定積分的換元法與分部積分法課件

1、定積分的換元法與分部積分法考察定積分考察定積分( )( )xxaafx d xf t dt記記.)()( xadttfx變上限定積分變上限定積分積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)( )( ).bxxf t dt變下限定積分變下限定積分變上限定積分和變下限定積分通稱為變限定積分變上限定積分和變下限定積分通稱為變限定積分(x)和和(x)是是a,b上的連續(xù)函數(shù)。上的連續(xù)函數(shù)。定積分的換元法與分部積分法定理定理 如果函數(shù)如果函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間 a,b上連續(xù)，則變上限定積分上連續(xù)，則變上限定積分 ( )( ) ,xaxf t dt xa b)()()(xfdttfdxdxxa 在在a,b上可

2、導(dǎo)，且它的導(dǎo)數(shù)是上可導(dǎo)，且它的導(dǎo)數(shù)是即即(x)是是f(x)在在a,b上的一個(gè)原函數(shù)。上的一個(gè)原函數(shù)。證證dttfxxxxa )()()()(xxx dttfdttfxaxxa)()(dttfdttfdttfxaxxxxa )()()(,)( xxxdttf由由積分中值定理積分中值定理得得xf )( ,xxx ),( fx )(limlim00 fxxx xx , 0).()(xfx 定積分的換元法與分部積分法 2xxe sinxbtfxdtt sin xx 例例1 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解解解解22 txyedty，求解解222xtxyedte 2xtaxe dt（1 ） sinbx

3、tfxdtt（2） 定積分的換元法與分部積分法21122uuxxxeuexyyx例例1 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解解2utae dt2xtaye dtux2xtaye dt（3 ）sin22 ln22xxxxxuyyu 2sinxbtydttsinbutdtt2xu 解解2sinxbtydtt（4 ）定積分的換元法與分部積分法 21TTSv tdt 2121( )TTSs Ts Tv t dt F bF a f x, a b F x微積分基本公式微積分基本公式 stv t而而？定積分的換元法與分部積分法 f x, a b F x baf x dxF bF a微積分基本公式微積分基本公式

4、牛頓牛頓萊布尼茲公式萊布尼茲公式證明思路證明思路 ( )baF x記作記作 CxxF )()( xaFxfx dxC baFbfx dxC aaFafx dxCC baf x dxF bF a定積分的換元法與分部積分法牛頓牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式微積分基本公式表明：微積分基本公式表明：)()()(aFbFdxxfba ( )baF x注意注意求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題. .定積分的換元法與分部積分法 1201x dx例例2 求下列定積分求下列定積分1231001()3x dxx13解解 因?yàn)橐驗(yàn)?在在 上連續(xù)，上連續(xù)， 是它的一個(gè)原函數(shù)是它的一個(gè)原函數(shù)

5、 2yx0,1313yx所以所以 2121edxx 0 11 21ln 1ex 解解 原式原式 定積分的換元法與分部積分法250(3)cossin.xxdx解解 205sincosxdxx205coscosxxd2066cosx.61 20coscosxx 2200sinsinsinx dxxdxxdx11114 204sin x dx解解 定積分的換元法與分部積分法dxxdxx3220223222022222xxxx25262902dxx302 dxx30225解解 原式原式 定積分的換元法與分部積分法 2061 sin2xdx2012sin cosxxdx220sincosxxdx20si

6、ncosxx dx 20cossin0 11 02xx 解解 原式原式 定積分的換元法與分部積分法22112x dx解解122310126xx設(shè)設(shè) 21,11,12xxf xxx 20f x dx，求，求 7181122663分段函數(shù)的積分分段函數(shù)的積分計(jì)算，應(yīng)分區(qū)間計(jì)算，應(yīng)分區(qū)間選取相應(yīng)的函數(shù)選取相應(yīng)的函數(shù) 20f x dx101xdx定積分的換元法與分部積分法350(8)sinsin.xxdx解解xxxf53sinsin)( 23sincosxx 053sinsindxxx 023sincosdxxx 2023sincosdxxx 223sincosdxxx 2023sinsinxdx 2

7、23sinsinxdx 2025sin52 x 225sin52x.54 定積分的換元法與分部積分法例例3 3 求求 .,max222 dxxx解解由圖形可知由圖形可知,max)(2xxxf ,21100222 xxxxxx 21210022dxxxdxdxx原式原式.211 xyo2xy xy 122 213102023323xxx定積分的換元法與分部積分法例例4 4 求求.lim21cos02xdtextx 解解 1cos2xtdtedxd,cos12 xtdtedxd)(cos2cos xex,sin2cos xex 21cos02limxdtextx xexxx2sinlim2cos0

8、 .21e 00分析：這是分析：這是 型不定式，應(yīng)用洛必達(dá)法則型不定式，應(yīng)用洛必達(dá)法則. .定積分的換元法與分部積分法例例1 4 1ln1exdxx 4 1lnlnex dx51ln5115ex140u du 5151105u 定積分的換元法定積分的換元法換元必須換限換元必須換限 lndxlnux定積分的換元法與分部積分法23311113x dx23321219xdxxx213212321222 2199u？ 223181xx dx2272 29解解 原式原式 2113udu31ux 積分積分 變量變量變變，積分區(qū)間積分區(qū)間變變定積分的換元法與分部積分法 定積分的換元法定積分的換元法定理定理應(yīng)

9、用換元公式時(shí)應(yīng)注意應(yīng)用換元公式時(shí)應(yīng)注意: :（2 2）（1 1）定積分的換元法與分部積分法例例2 830111dxx2013(1)1tdtt 2203ln12ttt 定積分的換元法定積分的換元法換元必須換限換元必須換限 323, , 3txxtdxt dt則 0 0 8 ,2xtxt當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)22031tdtt3 22ln33ln32201131tdtt定積分的換元法與分部積分法 11254xdxx213542uuduu123158udu 133115836uu 定積分的換元法定積分的換元法換元必須換限換元必須換限 21154(5),42xuxudxudu 令，則1311xuxu 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)

10、時(shí)，定積分的換元法與分部積分法2201(3).(0)adxaxaxax ,2 t0 x, 0 t解解令令,sintax ,costdtadx 原式原式 2022)sin1(sincosdttatata 20cossincosdtttt 20cossinsincos121dttttt 20cossinln21221 tt.4 2020cossincossin21ttttddt 定積分的換元法定積分的換元法換元必須換限換元必須換限 定積分的換元法與分部積分法證證,)()()(00 aaaadxxfdxxfdxxf 0)(adxxf 0)(adttf,)(0 adttfdtdx,)(0adxxf定積

11、分的換元法與分部積分法),()(xfxf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(;)(20adxxf),()(xfxfaaaadxxfdxxfdxxf00)()()(. 0 adxxf0)(,)(0adxxfadxxf0)(,)(0adxxfadxxf0)(,)(0adxxf定積分的換元法與分部積分法例例5 222182y dy2202 24y dy4028 2cos xdx404 21 cos2x dx40114 2sin24 2242xx2 sinyx 424sin2cos1tanxxdxx402cosxdx402 sin2x解解 原式原式 定積分的換元法與分部積分法定積分的換元

12、法與分部積分法定積分的分部積分法定積分的分部積分法定積分的分部積分公式定積分的分部積分公式 ,vuvuuv ,)(babauvdxuv , bababadxvudxvuuv . bababavduuvudv定積分的換元法與分部積分法例例6 211xxe dx2211xxxee dx2212xeee 2222eeeee21xxde已積出的部分已積出的部分 要求值要求值 定積分的換元法與分部積分法40(2).1 cos2xdxx解解,cos22cos12xx 402cos1xxdx 402cos2xxdx xdxtan240 40tan21 xxxdxtan214040cosln218x.42ln

13、8 40tan21 xxdxxxcossin2140 定積分的分部積分法定積分的分部積分法已積出的部分要求值已積出的部分要求值 定積分的換元法與分部積分法120(3)arcsin.xdx 210arcsin xdx 210arcsin xx 21021xxdx621 )1(112120221xdx 12 21021x . 12312 解解 210arcsin xx 210arcsin xxd 定積分的分部積分法定積分的分部積分法已積出的部分要求值已積出的部分要求值 定積分的換元法與分部積分法 2214ln x dx222111ln2lnxxxxdxx2212ln 22ln x dx 222112ln 22ln21xxdx 2212ln 24ln22 x 22ln 2