D55有理函數(shù)的積分ppt課件

1、二、三角函數(shù)有理式的積分二、三角函數(shù)有理式的積分三、簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分三、簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分一、有理函數(shù)的積分一、有理函數(shù)的積分第五節(jié)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 有理函數(shù)的積分 第五章 有理函數(shù)的定義：有理函數(shù)的定義：兩個(gè)多項(xiàng)式的商表示的函數(shù)稱為有理函數(shù)。兩個(gè)多項(xiàng)式的商表示的函數(shù)稱為有理函數(shù)。10111011( )( )nnnnmmmma xa xaxaP xQ xb xb xbxb一、有理函數(shù)的積分一、有理函數(shù)的積分機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 假設(shè)分子與分母之間沒有公因式假設(shè)分子與分母之間沒有公因式(1),nm稱有理函數(shù)是真分式；稱有理函數(shù)是真分式；(2),nm稱有理函數(shù)是假

2、分式；稱有理函數(shù)是假分式； 利用多項(xiàng)式除法利用多項(xiàng)式除法, , 假分式可以化成一個(gè)假分式可以化成一個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)真分式之和多項(xiàng)式和一個(gè)真分式之和. .例例3211xxx21.1xx難點(diǎn)難點(diǎn) 將有理函數(shù)化為部分分式之和將有理函數(shù)化為部分分式之和. .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 （1 1分母中若有因式分母中若有因式 ，則分解后為，則分解后為()kxa121,()()kkkAAAxaxaxa有理函數(shù)化為部分分式之和的一般規(guī)律：有理函數(shù)化為部分分式之和的一般規(guī)律：特殊地：特殊地：1,k 分解后為分解后為;Axa機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 （2 2分母中若有因式分母中若有因式 ，其中，其

3、中2()kxpxq則分解后為則分解后為240pq11222212()()kkkkM xNM xNM xNxpxqxpxqxpxq特殊地：特殊地：1,k 分解后為分解后為2;MxNxpxq機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 真分式化為部分分式之和的待定系數(shù)法真分式化為部分分式之和的待定系數(shù)法: :2356xxx3(2)(3)xxx,23ABxx3(3)(2),xA xB x3()(32 ),xAB xAB1,(32 )3,ABAB5,6AB 2356xxx56.23xx例例1 1機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 21(1)x x2,(1)1ABCxxx21(1)(1)(1)A xBxCx x代

4、入特殊值來(lái)確定系數(shù)代入特殊值來(lái)確定系數(shù), ,A B C取取0,x 1A取取1,x 1B取取2,x ,A B并將并將 值代入值代入(1)1C 2111.(1)1xxx21(1)x x例例2 2機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 例例3 32421555.121xxx21(12 )(1)xx21(1)()(12 ),AxBxCx21(2 )(2 ),AB xBC xCA20,20,1,ABBCAC421,555ABC 2,1 21ABxCxx21(12 )(1)xx整理得整理得機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 例例4 4 求積分求積分 21.(1)dxx x21(1)dxx x2111(1)1d

5、xxxx2111(1)1dxdxdxxxx1lnln(1).1xxCx解解機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 例例5 5 求積分求積分 解解21.(12 )(1)dxxx2421555121xdxdxxx21(12 )(1)dxxx2221211ln(1 2 )55 15 1xxdxdxxx2211ln(12 )ln(1)arctan.555xxxC機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 例例6 6 求積分求積分解解3621.1xxxdxeee令令6xte6ln ,xt6,dxdtt36211xxxdxeee32161dtttt t216(1)(1)dtttt2633311tdtttt機(jī)動(dòng) 目錄

6、上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 236ln3ln(1)ln(1)3arctan2ttttC2633311tdtttt63633ln(1)ln(1)3arctan().2xxxxeeeC36ln3ln(1)2tt222(1)1311dtdttt機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 說(shuō)明說(shuō)明 將有理函數(shù)化為部分分式之和后，只出將有理函數(shù)化為部分分式之和后，只出現(xiàn)三類情況：現(xiàn)三類情況：(1)多項(xiàng)式；多項(xiàng)式；(2);()nAxa2(3);()nMxNxpxq討論積分討論積分2,()nMxNdxxpxq222,24ppxpxqxq令令2pxt機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 22,4paq,2MpbN那那么么2

7、()nMxNdxxpxq22()nMtdtta22()nbdtta222,xpxqta,MxNMtb記記機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 (2)1,n 2()nMxNdxxpxq2212(1)()nMnta 221.()nbdtta這三類積分均可積出這三類積分均可積出, , 且原函數(shù)都是初等函數(shù)且原函數(shù)都是初等函數(shù). .結(jié)論結(jié)論 有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù)有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù). .(1)1,n 2MxNdxxpxq2ln()2Mxpxq2arctan;pxbCaa機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 三角有理式的定義：三角有理式的定義： 由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算由三角函數(shù)和

8、常數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算構(gòu)成的函數(shù)稱之一般記為構(gòu)成的函數(shù)稱之一般記為(sin ,cos )Rxxsin2sincos22xxx 22tan2sec2xx22tan2,1tan2xx22coscossin,22xxx 二、三角函數(shù)有理式的積分二、三角函數(shù)有理式的積分機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 221tan2cossec2xxx221tan2,1tan2xx令令tan2xu 22sin,1uxu221cos,1uxu2arctanxu221dxduu(sin ,cos )Rxx dx 2222212,.111uuRduuuu（萬(wàn)能置換公式）（萬(wàn)能置換公式）機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢

9、例例7 7 求積分求積分sin.1 sincosxdxxx解解22sin,1uxu221cos1uxu22,1dxduu由萬(wàn)能置換公式由萬(wàn)能置換公式sin1 sincosxdxxx22(1)(1)uduuu222211(1)(1)uuuduuu 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 222(1)(1)(1)(1)uuduuu211uduu11duuarctanu21ln(1)2uln|1|uCtan2xu 2xln |sec|2xln |1tan|.2xC機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 例例8 8 求積分求積分41.sindxx解一）解一）tan,2xu 22sin,1uxu22,1dxdu

10、u41sindxx24641 338uuuduu331133833uuCuu331331tantan.822428tan24 tan22xxCxx 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 解二）解二）修改萬(wàn)能置換公式修改萬(wàn)能置換公式, ,tanux令令2sin,1uxu21,1dxduu41sindxx4221111duuuu241 uduu3113Cuu 31cotcot.3xxC 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 解三）解三）可以不用萬(wàn)能置換公式可以不用萬(wàn)能置換公式. .41sindxx22csc(1 cot)xx dx222csccotcscxdxxxdx)(cot xd 31cotcot

11、.3xxC 結(jié)論結(jié)論 比較以上三種解法比較以上三種解法, , 便知萬(wàn)能置換不一便知萬(wàn)能置換不一定是最佳方法定是最佳方法, , 故三角有理式的計(jì)算中故三角有理式的計(jì)算中先考慮其它手段先考慮其它手段, , 不得已才用萬(wàn)能置換不得已才用萬(wàn)能置換. .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 例例12 12 求積分求積分.3121xdxxx 解解先對(duì)分母進(jìn)行有理化先對(duì)分母進(jìn)行有理化原式原式( 3121)( 3121)( 3121)xxxdxxxxx ( 3121)xxdx 131 (31)3xdx121 (21)2xdx332221(31)(21).93xxC機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 例例9 9

12、求積分求積分1 sin.sin3sinxdxxx解解sinsin2sincos22ABABAB1 sinsin3sinxdxxx1 sin2sin2 cosxdxxx21 sin4sin cosxdxxx2114sin cosdxxx2114cosdxx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 2221sincos4sin cosxxdxxx2114cosdxx21sin114cos4sinxdxdxxx2114cosdxx21111(cos )4cos4sindxdxxx 2114cosdxx14cosx1ln tan42x1tan.4xC機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 討論類型討論類型( ,),nR xaxb( ,),naxbR xcxe解決方法解決方法作代換去掉根號(hào)作代換去掉根號(hào). .例例10 10 求積分求積分11xdxxx解解 令令1xtx21,xtx三、簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分三、簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 21,1xt222,1tdtdxt 11xdxxx222211tttdtt 2221t dtt 21211dtt 12ln1ttCt 2112ln1.