(完整版)初三上專題四點(diǎn)共圓

1、四點(diǎn)共圓專題講義如圖，E、F、G、H分別是菱形 ABCD各邊的中點(diǎn).求證：E、F、G、H四點(diǎn)共圓.例2.(1)如圖，在 ABC 中，BD、CE 是 AC、AB 上的高，/ A=60.求證：ED = - BC28(2)已知：點(diǎn)。是 ABC的外心，BE, CD是高.求證： AO± DE例3.如圖，在 ABC 中，ADXBC, DE ±AB, DFXAC.求證：B、AIE、F、C四點(diǎn)共圓.總結(jié)：四點(diǎn)共圓的方法:OA=OB=OC / ADC=/ABC=90°/ ACD= / ABD =90°/B+/D=180° 或/ /A=/D 或 /B=/A+/BC

2、D=180 ° 或/ C|a=/dce1. 2. 3. 4. 例4.求證：圓內(nèi)接四邊形對(duì)邊乘積的和等于對(duì)角線的乘積，即圖中 AB - CD + BC - AD=AC - BD .練習(xí)1.在4ABC中，BA BC, BAC , M是AC的中點(diǎn)，P是線段BM上的動(dòng)點(diǎn)，將線段 PA繞點(diǎn)P順時(shí)針 旋轉(zhuǎn)2得到線段PQ .(1)若 60且點(diǎn)P與點(diǎn)M重合(如圖1),線段CQ的延長(zhǎng)線交射線 BM于點(diǎn)D,請(qǐng)補(bǔ)全圖形，并寫出/ CDB 的度數(shù)；(2)在圖2中，點(diǎn)P不與點(diǎn)B, M重合，線段CQ的延長(zhǎng)線與射線 BM交于點(diǎn)D,猜想/ CDB的大小(用含 的 代數(shù)式表示)，并加以證明；(3)對(duì)于適當(dāng)大小的，當(dāng)點(diǎn)

3、P在線段BM上運(yùn)動(dòng)到某一位置(不與點(diǎn)B, M重合)時(shí)，能使得線段 CQ的延長(zhǎng)線與射線BM交于點(diǎn)D,且PQ = QD,請(qǐng)直接寫出的范圍.練習(xí)2.在ABC中，/ A=30°,AB=2j3,將 ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)(0°<<90°),得到DBE ,其中點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn) D,點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn) E, AC、DE相交于點(diǎn)F,連接BF.(1)如圖1,若 =60° ,線段BA繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn) 得到線段BD.請(qǐng)補(bǔ)全 DBE,并直接寫出/ AFB的度數(shù)；(2)如圖2,若 =90° ,求/ AFB的度數(shù)和BF的長(zhǎng)；(3)如圖3,若旋轉(zhuǎn)(0°<

4、<90°)，請(qǐng)直接寫出/ AFB的度數(shù)及BF的長(zhǎng)(用含的代數(shù)式表示).練習(xí)3.已知，點(diǎn)P是/ MON的平分線上的一動(dòng)點(diǎn)，射線 PA交射線OM于點(diǎn)A,將射線PA繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)交 射線 ON 于點(diǎn) B,且使/ APB+Z MON=180° .(1)利用圖1,求證：PA=PB;(2)如圖2,若點(diǎn)C是AB與OP的交點(diǎn)，當(dāng)Sapob=3Sapcb時(shí)，求PB與PC的比值；(3)若/ MON=60°, OB=2,射線AP交ON于點(diǎn)D,且滿足且/ PBD = /ABO,請(qǐng)借助圖3補(bǔ)全圖形，并求 OP長(zhǎng).0BX。Bn 0 B D N圖1度）2圖3練習(xí)4.已知，在那BC中，A

5、B=AC.過A點(diǎn)的直線a從與邊AC重合的位置開始繞點(diǎn) A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角 也 直線a交BC邊于點(diǎn)P (點(diǎn)P不與點(diǎn)B、點(diǎn)C重合)，4BMN的邊MN始終在直線 a上(點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方)， 且BM = BN,連接CN.(1)當(dāng)/ BAC=/MBN=90° 時(shí)，如圖a,當(dāng)0=45°時(shí)，/ ANC的度數(shù)為 ;如圖b,當(dāng)9W45時(shí)，中的結(jié)論是否發(fā)生變化？說明理由；(2)如圖c,當(dāng)/ BAC=/MBNW90時(shí)，請(qǐng)直接寫出/ ANC與/ BAC之間的數(shù)量關(guān)系，不必證明.練習(xí) 5.已知：RtA A'BC'和 RtABC 重合,A'C'B = /ACB=90&

6、#176; , BA'C' = / BAC=30° ,現(xiàn)將 Rt A'BC'繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角 a (60° <90° ),設(shè)旋轉(zhuǎn)過程中射線 C'C'和線段AA'相交于點(diǎn)D,連接BD .(1)當(dāng)a=60°時(shí)，A'B過點(diǎn)C,如圖1所示，判斷BD和AA'之間的位置關(guān)系，不必證明；(2)當(dāng) 行90。時(shí)，在圖2中依題意補(bǔ)全圖形，并猜想(1)中的結(jié)論是否仍然成立，不必證明；(3)如圖3,對(duì)旋轉(zhuǎn)角a (60。V “V90。)，猜想(1)中的結(jié)論是否仍然成立；若成立，請(qǐng)證明你的結(jié)論；若

7、不 成立，請(qǐng)說明理由.圖1圖2圖3練習(xí)6.在等邊 ABC外側(cè)作直線 AP,點(diǎn)B關(guān)于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)為D,連接AD, BD, CD,其中CD交直線AP 于點(diǎn) E.設(shè)/ PAB=, / ACE=, / AEC=. 依題意補(bǔ)全圖1;(2)若 =15° ,直接寫出和 的度數(shù)；如圖2,若60° < <120° ,判斷 ，的數(shù)量關(guān)系并加以證明；請(qǐng)寫出求大小的思路.(可以不寫出計(jì)算結(jié)果)練習(xí)7.閱讀下面材料:小紅遇到這樣一個(gè)問題，如圖1:在 ABC 中，ADXBC, BD=4, DC=6,且/ BAC=45 ° ,求線段 AD 的長(zhǎng).圖i小紅是這樣想的：作

8、4ABC的外接圓。O,如圖2:利用同弧所對(duì)圓周角和圓心角的關(guān)系， 可以知道/ BOC=90° , 然后過。點(diǎn)作OELBC于E,作OFLAD于F,在RtA BOC中可以求出。O半徑及OE,在RtAAOF中可以求出 AF,最后利用 AD=AF + DF得以解決此題.請(qǐng)你回答圖2中線段AD的長(zhǎng).參考小紅思考問題的方法，解決下列問題：如圖 3:在 ABC 中，ADXBC, BD=4, DC=6,且/ BAC=30 ° ,則線段 AD 的長(zhǎng).練習(xí)8.已知：A、B、C三點(diǎn)不在同一直線上.若點(diǎn)A、B、C均在半徑為R的。O上,BC2R(i)如圖，當(dāng)/ A=45°, R=1時(shí)，求/

9、 BOC的度數(shù)和BC的長(zhǎng);(ii)如圖，當(dāng)/ A為銳角時(shí)，求證：sinA= (2)若定長(zhǎng)線段BC的兩個(gè)端點(diǎn)分別在/ MAN的兩邊AM、AN(B、C均與A不重合)滑動(dòng)，如圖，當(dāng)/ MAN=60°,BC=2時(shí)，分別作 BPXAM, CPXAN,交點(diǎn)為P,試探索在整個(gè)滑動(dòng)過程中，P、A兩點(diǎn)間的距離是否保持不變?請(qǐng)說明理由.練習(xí) 9.在四邊形 ABCD 中，AB/DC, AB>CD, K, M 分別在 AD, BC 上，/ DAM = /CBK. 求證：/ DMA = /CKB.分析：連 KM,由/ DAM =Z CBK,得到 A, B, M, K 四點(diǎn)共圓，則/ DAB = /CMK, /AKB = /AMB,而/ DAB + /ADC=180°,得到/ CMK + Z KDC=180° ,因此 C, D, K, M 四點(diǎn)共圓，所以/ CMD = /DKC,即可得到/ DMA = / CKB .解答：解：連KM, . / DAM = /CBK, .A, B, M, K四點(diǎn)共圓， ./ DAB = /CMK, /AKB = /AMB,又 AB