2021_physics第一屆泛珠三角物理奧林匹克競(jìng)賽

1、2021_physics第一屆泛珠三角物理奧林匹克競(jìng)賽 1 第一屆泛珠三角物理奧林匹克競(jìng)賽 （5 2021 年 年 1 1 月 月 9 29 日上午） 題 題 1 （5 分） 光滑平面上有兩條長(zhǎng)度均為 2 l、而質(zhì)量為 m的均勻蠕蟲(chóng)a 和 b。它們的起始位置如圖所示，蠕蟲(chóng) a 的質(zhì)心位于x-y 坐標(biāo)（0, 0）。蠕蟲(chóng) b 開(kāi)始慢慢從 a 身上爬過(guò)，爬時(shí)兩蟲(chóng)的身體軸線始終保持夾角 q 。試用參量 l, q 表示：當(dāng)蠕蟲(chóng) b爬過(guò) a后，兩蠕蟲(chóng)各個(gè)質(zhì)心位置的坐標(biāo)。 題 題 2 （13 分） 一體積為 0.001m 3 的空氣泡和一質(zhì)量和體積與空氣泡相同的鋼瓶從水下 2.0 km 深處放出。不考慮磨擦

2、。氣泡溫度不變。空氣在水面的密度為 1.21 kg/m 3 ，大氣壓為 1.0 x 10 5 n/m 2 。(提示: ÷÷øöççèæ+=+òabxdxbab ab ab b aln1 ) (a) 求氣泡到水面時(shí)體積。 （3 分） (b)求在深度 h (h 2.0 km)時(shí)氣泡和鋼瓶?jī)舻玫哪芰康谋磉_(dá)式。（7 分） (c) 用該表達(dá)式求氣泡和鋼瓶到達(dá)水面時(shí)的速度。（3 分） 題 題 3 （12 分） 一質(zhì)量為 0.5 m 的人站在一以角速度 w 旋轉(zhuǎn)的厚度質(zhì)量均勻，質(zhì)量為 0.5 m ，半徑為 r 的圓臺(tái)上

3、。圓臺(tái)與中心轉(zhuǎn)軸間無(wú)磨擦。該人離圓臺(tái)中心距離為 r （ r） ，并帶有 10 顆質(zhì)量為 0.01 m 的石子。 (a) 求整個(gè)系統(tǒng)的總角動(dòng)量。（4 分） 為了減速該人準(zhǔn)備向外扔石子。石子扔出時(shí)相對(duì)于他的速度為 v ，方向與徑向成夾角 j . (b) 求當(dāng)他扔了一石子后圓臺(tái)的角速度， 并找出使角速度減少最多的夾角maxj 。（4分） (c) 求當(dāng)他以maxj 扔光石子后圓臺(tái)的角速度。(答案可用多項(xiàng)式表達(dá)) （4 分） 題 題 4 （8 分） 一均勻長(zhǎng)竿長(zhǎng)度為 l，質(zhì)量為 m ， 在一半徑為 r (0.5l)的光滑半球面內(nèi)處于靜止?fàn)顟B(tài)。 (a) 求竿在其平衡位置附近作小幅振蕩的頻率。（4 分） (

4、b) 已知小幅振蕩時(shí)長(zhǎng)竿偏離水平線最大偏角為maxq 。長(zhǎng)竿在最大偏角和水平時(shí)球面對(duì)竿端的力的強(qiáng)度的差可寫(xiě)成2maxq a mg n = d 。求 a 。（4分） jwjw q qxyabq qxyab 2 題 題 5 （12 分） 一電磁波的電場(chǎng)為) (0 0t kz ie x e ew -=rr，其中0e 和 為實(shí)常數(shù), knc= w ，c 為真空光速， n為介質(zhì)的介電常數(shù)（可以是復(fù)數(shù)）。 (a) 簡(jiǎn)單討論電磁波在介質(zhì)里傳播過(guò)程中，當(dāng) n是實(shí)數(shù)，虛數(shù)，或復(fù)數(shù)時(shí)電磁波強(qiáng)度的變化。（4分） (b) 求磁場(chǎng) br, 以及 poynting 向量在一個(gè)周期里的平均量 > ´ = &

5、lt; ) (10b e sr r rm。（4分） (c) dzs dq> <=r是描述電磁波在介質(zhì)里能量損失的物理量。計(jì)算 q，并簡(jiǎn)單討論當(dāng) n是實(shí)數(shù)，虛數(shù)，或復(fù)數(shù)時(shí)所得結(jié)果的物理意義。（3分） (d) 根據(jù)上述結(jié)果，電磁波在介質(zhì)里傳播時(shí)如果其強(qiáng)度衰減，是否其能量一定有損失? （1 分） 3 第一屆泛珠三角物理奧林匹克競(jìng)賽 （5 2021 年 年 1 1 月 月 9 29 日下午） 題 題 6 （12 分） 下圖中陰影部分為均勻磁場(chǎng)區(qū)。磁場(chǎng)方向垂直紙面向外。 (a) 一平面線圈帶電流 i，整個(gè)線圈在磁場(chǎng)區(qū)內(nèi)，其平面與磁場(chǎng)垂直。求磁場(chǎng)對(duì)線圈的力。（3分） (b) 當(dāng)線圈有部分在磁場(chǎng)

6、區(qū)外時(shí)，磁場(chǎng)對(duì)線圈的力可表達(dá)成 f = a wbi, 其中 w 是線圈與磁場(chǎng)區(qū)邊緣兩交界點(diǎn)間的距離, 其方向則向上或向下（由電流方向決定）。求 a 。（3分） (c) 一半圓型線圈半徑為 r, 電阻為 r，質(zhì)量為 m，從磁場(chǎng)區(qū)內(nèi)下落。線圈平面始終與紙面平行，其直邊始終與磁場(chǎng)區(qū)底部邊緣平行，距離為 y。不計(jì)線圈自感。導(dǎo)出決定 y（r）的微分方程式。如果你求不到(b)部分的 a ，你可當(dāng)它是已知的。（6 分） 題 題 7 （15 分） 當(dāng)一半導(dǎo)體被加上相互垂直的電場(chǎng)和磁場(chǎng)時(shí)，就會(huì)產(chǎn)生一與電流方向 jr垂直的電壓hv 。這一現(xiàn)象稱為霍爾效應(yīng)。 (a) 一半導(dǎo)體為 w w ´ 的方型薄膜，里

7、面的電流由帶正電的載流子運(yùn)動(dòng)引起， 每個(gè)載流子帶電荷 e，載流子面密度為 n, 半導(dǎo)體導(dǎo)電率為 s 。另有一負(fù)電荷本底使半導(dǎo)體除了邊緣以外處處中性。半導(dǎo)體內(nèi)電場(chǎng)處處均勻。外加磁場(chǎng) b 與薄膜垂直。當(dāng)電壓 v 加上后，除了產(chǎn)生 x-方向的電流 jr外，還產(chǎn)生一與電流方向垂直的電壓hv 。 求到達(dá)穩(wěn)態(tài)時(shí)的霍爾系數(shù) v v rh h/ º 。（注意電流 jr不是已知量）（6 分） 最近發(fā)現(xiàn)，在某些半導(dǎo)體里存在自旋霍爾效應(yīng)。該效應(yīng)與載流子固有的磁矩 mr 有關(guān)。 在二維系統(tǒng)中載流子會(huì)受到一附加的力 ) ( v m fr rr rr´ = h (rashba 力)。其中 vr為載流子

8、在二維系統(tǒng)(x-y)平面的速度，rh 為常數(shù)。磁矩 mr保持與平面垂直，因此z m m) r± = 。注意這時(shí)無(wú)外加磁場(chǎng)。不計(jì)載流子磁矩間的相互作用。 (b) 設(shè)電場(chǎng)處處均勻，其沿 x-方向的力遠(yuǎn)大于rfr，求 y-方向的電流。電流與 mr是何關(guān)系? （6 分） y w 磁場(chǎng)區(qū) 磁場(chǎng)區(qū) (a) (b) (c) jrvyxzjrvyxz brjrhvvyxbrjrhvvyx 4 (c) 由于與邊界的碰撞，載流子的磁矩方向過(guò)了時(shí)間 t 之后就變成無(wú)序。也就是說(shuō)每單位長(zhǎng)度邊界每秒鐘有 n m / t 的載流子的磁矩方向成為無(wú)序，其中 n m 是還保持磁矩方向( z)± )的載流子

9、密度。求邊緣區(qū)的磁化強(qiáng)度 mr。（3分） 題 題 8 （23 分） 電流變液由絕緣液體（比如硅油）和許多懸浮其中的介電小球組成，是一種因外加電場(chǎng)而從液體形態(tài)變成固體形態(tài)的物質(zhì)。如圖所示一測(cè)試裝置，包括兩間距為 d ，面積為 a 的平行導(dǎo)電板，板間充滿電流變液。兩板間無(wú)電壓時(shí)電流變液處于液體形態(tài)，因此兩板可無(wú)磨擦地在水平方向相對(duì)運(yùn)動(dòng)。 兩板間加上電壓 v 后，小球被電場(chǎng)極化并沿電場(chǎng)排成直行。一板相對(duì)另一板要平移一小距離 d x 就需要一力 d f。切變模量 h 的定義為 xfadddh = 。小球的半徑為 r （ d）, 介電常數(shù)為 e ，總體小球占整個(gè)電流變液的體積比為 m。 無(wú)小球時(shí)液體的介

10、電常數(shù)為1。不考慮重力。以下題目要求你將 h 用上述物理量表達(dá)出來(lái)。 (a) 第一步要通過(guò)求解(a1) (a3)來(lái)計(jì)算單一小球在一均勻外電場(chǎng)0er里的極化 pr。已知球體內(nèi)的極化是均勻的，方向與0er相同。 (a1) 求在球心位置由極化 pr產(chǎn)生的電場(chǎng)。（3 分） (a2) 求球體內(nèi)的總電場(chǎng)。（3分） (a3) 單個(gè)小球極化產(chǎn)生的總電偶極子可表達(dá)成0 0e prra = 。 求 a 。（3分） (b) 把小球近似當(dāng)作位于球心的理想電偶極子，并只和0er有關(guān)。如果你沒(méi)求出(a3)里的 a， 你可以當(dāng)它是已知常數(shù)來(lái)計(jì)算下面的問(wèn)題。（提示：展開(kāi)時(shí)保留到 d 2 項(xiàng)，d是偶極子的長(zhǎng)度。） (b1) 求當(dāng)兩球接觸，左右并排和上下排列時(shí)（如下圖所示）的靜電能量。 （4分） (b2) 求當(dāng)一球與板接觸時(shí)板對(duì)球的靜電力。（3 分） (b3) 如下圖所示，求當(dāng)兩球上下排列時(shí)，上面的球沿水平方向平移一小距離 d a 時(shí)的水平回復(fù)力。（3分） (c) 設(shè)加上電壓后所有小球都排成連續(xù)的單行的細(xì)柱，連接上下導(dǎo)電板。根據(jù)你(b1)的答案，細(xì)柱容易粘在一起嗎？只