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1、四點(diǎn)共圓專(zhuān)題講義如圖,E、F、G、H分別是菱形 ABCD各邊的中點(diǎn).求證:E、F、G、H四點(diǎn)共圓.例2.(1)如圖,在 ABC 中,BD、CE 是 AC、AB 上的高,/ A=60.求證:ED = - BC28(2)已知:點(diǎn)。是 ABC的外心,BE, CD是高.求證: AO± DE例3.如圖,在 ABC 中,ADXBC, DE ±AB, DFXAC.求證:B、AIE、F、C四點(diǎn)共圓.總結(jié):四點(diǎn)共圓的方法:OA=OB=OC / ADC=/ABC=90°/ ACD= / ABD =90°/B+/D=180° 或/ /A=/D 或 /B=/A+/BC
2、D=180 ° 或/ C|a=/dce1. 2. 3. 4. 例4.求證:圓內(nèi)接四邊形對(duì)邊乘積的和等于對(duì)角線的乘積,即圖中 AB - CD + BC - AD=AC - BD .練習(xí)1.在4ABC中,BA BC, BAC , M是AC的中點(diǎn),P是線段BM上的動(dòng)點(diǎn),將線段 PA繞點(diǎn)P順時(shí)針 旋轉(zhuǎn)2得到線段PQ .(1)若 60且點(diǎn)P與點(diǎn)M重合(如圖1),線段CQ的延長(zhǎng)線交射線 BM于點(diǎn)D,請(qǐng)補(bǔ)全圖形,并寫(xiě)出/ CDB 的度數(shù);(2)在圖2中,點(diǎn)P不與點(diǎn)B, M重合,線段CQ的延長(zhǎng)線與射線 BM交于點(diǎn)D,猜想/ CDB的大小(用含 的 代數(shù)式表示),并加以證明;(3)對(duì)于適當(dāng)大小的,當(dāng)點(diǎn)
3、P在線段BM上運(yùn)動(dòng)到某一位置(不與點(diǎn)B, M重合)時(shí),能使得線段 CQ的延長(zhǎng)線與射線BM交于點(diǎn)D,且PQ = QD,請(qǐng)直接寫(xiě)出的范圍.練習(xí)2.在ABC中,/ A=30°,AB=2j3,將 ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)(0°<<90°),得到DBE ,其中點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn) D,點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn) E, AC、DE相交于點(diǎn)F,連接BF.(1)如圖1,若 =60° ,線段BA繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn) 得到線段BD.請(qǐng)補(bǔ)全 DBE,并直接寫(xiě)出/ AFB的度數(shù);(2)如圖2,若 =90° ,求/ AFB的度數(shù)和BF的長(zhǎng);(3)如圖3,若旋轉(zhuǎn)(0°<
4、<90°),請(qǐng)直接寫(xiě)出/ AFB的度數(shù)及BF的長(zhǎng)(用含的代數(shù)式表示).練習(xí)3.已知,點(diǎn)P是/ MON的平分線上的一動(dòng)點(diǎn),射線 PA交射線OM于點(diǎn)A,將射線PA繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)交 射線 ON 于點(diǎn) B,且使/ APB+Z MON=180° .(1)利用圖1,求證:PA=PB;(2)如圖2,若點(diǎn)C是AB與OP的交點(diǎn),當(dāng)Sapob=3Sapcb時(shí),求PB與PC的比值;(3)若/ MON=60°, OB=2,射線AP交ON于點(diǎn)D,且滿(mǎn)足且/ PBD = /ABO,請(qǐng)借助圖3補(bǔ)全圖形,并求 OP長(zhǎng).0BX。Bn 0 B D N圖1度)2圖3練習(xí)4.已知,在那BC中,A
5、B=AC.過(guò)A點(diǎn)的直線a從與邊AC重合的位置開(kāi)始繞點(diǎn) A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角 也 直線a交BC邊于點(diǎn)P (點(diǎn)P不與點(diǎn)B、點(diǎn)C重合),4BMN的邊MN始終在直線 a上(點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方), 且BM = BN,連接CN.(1)當(dāng)/ BAC=/MBN=90° 時(shí),如圖a,當(dāng)0=45°時(shí),/ ANC的度數(shù)為 ;如圖b,當(dāng)9W45時(shí),中的結(jié)論是否發(fā)生變化?說(shuō)明理由;(2)如圖c,當(dāng)/ BAC=/MBNW90時(shí),請(qǐng)直接寫(xiě)出/ ANC與/ BAC之間的數(shù)量關(guān)系,不必證明.練習(xí) 5.已知:RtA A'BC'和 RtABC 重合,A'C'B = /ACB=90&
6、#176; , BA'C' = / BAC=30° ,現(xiàn)將 Rt A'BC'繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角 a (60° <90° ),設(shè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中射線 C'C'和線段AA'相交于點(diǎn)D,連接BD .(1)當(dāng)a=60°時(shí),A'B過(guò)點(diǎn)C,如圖1所示,判斷BD和AA'之間的位置關(guān)系,不必證明;(2)當(dāng) 行90。時(shí),在圖2中依題意補(bǔ)全圖形,并猜想(1)中的結(jié)論是否仍然成立,不必證明;(3)如圖3,對(duì)旋轉(zhuǎn)角a (60。V “V90。),猜想(1)中的結(jié)論是否仍然成立;若成立,請(qǐng)證明你的結(jié)論;若
7、不 成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.圖1圖2圖3練習(xí)6.在等邊 ABC外側(cè)作直線 AP,點(diǎn)B關(guān)于直線AP的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D,連接AD, BD, CD,其中CD交直線AP 于點(diǎn) E.設(shè)/ PAB=, / ACE=, / AEC=. 依題意補(bǔ)全圖1;(2)若 =15° ,直接寫(xiě)出和 的度數(shù);如圖2,若60° < <120° ,判斷 ,的數(shù)量關(guān)系并加以證明;請(qǐng)寫(xiě)出求大小的思路.(可以不寫(xiě)出計(jì)算結(jié)果)練習(xí)7.閱讀下面材料:小紅遇到這樣一個(gè)問(wèn)題,如圖1:在 ABC 中,ADXBC, BD=4, DC=6,且/ BAC=45 ° ,求線段 AD 的長(zhǎng).圖i小紅是這樣想的:作
8、4ABC的外接圓。O,如圖2:利用同弧所對(duì)圓周角和圓心角的關(guān)系, 可以知道/ BOC=90° , 然后過(guò)。點(diǎn)作OELBC于E,作OFLAD于F,在RtA BOC中可以求出。O半徑及OE,在RtAAOF中可以求出 AF,最后利用 AD=AF + DF得以解決此題.請(qǐng)你回答圖2中線段AD的長(zhǎng).參考小紅思考問(wèn)題的方法,解決下列問(wèn)題:如圖 3:在 ABC 中,ADXBC, BD=4, DC=6,且/ BAC=30 ° ,則線段 AD 的長(zhǎng).練習(xí)8.已知:A、B、C三點(diǎn)不在同一直線上.若點(diǎn)A、B、C均在半徑為R的。O上,BC2R(i)如圖,當(dāng)/ A=45°, R=1時(shí),求/
9、 BOC的度數(shù)和BC的長(zhǎng);(ii)如圖,當(dāng)/ A為銳角時(shí),求證:sinA= (2)若定長(zhǎng)線段BC的兩個(gè)端點(diǎn)分別在/ MAN的兩邊AM、AN(B、C均與A不重合)滑動(dòng),如圖,當(dāng)/ MAN=60°,BC=2時(shí),分別作 BPXAM, CPXAN,交點(diǎn)為P,試探索在整個(gè)滑動(dòng)過(guò)程中,P、A兩點(diǎn)間的距離是否保持不變?請(qǐng)說(shuō)明理由.練習(xí) 9.在四邊形 ABCD 中,AB/DC, AB>CD, K, M 分別在 AD, BC 上,/ DAM = /CBK. 求證:/ DMA = /CKB.分析:連 KM,由/ DAM =Z CBK,得到 A, B, M, K 四點(diǎn)共圓,則/ DAB = /CMK, /AKB = /AMB,而/ DAB + /ADC=180°,得到/ CMK + Z KDC=180° ,因此 C, D, K, M 四點(diǎn)共圓,所以/ CMD = /DKC,即可得到/ DMA = / CKB .解答:解:連KM, . / DAM = /CBK, .A, B, M, K四點(diǎn)共圓, ./ DAB = /CMK, /AKB = /AMB,又 AB
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