D21微分方程一14pppt課件

1、高等數(shù)學考前輔導高等數(shù)學考前輔導中北三教授數(shù)學考研面授輔導班中北三教授數(shù)學考研面授輔導班 住址：北苑小區(qū)住址：北苑小區(qū)38號樓號樓7單元單元502室室報名咨詢熱線：報名咨詢熱線：1 3 5 1 3 5 1 5 2 9 3主講教師主講教師柳柳 林林復(fù)習進度：復(fù)習進度：第一次：微分方程、空間解析幾何第一次：微分方程、空間解析幾何 第三次：多元函數(shù)積分學第三次：多元函數(shù)積分學第四次：級數(shù)第四次：級數(shù)第二次：多元函數(shù)微分學第二次：多元函數(shù)微分學 第七章 二、典型例題分析與解答二、典型例題分析與解答第七章微分方程 (14)一、知識點與考點精講一、知識點與考點精講 一、知識點與考點精講一、知識點與考點精講

2、1. 高階線性微分方程若f (x) 0時,稱為(對應(yīng)的)齊次方程.的微分方程稱為二階線性 其中f (x)稱為自由項.微分方程.( )( )( )y+ p x y+q x y= f x形如( )( )0y+ p x y+q x y=若f (x) 0時,( )( )( )y+ p x y+q x y= f x稱為非齊次方程.( , , yyy 均為一次項) (1).線性微分方程解的結(jié)構(gòu)定理設(shè)(即是齊次微分方程的兩個線性無關(guān)的特解,12( ),( )y xyx( )( )0yP x y+Q x y12( )( )y xyx 定理1.常數(shù))那么1122( )+( )Y = c y xc yx是此方程的

3、通解.為任意常數(shù))12c ,c(定理2 設(shè)y是非齊次微分方程( )( )( )yP x y+Q x yf x的一個特解,1122( )+( )Y = c y xc yx是對應(yīng)的齊次方程的通解,那么y= y +Y1122( )+( )= y +c y xc yx是非齊次方程的通解.設(shè)定理3.分別是非齊次方程1( )( )y+P x y+Q(x)y= f x 與12( ),( )y xyx2( )( )( )y+P x y+Q x y= fx的兩個特解,那么12( )+( )y= y xyx是方程的特解.的兩個不同的特解,那么是非齊次方程對應(yīng)的齊次方程的解.12( )( )( )+( )y+P x

4、 y+Q x y= f xfx定理4. 設(shè)12( ),( )y xyx是非齊次方程( )( )( )y+P x y+Q x y= f x12( )( )( )y x = y xyxn階微分方程( )(1)11( )+( )( )( )nnny+P x yPx y+Q x y= f x及對應(yīng)的齊次方程( )(1)11( )+( )( )0nnny+P x yPx y+Q x y=解的結(jié)構(gòu)與二階方程解的結(jié)構(gòu)類似.(2) 二階常系數(shù)齊次方程的解法:的特征方程為當方程的通解為:時,20rprq.0ypyqy特征方程有兩個相異實根240pq(特征方程法)12,r r1212=r xr xyc ec e.

5、當240pq時,特征方程有兩個相同實根1,2=ri方程的通解為:112= ()r xycc x e .當240pq時,特征方程有一對共軛復(fù)根12=rr方程的通解為:12=( cossin)xyecxcx .(3).二階常系數(shù)非齊次方程的通解Y.再求非齊次方程先求對應(yīng)的齊次方程的求法待定系數(shù)法.的一個特解即為非齊次方程的通解.特解自由項為=( )y+ py+qyf x= 0y+ py+qy=( )y+ py+qyf xy .y=Y + y=( )y+ py+qyf xy( )( )xnf xe P x時,可設(shè):( )kxnyx e Q xk 按不是特征根是特征單根是特征重根而取012( )nQ

6、x是系數(shù)待定的n次多項式:的解法其中0( ) =Q xa1( ) =Q xax+b22( ) =Q xax +bx+c 將的表達式, 從而求出,yy y ( )nQ xy .代入非齊次方程,通過比較系數(shù)可確定二、典型例題分析與解答二、典型例題分析與解答123,y yy設(shè)線性無關(guān)的函數(shù)( )( )( )yp x yq x yf x都是二階非齊次線性方程解解:的解,11223( ) ;A C yC yy為任意常數(shù),123,y yy例例1. 1323,yyyy12,C C則該非齊次方程的通解是( ) .1122123( ) ();B C yC yCCy1122123( ) (1);CC yC yCC

7、y1122123() +(1)D C yC yCCy .根據(jù)線性方程解的性質(zhì)知:假設(shè)是非齊次線性方程的解,那么是對應(yīng)的齊次線性方程的解,又由于線性無關(guān),1323yyyy與所以該非齊次方程的通解為1132233)()+yC ( yyCyyy .即為:1122123=+(1)yC yC yCCy .故選項(D)正確.D例例2 . 在下列微分方程中,以為任意常數(shù))解解:123(,C C C為通解的微分方程是( ) .( ) 440;Ayyyy123cos2sin2xyC eCxCx由題設(shè)知所求方程的特征的根為則其特征方程為:12,31,2rri 即為:2(1)(4)0rr.所求微分方程為:440yy

8、yy.注釋注釋:本題考查高階線性常系數(shù)齊次方程的解法.( ) 440;Byyyy( ) 440;Cyyyy() 440Dyyyy.32440rrr.故選項(D)正確.D用直接法解此題.解解: :二階常系數(shù)非齊次方程的通解為_.例例3. 2432xyyye2430rr.特征根為:(1)(3)0rr.121,3rr.2xyae .特征方程為:312xxYC eC e .對應(yīng)的齊次方程的解為:222,2,4xxxyaey aey ae由于故可設(shè)將22224832xxxxaeaeaee代入原方程得:22xye . 32122xxxyC eC ee注釋注釋:那么 a = 2 .特解為本題考查二階線性常系

9、數(shù)非齊次方程的解法.所給方程的通解為:32122xxxyC eC ee .2( )2,xf xe = 2 不是特征根, 例4. 若二階常系數(shù)齊次微分方程滿足條件求非齊次方程12(),xyCC x e的通解為(0)2,(0)0yy0yayby的特解.yaybyx解解:由于121 ,rr是方程1,2,AB的通解,yAxB注釋注釋:本題考查二階線性常系數(shù)非齊次方程的解法.2yyyx2 ,1ab. 該方程的兩個特征根為12()xyCC x e0yayby故設(shè)非齊次方程的特解為代入方程得其通解為12()2xyCC x ex(0)2,(0)0yy由可得120,1CC. 所以滿足初始條件的特解為:2xyxe

10、x. 例例5. 微分方程1xyye的一特解應(yīng)具有形式( ).(其中a ,b為常數(shù))( ) + ;xA aeb解解:的特解應(yīng)為方程與方程210r. 的特解之和.121,1rr. 原方程的特征方程為1xyaxe .特征根為:故方程B注釋注釋:本題考查線性常系數(shù)非齊次方程的待定特解形式.( ) + ;xBaxeb( ) +;xCaebx() +xDaxebx.1xyyexyye1yyxyye方程的特解形式為方程1yy的特解形式為2yb.原方程的特解應(yīng)具有形式12xyyyaxeb.應(yīng)選(B).求函數(shù) f (x) .特征方程為設(shè)函數(shù) f (x)滿足微分方程且其圖形在點(0,1)處的切線與曲線例例6.在該點的切線重合,解解:特征根為對應(yīng)齊次方程通解為322,xyyye21yxx232(1)(2)0rrrr.121,2rr.又=1為特征方程的單根,故可設(shè)特解為212xxYC eC e .將代入原方程得a = 2 .xyaxe .,yy y 特解為2xyxe . 原方程通解為2122xxxyC eC exe .依題意曲線2122xxxyC eC exe與曲線21yxx在點(0,1)處有公切線,則有(0)1,y0(0)211xy