黑色的三角形按順序排列.當(dāng)兩種三角形的數(shù)量相差12個時，白色

三角形有

個.

△

【鞏固】木木練習(xí)口算，她按照自然數(shù)的順序從1開始求和，當(dāng)計算到某個數(shù)時，和是888,

但她重復(fù)計算了其中一個數(shù)字.問：木木重復(fù)計算了哪個數(shù)字?

例6以質(zhì)數(shù)71做分母的最簡真分?jǐn)?shù)有…,圣圣求這列數(shù)的和

r-rnmi'?i5,67891011

【鞏固】計算：1一+3一+5一+7一+9一+11一+13—

13131313131313

4.12+32+52+---+192

【鞏固】計算：36+49+64+81+---+400

5.計算：13+33+53+73+93+113+133+153

【鞏固】計算：13+33+53+---+993=

6.說算：14----1—H—rH---*-r-1—7

33233343536

【鞏固】計算：1+2+22+23+24+25+……+298+2"

1-+3-+5-+7—+9—+11—+13—+15—+17一+19

7.24816641282565121024

33333

【鞏固】計算:

8.計算27+26x3+2'x32+24x33+23x34+22x3S+2x36+37的值。(已知3，=2187,

38=6561,39=19683,3,°=59049,2,=128,2'=256,2、=512,2,0=1024)

【鞏固】計算：1+-+4+4+4+4+4

33233343536

9(31415926)-31415925x31415927

【鞏固】2009x2009-2008x2008=

10.12342+87662+2468x8766=.

【鞏固】計算：314x31.4+628x68.6+68.6x686=

11.計算：Ix2x3+2x3x4+3x4x5+…+8x9x10

【鞏固】計算：3X4X5+4X5X6+5X6X7H---F14x15x16

12.計算：1x99+2x98+3x97+?■?+49x51=

【鞏固】50x50+49x51+48x52+47x53+46x54=

少。篤臉蒯

2、12+224-42+52+72+82+102+112+132+142+162

3333

3、一+2—+4—+…+16—=

248512

4、計算：11x19+12x18+13x17+14x16=.

5、對自然數(shù)。和〃，規(guī)定W〃=a〃+a"T,例如3V2=3?+3=12,那么:

(1)1V2+2V2+3V2+---+99V2=；

⑵2V1+2V2+2V3+---+2V99=.

6、計算：1X4+3X7+5X10+?.?+99X151=

I

GLU卻用底加

【隨練1】對于數(shù)列4、7、10、13、16、19……,第10項是多少？49是這個數(shù)列的第幾項?

第100項與第50項的差是多少？

【隨練2】已知數(shù)列2、3、4、6、6、9、8、12、…，問:這個數(shù)列中第2000個數(shù)是多少？

第2003個數(shù)是多少？

【隨練3】有一列數(shù)：1,2,4,7,11,16,22,29,37,…，問這列數(shù)第1001個數(shù)是多

少？

【隨練4】在1~200這二百個自然數(shù)中，所有能被4整除或能被11整除的數(shù)的和是多少？

【隨練5】如下圖所示的表中有55個數(shù)，那么它們的和等于多少？

17131925313743495561

28142026323844505662

39152127333945515763

410162228344046525864

511172329354147535965

[隨練6]37x37+2x63x37+63x63=

【隨練7】vhMl2-22+32-42+52-62+...+172-182+192

【隨練8】計算：1x99+2x97+3x95+…+50x1

【隨練9】看規(guī)律I3=I2,13+23=32,13+23+33=62...，試求63+7'+…+聞

【隨練10］計算：（2'+4'+6'+.-+100。-（「'+3,+5'+-.+9*

1+2+3+—+9+10+9+8+?一+3+2+1

一、重算理、重法則、重過程。

a）算理和法則是計算的依據(jù)。正確的運算必須建筑在透徹地理解算理的基礎(chǔ)

上，學(xué)生的頭腦中算理清楚，法則記得牢固，做四則計算題時，就

可以有條不紊地進行。如何講清算理呢？

b）如在分?jǐn)?shù)加法教學(xué)中，先引導(dǎo)學(xué)生講述算理，概括法則，既使學(xué)生搞清了

算理，又使學(xué)生掌握了法則，為以后學(xué)習(xí)也打下了基礎(chǔ)。

c）計算法則是計算方法的程序化和規(guī)則化，不懂算理，光靠機械訓(xùn)練

也能掌握，但無法適應(yīng)千變?nèi)f化的具體情況，更談不上靈活運用。

因此必須處理好算理和算法之間的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生循“理”入“法”，以

“理”馭“法”，并通過智力活動，促進計算技能的形成。計算法則是學(xué)

生正確進行四則運算的依據(jù)，可以注意通過典型例題，講清計算的

步驟和方法。運算定律和性質(zhì)，是講清計算法則和簡便算法的基礎(chǔ),

可以通過具體式題的計算，引導(dǎo)學(xué)生進行觀察、比較、分析，找出

共同特征，然后加以歸納，使學(xué)生認(rèn)識定律、性質(zhì)的實際意義。特

別要重視在學(xué)生理解的基礎(chǔ)上，使他們學(xué)會應(yīng)用運算定律、性質(zhì)，

使一些計算簡便的方法，不斷提高學(xué)生的計算能力。

二、有效的練習(xí)是提高計算能力的重要手段。

為了促使學(xué)生熟練掌握計算的技能技巧，形成計算能力，加強練習(xí)是必要的，但是

練習(xí)要注意科學(xué)性，講究實效，練習(xí)設(shè)計應(yīng)注意以卜一幾點：

【解析】突出法則重點練：

?看、二想、三說的互補法訓(xùn)練，使學(xué)生眼、腦、口并用，大大促進了學(xué)

生創(chuàng)造思維能

【解析】容易混淆的對比練：

通過對比，不僅鞏固了基礎(chǔ)知識，而且培養(yǎng)了學(xué)生的觀察力和注意力。

【解析】經(jīng)常出錯反復(fù)練：

根據(jù)學(xué)生平時計算中的錯誤隨時登記，分析歸類，有針對性地反復(fù)練，起

到事半功倍的作用。

【解析】多種類型綜合練：

為了使學(xué)生牢固地掌握計算法則，可以把相似類型的基本題綜合在一道混

合式題中，使法則在分辨中得到鞏固。

【解析】啟發(fā)學(xué)生思考，創(chuàng)造性地練：

設(shè)計一些題目，啟發(fā)學(xué)生選擇最佳算法，怎樣簡便就怎樣算。直接按法則

計算此類題，比較繁難，如果認(rèn)真觀察思考，一旦發(fā)現(xiàn)其中的奧妙，就可

以化難為易，同時可以發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造力。

三、重視學(xué)生良好計算習(xí)慣

學(xué)生產(chǎn)生錯誤的原因是多方面的，大致有三種情況：

1.由于某些知識不理解，學(xué)生在計算時并不意識到是錯誤的。

2.基本口算不熟練，造成計算失誤。這兩種錯誤都有很大的生存市場，不從

計算方法和口算方面進行糾正，錯誤就很難更正。

3.由于學(xué)習(xí)習(xí)慣不好，

1）例如抄錯。學(xué)生在計算時常常把69看成96看錯題目。

2）計算過程不符合。

3）沒有驗算的習(xí)慣。

因此，培養(yǎng)學(xué)生計算能力的一個重要方面，是平常練習(xí)要嚴(yán)格要求，

使學(xué)生養(yǎng)成良好的計算習(xí)慣。首先是培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真、細致、書寫工整、格式

規(guī)范的良好習(xí)慣。其次是培養(yǎng)學(xué)生審題、分析的習(xí)慣。計算題的計算數(shù)據(jù)和

運算符號都是明擺著的，容易忽視對題目的周密觀察和認(rèn)真分析，盲目計算,

就容易使計算繁難，影響正確率。解計算題也要和解應(yīng)用題一樣，重視觀察

能力的培養(yǎng)，加強審題訓(xùn)練。我對學(xué)生提出“兩看，兩想，再計算”的程序，

即：先看一看整個算式由兒個部分組成，想一想?般方法如何計算，再看-

看有沒有某些特殊條件，想一想能不能用簡便方法計算。教學(xué)生對題目進行

有目的、有計劃地觀察分析。最后是培養(yǎng)學(xué)生自覺檢查驗算，獨立糾正錯誤

的習(xí)慣。驗算習(xí)慣的養(yǎng)成能夠有效地保證計算的正確率，即使學(xué)生具備了比

較強的口算和筆算能力也依然要靠驗算來確保計算iE確。驗算有很多種方

法，其中，由逆運算來進行檢驗是行之有效的方法之一。逆運算也就是與計

算方法相反的運算，山于采用了逆向思維，所以能夠有效地凸現(xiàn)計算過程中

的疏漏，簡言之就是采用逆運算，在絕大多數(shù)情況下都能檢測出計算中的錯

誤。

四、重視基本估算、基本口算、基本筆算練習(xí)

學(xué)生掌握計算能力，要經(jīng)歷一個懂、會、熟、活的過程。講清數(shù)和數(shù)的計

算知識，無疑是十分必要的，但這還只解決了一個"懂''的問題，而要使學(xué)

生真正學(xué)會計算方法，逐步達到計算熟練，方法靈活、合理的要求，還要

經(jīng)過嚴(yán)格的訓(xùn)練。平常必須重視基本口算、筆算的練習(xí)。

二S3虐恩

計算越來越被人們淡化，其實小學(xué)數(shù)學(xué)計算能力不僅是小學(xué)數(shù)學(xué)重要的教學(xué)內(nèi)容,

而且是小學(xué)數(shù)學(xué)“雙基’’的重要組成部分，何況是繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和共它自然學(xué)科的基

礎(chǔ)，因此，培養(yǎng)和提高數(shù)學(xué)能力是在必行。計算法則是計算方法的程序化和規(guī)則化,

不懂算理，光靠機械訓(xùn)練也能掌握，但無法適應(yīng)千變?nèi)f化的具體情況，更談不上靈

活運用。

廬做］題需窗

【例1】1+2X3+(4+5)X6=-----------------

【解析】23x42+26x40=()。

【例2】計算：12345x2345+2469x38275-

【解析】88x22+55x73-44x44-33x55=

【例3】計算：25x32+14+36+21x25

【解析】計算：2772+28+34965+35

【例4】計算：2004x20032002-2002x20032004=

【解析】計算：2006x20052006-2005x20062005

【例5】計算：{[(77x78-6)-5679]+107+30}x37=.

【解析】計算(980x65-320)+(66+98x64)

【例6】計算：6.25x8.27x16+3.75x0.827x8

【解析】計算：20.09x62+200,9x3.9-7x2.87=-------------

【例7】計算：223x7.5+22.3x12.5+230-s-4-0.7x2.5+1

【鞏固】1.25x17.6+36+0.8+2.64x12.5=

【例8】計算：

341344134441?3444444441_34444444441

____P2x--------H3x---------1-----F8x-----------------F9x-----------------

275277527775277777777527777777775

【鞏固】計算：4x5-+5x6-+6x7-+7x8-+8x9-

45678

【例9】將5.425x0.63=的積寫成小數(shù)形式是

【鞏固】計算：0.0i+0.12+0.23+0.34+0.78+0.89

253749

【例10]51—+—+71—+—+91—+—二

334455---------

【鞏固】31-4--+41-^-+51-^--=

223344--------

117

【例11】計算：0.4x豆+2：X(4.3-1.8)X26=

五、計算:10宗(3-0.85)+3-5-126.3=()

八7,8=15、〃2,10、9、

【例12](3—h4—+5—)+(2—F2--1-3—)

111317111317

六、(1----+3—+9—)+(1----+3—+9—)=

20076692232007669223

[例13]T+M41.2x8.1+11x9-+53.7x1.9

4

七、計算：99x--0.625x68+6.25x0.1=

8

lll）x（llll）-（ii4il）x（lll）

【例14】（1+++++++++++

23423452345234

也+型+㈣"冬+/+2]+型+/+幽聲+幽

八、計算:

126358947J（358947207J（126358947207J（358947J

f82

【例15】計算:〔IT司

九、計算:

12392123929239

—I-----F-+?■?+—+—F—I—+…+—144—+…H-----x

234102341023103410

13-33x34+34x35+35x36+36x37=

14.計算：147.75x8.4+4.792+409x2.1+0.9521x479

15.(1^—+2^-+8—)4-(1^—+2^—+8—)=

2008100425120081004251

“71111fl1IWO甘+z、氏號

16.——x—+-+--——=—+-+—H-1in9--I，其中()應(yīng)填

237()JU56jI2)

(0.00325-0.013)

17.請計算:

(0.22-0.2065)4-(36.X0.015)

溫今良底加

【解析】計算：33x20102010-2010x330033=----------

[解析][2006x(l+2x2007+3x2008)+2006]+2008=

【解析】(2009+4018+6027+???+18081)x(11+22+33+45)

【解析】計算:1.23452+0.76552+2.469x0.7655.

rJ70,38c,29

【解析】72—；--F81—；—F91—；—=

335577

1

【解析】+23x|---1---I—53x

4(5376J23

3?5

【解析】計算：3-x2345+55554-——+654.3x36.

5256

【解析】計算：(5g-0.8+21)x(7.6+[+2|xl.25

計算：(9+2_+2)x734573473

【解析】—+-一+———+—+—+—X---十

123217321713123217133217

20102

【解析】計算:

2009x2011+1

三、整數(shù)裂項基本公式

(1)Ix2+2x3+3x4+…+=+

(2)1x2x3+2x3x4+3x4x5+...+(?-2)x(/?-l)xn=—(n-2)(n-\)n(n+1)

4

四、分?jǐn)?shù)裂項

1.“裂差,，型運算

將算式中的項進行拆分，使拆分后的項可前后抵消，這種拆項計算稱為裂項法.

裂項分為分?jǐn)?shù)裂項和整數(shù)裂項，常見的裂項方法是將數(shù)字分拆成兩個或多個數(shù)字單

位的和或差。遇到裂項的計算題時，要仔細的觀察每項的分子和分母，找出每項分

子分母之間具有的相同的關(guān)系，找出共有部分，裂項的題目無需復(fù)雜的計算，一般

都是中間部分消去的過程，這樣的話，找到相鄰兩項的相似部分，讓它們消去才是

最根本的。

1)對于分母可以寫作兩個因數(shù)乘積的分?jǐn)?shù)，即一!一形式的，這里我們把較小的

axh

數(shù)寫在前面，即那么有工

axhb-aab

2)對于分母上為3個或4個連續(xù)自然數(shù)乘積形式的分?jǐn)?shù)，即：

-------5---------------------5-----------形式的，我們有：

勿x(〃+1)x(〃+2)〃x(〃+1)x(〃+2)x(〃+3)

1111

---------------=_L---------------------J

〃x(〃+l)x(〃+2)2+(〃+1)(〃+2)

1111

----------------------=—[-------------------------------------J

〃x(〃+1)x(〃+2)x(〃+3)3〃x(〃+1)x(〃+2)(〃+1)x(〃+2)x(〃+3)

裂差型裂項的三大關(guān)鍵特征：

a.分子全部相同，最簡單形式為都是1的，復(fù)雜形式可為都是x(x為任意自然數(shù))

的，但是只要將x提取出來即可轉(zhuǎn)化為分子都是1的運算。

b.分母上均為幾個自然數(shù)的乘積形式，并且滿足相鄰2個分母上的因數(shù)“首尾相

接“

c.分母上兒個因數(shù)間的差是一個定值。

2.“裂和”型運算：

常見的裂和型運算主要有以卜.兩種形式:

a+bab11

(1)=----1----=—|—

axbaxbaxbba

a2+h2a2b2ah

⑵=----1----=—l—

axbaxhaxhba

3.裂和型運算與裂差型運算的對比:

裂差型運算的核心環(huán)節(jié)是“兩兩抵消達到簡化的目的”,裂和型運算的題目不僅有

“兩兩抵消”型的，同時還有轉(zhuǎn)化為“分?jǐn)?shù)湊整”型的，以達到簡化目的。

本講知識點屬于計算大板塊內(nèi)容，其實分?jǐn)?shù)裂項很大程度上是發(fā)現(xiàn)規(guī)律、利用公式的

過程，可以分為觀察、改造、運用公式等過程。很多時候裂項的方式不易找到，需要進行

適當(dāng)?shù)淖冃?，或者先進行一部分運算，使其變得更加簡單明了。

本講是整個奧數(shù)知識體系中的■個精華部分，列項與通項歸納是密不可分的，所以先

找通項是裂項的前提，是能力的體現(xiàn)，對學(xué)生要求較高。

廬頷題需富

［解析】Ix2+2x3+3x4+…+49x50=

【解析】1x2+2x3+3x4+4x5+5x6+6x7+7x8+8x9+9x10=

【解析】1x4+4x7+7x10+…+49x52=

【解析】1x5+5x9+9x13+…+49x53=

【解析】Ix2x3+2x3x4+3x4x5+…+9x10x11=

【解析】計算：1x3x5+3x5x7+???+17x19x21=

【解析】計算：Ix2x3x4+3x4x5x6+5x6x7x8+…+97x98x99x100=

【解析】計算：1x3x5x7+3x5x7x9+5x7x9x11+.■■+97x99x101x103=

［解析］1x1!+2x2!+3x3!+…+2008x2008!=

【解析】3x3!+4x4!+5x5!+…+1980x1980!=

1X2+3X4+5X6H-----F99x100

【解析】計算:

2x3+4x5+…+98x99

1x3x5+5x7x9+9x11x13+…+97x99x101

【解析】計算:

3x5x7+7x9xl1+?-.+99x101x103

【解析】

1x22x33x44x5

【鞏固】

【解析】-+------+

11+21+2+3I+2+---+100

【鞏固】

1+2+31+2+3+41+2+---+50

111

【解析】計算：25x-----+------+------+???+

1x33x55x723x25

251251251251251

【鞏固】-------1---------1----------F???+---------------H-----------------

4x88x1212x162000x20042004x2008

、―1111

【解析】計算：(—I-------1--------1-------1-L+_L+_L+J)x128=

8244880120168224288

【鞏固】

612203042567290

【解析】計算:111111111

2612203042567290

2

【鞏固】計算:t_2__2___2__2__2___?__?__2

315356399143195255323

1

【解析】計算:—+―+???+

1x3x53x5x75x7x92001x2003x2005

1111

【鞏固】計算:-----------1-------------1-----------+...+

1x2x32x3x43x4x518x19x20

11J「1-1”1

【解析】計算:1—F2—+3F4—+…+20-----

261220420

【鞏固】計算:2008—+2009—+2010—+2011—+2012—=

1854108180270

3549637791105131

【解析】、

-----1-----------+................-1—

~61220304256J88

5791113151719

【鞏固】計算:

612203042567290

132579101119

【解析】計算:—I--1--+--F--1---1---1---1--=

3457820212435

12379111725

【鞏固】-+—+—+—+—+—+—+—

3571220283042

沙爆霓臉蒯

6)計算:10x16x22+16x22x28+……+70x76x82+76x82x88

22

7)+-+---??-?-+------+------

10x99x85x44x3

3245671

8)----1-----1------1------1-------1-------1---

2x55x77x1111x1616x2222x2929

11111

9)+—+—+--+---=

104088154238

34100

10)++???+

1x(1+2)(1+2)x(1+2+3)(1+2+3)X(1+2+3+4)(l+2+―+99)x(l+2+???+100)

fi

GL舸a

【解析】Ix2+2x3+3x4+…+99x100=

【解析】1X2X3+2X3X4+3X4X5+?1+18x19x20=

【解析】1x3+5x7+9x11+…+97x99_

3x5+7x9+…+99x101~~~

【解析】-------H++...+

1x33x55x799x101

111111

【解析】1+一+—+—+—+—4-

3610152128

57

【解析】計算:

1x2x3*2x3x48x9x10

1111111

【解析】計算:—I-------1---------1--------1--------1----------1--------

315356399