gs31多元復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)5ppt課件

1、15多元復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)多元復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、鏈?zhǔn)椒▌t一、鏈?zhǔn)椒▌t則復(fù)合函數(shù) z = f ( u(x), v(x)在點(diǎn) x 處可導(dǎo). 且xvvzxuuzxzdddddd(公式也稱為 鏈?zhǔn)椒▌t)證證:設(shè) u = u(x), v = v(x) 在點(diǎn) x 處可導(dǎo). 而 z = f (u, v)在 x 對應(yīng)的點(diǎn)(u, v)可微.,limlimlim000 xvvzxuuzxzxxx只要證.)(0 即可從而只要證xvvzuuzz又因 z 是 u, v 的函數(shù), 進(jìn)而得到z.因 z = f (u, v)在 (u, v)可微.給 x 以改變量x, 因u, v 是x的函數(shù), 可得u, v 的改變量u, v.同除

2、以 x 0, 得xvuxvvzxuuzxz)(022令 x 0, 得xvuxvvzxuuzxzx)(0limdddddd220)(022vuvvzuuzz從而xvux)(0lim220 xvuvuvux2222220)(0lim2222220)(0limxvxuvuvux= 0 xvvzxuuzxzdddddd故注意到當(dāng) x 0時, u , v 趨于0.無窮小乘有界量用同樣的方法, 可將該公式推廣到中間變量為3個, 4個, 等情形.比如, 設(shè) z = f (u, v, w), u = u(x), v = v(x), w = w(x), 滿足定理?xiàng)l件. 那么xwwzxvvzxuuzxzddddd

3、ddd例例1. 設(shè)設(shè) z = tg(u + v), u = x2, v = lnx, .ddxz求解解: (1) z = tg (x2 +lnx)(2),(sec2vuuz.2ddxxu),(sec2vuvz.1ddxxvz = sec2(x2+lnx) )12(xxxvvzxuuzxzdddddd 故)(sec1)(sec222vuxvux)ln(sec1)ln(sec22222xxxxxx若u, v是 x, y 的二元函數(shù), u = u(x, y), v = v(x, y ), 此時z = f (u, v) = f (u(x, y), v(x, y)是x, y的二元函數(shù). 如何求 z 對x

4、, y 的偏導(dǎo)數(shù)?.),(),(, 函數(shù)求導(dǎo)作為一元把固定就是將注意到求yxvyxufzyxz由上述公式. 有1,假設(shè) z = f (u, v) , u = u(x, y), v = v(x, y)滿足定理?xiàng)l件. 則復(fù)合函數(shù) z = f (u(x, y), v(x, y)的偏導(dǎo)數(shù)為xvvzxuuzxzyvvzyuuzyz(只須將定理1中導(dǎo)數(shù)符號改為偏導(dǎo)符號)2, 公式 1可推廣到中間變量多于2個的情形.如, 設(shè) z = f (u, v, w), u = u(x, y), v = v(x, y), w = w(x, y), 那么xwwzxvvzxuuzxzywwzyvvzyuuzyz3 若在 2

5、中,u = u(x, y, t), v = v(x, y, t), w = w(x, y, t). 問 ? ? ?tzyzxz例例2. , , , ,sinyzxzyxvxyuvzu求設(shè)解解: (1)可將可將u, v代入后直接求偏導(dǎo)代入后直接求偏導(dǎo).(2)用鏈?zhǔn)椒▌t (兩個中間變量) ,lncos vvvuzuu, yxu ,cos 1uuuvvvz. 1xu故xzuuuuvuvyvvvcoscosln1xyxyxyxyyxyxxyyxyxyxy)cos()( )cos()ln()(1yzxyxyxyxyyxyxxyyxyxyxx)cos()()cos()ln()(1例例3. , ,),(12

6、2yzxzCfxyyxfz求其中設(shè)解解:此例與上兩例有區(qū)別此例與上兩例有區(qū)別. 這里函數(shù)這里函數(shù) f 的的表達(dá)式未給出表達(dá)式未給出, 只能用鏈?zhǔn)椒▌t求偏導(dǎo)只能用鏈?zhǔn)椒▌t求偏導(dǎo).引進(jìn)中間變量( 引進(jìn)幾個中間變量? )記 u = x2 y2, v = xy. 從而 z = f (u, v), 由鏈?zhǔn)椒▌t, 得xvvzxuuzxzyvvzyuuzyzyvzxuz2vzyuzx 2vzxuzy2z = f (u, v), u = x2 y2, v = xy. ),(),(11vufuzvuffu記. ),(),(22對第二個變量的偏導(dǎo)數(shù)表示 fvufvzvuffv. 對第一個變量的偏導(dǎo)數(shù)表示 f等等.

7、引進(jìn)記號, 設(shè) z = f (u, v), 例例4. , ,),(1yzxzCfyxxyxfz求設(shè)解解:引進(jìn)引進(jìn)3個中間變量個中間變量. 記記 u = x, v = xy, w = x+y. 那么那么 z = f (u, v, w). 有xwfxvfxufxz 321321fyffywfyvfyufyz32110321 fxff32 ffx1. 在這一類問題中為何引進(jìn)中間變量?).sin,( 23xyxyyxf如注注., . 2wzyvzuzxz有本例中.,xzuzxu寫成故常可將右邊的因從而wzyvzxzxz.,xz則似可抵消移項(xiàng)這是否對? 為什么?.在概念上是不同的與右邊的左邊的xzxz.

8、,求偏導(dǎo)而對看作常數(shù)表示在表達(dá)式中將左邊的xyxz,都看作常數(shù)是將而右邊的wyxvxyuzxz對 u (也就是 x)求偏導(dǎo). 兩者不同.wzyvzuzxzwzyvzxz例例. 設(shè)設(shè) z = f (x, xy) = x + xy,記 u = x, v = xy,有 z = u + v .1yxz則.0dd1xyxFxF3. 假設(shè) z = f (u, v) ,u = u (x, y), v = v (x, y), 那么 z 通過 u, v 成為 x, y 的二元復(fù)合函數(shù).,),(),(21的函數(shù)還是vuvuffvuffvu從而是 x, y 的二元復(fù)合函數(shù).例例5. ),(22xyzx xzyyxF

9、yz驗(yàn)證設(shè)證證:,)(0 22xyxFxz,)(1 22yyxFyz.,)( 22的偏導(dǎo)對下求yxyxF.,)()(22的復(fù)合函數(shù)是則yxuFyxF,22yxu記,2 xuFxF).2( yuFyFyzxxzy 從而)21 ()2(uFyxuFxyuFxyxuFxy22= x,2 ,uFxxz故.21 uFyyz例例6. 若若f (x, y, z) 恒滿足關(guān)系式恒滿足關(guān)系式 f (tx, ty, tz) = tk f (x, y, z). 則稱它為則稱它為 k 次次 齊次函數(shù)齊次函數(shù). 證明證明 k 次齊次函數(shù)滿足次齊次函數(shù)滿足),(),(),(),(321zyxkfzyxf zzyxf yz

10、yxf x證證: 等式等式 f (tx, ty, tz) = tk f (x, y, z). 兩邊對 t 求偏導(dǎo).右邊對 t 求偏導(dǎo)),(zyxfttk).,(1zyxfktkzfyfxf 321),(),(),(321wvuf zwvuf ywvuf x),(),(),(),(1321zyxfktwvuf zwvuf ywvuf xk即記 u = tx, v = ty, w = tz, 那么 f (tx, ty, tz) = f (u, v, w). ),(tztytxft而),(),(),(),(321wvukfwvufwwvuf vwvuf u即),(),(),(),(321zyxkfz

11、yxf zzyxf yzyxf x同乘以 t, 得),(),()(),()(),()(321zyxftkwvuftzwvuftywvuftxk得及由條件,),(),(tzwtyvtxuzyxfttztytxfk例例7. 設(shè)設(shè) z =f (u, v), f C1, 而而 u = xcosy, v = x siny. 0.,.sin,cosxvzuzyxyzyxz其中求且已知解解: 這是關(guān)于鏈?zhǔn)焦降哪鎲栴}這是關(guān)于鏈?zhǔn)焦降哪鎲栴}. 鏈?zhǔn)焦絰vxuxz uzvzyvyuyz uzvz.cos ,sin .sin ,cos yxyvyxvyxyuyxu由于.sin,cosyxyzyxz且已知代入鏈

12、式公式, 得,yyvzyuzcossincosyxyxvzyxuzsin)cos()sin(系數(shù)行列式y(tǒng)xyxyyDcossinsincos= x 011xxDDuz從而DDvz2xyxyxyysinsincoscos00D為未知量的二元一次方程組. 常可通過解線性方程組的方法求1.本例說明二元復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)焦娇煽醋饕詖zuz,.,vzuz注注2.對本例而言, 若還要求出 z 的函數(shù)表達(dá)式, 如何求? .,zyzxz如何求若已知更一般的3.設(shè) z =f (x, y), 則在區(qū)域 D 內(nèi)0yzxz z = C (常數(shù)). (自證)4.假設(shè) z = f (u, v), u = u (x, y),

13、 v = v (x, y), x = x (r, ), y = y (r, ) .?,的公式如何問zrz易見z 是 r, 的復(fù)合函數(shù).因而rvvzruuzrz又因u, v 都是 r, 的復(fù)合函數(shù).因而ryyvrxxvvzryyurxxuuzrzryyvvzrxxvvzryyuuzrxxuuz設(shè) z = f (u, v)可微, 當(dāng) u, v 為自變量時, 有vvzuuzzddd假設(shè) u, v 不是自變量, 而是中間變量, 是否仍有這一形式?設(shè) u = u (x, y), v = v (x, y)均可微, 那么z = f (u (x, y), v (x, y), yyzxxzzddd二、全微分的形

14、式不變性二、全微分的形式不變性由鏈?zhǔn)椒▌t,xvvzxuuzxz,yvvzyuuzyz代入,得中,dddyyzxxzzz = f (u (x, y), v (x, y)yyvvzyuuzxxvvzxuuzzdddyyvxxvvzyyuxxuuzddddvvzuuzdd即, 不論u, v是自變量還是中間變量, z = f (u, v)的全微分的形式不變.例例8. 用全微分形式不變性求用全微分形式不變性求解解: 記記 u = xy ,d),(zxyxyfz的全微分.,yzxz并求偏導(dǎo),xyv 從而 z = f (u, v).vfufzddd21xyfxyfd)(d21221dd)dd(xxyyxfx

15、yyxfyfxf xxfxyf yd1d21221從而,221fxyf yxz211fxf xyz1 16 6隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)上期已討論了求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題.即, 設(shè)方程 F(x, y) = 0. 求由該方程所確定的函數(shù) y = f (x)的導(dǎo)數(shù).方法是: 方程兩邊對 x 求導(dǎo). 注意 y 是 x 的函數(shù), 然后解出 y .(1)是否任何一個二元方程 F(x, y) = 0. 都確定了y 是 x 的函數(shù)(單值)?如 x2 + y2 = 1.什么條件下確定 y = f (x)?(2)若方程確定y = f (x). 它是否可導(dǎo)? 給出一般的求導(dǎo)公式.(3)三元(以上)方程F(x, y, z

16、) = 0. 的情形怎樣?留下了問題.設(shè)函數(shù)F(x, y) 在點(diǎn) X0 = (x0, y0)的鄰域U(X0)內(nèi)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).考慮方程F(x, y) = 0.且F (x0, y0) = 0,. 0,()00yxFy則方程 F(x, y) = 0在點(diǎn) X0 = (x0, y0)的某鄰域內(nèi)唯一確定一個有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的(單值)函數(shù) y = f (x),它滿足 y0 = f (x0). 且.ddyxFFxy證略一、一個方程的情形一、一個方程的情形(隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)存在定理). 定理定理1對公式的推導(dǎo)作些說明.設(shè)方程 F(x, y) = 0中F(x, y)滿足定理?xiàng)l件. 從而方程在 X0 的某鄰域內(nèi)確定函

17、數(shù) y = f (x). 代入方程, 得 F(x, f (x) 0.上式兩邊對 x 求導(dǎo)(左端是 x 的復(fù)合函數(shù)).得. 0dd1xyxFxF.dd yxFFxy解得)0, 0),(000yyyFXFyxF的某鄰域內(nèi)從而在連續(xù)且因例例1. 驗(yàn)證方程驗(yàn)證方程 x2 + y2 1= 0在點(diǎn)在點(diǎn) X0= (0, 1)的某鄰域內(nèi)滿足定理的某鄰域內(nèi)滿足定理1的三個條件的三個條件. 從從而在而在X0= (0, 1)的某鄰域內(nèi)唯一確定的某鄰域內(nèi)唯一確定滿足滿足. 當(dāng)當(dāng)x = 0時時, y = 1的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù) y = f (x),.dd0 xxy并求解解: 記記 F (x, y) = x2 +

18、 y2 1(1) . ,2 ,2連續(xù)yFxFyx(2) F (0, 1) = 0, (3)02) 1 , 0(yF由定理1知, 方程在X0= (0, 1)的某鄰域內(nèi)唯一確定滿足當(dāng)x = 0時, y = 1的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù) y = f (x),0 xyX0 x2 + y2 =111X1.dd0 xxy下求法法1. x2 + y2 = 1兩邊對 x 求導(dǎo), y 是 x 的函數(shù), 2x+2y y = 0, yxy解得. 00 xy法法2. F (x, y) = x2 + y2 1 ,2 ,2yFxFyx,dd yxFFxyyx從而0dd0 xxy定理1可推廣到方程中有多個變量的情形.考慮方程 F(x,

19、 y, z) = 0設(shè)三元函數(shù) F(x, y, z) 在 X0=(x0, y0, z0)的鄰域 U(X0)內(nèi)有連續(xù)編導(dǎo)，F(xiàn)(x0, y0, z0)=0, Fz(x0, y0, z0)0, 則在 X0 的某鄰域內(nèi)唯一確定一個有連續(xù)偏導(dǎo)的函數(shù) z = f (x, y), 滿足 z0=f (x0, y0), 且zyzxFFyzFFxz ,定理定理1例例2. , 2)3sin(yzxzz yzx-求設(shè)解：方法解：方法1. 記記 F(x, y, z) = sin(x3z) 2y z有 Fx = cos(x 3z),故zxFFxz1)3cos(3)3cos(zxzxzyFFyz1)3cos(32zxFy

20、= 2, Fz = 3cos(x 3z) 1方法方法2： sin(x3z) =2y +z. ,yzxz求兩邊對 x 求偏導(dǎo)，z 是 x 的函數(shù)，y看作常數(shù).xxzzzx)31 ()3cos()3cos()3cos(31 zxzxzx解得解得:)3cos(31)3cos(zxzxzx類似得類似得)3cos(312zxzy例例3. 設(shè)方程設(shè)方程F(x2+y2+z2, sinxy)=0, FC1, 求求. ,yzxz解：方法解：方法1.(公式法公式法): 方程左邊是方程左邊是x, y, z的復(fù)合的復(fù)合函數(shù)，用鏈?zhǔn)椒▌t求函數(shù)，用鏈?zhǔn)椒▌t求Fx , Fy , Fz .Fx = F 12x+F 2 cos

21、xy y = 2xF 1+ ycosxy F 2從而,2cos2121zFxyFyxFxzFy = F 12y+F 2 cosxy x = 2yF 1+ xcosxy F 2Fz = F 12z+F 2 0 = 2zF 11212cos2zFxyFxyFyz方法方法2.方程方程 F(x2+y2+z2, sinxy)=0兩邊對兩邊對 x 求偏導(dǎo)求偏導(dǎo). 其中其中 z 是是 x 的函數(shù)的函數(shù), y看作常看作常量量.F 1 (2x+2z zx ) + F2 cosxy y = 0,2cos2121zFxyFyxFzx解得解得:,2cos2121zFxyFxyFzy例例4. 設(shè)設(shè) z = z(x, y

22、) 是由方程是由方程 x+y+z= (x2+y2+z2)所確定的函數(shù)所確定的函數(shù), 其中其中 C1，證明證明 z = z(x, y) 滿足滿足yxyzxzxzzy)()(證：記證：記 F (x, y, z) = x+y+z (x2+y2+z2),u = x2+y2+z2,有 F x = 1 u 2x = 1 2x uF y = 12y u , F z = 12z u故,1221uuzxzxFFxz1221uuzyzyFFyz從而yzxzxzzy)()()(21 ()(21(121xzyzyxzuuuyxzxyzuu)21)(121設(shè)有方程組F(x, y, u, v) = 0G(x, y, u,

23、 v) = 0四個未知量，兩個方程 若將 x, y 看作常數(shù),則方程組成為兩個未知量,兩個方程情形. 如果能從中解出u, v,從而這個方程組確定了 兩個二元函數(shù) u = u(x, y), v = v(x, y)，稱為由該方程組所確定的二元隱函數(shù). 二、方組的情形二、方組的情形(1)當(dāng)F, G滿足什么條件時，方程組確定了隱函數(shù) u, v?(2)為何求隱函數(shù)u=u(x, y), v=v(x, y)的偏導(dǎo)？問題問題記號：用. ),(),(vuvuGGFFvuGF表示二階行列式即),(),(vuGF GGFFuuvv稱為函數(shù)F, G關(guān)于 u, v的雅可比行列式.方程組G(x, y, u, v)=0F(x, y, u, v)=0(1)設(shè)X0=(x0, y0, u0, v0)R4, 假設(shè)1) F(x, y, u, v), G(x, y, u, v)在U(X0)有連續(xù)偏導(dǎo)2) F(x0, y0, u0, v0)=G(x0, y0, u0, v0)=03) 雅可比行列式.0),(),(0XvuGF則方程組(1)唯一確定兩個二元函數(shù) u = u(x, y)，v = v(x, y)， 滿足 u0 = u(x0, y0)，v0= v(x0, y0). 且定理定理2,),(),(),(),(vuGFvxGFxu,),(),(),(),(vuGFvyGFyu,),(),(),(),(vuGF