古代希臘及“黃金分割”

1、.古代希臘的“黃金分割”在差不多二千年前希臘的數(shù)學(xué)家考慮了一個(gè)幾何問題，這問題可以這樣說：給出任何一個(gè)線段AB，我們要在這上面找出一點(diǎn)，這一點(diǎn)把這線段分成長短二部份。要求的是全線段的長和較長部份的比值是等于較長部分和較短部份的長的比值。如果我們假設(shè)較長的部份是AC，較短的部份是CB，我們   ,由于AB=AC+CB，所以我們看到：現(xiàn)在我們得到了一個(gè)代數(shù)方程，我們把這個(gè)方程化簡它變成了x2-x-1=0到1.6180339。優(yōu)選法用的數(shù)是它的小數(shù)點(diǎn)后的數(shù)。一般我們在應(yīng)用時(shí)只取準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后三位數(shù)，因此我們用1.618。這個(gè)數(shù)以往的數(shù)學(xué)家稱為“黃金數(shù)”（Golden number

2、）。今天我們來看這個(gè)名稱真是給的恰到好處，這個(gè)數(shù)真是一個(gè)寶，它為國家創(chuàng)造了多少財(cái)富！希臘數(shù)學(xué)家把這個(gè)幾何問題里的點(diǎn)C稱為把線段黃金分割（Golden section）。我們現(xiàn)在看要怎么樣用直尺和圓規(guī)找出這一點(diǎn)C來？我們過B點(diǎn)作一條直線垂直AB，然后在這直線上取線段BD，使得BD的長是AB的一半，然后我們聯(lián)結(jié)AD。我們再以D為圓心，DB的長為半徑畫一個(gè)弧，這弧交AD于E點(diǎn)，然后再以A為圓心，AE的長為半徑畫弧，這弧交AB于C點(diǎn)，這C點(diǎn)就是我們所要找的將AB黃金分割的點(diǎn)。（見圖一）我們這樣作圖為什么是對的呢？現(xiàn)在假定AB的長是2個(gè)單位，那么由作圖我們知道BD的長是1個(gè)現(xiàn)在我們看看AB和AC的比值是

3、什么？這就是我們剛才求到的黃金數(shù)了。歐洲中世紀(jì)的物理學(xué)家和天文學(xué)家開普勒（JKepler15711630），曾經(jīng)說過：“幾何學(xué)里有二個(gè)寶庫：一個(gè)是畢達(dá)哥拉斯定理（我們稱為“商高定理”）；另外一個(gè)就是黃金分割。前面那個(gè)可以比著金礦，而后面那一個(gè)可以比著珍貴的鉆石礦?！痹跉W幾里得的幾何原本一書里，他就考慮到了這樣的問題：“作一個(gè)三角形，使得二腰相等，而其底角是頂角的二倍?！痹谶@里就用到了黃金分割。如果我們作一個(gè)圓內(nèi)接正十多邊形，那么那個(gè)邊和半徑的比又是黃金數(shù)！有一次我在聯(lián)合國會場外看那世界各國的國旗迎風(fēng)招展，我發(fā)現(xiàn)許多國家的國旗是有五角星出現(xiàn)，當(dāng)時(shí)我心里想一個(gè)問題：為什么這么奇怪，許多國家都要把五

4、角星弄進(jìn)他們的旗幟上？可惜到現(xiàn)在我還找不到一個(gè)原因。讀者可能沒有想到在五角星里就有黃金分割的現(xiàn)象存在！通常我們是作一個(gè)正五邊形后，然后連每個(gè)頂點(diǎn)就得到一個(gè)五角星出來（見圖二）。讀者如有時(shí)間可以試試證明在圖二里：AE和AD的比值是黃金數(shù)！AB和AC的比值又是個(gè)黃金數(shù)！即B點(diǎn)把AC黃金分割，C點(diǎn)又把BD黃金分割！這樣看來，你在畫五角星時(shí)候就已經(jīng)不知不覺和黃金數(shù)打交道了。古時(shí)候的希臘人認(rèn)為一個(gè)人有完美的（或理想的）體型是肚臍那一點(diǎn)把頭到腳“黃金分割”。因此一些藝術(shù)家畫的人像以及古代雕塑像，大多數(shù)是以這個(gè)為比例。而且在古時(shí)候的一些神廟，在建筑時(shí)高和闊也是按黃金數(shù)的比來建立，他們認(rèn)為這樣的長方形看來是較美觀。在現(xiàn)在希