《數(shù)學(xué)史》從劉徽到祖沖之

1、2021/3/271中國古代數(shù)學(xué)的發(fā)展中國古代數(shù)學(xué)的發(fā)展 魏、晉時期出現(xiàn)的玄學(xué)魏、晉時期出現(xiàn)的玄學(xué),不為漢儒經(jīng)學(xué)束縛不為漢儒經(jīng)學(xué)束縛,思想比較活躍思想比較活躍;它詰辯求勝它詰辯求勝,又能運用邏輯思維又能運用邏輯思維,分析義理分析義理,這些都有利于數(shù)這些都有利于數(shù)學(xué)從理論上加以提高。吳國學(xué)從理論上加以提高。吳國趙爽趙爽注注周髀算經(jīng)周髀算經(jīng),漢末魏漢末魏初初徐岳徐岳撰撰九章算術(shù)九章算術(shù)注注,魏末晉初魏末晉初劉徽劉徽撰撰九章算術(shù)九章算術(shù)注、注、九章重差圖九章重差圖都是出現(xiàn)在這個時期。趙爽與劉徽都是出現(xiàn)在這個時期。趙爽與劉徽的工作為中國古代數(shù)學(xué)體系奠定了理論基礎(chǔ)。的工作為中國古代數(shù)學(xué)體系奠定了理論基礎(chǔ)

2、。 劉徽劉徽2021/3/272中國古代數(shù)學(xué)的發(fā)展中國古代數(shù)學(xué)的發(fā)展 趙爽是中國古代對數(shù)學(xué)定理和公式進行證明與推導(dǎo)的趙爽是中國古代對數(shù)學(xué)定理和公式進行證明與推導(dǎo)的最早的數(shù)學(xué)家之一。他在最早的數(shù)學(xué)家之一。他在周髀算經(jīng)周髀算經(jīng)書中補充的書中補充的“勾勾股圓方圖及注股圓方圖及注”和和“日高圖及注日高圖及注”是十分重要的數(shù)學(xué)文是十分重要的數(shù)學(xué)文獻。獻。 在在“勾股圓方圖及注勾股圓方圖及注”中他提出用中他提出用弦圖弦圖證明勾股定理和證明勾股定理和解勾股形的五個公式解勾股形的五個公式;在在“日高圖及注日高圖及注”中中,他用他用圖形面積圖形面積證明漢代普遍應(yīng)用的重差公式證明漢代普遍應(yīng)用的重差公式,趙爽的工作

3、是帶有開創(chuàng)性趙爽的工作是帶有開創(chuàng)性的的,在中國古代數(shù)學(xué)發(fā)展中占有重要地位。在中國古代數(shù)學(xué)發(fā)展中占有重要地位。2021/3/273中國古代數(shù)學(xué)的發(fā)展中國古代數(shù)學(xué)的發(fā)展 劉徽約與趙爽同時劉徽約與趙爽同時,他繼承和發(fā)展了戰(zhàn)國時期名家和墨他繼承和發(fā)展了戰(zhàn)國時期名家和墨家的思想家的思想,主張對一些數(shù)學(xué)名詞特別是重要的數(shù)學(xué)概念給主張對一些數(shù)學(xué)名詞特別是重要的數(shù)學(xué)概念給以嚴(yán)格的定義以嚴(yán)格的定義,認(rèn)為對數(shù)學(xué)知識必須進行認(rèn)為對數(shù)學(xué)知識必須進行“析理析理”,才能使才能使數(shù)學(xué)著作簡明嚴(yán)密數(shù)學(xué)著作簡明嚴(yán)密,利于讀者。利于讀者。 他的他的九章算術(shù)九章算術(shù)注不僅是對注不僅是對九章算術(shù)九章算術(shù)的方法、公的方法、公式和定理進

4、行一般的解釋和推導(dǎo)式和定理進行一般的解釋和推導(dǎo),而且在論述的過程中有而且在論述的過程中有很大的發(fā)展。劉徽創(chuàng)造割圓術(shù)很大的發(fā)展。劉徽創(chuàng)造割圓術(shù),利用極限的思想證明圓的利用極限的思想證明圓的面積公式面積公式,并首次用理論的方法算得圓周率為并首次用理論的方法算得圓周率為 157/50和和 3927/1250。 2021/3/274中國古代數(shù)學(xué)的發(fā)展中國古代數(shù)學(xué)的發(fā)展 劉徽用無窮分割的方法證明了直角方錐與直角四面體的劉徽用無窮分割的方法證明了直角方錐與直角四面體的體積比恒為體積比恒為2:1,解決了一般立體體積的關(guān)鍵問題。在證明解決了一般立體體積的關(guān)鍵問題。在證明方錐、圓柱、圓錐、圓臺的體積時方錐、圓柱

5、、圓錐、圓臺的體積時,劉徽為徹底解決球的劉徽為徹底解決球的體積提出了正確途徑。體積提出了正確途徑。 2021/3/275中國古代數(shù)學(xué)的發(fā)展中國古代數(shù)學(xué)的發(fā)展 東晉以后東晉以后,中國長期處于戰(zhàn)爭和南北分裂的狀態(tài)。祖沖之中國長期處于戰(zhàn)爭和南北分裂的狀態(tài)。祖沖之父子父子的工作就是經(jīng)濟文化南移以后的工作就是經(jīng)濟文化南移以后,南方數(shù)學(xué)發(fā)展的具有南方數(shù)學(xué)發(fā)展的具有代表性的工作代表性的工作,他們在劉徽注他們在劉徽注九章算術(shù)九章算術(shù)的基礎(chǔ)上的基礎(chǔ)上,把傳把傳統(tǒng)數(shù)學(xué)大大向前推進了一步。他們的數(shù)學(xué)工作主要有統(tǒng)數(shù)學(xué)大大向前推進了一步。他們的數(shù)學(xué)工作主要有:計計算出圓周率在算出圓周率在3.14159263.14159

6、27之間之間;提出提出祖暅祖暅原理原理;提出二次與三次方程的解法等。提出二次與三次方程的解法等。 2021/3/276中國古代數(shù)學(xué)的發(fā)展中國古代數(shù)學(xué)的發(fā)展 據(jù)推測據(jù)推測,祖沖之在劉徽割圓術(shù)的基礎(chǔ)上祖沖之在劉徽割圓術(shù)的基礎(chǔ)上,算出圓內(nèi)接正算出圓內(nèi)接正6144邊形和正邊形和正12288邊形的面積邊形的面積,從而得到了這個結(jié)果。他又從而得到了這個結(jié)果。他又用新的方法得到圓周率兩個分?jǐn)?shù)值用新的方法得到圓周率兩個分?jǐn)?shù)值,即約率即約率22/7和密率和密率355/113。祖沖之這一工作。祖沖之這一工作,使中國在圓周率計算方面使中國在圓周率計算方面,比比西方領(lǐng)先約一千年之久西方領(lǐng)先約一千年之久; 2021/3

7、/277中國古代數(shù)學(xué)的發(fā)展中國古代數(shù)學(xué)的發(fā)展 祖沖之之子祖暅總結(jié)了劉徽的有關(guān)工作祖沖之之子祖暅總結(jié)了劉徽的有關(guān)工作,提出提出“冪勢既冪勢既同則積不容異同則積不容異”,即等高的兩立體即等高的兩立體,若其任意高處的水平截若其任意高處的水平截面積相等面積相等,則這兩立體體積相等則這兩立體體積相等,這就是著名的祖暅公理。這就是著名的祖暅公理。祖暅應(yīng)用這個公理祖暅應(yīng)用這個公理,解決了劉徽尚未解決的球體積公式。解決了劉徽尚未解決的球體積公式。 2021/3/278中國古代數(shù)學(xué)的發(fā)展 隋煬帝隋煬帝大興土木大興土木,客觀上促進了數(shù)學(xué)的發(fā)展。唐初王孝通客觀上促進了數(shù)學(xué)的發(fā)展。唐初王孝通的的緝古算經(jīng)緝古算經(jīng),主要

8、討論土木工程中計算土方、工程分主要討論土木工程中計算土方、工程分工、驗收以及倉庫和地窖的計算問題工、驗收以及倉庫和地窖的計算問題,反映了這個時期數(shù)反映了這個時期數(shù)學(xué)的情況。王孝通在不用數(shù)學(xué)符號的情況下學(xué)的情況。王孝通在不用數(shù)學(xué)符號的情況下,立出數(shù)字三立出數(shù)字三次方程次方程,不僅解決了當(dāng)時社會的需要不僅解決了當(dāng)時社會的需要,也為后來天元術(shù)的建也為后來天元術(shù)的建立打下基礎(chǔ)。此外立打下基礎(chǔ)。此外,對傳統(tǒng)的勾股形解法對傳統(tǒng)的勾股形解法,王孝通也是用數(shù)王孝通也是用數(shù)字三次方程解決的。字三次方程解決的。 2021/3/279中國古代數(shù)學(xué)的發(fā)展 唐初唐初統(tǒng)治者統(tǒng)治者繼承隋制繼承隋制,656年在國子監(jiān)設(shè)立年在

9、國子監(jiān)設(shè)立算學(xué)算學(xué)館館,設(shè)有算設(shè)有算學(xué)博士和助教學(xué)博士和助教,學(xué)生學(xué)生30人。由太史令人。由太史令李淳風(fēng)李淳風(fēng)等編纂注釋等編纂注釋算經(jīng)十書算經(jīng)十書,作為算學(xué)館學(xué)生用的課本作為算學(xué)館學(xué)生用的課本,明算科考試亦以明算科考試亦以這些算書為準(zhǔn)。李淳風(fēng)等編纂的這些算書為準(zhǔn)。李淳風(fēng)等編纂的算經(jīng)十書算經(jīng)十書,對保存數(shù)對保存數(shù)學(xué)經(jīng)典著作、為數(shù)學(xué)研究提供文獻資料方面是很有意義學(xué)經(jīng)典著作、為數(shù)學(xué)研究提供文獻資料方面是很有意義的。他們給的。他們給周髀算經(jīng)周髀算經(jīng)、九章算術(shù)九章算術(shù)以及以及海島算海島算經(jīng)經(jīng)所作的注解所作的注解,對讀者是有幫助的。隋唐時期對讀者是有幫助的。隋唐時期,由于由于歷法歷法的需要的需要,天算學(xué)家

10、創(chuàng)立了二次函數(shù)的內(nèi)插法天算學(xué)家創(chuàng)立了二次函數(shù)的內(nèi)插法,豐富了中國古豐富了中國古代數(shù)學(xué)的內(nèi)容。代數(shù)學(xué)的內(nèi)容。 2021/3/2710中國古代數(shù)學(xué)的發(fā)展算籌算籌是中國古代的主要計算工具是中國古代的主要計算工具,它具有簡單、形象、具體等優(yōu)點它具有簡單、形象、具體等優(yōu)點,但但也存在布籌占用面積大也存在布籌占用面積大,運籌速度加快時容易擺弄不正而造成錯誤等運籌速度加快時容易擺弄不正而造成錯誤等缺點缺點,因此很早就開始進行改革。其中太乙算、兩儀算、三才算和珠因此很早就開始進行改革。其中太乙算、兩儀算、三才算和珠算都是用珠的槽算盤算都是用珠的槽算盤,在技術(shù)上是重要的改革。在技術(shù)上是重要的改革。尤其是尤其是“

11、珠算珠算”,它繼承了籌算五升十進與位值制的優(yōu)點它繼承了籌算五升十進與位值制的優(yōu)點,又克服了籌又克服了籌算縱橫記數(shù)與置籌不便的缺點算縱橫記數(shù)與置籌不便的缺點,優(yōu)越性十分明顯。但由于當(dāng)時乘除算優(yōu)越性十分明顯。但由于當(dāng)時乘除算法仍然不能在一個橫列中進行。算珠還沒有穿檔法仍然不能在一個橫列中進行。算珠還沒有穿檔,攜帶不方便攜帶不方便,因此仍因此仍沒有普遍應(yīng)用。沒有普遍應(yīng)用。 2021/3/2711中國古代數(shù)學(xué)的發(fā)展 唐中期以后唐中期以后,商業(yè)繁榮商業(yè)繁榮,數(shù)字計算增多數(shù)字計算增多,迫切要求改革計算方迫切要求改革計算方法法,從從新唐書新唐書等文獻留下來的算書書目等文獻留下來的算書書目,可以看出這次可以看

12、出這次算法改革主要是簡化乘、除算法算法改革主要是簡化乘、除算法,唐代的算法改革使乘除唐代的算法改革使乘除法可以在一個橫列中進行運算法可以在一個橫列中進行運算,它既適用于籌算它既適用于籌算,也適用于也適用于珠算。珠算。 2021/3/27123.2.13.2.1劉徽的數(shù)學(xué)成就劉徽的數(shù)學(xué)成就 隋書隋書“律歷志律歷志”中提到中提到“魏陳留王景元四年劉徽魏陳留王景元四年劉徽注九章注九章”,由此知道劉徽是公元由此知道劉徽是公元3世紀(jì)魏晉時人世紀(jì)魏晉時人,并于公元并于公元263年撰年撰九章算術(shù)注九章算術(shù)注。 九章算術(shù)注九章算術(shù)注包含了劉徽本包含了劉徽本人的許多創(chuàng)造人的許多創(chuàng)造,完全可以看成是獨立的著作完全

13、可以看成是獨立的著作,奠定了這位數(shù)奠定了這位數(shù)學(xué)家在中國數(shù)學(xué)史上的不朽地位。學(xué)家在中國數(shù)學(xué)史上的不朽地位。 劉徽數(shù)學(xué)成就中最突出的是劉徽數(shù)學(xué)成就中最突出的是“割圓術(shù)割圓術(shù)”和體積理論和體積理論 。2021/3/2713中國數(shù)學(xué)家劉徽中國數(shù)學(xué)家劉徽 劉徽（約公元劉徽（約公元225年年295年）年）,漢族漢族,山東臨淄人山東臨淄人,魏晉期間偉魏晉期間偉大的數(shù)學(xué)家大的數(shù)學(xué)家,著有著有九章算術(shù)注九章算術(shù)注和和海島算經(jīng)海島算經(jīng)等。劉徽的一生是等。劉徽的一生是為數(shù)學(xué)刻苦探求的一生他雖然地位低下為數(shù)學(xué)刻苦探求的一生他雖然地位低下,但人格高尚他不是沽名但人格高尚他不是沽名釣譽的庸人釣譽的庸人,而是學(xué)而不厭的偉

14、人而是學(xué)而不厭的偉人,他給我們中華民族留下了寶貴的財他給我們中華民族留下了寶貴的財富。富。2021/3/2714九章算術(shù)注九章算術(shù)注對數(shù)學(xué)方法的貢獻對數(shù)學(xué)方法的貢獻開始了其獨特的推理論證的嘗試。開始了其獨特的推理論證的嘗試。 “析理以辭析理以辭, ,解解體用圖。體用圖?！?創(chuàng)立了創(chuàng)立了“出入相補出入相補”的方法的方法, ,提出了提出了“割圓割圓術(shù)術(shù)”, ,上首次將極限概念用于近似計算上首次將極限概念用于近似計算; ;引入十進制小數(shù)引入十進制小數(shù)的記法和負(fù)整數(shù)的知識的記法和負(fù)整數(shù)的知識; ;他試圖建立球體積公式他試圖建立球體積公式, ,雖然沒雖然沒有成功有成功, ,但為后人提供了科學(xué)的方法但為后

15、人提供了科學(xué)的方法; ;他對勾股測量問題他對勾股測量問題的深入研究的深入研究, ,在幾何研究中在幾何研究中, ,從少數(shù)幾個原理出發(fā)從少數(shù)幾個原理出發(fā), ,運用邏運用邏輯手段推導(dǎo)出結(jié)果的方法輯手段推導(dǎo)出結(jié)果的方法 。提出。提出“審辨名分審辨名分”, ,不但對不但對自己提出的每一個新概念都給出界定自己提出的每一個新概念都給出界定九章算術(shù)注九章算術(shù)注豐豐富了富了九章算術(shù)九章算術(shù)的數(shù)學(xué)成果的數(shù)學(xué)成果, ,主要表現(xiàn)在算術(shù)、代數(shù)和主要表現(xiàn)在算術(shù)、代數(shù)和幾何諸方面。幾何諸方面。 諸如諸如, ,割圓術(shù)與徽率割圓術(shù)與徽率“割之彌細割之彌細, ,所失彌少所失彌少, ,割之又割割之又割, ,以至于不可割以至于不可割

16、, ,則與圓合體而無所失矣。則與圓合體而無所失矣?！?2021/3/2715中國數(shù)學(xué)家劉徽中國數(shù)學(xué)家劉徽九章算術(shù)九章算術(shù)約成書于約成書于東漢東漢之初之初,共有共有246個問題的個問題的解法解法在許多方在許多方面面:如解聯(lián)立方程如解聯(lián)立方程,分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)四則運算四則運算,正負(fù)數(shù)運算正負(fù)數(shù)運算,幾何圖形的幾何圖形的體積體積面積計面積計算等算等,都屬于世界先進之列都屬于世界先進之列,但因解法比較原始但因解法比較原始,缺乏必要的缺乏必要的證明證明,而劉徽則對此均作了補充證而劉徽則對此均作了補充證明在這些證明中明在這些證明中,顯示了他在多方面的創(chuàng)造性的貢獻他是世界上顯示了他在多方面的創(chuàng)造性的貢獻他是世界上最

17、早提出十進小數(shù)概念的人最早提出十進小數(shù)概念的人,并用十進小數(shù)來表示無理數(shù)的并用十進小數(shù)來表示無理數(shù)的立方立方根根在在代數(shù)代數(shù)方面方面,他正確地提出了正負(fù)數(shù)的概念及其加減運算的法則他正確地提出了正負(fù)數(shù)的概念及其加減運算的法則;改進了改進了線性方程組線性方程組的解法在幾何方面的解法在幾何方面,提出了提出了割圓術(shù)割圓術(shù), 2021/3/2716古典數(shù)學(xué)的形成與發(fā)展時期古典數(shù)學(xué)的形成與發(fā)展時期（1）割圓術(shù)劉徽注九章算術(shù)方田章“圓田術(shù)”:“半周半徑相乘得積步”,求圓面積時用圓周率為3?！坝职?為圖,以六觚之一面乘半徑,因而三之,得十二觚之冪。若又割之,次以十二觚之一面乘半徑,因而六之,則得二十四觚之冪。

18、割之彌細,所失彌少。割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無所失矣?！?劉徽在劉徽在割圓術(shù)割圓術(shù)中提出的中提出的割之彌細割之彌細,所失彌少所失彌少,割之又割以至于不可割割之又割以至于不可割,則與圓則與圓合體而無所失矣合體而無所失矣,這可視為中國古代極限觀念的佳作這可視為中國古代極限觀念的佳作2021/3/2717古典數(shù)學(xué)的形成與發(fā)展時期3aRRaRaRCS66612332RaRaRCS12121224662RaRaRCSnnnnnn11126226226262626212021/3/2718古典數(shù)學(xué)的形成與發(fā)展時期第一,設(shè)圓的半徑為1尺,從圓內(nèi)接正六邊形出發(fā),倍增正多邊形的邊數(shù),直到正96邊形

19、,依次算出正多邊形的周長和面積。第二,由正48邊形邊長計算正96邊形面積。第三,找出與圓面積之間的關(guān)系,這種關(guān)系也稱劉徽不等式。DCBAO9619219296SSSSS圓2021/3/2719割圓術(shù)的基本原理割圓術(shù)的基本原理設(shè)圓面積為So、半徑為 r、圓內(nèi)接正n邊形邊長為 In 、周長為 Ln、面積為 Sn 。將邊數(shù)加倍后,得到圓內(nèi)接正2n邊形,其邊長、周長、面積分別記為 l2n , L2n , S 2n 。劉徽首先指出,由 ln 及勾股定理可求出 l2n其次知道了圓內(nèi)接正n 邊形的周長 Ln,又可求得正2n邊形的面積,如果在圓內(nèi)接n邊形的每邊上作一高為CD的矩形,就可以證明劉徽不等式:S2n

20、 So S2n + ( S2nSn ).2021/3/2720徽率徽率 從圓內(nèi)接正六邊形出發(fā)從圓內(nèi)接正六邊形出發(fā),取半徑取半徑r為為1尺尺,一直計算到一直計算到192邊邊形形,得出圓周率的近似值得出圓周率的近似值3.14,化成分?jǐn)?shù)為化成分?jǐn)?shù)為157/50,這就這就是有名的是有名的“徽率徽率”2021/3/2721古典數(shù)學(xué)的形成與發(fā)展時期古典數(shù)學(xué)的形成與發(fā)展時期弧田術(shù)弧田術(shù)劉徽注劉徽注九章算術(shù)九章算術(shù)方田章方田章“弧田術(shù)弧田術(shù)”:“以弦乘矢以弦乘矢,矢又自乘矢又自乘,并之并之,二而一。二而一?！?021/3/2722（二）體積理論（二）體積理論 劉徽的面積、體積理論建立在一條簡單而又基本的原理之

21、上劉徽的面積、體積理論建立在一條簡單而又基本的原理之上,這就是他所謂的這就是他所謂的“出入相補出入相補”原理原理:一個幾何圖形（平面的或立一個幾何圖形（平面的或立體的）被分割成若干部分后體的）被分割成若干部分后,面積或體積的總和不變。面積或體積的總和不變。 在平面的情形在平面的情形,劉徽成功地證明了劉徽成功地證明了九章算術(shù)九章算術(shù)中許多面積公中許多面積公式式,但當(dāng)他轉(zhuǎn)向立體情形時但當(dāng)他轉(zhuǎn)向立體情形時,卻發(fā)現(xiàn)卻發(fā)現(xiàn)“出入相補出入相補”的運用遇到了很大的運用遇到了很大的困難。這里實質(zhì)性的障礙在于的困難。這里實質(zhì)性的障礙在于:與平面情形不同與平面情形不同,并不是任意兩并不是任意兩個體積相等的立體圖形

22、都可以剖分或拼補（也就是中國古代數(shù)學(xué)個體積相等的立體圖形都可以剖分或拼補（也就是中國古代數(shù)學(xué)家所說的家所說的“出入相補出入相補”）相等。）相等。 2021/3/2723 “圭田圭田”即等腰三角形即等腰三角形“今有圭田今有圭田, ,廣十二步廣十二步, ,正縱二十一步。問正縱二十一步。問: :為田幾何為田幾何? ?“答曰答曰: :一百二十六步。一百二十六步。術(shù)曰術(shù)曰: :半廣以乘正縱。半廣以乘正縱。劉徽注劉徽注: :“半廣者半廣者, ,以盈補虛為直田也。亦可半正縱以乘廣。按半廣乘縱以盈補虛為直田也。亦可半正縱以乘廣。按半廣乘縱, ,以以取中平之?dāng)?shù)。故廣縱相乘為積步。畝法除之取中平之?dāng)?shù)。故廣縱相乘為

23、積步。畝法除之, ,即得也。即得也?！庇撚撚搫⒒請D解劉徽圖解:2021/3/2724“邪田邪田”, ,即直角梯形的面積即直角梯形的面積: :“今有邪田今有邪田, ,一頭廣三十步一頭廣三十步, ,一頭廣四十二步一頭廣四十二步, ,正縱六十四步。問正縱六十四步。問: :為為田幾何田幾何? ?”答曰答曰: :九畝一百四十四步。九畝一百四十四步。術(shù)曰術(shù)曰: :并兩邪而半之并兩邪而半之, ,以乘正縱若廣。又可半正縱若廣以乘正縱若廣。又可半正縱若廣, ,以并以并, ,畝法而畝法而一。一。即另一畔縱一畔縱正縱正縱另一頭廣一頭廣斜田面積2121正縱兩斜半之盈虛盈半正縱兩斜虛劉徽根據(jù)出劉徽根據(jù)出入相補原理

24、入相補原理的圖解的圖解:2021/3/2725 “箕田箕田”即等腰梯形即等腰梯形“今有箕田今有箕田, ,舌廣二十步舌廣二十步, ,踵廣五步踵廣五步, ,正縱三十步。問正縱三十步。問: :為田幾何為田幾何? ?”答曰答曰: :一畝一百三十五步。一畝一百三十五步。術(shù)曰術(shù)曰: :并踵舌而半之并踵舌而半之, ,以乘正縱。畝法而一。以乘正縱。畝法而一。劉徽注劉徽注: :“中分箕田則為兩邪田中分箕田則為兩邪田, ,故其術(shù)相似。又可并踵舌故其術(shù)相似。又可并踵舌, ,半正縱以乘之半正縱以乘之”舌廣踵廣盈正縱虛盈虛2021/3/2726 他在推算他在推算九章算術(shù)九章算術(shù)中的一些立體體積公式時中的一些立體體積公式

25、時,靈活地使用靈活地使用了兩種無限小方法了兩種無限小方法:極限方法與極限方法與 不可分量方法。不可分量方法。 (1)陽馬術(shù)。陽馬術(shù)。九章算術(shù)九章算術(shù)“商功章商功章”陽馬術(shù)給出陽馬的體積陽馬術(shù)給出陽馬的體積公式為其三條直角邊乘積的三分之一。公式為其三條直角邊乘積的三分之一。 劉徽從一長方體出發(fā)（見圖）劉徽從一長方體出發(fā)（見圖）,將它斜分成兩個將它斜分成兩個“壍堵壍堵”,然后然后再斜分壍堵得到兩個立體圖形再斜分壍堵得到兩個立體圖形,其中一個就是陽馬其中一個就是陽馬,另一個是鱉另一個是鱉臑。臑。術(shù)曰術(shù)曰:“廣袤相乘廣袤相乘,以高乘之以高乘之,三而一三而一”2021/3/2727古典數(shù)學(xué)的形成與發(fā)展時

26、期 劉徽常使用四種圖形來求立體劉徽常使用四種圖形來求立體: :立方、塹堵、陽馬和鱉臑立方、塹堵、陽馬和鱉臑2021/3/2728古典數(shù)學(xué)的形成與發(fā)展時期 劉徽常使用四種圖形來求立體劉徽常使用四種圖形來求立體: :立方、塹堵、陽馬和鱉臑立方、塹堵、陽馬和鱉臑 方臺方臺2021/3/2729古典數(shù)學(xué)的形成與發(fā)展時期九章算術(shù)商功第九章算術(shù)商功第 15 問問“今有陽馬今有陽馬,廣五尺廣五尺,袤七尺袤七尺,高八尺。問積幾何。高八尺。問積幾何。答曰答曰:九十三尺少半尺。九十三尺少半尺。術(shù)曰術(shù)曰:廣袤相乘廣袤相乘,以高乘之以高乘之,三而一。三而一?！眲⒒兆⒒兆?“邪解立方得兩塹堵邪解立方得兩塹堵,邪解塹堵

27、邪解塹堵,其一為陽馬其一為陽馬,一為鱉一為鱉臑?zāi)?陽馬居陽馬居二二,鱉鱉臑?zāi)灳右痪右?不易之率也。合兩鱉不易之率也。合兩鱉臑?zāi)灣梢魂栺R成一陽馬,合三陽馬而成合三陽馬而成 一立方一立方,故三而一。故三而一?！?2021/3/2730劉徽證明陽馬體積與鱉臑體積之比為劉徽證明陽馬體積與鱉臑體積之比為2:1nV41414113243324341324341324322021/3/2731“牟合方蓋牟合方蓋” 在在九章算術(shù)九章算術(shù)*開立圓術(shù)開立圓術(shù)注中注中,他指出了球他指出了球體積公式體積公式V=9D3/16(D為為球直徑球直徑)的不精確性的不精確性,并引入了并引入了“牟合方蓋牟合方蓋”這一著名的這一著

28、名的幾何模型幾何模型2021/3/2732 球體積球體積牟合方蓋牟合方蓋”是指正方體的兩個軸互相垂直的內(nèi)切圓柱體的貫交部分。是指正方體的兩個軸互相垂直的內(nèi)切圓柱體的貫交部分。 牟合方蓋的性質(zhì)牟合方蓋的性質(zhì):牟合方蓋的內(nèi)切球就是立方體的內(nèi)切球牟合方蓋的內(nèi)切球就是立方體的內(nèi)切球.2021/3/2733 用同一水平面去截用同一水平面去截,得到一個圓和它的外切正方形（牟合得到一個圓和它的外切正方形（牟合方蓋的截面）方蓋的截面）. 二者的關(guān)系是截面圓與其外切正方形的面積之比是二者的關(guān)系是截面圓與其外切正方形的面積之比是 從而從而44牟合方蓋球VV2021/3/2734 劉徽在這里實際已用到了西方微積分史

29、著作中所說的劉徽在這里實際已用到了西方微積分史著作中所說的“卡瓦列利原理卡瓦列利原理”,可惜沒有將它總結(jié)為一般形式。牟合可惜沒有將它總結(jié)為一般形式。牟合方蓋的體積怎么求呢方蓋的體積怎么求呢?劉徽終于未能解決。劉徽終于未能解決。 劉徽雖然沒有推證出球體積公式劉徽雖然沒有推證出球體積公式, 但他所創(chuàng)用的但他所創(chuàng)用的特殊形式的不可分量方法特殊形式的不可分量方法,成為后來祖沖之父子在球成為后來祖沖之父子在球體積問題上取得突破的先導(dǎo)。體積問題上取得突破的先導(dǎo)。 劉徽劉徽九章算術(shù)注九章算術(shù)注還有其他許多數(shù)學(xué)成果還有其他許多數(shù)學(xué)成果,特特別是他在別是他在九章算術(shù)九章算術(shù)“勾股勾股”章之后所加的一整篇章之后所

30、加的一整篇文字文字,作為作為九章算術(shù)注九章算術(shù)注第十卷第十卷,后來單獨刊行后來單獨刊行,稱為稱為海島算經(jīng)海島算經(jīng)。2021/3/2735重差術(shù)重差術(shù) 在自撰在自撰海島算經(jīng)海島算經(jīng)中中,他提出了重差術(shù)他提出了重差術(shù),采用了重表、連索和累矩等采用了重表、連索和累矩等測高測遠方法。他還運用測高測遠方法。他還運用“類推衍化類推衍化”的方法的方法,使重差術(shù)由兩次測望使重差術(shù)由兩次測望,發(fā)展為發(fā)展為“三望三望”、“四望四望”。而。而印度印度在在7世紀(jì)世紀(jì),歐洲歐洲在在1516世紀(jì)才世紀(jì)才開始研究兩次測望的問題。劉徽的工作開始研究兩次測望的問題。劉徽的工作,不僅對中國古代數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)不僅對中國古代數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生

31、了深遠影響生了深遠影響,而且在世界數(shù)學(xué)吏上也確立了崇高的歷史地位。鑒于而且在世界數(shù)學(xué)吏上也確立了崇高的歷史地位。鑒于劉徽的巨大貢獻劉徽的巨大貢獻,所以不少書上把他稱作所以不少書上把他稱作“中國數(shù)學(xué)史上的中國數(shù)學(xué)史上的牛頓牛頓”。 見下面見下面:2021/3/2736海島算經(jīng)（4 4）重差術(shù)和）重差術(shù)和海島算經(jīng)海島算經(jīng)劉徽注釋劉徽注釋九章算術(shù)九章算術(shù)“勾股勾股”章的最后章的最后, ,補充重差術(shù)的九個問題。補充重差術(shù)的九個問題。今有望海島今有望海島, ,立兩表立兩表, ,齊高三丈齊高三丈, ,前后相去千步前后相去千步, ,令后表與前表參相直。令后表與前表參相直。從前表卻行一百二十三步從前表卻行一百

32、二十三步, ,人目著地人目著地, ,取望島峰取望島峰, ,與末表參合與末表參合, ,從后表從后表卻行一百二十七步卻行一百二十七步, ,人目著地人目著地, ,取望島峰取望島峰, ,亦與表末參合。問島及去表亦與表末參合。問島及去表各幾何各幾何? ?2021/3/2737劉徽給出如下公式:即EBIAKJHCGFD表高表目距的差表距表高島高EDDHFIDFEDAB2021/3/27383.2.2 3.2.2 祖沖之與祖祖沖之與祖暅暅 祖沖之（公元祖沖之（公元429-500,如圖）活躍于如圖）活躍于南朝宋、齊兩代南朝宋、齊兩代,出生于歷法世家出生于歷法世家,本人做過本人做過南徐州（今鎮(zhèn)江）從事史和公府參

33、軍南徐州（今鎮(zhèn)江）從事史和公府參軍,都是都是地位不高的小官地位不高的小官,但他卻成為歷代為數(shù)很少但他卻成為歷代為數(shù)很少能名列正史的數(shù)學(xué)家之一。能名列正史的數(shù)學(xué)家之一。2021/3/2739中國數(shù)學(xué)家祖沖之 祖沖之（祖沖之（ 公元公元429年年公元公元500年）是我國杰出的年）是我國杰出的數(shù)學(xué)家數(shù)學(xué)家,科學(xué)家。南科學(xué)家。南北朝時期人北朝時期人,漢族人漢族人,字字文遠文遠。生于宋文帝。生于宋文帝元嘉元嘉六年六年,卒于齊昏侯永元二卒于齊昏侯永元二年。祖籍范陽郡遒縣（今河北淶水縣）。年。祖籍范陽郡遒縣（今河北淶水縣）。為避戰(zhàn)亂為避戰(zhàn)亂,祖沖之的祖父祖昌由河北遷至江南。祖昌曾任劉宋的祖沖之的祖父祖昌由河

34、北遷至江南。祖昌曾任劉宋的“大大匠卿匠卿”,掌管土木工程掌管土木工程;祖沖之的父親也在朝中做官。祖沖之的父親也在朝中做官。祖沖之從小接受家傳的科學(xué)知識。青年時進入華林學(xué)省祖沖之從小接受家傳的科學(xué)知識。青年時進入華林學(xué)省,從事學(xué)術(shù)活從事學(xué)術(shù)活動。一生先后任過南徐州（今鎮(zhèn)江市）從事史、公府參軍、婁縣動。一生先后任過南徐州（今鎮(zhèn)江市）從事史、公府參軍、婁縣（今（今昆山昆山市東北）令、謁者仆射、長水校尉等官職。其主要貢獻在市東北）令、謁者仆射、長水校尉等官職。其主要貢獻在數(shù)學(xué)、天文歷法和機械三方面。數(shù)學(xué)、天文歷法和機械三方面。2021/3/2740中國數(shù)學(xué)家祖沖之中國數(shù)學(xué)家祖沖之 祖沖之,在世界數(shù)學(xué)史

35、上第一次將圓周率（）值計算到小數(shù)點后七位,即3.1415926到3.1415927之間。他提出約率22/7和密率355/113,這一密率值是世界上最早提出的,比歐洲早一千多年,所以有人主張叫它“祖率”也就是圓周率的祖先。 他將自己的數(shù)學(xué)研究成果匯集成一部著作他將自己的數(shù)學(xué)研究成果匯集成一部著作,名為名為綴術(shù)綴術(shù),唐朝國學(xué)曾經(jīng)將此書定為數(shù)學(xué)課本。他唐朝國學(xué)曾經(jīng)將此書定為數(shù)學(xué)課本。他編制的編制的大明歷大明歷,第一次將第一次將“歲差歲差”引進歷法。引進歷法。提出在提出在391年中設(shè)置年中設(shè)置144個閏月。推算出一回歸年個閏月。推算出一回歸年的長度為的長度為365.24281481日日,誤差只有誤差只

36、有50秒左右。秒左右。2021/3/2741 他不僅是一位杰出的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家他不僅是一位杰出的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家,而且還是而且還是一位杰出的機械專家。重新造出早已失傳的指南一位杰出的機械專家。重新造出早已失傳的指南車、千里船等巧妙機械多種。此外車、千里船等巧妙機械多種。此外,他對音樂也有他對音樂也有研究。著作有研究。著作有釋論語釋論語、釋孝經(jīng)釋孝經(jīng)、易易義義、老子義老子義、莊子義莊子義及小說及小說述異記述異記等等,但早已失傳。但早已失傳。2021/3/2742祖沖之星祖沖之星 1964年年11月月9日為了紀(jì)念祖沖之對我國和世界科學(xué)文化作日為了紀(jì)念祖沖之對我國和世界科學(xué)文化作出的偉大貢獻出的偉

37、大貢獻,紫金山紫金山天文臺天文臺將將1964年發(fā)現(xiàn)的年發(fā)現(xiàn)的,國際永久編國際永久編號為號為1888的小行星命名為的小行星命名為“祖沖之星祖沖之星”。 紫金山天文臺紫金山天文臺2021/3/2743祖沖之、祖暅祖沖之、祖暅（1）圓周率祖沖之關(guān)于圓周率的貢獻記載在隋書中,隋書律歷志說:“祖沖之更開密法,以圓徑一億為一丈,圓周盈數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽,朒數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽,正數(shù)在盈朒二限之間”。即圓周率數(shù)值的上下限:密率,約率（盈數(shù)）朒數(shù)1415927. 3)(1415926. 31133557222021/3/2744祖沖之（祖沖之（429500） 與祖率與祖率 據(jù)據(jù)隨

38、書隨書律歷志律歷志記載記載,祖沖之求得的祖沖之求得的值的取值范圍為值的取值范圍為3.141592 3.1415927 .（并稱為朒、盈數(shù)）（并稱為朒、盈數(shù)） 如果利用劉徽的割圓術(shù)得到上述結(jié)果如果利用劉徽的割圓術(shù)得到上述結(jié)果,需要從正六邊形起需要從正六邊形起,連續(xù)的倍增正多邊形的邊數(shù)連續(xù)的倍增正多邊形的邊數(shù),至至24576邊形邊形2021/3/2745（一）祖氏原理與球體積（一）祖氏原理與球體積 曾使劉徽絞盡腦汁的球體積問題曾使劉徽絞盡腦汁的球體積問題,到祖沖之時代終于獲得解到祖沖之時代終于獲得解決。這一成就被記錄在決。這一成就被記錄在九章算術(shù)九章算術(shù)“開立圓術(shù)開立圓術(shù)”李淳風(fēng)注中。李淳風(fēng)注中。

39、 根據(jù)李淳風(fēng)的注根據(jù)李淳風(fēng)的注,祖暅球體積的推導(dǎo)繼承了劉徽的路線祖暅球體積的推導(dǎo)繼承了劉徽的路線,即即從計算從計算“牟合方蓋牟合方蓋”體積來突破。體積來突破。 取牟合方蓋的八分之一取牟合方蓋的八分之一,然后考慮它與然后考慮它與它的外切正方體所圍成的立體它的外切正方體所圍成的立體,并如圖并如圖那樣那樣將它再剖分成三個小立體將它再剖分成三個小立體,將這三個小立體單將這三個小立體單畫出來分別如圖畫出來分別如圖,。同時考慮一個以。同時考慮一個以外切正方體上底面為底、以該正方體外切正方體上底面為底、以該正方體 一邊為垂直邊的倒方一邊為垂直邊的倒方錐（圖錐（圖）。）。2021/3/2746祖暅推證的關(guān)鍵是

40、以下的命題祖暅推證的關(guān)鍵是以下的命題 命題命題:倒方錐倒方錐的體積的體積,等于三個小立體等于三個小立體,的體積之和的體積之和,因此也等于從外切正方體中挖去牟合方蓋的部分即立體因此也等于從外切正方體中挖去牟合方蓋的部分即立體的體積的體積: =+= 如果證明了命題,那么倒方錐的體積容易知道是 （ 是正方體邊長,也是內(nèi)切球半徑長）。于是牟合方蓋八分之一的體積應(yīng)為 ,整個牟合方蓋體積為 。 331rr332r3328r 根據(jù)劉徽已經(jīng)證過的結(jié)果根據(jù)劉徽已經(jīng)證過的結(jié)果,應(yīng)有下列關(guān)系應(yīng)有下列關(guān)系: 2021/3/2747祖暅原理與球體積公式祖暅原理與球體積公式 劉徽原理與“牟合方蓋”用水平截面去截球和“牟合

41、方蓋”,可知截面的面積之比恒為:4,于是由劉徽原理立即得到V球球:V牟牟=:4即即 V球球= （/4） V牟。牟。2021/3/2748“小方蓋差小方蓋差” 與球體積公式與球體積公式左圖左圖,小牟合方蓋中小牟合方蓋中,PQ是小牟合方蓋被水平截平面得到正方形的一是小牟合方蓋被水平截平面得到正方形的一邊邊,設(shè)為設(shè)為a,UQ是球半徑是球半徑r,UP是高是高h。根據(jù)勾股定理得根據(jù)勾股定理得a2 = r2 h2;這這正是截平面正是截平面PQRS的面積的面積 中圖中圖,小方蓋差在等高處的截面面積等于小方蓋差在等高處的截面面積等于r2 a2 =h2, 右圖右圖,底邊為底邊為r,高也是高也是r的倒正四棱錐的倒

42、正四棱錐,在等高處的截面面積也是在等高處的截面面積也是h2 根據(jù)祖暅原理可知根據(jù)祖暅原理可知:小方蓋差和倒立正四棱錐的體積相等小方蓋差和倒立正四棱錐的體積相等。2021/3/2749PQRDABCDBSQTCTQRASQP, xQPAS22xrPQRDABCD222hxr2hBSQTCTQRASQP2h設(shè) 則有 ,由勾股定理, ,故但在高但在高h 處倒方錐處倒方錐V 的截面積顯然也等于的截面積顯然也等于 。 這就是說這就是說,在任一相同的高處立體在任一相同的高處立體I（注（注意在方體中已挖去牟合方蓋部分）的截面積意在方體中已挖去牟合方蓋部分）的截面積都與倒方錐都與倒方錐V的截面積相等。的截面積

43、相等。 這時祖暅提出了一條原理說這時祖暅提出了一條原理說:“冪勢既同冪勢既同,則積不容異則積不容異”。應(yīng)用這一原理。應(yīng)用這一原理,命題的證明不命題的證明不言而喻。言而喻。 至于關(guān)鍵命題的證明至于關(guān)鍵命題的證明,祖暅考察在高祖暅考察在高h 處的水平截面處的水平截面,如圖所如圖所示容易看出示容易看出:三個小立方體三個小立方體,的截面積的截面積 ASQP,CTQR 與與BSQT合并在一起應(yīng)等于正方體截面積合并在一起應(yīng)等于正方體截面積ABCD 與牟合方蓋部分與牟合方蓋部分的截面積的截面積PQRD之差之差,即即 2021/3/2750 概言之概言之,祖暅推導(dǎo)幾何圖形體積公式的方法是以下列兩條原祖暅推導(dǎo)幾

44、何圖形體積公式的方法是以下列兩條原理為基礎(chǔ)理為基礎(chǔ): （1）出入相補原理出入相補原理;（2）祖氏原理祖氏原理:冪勢既同冪勢既同,則積不容異。則積不容異。 祖氏原理在西方文獻中稱祖氏原理在西方文獻中稱“卡瓦列利原理卡瓦列利原理”,1635年意大利年意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利數(shù)學(xué)家卡瓦列利(B.Cavalieri)獨立提出獨立提出,對微積分的建立有重要影對微積分的建立有重要影響。響。2021/3/2751 劉徽和祖沖之父子的工作劉徽和祖沖之父子的工作,思想是很深刻的思想是很深刻的,它們反映了魏晉它們反映了魏晉南北朝時代中國古典數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的論證傾向南北朝時代中國古典數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的論證傾向,以及這種傾向所達以

45、及這種傾向所達到的高度。祖沖之父子的方法都記載在到的高度。祖沖之父子的方法都記載在綴術(shù)綴術(shù)中。中。綴術(shù)綴術(shù)在在隋、唐時期曾與隋、唐時期曾與九章算術(shù)九章算術(shù)一起被列為官學(xué)教科書一起被列為官學(xué)教科書,但但隋書隋書律歷志律歷志中已說中已說:“學(xué)官莫能究其深奧學(xué)官莫能究其深奧”了了!綴術(shù)綴術(shù)于公元于公元10世紀(jì)在中國本土完全失傳。世紀(jì)在中國本土完全失傳。2021/3/2752中國數(shù)學(xué)家祖暅中國數(shù)學(xué)家祖暅 祖沖之的兒子祖暅祖沖之的兒子祖暅,也是一位杰出的數(shù)學(xué)家也是一位杰出的數(shù)學(xué)家,他繼承他父親他繼承他父親的研究的研究,創(chuàng)立了球體體積的正確算法。在天文方面創(chuàng)立了球體體積的正確算法。在天文方面,他也能他也能

46、繼承父業(yè)。小時習(xí)學(xué)家傳的學(xué)業(yè)繼承父業(yè)。小時習(xí)學(xué)家傳的學(xué)業(yè),深入研究的十分精細深入研究的十分精細,也也有靈巧的心思。技藝達到神妙的境地有靈巧的心思。技藝達到神妙的境地,就是古代傳說中的就是古代傳說中的魯班和倕（傳說為舜時的巧匠）這樣的巧匠也難以超過魯班和倕（傳說為舜時的巧匠）這樣的巧匠也難以超過他。他。 他曾著他曾著天文錄天文錄三十卷三十卷,天文錄經(jīng)要訣天文錄經(jīng)要訣一卷一卷,可惜這可惜這些書都失傳了。他父親制定的些書都失傳了。他父親制定的大明歷大明歷,就是經(jīng)他三次就是經(jīng)他三次向梁朝政府建議向梁朝政府建議,才被正式采用的。他還制造過記時用的才被正式采用的。他還制造過記時用的漏壺造得很準(zhǔn)確漏壺造得很

47、準(zhǔn)確,并且作過一部并且作過一部漏刻經(jīng)漏刻經(jīng)。 2021/3/2753中國數(shù)學(xué)家祖暅中國數(shù)學(xué)家祖暅 祖沖之與他的兒子祖暅一起祖沖之與他的兒子祖暅一起,用巧妙的方法解決了球體體用巧妙的方法解決了球體體積的計算。他們當(dāng)時采用的一條原理是積的計算。他們當(dāng)時采用的一條原理是:“冪勢既同冪勢既同,則積則積不容異。不容異。”意即意即:位于兩平行平面之間的兩個立體位于兩平行平面之間的兩個立體,被任一被任一平行于這兩平面的平面所截平行于這兩平面的平面所截,如果兩個截面的面積恒相等如果兩個截面的面積恒相等,則這兩個立體的體積相等。則這兩個立體的體積相等。 在西方被稱為在西方被稱為“卡瓦列利原理卡瓦列利原理”,但這

48、是在祖沖之以后一但這是在祖沖之以后一千多年才由意大利數(shù)學(xué)家千多年才由意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利（卡瓦列利（Cavalieri）發(fā)現(xiàn)的。發(fā)現(xiàn)的。2021/3/2754祖暅之子祖皓祖暅之子祖皓 暅之子皓暅之子皓,志節(jié)慷慨志節(jié)慷慨,有文武才略。少傳家業(yè)有文武才略。少傳家業(yè),善算歷。大同中為善算歷。大同中為江都令江都令,后拜廣陵太守（相當(dāng)于現(xiàn)在的警備區(qū)司令）。祖皓在一次戰(zhàn)后拜廣陵太守（相當(dāng)于現(xiàn)在的警備區(qū)司令）。祖皓在一次戰(zhàn)爭中失利而亡。爭中失利而亡。南史南史記載記載:“城陷城陷,皓見執(zhí)皓見執(zhí),被縛射之被縛射之,箭遍體箭遍體,然后然后車裂以徇。城中無少長車裂以徇。城中無少長,皆埋而射之。皆埋而射之。 ” 又一

49、位在數(shù)學(xué)上有天才、有才能的人才又一位在數(shù)學(xué)上有天才、有才能的人才,白白為了皇家送了命。白白為了皇家送了命。注注:祖沖之的孫子祖皓祖沖之的孫子祖皓,也傳家學(xué)也傳家學(xué),擅長歷算。只可惜擅長歷算。只可惜,南朝梁南朝梁武帝末年降將侯景叛亂武帝末年降將侯景叛亂,到處燒殺掠奪到處燒殺掠奪,祖皓被殺祖皓被殺,祖氏科學(xué)世祖氏科學(xué)世家家,被亂臣覆滅了。被亂臣覆滅了。 茍全性命于亂世茍全性命于亂世,不求聞達不求聞達于諸侯。于諸侯。 -諸葛亮諸葛亮2021/3/27553.2.33.2.3算經(jīng)十書算經(jīng)十書 隋唐時期中國數(shù)學(xué)發(fā)展的兩件大事是數(shù)學(xué)教育制度的建立隋唐時期中國數(shù)學(xué)發(fā)展的兩件大事是數(shù)學(xué)教育制度的建立和數(shù)學(xué)典籍

50、的整理和數(shù)學(xué)典籍的整理 。 7世紀(jì)初世紀(jì)初,隋代開始在國子監(jiān)中設(shè)立隋代開始在國子監(jiān)中設(shè)立“算學(xué)算學(xué)”,并并“置博士、置博士、助教、學(xué)生等員助教、學(xué)生等員”,這是中國封建教育中數(shù)學(xué)專科教育的肇端。這是中國封建教育中數(shù)學(xué)專科教育的肇端。唐代不僅沿襲了唐代不僅沿襲了“算學(xué)制度算學(xué)制度”,而且還在科舉考試中開設(shè)了數(shù)而且還在科舉考試中開設(shè)了數(shù)學(xué)科目學(xué)科目,叫叫“明算科明算科”,考試及第者也可做官考試及第者也可做官,不過只授予最低官不過只授予最低官階。階。 2021/3/2756 “算學(xué)算學(xué)”制度及明算開科都需要適用的教科書制度及明算開科都需要適用的教科書,唐高宗親自下唐高宗親自下令對以前的十部數(shù)學(xué)著作進

51、行注疏整理。受詔負(fù)責(zé)這項工作的是令對以前的十部數(shù)學(xué)著作進行注疏整理。受詔負(fù)責(zé)這項工作的是李淳風(fēng)（約李淳風(fēng)（約604-672）,公元公元656年編成以后年編成以后,成為國學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)成為國學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書教科書,稱稱“十部算經(jīng)十部算經(jīng)”或或“算經(jīng)十書算經(jīng)十書”。這十部算經(jīng)分別是。這十部算經(jīng)分別是: 周髀算經(jīng)周髀算經(jīng)、九章算術(shù)九章算術(shù)、海島算經(jīng)海島算經(jīng)、孫子算經(jīng)孫子算經(jīng)、張邱建算經(jīng)張邱建算經(jīng)、夏侯陽算經(jīng)夏侯陽算經(jīng)、五曹算經(jīng)五曹算經(jīng)、五經(jīng)算術(shù)五經(jīng)算術(shù)、綴術(shù)綴術(shù)和和緝古算緝古算經(jīng)經(jīng)。 其中其中綴術(shù)綴術(shù)在唐、宋之交失傳以后在唐、宋之交失傳以后,宋代刊刻的宋代刊刻的算經(jīng)十書算經(jīng)十書中便以南北朝時期北周人

52、甄鸞所著中便以南北朝時期北周人甄鸞所著數(shù)術(shù)記遺數(shù)術(shù)記遺來替補。甄鸞來替補。甄鸞也是也是五曹算經(jīng)五曹算經(jīng)、五經(jīng)算術(shù)五經(jīng)算術(shù)的作者。的作者。2021/3/2757（一）（一）孫子算經(jīng)孫子算經(jīng)與與“物不知數(shù)物不知數(shù)”問題問題 孫子算經(jīng)孫子算經(jīng)作者不詳作者不詳,大約是公元大約是公元4世紀(jì)的作品世紀(jì)的作品,全書全書3卷卷,卷上有今天僅存的中國籌算法則的記載卷上有今天僅存的中國籌算法則的記載 。 孫子算經(jīng)孫子算經(jīng)最著稱于世的是卷下的最著稱于世的是卷下的“物不知數(shù)問題物不知數(shù)問題”: “今有物不知其數(shù)今有物不知其數(shù), ,三三數(shù)之剩二三三數(shù)之剩二, ,五五數(shù)之剩三五五數(shù)之剩三, ,七七數(shù)之剩七七數(shù)之剩二二,

53、,問物幾何問物幾何? ?” 這相當(dāng)于求解一次同余組這相當(dāng)于求解一次同余組).7(mod2)5(mod3)3(mod2N2021/3/2758答曰答曰:二十三二十三術(shù)曰術(shù)曰:三三數(shù)之剩二三三數(shù)之剩二,置一百四十置一百四十,五五數(shù)之剩三五五數(shù)之剩三,置六置六十三十三,七七數(shù)之剩二七七數(shù)之剩二,置三十置三十,并之并之,得二百三十三得二百三十三,以以二百一十減之二百一十減之,即得凡三三數(shù)之剩一即得凡三三數(shù)之剩一,則置七十則置七十,五五五數(shù)之剩一五數(shù)之剩一,則置二十一則置二十一,七七數(shù)之剩一七七數(shù)之剩一,則置十五則置十五,即即得得”2021/3/2759 孫 子 算 經(jīng)孫 子 算 經(jīng) 給 出 的 答 數(shù)

54、 是 符 合 條 件 的 最 小 正 數(shù)給 出 的 答 數(shù) 是 符 合 條 件 的 最 小 正 數(shù)解解 ,“物不知數(shù)物不知數(shù)”題術(shù)文指示了解題方法題術(shù)文指示了解題方法,列成算式就是列成算式就是:23N.1052215321270N 孫子算經(jīng)孫子算經(jīng)還說明對任意余數(shù)還說明對任意余數(shù) ,只要將算式中只要將算式中的的2,3,2換成換成 ,并調(diào)整并調(diào)整105的系數(shù)就行了。這是今天關(guān)的系數(shù)就行了。這是今天關(guān)于一次同余組一般解法的剩余定理的特殊形式。孫子問題引導(dǎo)于一次同余組一般解法的剩余定理的特殊形式。孫子問題引導(dǎo)了宋代秦九韶求解一次同余組的一般算法了宋代秦九韶求解一次同余組的一般算法-“大衍求一術(shù)大衍求

55、一術(shù)”?，F(xiàn)?，F(xiàn)代文獻中往往把求解一次同余組的剩余定理稱為代文獻中往往把求解一次同余組的剩余定理稱為“中國剩余定中國剩余定理理”,或直稱或直稱“孫子定理孫子定理”。 321,RRR321,RRR2021/3/2760古典數(shù)學(xué)的形成與發(fā)展時期明代程大位算法統(tǒng)宗三人同行七十稀,五樹梅花廿一枝。七子團圓正月半,除百零五便得知。宋代周密志雅堂雜鈔卷下“鬼谷算”三歲孩兒七十稀,五留廿一事尤奇。七度上元重相會,寒食清明便可知。2021/3/2761孫子算經(jīng)孫子算經(jīng)全書共3卷,其中的算題趣味性較強,著名的“雉兔同籠”、“獸禽同籠”、“望九隄”等問題。“雉兔同籠”問題:今有雉兔同籠,上有三十五頭,下有九十四足,

56、問雉兔各幾何?雉數(shù)兔數(shù)以下減上以上減下半足頭半其足足頭12231235473594352021/3/2762孫子算經(jīng)卷下第26題,“物不知數(shù)”問題今有物不知其數(shù),三三數(shù)之剩二,五五數(shù)之剩三,七七數(shù)之剩二,問物幾何?“三、三數(shù)之剩二,置一百四十;五、五數(shù)之剩三,置六十三;七、七數(shù)之剩二,置三十。并之,得二百三十三。以二百一十減之,即得。凡三、三數(shù)之剩一,則置七十;五、五數(shù)之剩一,則置二十一;七、七數(shù)之剩一,則置十五。一百六以上,以一百五減之,即得?！睂O子算經(jīng)給出解答是:1052215321270N2021/3/2763（二）（二）張邱建算經(jīng)張邱建算經(jīng)和和“百雞問題百雞問題” 張邱建算經(jīng)張邱建算經(jīng)

57、三卷三卷,據(jù)考大約成書于公元據(jù)考大約成書于公元466485年年間間,作者張邱建是北魏時人作者張邱建是北魏時人張邱建算經(jīng)張邱建算經(jīng)卷下最后一題通卷下最后一題通常稱常稱“百雞問題百雞問題”: “今有雞翁一今有雞翁一, ,直錢五直錢五; ;雞母一雞母一, ,直錢三直錢三; ;雞雛三雞雛三, ,直錢一直錢一凡百錢買雞百只問雞翁、母、雛各幾何凡百錢買雞百只問雞翁、母、雛各幾何? ?” 2021/3/2764張邱建算經(jīng)張邱建算經(jīng)是南北朝時期的一部數(shù)學(xué)著作,成書時間大約在466485年間,作者是北魏人。 張邱建算經(jīng)分上、中、下三卷,其中所列的題目,大部分都是現(xiàn)實的實際問題。這部著作在中國數(shù)學(xué)史上居有一定的地位,有些題目和解法超出了九章算術(shù)的范圍。2021/3/2765此題相當(dāng)于解不定方程組此題相當(dāng)于解不定方程組:.1003135,100zyxzyx張邱建給出所有可能的正整數(shù)解張邱建給出所有可