ch3-1導數(shù)的概念ppt課件

1、CH3 導數(shù)和微分導數(shù)和微分 3.1 3.1 導數(shù)的概念導數(shù)的概念 3.2 3.2 求導法則求導法則 3.3 3.3 高階導數(shù)高階導數(shù) 3.4 3.4 隱函數(shù)的導數(shù)隱函數(shù)的導數(shù) 3.5 3.5 微分微分 3.6 3.6 導數(shù)概念在經(jīng)濟學中的應用導數(shù)概念在經(jīng)濟學中的應用一、本章重點概念一、本章重點概念1 1、導數(shù)反映函數(shù)值隨自變量變化快慢程度的函數(shù)、導數(shù)反映函數(shù)值隨自變量變化快慢程度的函數(shù)、微分函數(shù)改變量的線性主部、微分函數(shù)改變量的線性主部二、微分學的兩大創(chuàng)始二、微分學的兩大創(chuàng)始人人1 1、NewtonNewton運動學運動學 變速直線運動的瞬時速度變速直線運動的瞬時速度、Leibniz Lei

2、bniz 幾何學幾何學 平面曲線的切線斜率。平面曲線的切線斜率。3.1 導數(shù)的概念 引例問題的提出）引例問題的提出） 導數(shù)的定義導數(shù)的定義 導數(shù)的幾何意義導數(shù)的幾何意義 函數(shù)的可導性與連續(xù)性的關(guān)系函數(shù)的可導性與連續(xù)性的關(guān)系 小結(jié)小結(jié).,快慢的程度快慢的程度有時還要研究變量變化有時還要研究變量變化函數(shù)關(guān)系外函數(shù)關(guān)系外了要了解變量之間的了要了解變量之間的在解決實際問題時，除在解決實際問題時，除一、導數(shù)的定義一、導數(shù)的定義Def: ，改改變變到到終終值值從從初初始始值值設(shè)設(shè)自自變變量量10 xxx回憶：變量的改變量回憶：變量的改變量( (增量增量) )則函數(shù)增量則函數(shù)增量時時，當當函函數(shù)數(shù)10:)(

3、xxxxfy 01xxx 自自變變量量增增量量).()()()(0001xfxxfxfxfy 注函數(shù)的增量可以為正的、負的，也可是零。函數(shù)的增量可以為正的、負的，也可是零。t 0tt例例1.1.變速直線運動變速直線運動( (自由落體運動自由落體運動) )的瞬時速度問題的瞬時速度問題)(tss 設(shè)設(shè)落落體體運運動動的的位位移移函函數(shù)數(shù)。時刻的瞬時速度時刻的瞬時速度求求0t時時刻刻的的瞬瞬時時速速度度。就就刻刻劃劃了了時時當當00vlim,0ttttt故瞬時速度故瞬時速度tst00lim)v(tv平均速度平均速度0000( )( )()( )sts ts ts tts tttt 000()( )l

4、imts tts tt )(tss ，運運動動時時間間運運動動到到時時刻刻物物體體從從時時刻刻ttt 0位移變量相對于時間位移變量相對于時間變量的平均變化率變量的平均變化率 T0 xxoxy)(xfy CN如圖如圖, 如果割線如果割線MN繞點繞點M旋轉(zhuǎn)而趨向極限位置旋轉(zhuǎn)而趨向極限位置MT,直線直線MT就稱為曲線就稱為曲線C在點在點M處的切線處的切線.).,(),(00yxNyxM設(shè)設(shè)的的斜斜率率為為割割線線MN0000=( )()()()tanf xf xf xxf xyxxxx 0,0CNM xxx 沿沿曲曲的斜率為的斜率為切線切線MT0000()()= liylimm.xxxkf xxf

5、xx 例例2. 曲線的切線斜率問題曲線的切線斜率問題共性共性: 為在一點函數(shù)增量與自變量增量之比的極限為在一點函數(shù)增量與自變量增量之比的極限 .M1.定義定義3.1：點導數(shù)的定義：點導數(shù)的定義, )()()(,)(00000 xfxxfyxfxxxxfy 的一個改變量的一個改變量得到函數(shù)值得到函數(shù)值一個改變量一個改變量該鄰域中任意給定該鄰域中任意給定在在的某一鄰域內(nèi)有定義的某一鄰域內(nèi)有定義在在設(shè)設(shè),)()(limlim0000存存在在如如果果極極限限xxfxxfxyxx ,)(,)(00點點的的導導數(shù)數(shù)在在此此極極限限為為點點可可導導在在則則稱稱xxfxxfy .)d)(d,dd,()(000

6、0表表示示或或或或或或用用xxxxxxxxfxyyxf .)(0處處不不可可導導在在點點，則則稱稱若若極極限限不不存存在在或或無無窮窮大大xxf)()()(lim)(0000對對稱稱式式xxxfxfxfxx 另另一一等等價價定定義義式式oxy)(xfy T0 xM)(,tan)(,)(,()()(0000為傾角為傾角即即切線的斜率切線的斜率處的處的在點在點表示曲線表示曲線 xfxfxMxfyxf切線方程為切線方程為法線方程為法線方程為).)(000 xxxfyy ).()(1000 xxxfyy 2.導數(shù)的幾何意義：導數(shù)的幾何意義：說明0,.x1 1. .點點導導數(shù)數(shù)的的本本質(zhì)質(zhì)是是極極限限值

7、值，反反映映函函數(shù)數(shù)在在的的變變化化率率 它它反反映映了了函函數(shù)數(shù)隨隨自自變變量量的的變變化化而而變變化化處處的的快快慢慢程程度度點點2注意變量符號選擇的不同注意變量符號選擇的不同,有有 導數(shù)的等價定義：導數(shù)的等價定義：xxfxxfxfx )()(lim)(0000 hxfhxfxfh)()(lim)(0000 000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx 步驟步驟00(1)()();yf xxf x 求求增增量量00()()(2);f xxf xyxx 算算比比值值00(3)()lim.xyfxx 求求極極限限例例12( )(2).f xxf 1 1 ) ) 求求函函數(shù)數(shù)的的解解: :0

8、0(2)(2)(2)limlimxxyfxffxx 220(2)2limxxx 0 x2004()limlim(4)4xxxxxx 2( )ln(3).f xxf ) ) 求求函函數(shù)數(shù)的的解解: :00(3)(3)(3)limlimxxyfxffxx 0ln(3)ln3limxxx 0ln(1)3limxxx 03limxxx 13 ln(1) (0)xx x例例2:求下列極限求下列極限0( )()1)( )limxf af axf ax 已已知知存存在在，求求0000()()()limxf xxf xfxx 解：原式解：原式( )fa 0()( )limxf axf ax 0000(2)()

9、2,()33limxf xxf xfxx 2 2 ) ) 已已知知則則：000(2)()2()32limxf xxf xx 解解：原原式式02()3fx 23 0()1fx 0000( )()()lim.xxf xf xfxxx (2 )(2 )3)(2 )limxafxfafaxa 已已知知存存在在，求求(2 )(2 )=2=22limxafxfaxa 解解：原原式式2(2 )fa0( )4)(0)0,(0)limxf xffx 已已知知存存在在，求求 解解：原原式式0( )(0)0limxf xfx (0)f 切切線線方方程程：法法線線方方程程：(1)kf 111lim1xxx 1 (1)

10、1kf 1(1)20yxxy 11yxyx11limxx 解解1( )(1)lim1xf xfx 例例3 3： 求曲線求曲線 在在(1,1)(1,1)點處的切線方程和法線方程。點處的切線方程和法線方程。1yx 右導數(shù)右導數(shù) 左導數(shù)左導數(shù)0000000( )()()()()limlim;xxxf xf xf xxf xfxxxx +0000000( )()()()()limlimxxxf xf xf xxf xfxxxx 000()()();fxAfxfxA 分分段段函函數(shù)數(shù)在在分分界界點點的的導導數(shù)數(shù)要要求求左左右右導導數(shù)數(shù)。000000)()(lim)()(lim)(0 xxxfxfxxfx

11、xfxfxxx 分段點處可導分段點處可導性討論性討論21sin,0(0)00,0 xxyyxxx 例例：若若求求，判判斷斷時時是是否否連連續(xù)續(xù)。01limsin0 xxx2001sin0( )(0)(0)limlimxxxf xfxyxx 解解：(0)0f 2001lim( )limsin0 xxf xxx0lim( )(0)xf xf f(x) 在在 x=0 連續(xù)連續(xù)011/1/xy.0處不可導處不可導在在 x不存在，不存在，0)0()(lim)0(0 xfxffxxxxxxx1sinlim1sinlim00 1sin,0(0)0 ,0 xxyyxx 練練：若若求求解解),0()0( ffx

12、xxxfxx 00lim00lim)0(例例. . xxxxfxx 00lim00lim)0(, 1 , 1 .0)(點點不不可可導導在在因因此此 xxxfxyoxy 可導直觀的幾何意義：光滑可導直觀的幾何意義：光滑0( )f xxx 在在未未必必可可導導。函函數(shù)數(shù)在在一一點點連連續(xù)續(xù),判斷判斷f(x)=|x|在在x=0處的可導性和連續(xù)性。處的可導性和連續(xù)性。00( ),f 000lim( )lim|,xxf xx00( )lim( ),xff x 連續(xù)。連續(xù)。.)(,)()(,)(0000點未必可導點未必可導在在點連續(xù)點連續(xù)在在但但點必連續(xù)；點必連續(xù)；在在則則點可導點可導在在xxfxxfxx

13、fxxf不連續(xù)必定不可導！不連續(xù)必定不可導！xy2xy 0 xy 處不可導處不可導在在0 x補充：連續(xù)函數(shù)不可導例子：補充：連續(xù)函數(shù)不可導例子：000lim)0(220 xxfx。處處的的可可導導性性在在例例： 00,0,)(2xxxxxxf00(0)lim10 xxfx 連續(xù)不可導的各種圖示連續(xù)不可導的各種圖示011/1/xyxyoxy0 xoxy2xy 0 xy 某點的導數(shù)某點的導數(shù) 定義定義 幾何意義幾何意義 分段函數(shù)分段點按照定義進行可導性的分段函數(shù)分段點按照定義進行可導性的討論討論( ),( ).yf xIf xI 如如果果函函數(shù)數(shù)在在開開區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)的的每每點點處處都都可可導導 就

14、就稱稱函函數(shù)數(shù)在在開開區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)可可導導.)(),(,.)(.)(,dxxdfdxdyxfyxfxfIx或或記記作作的的導導函函數(shù)數(shù)這這個個函函數(shù)數(shù)叫叫做做原原來來函函數(shù)數(shù)導導數(shù)數(shù)值值的的一一個個確確定定的的都都對對應應著著對對于于任任一一 0()( )( )limxf xxf xfxx 即即注意注意001()( ).xxfxfx 2 導函數(shù)導函數(shù)(瞬時變化率瞬時變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).四、導函數(shù)定義四、導函數(shù)定義11(log1.( )02.().()3.()ln .().14.(ln ).5.(sin )cos .(co).ls )nsinaxxxxC

15、xxRaaaeexxxxxxxxa 基本初等函數(shù)的導函數(shù)：基本初等函數(shù)的導函數(shù)：例:( )()( ).f xC Cfx 1 1 ) ) 求求函函數(shù)數(shù)為為常常數(shù)數(shù) 的的導導數(shù)數(shù)解解0()( )( )limxf xxf xfxx 0limxCCx 0.( )0.C 0()( )( )limxf xxf xfxx 即即22( )( ).f xxfx ) ) 求求函函數(shù)數(shù)的的解:00()( )( )limlimxxyf xxf xfxxx 200222()limlim()xxx xxxxxx 22()xx 1(.)nnxnx ()x 12()x 121122xx 1( )x 1()x 221xx 22

16、0()limxxxxx 10()x 910 x1()x 011x 3( )( ).(0,1 )xxf xefxxex ) ) 求求函函數(shù)數(shù)的的解:00()( )( )limlimxxyf xxf xfxxx 001limlimxxxxxxxeeeexx 0limxxxxeex ()lnxxaaa(3 )x ()xxee 3 ln3x4( )ln( ).f xxfx ) 求) 求函函數(shù)數(shù)的的解:00()( )( )limlimxxyf xxf xfxxx 0ln()lnlimxxxxx 01ln()limxxxx 0limxxxx 1x 1(ln)xx 1(log)lnaxxa ln(1) (0)xx x222( )sin( ).(sinsincossin)f xxfxababab 5 5 ) ) 求求函函數(shù)數(shù)的的解:00()( )( )limlimxxyf xxf xfxxx 0sin()sinlimxxxxx 0222sinlim cos()cosxxxxxx (sin )cosxx (cos )sinxx 02cos()sin22lim 2xxxxx 0( ).C 1(.)nnxnx ()lnxxaaa ()xxee 1(ln )xx (sin )cosxx (cos )