(完整版)初三上專題四點共圓

1、四點共圓專題講義如圖，E、F、G、H分別是菱形 ABCD各邊的中點.求證：E、F、G、H四點共圓.例2.(1)如圖，在 ABC 中，BD、CE 是 AC、AB 上的高，/ A=60.求證：ED = - BC28(2)已知：點。是 ABC的外心，BE, CD是高.求證： AO± DE例3.如圖，在 ABC 中，ADXBC, DE ±AB, DFXAC.求證：B、AIE、F、C四點共圓.總結：四點共圓的方法:OA=OB=OC / ADC=/ABC=90°/ ACD= / ABD =90°/B+/D=180° 或/ /A=/D 或 /B=/A+/BC

2、D=180 ° 或/ C|a=/dce1. 2. 3. 4. 例4.求證：圓內接四邊形對邊乘積的和等于對角線的乘積，即圖中 AB - CD + BC - AD=AC - BD .練習1.在4ABC中，BA BC, BAC , M是AC的中點，P是線段BM上的動點，將線段 PA繞點P順時針 旋轉2得到線段PQ .(1)若 60且點P與點M重合(如圖1),線段CQ的延長線交射線 BM于點D,請補全圖形，并寫出/ CDB 的度數(shù)；(2)在圖2中，點P不與點B, M重合，線段CQ的延長線與射線 BM交于點D,猜想/ CDB的大小(用含 的 代數(shù)式表示)，并加以證明；(3)對于適當大小的，當點

3、P在線段BM上運動到某一位置(不與點B, M重合)時，能使得線段 CQ的延長線與射線BM交于點D,且PQ = QD,請直接寫出的范圍.練習2.在ABC中，/ A=30°,AB=2j3,將 ABC繞點B順時針旋轉(0°<<90°),得到DBE ,其中點A的對應點是點 D,點C的對應點是點 E, AC、DE相交于點F,連接BF.(1)如圖1,若 =60° ,線段BA繞點B旋轉 得到線段BD.請補全 DBE,并直接寫出/ AFB的度數(shù)；(2)如圖2,若 =90° ,求/ AFB的度數(shù)和BF的長；(3)如圖3,若旋轉(0°<

4、<90°)，請直接寫出/ AFB的度數(shù)及BF的長(用含的代數(shù)式表示).練習3.已知，點P是/ MON的平分線上的一動點，射線 PA交射線OM于點A,將射線PA繞點P逆時針旋轉交 射線 ON 于點 B,且使/ APB+Z MON=180° .(1)利用圖1,求證：PA=PB;(2)如圖2,若點C是AB與OP的交點，當Sapob=3Sapcb時，求PB與PC的比值；(3)若/ MON=60°, OB=2,射線AP交ON于點D,且滿足且/ PBD = /ABO,請借助圖3補全圖形，并求 OP長.0BX。Bn 0 B D N圖1度）2圖3練習4.已知，在那BC中，A

5、B=AC.過A點的直線a從與邊AC重合的位置開始繞點 A按順時針方向旋轉角 也 直線a交BC邊于點P (點P不與點B、點C重合)，4BMN的邊MN始終在直線 a上(點M在點N的上方)， 且BM = BN,連接CN.(1)當/ BAC=/MBN=90° 時，如圖a,當0=45°時，/ ANC的度數(shù)為 ;如圖b,當9W45時，中的結論是否發(fā)生變化？說明理由；(2)如圖c,當/ BAC=/MBNW90時，請直接寫出/ ANC與/ BAC之間的數(shù)量關系，不必證明.練習 5.已知：RtA A'BC'和 RtABC 重合,A'C'B = /ACB=90&

6、#176; , BA'C' = / BAC=30° ,現(xiàn)將 Rt A'BC'繞點B按逆時針方向旋轉角 a (60° <90° ),設旋轉過程中射線 C'C'和線段AA'相交于點D,連接BD .(1)當a=60°時，A'B過點C,如圖1所示，判斷BD和AA'之間的位置關系，不必證明；(2)當 行90。時，在圖2中依題意補全圖形，并猜想(1)中的結論是否仍然成立，不必證明；(3)如圖3,對旋轉角a (60。V “V90。)，猜想(1)中的結論是否仍然成立；若成立，請證明你的結論；若

7、不 成立，請說明理由.圖1圖2圖3練習6.在等邊 ABC外側作直線 AP,點B關于直線AP的對稱點為D,連接AD, BD, CD,其中CD交直線AP 于點 E.設/ PAB=, / ACE=, / AEC=. 依題意補全圖1;(2)若 =15° ,直接寫出和 的度數(shù)；如圖2,若60° < <120° ,判斷 ，的數(shù)量關系并加以證明；請寫出求大小的思路.(可以不寫出計算結果)練習7.閱讀下面材料:小紅遇到這樣一個問題，如圖1:在 ABC 中，ADXBC, BD=4, DC=6,且/ BAC=45 ° ,求線段 AD 的長.圖i小紅是這樣想的：作

8、4ABC的外接圓。O,如圖2:利用同弧所對圓周角和圓心角的關系， 可以知道/ BOC=90° , 然后過。點作OELBC于E,作OFLAD于F,在RtA BOC中可以求出。O半徑及OE,在RtAAOF中可以求出 AF,最后利用 AD=AF + DF得以解決此題.請你回答圖2中線段AD的長.參考小紅思考問題的方法，解決下列問題：如圖 3:在 ABC 中，ADXBC, BD=4, DC=6,且/ BAC=30 ° ,則線段 AD 的長.練習8.已知：A、B、C三點不在同一直線上.若點A、B、C均在半徑為R的。O上,BC2R(i)如圖，當/ A=45°, R=1時，求/

9、 BOC的度數(shù)和BC的長;(ii)如圖，當/ A為銳角時，求證：sinA= (2)若定長線段BC的兩個端點分別在/ MAN的兩邊AM、AN(B、C均與A不重合)滑動，如圖，當/ MAN=60°,BC=2時，分別作 BPXAM, CPXAN,交點為P,試探索在整個滑動過程中，P、A兩點間的距離是否保持不變?請說明理由.練習 9.在四邊形 ABCD 中，AB/DC, AB>CD, K, M 分別在 AD, BC 上，/ DAM = /CBK. 求證：/ DMA = /CKB.分析：連 KM,由/ DAM =Z CBK,得到 A, B, M, K 四點共圓，則/ DAB = /CMK, /AKB = /AMB,而/ DAB + /ADC=180°,得到/ CMK + Z KDC=180° ,因此 C, D, K, M 四點共圓，所以/ CMD = /DKC,即可得到/ DMA = / CKB .解答：解：連KM, . / DAM = /CBK, .A, B, M, K四點共圓， ./ DAB = /CMK, /AKB = /AMB,又 AB