函數(shù)、不等式與導(dǎo)數(shù)

1、.專題測(cè)試函數(shù)、不等式與導(dǎo)數(shù)本套試卷主要涉及函數(shù)、不等式和導(dǎo)數(shù)三大部分內(nèi)容，這三部分內(nèi)容都是高考的考查重點(diǎn)，約占整套試卷的30%，既有對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的考查，也有對(duì)綜合應(yīng)用的考查. 從最近幾年高考的形式來看，函數(shù)的概念、性質(zhì)及反函數(shù)通常以小題的形式出現(xiàn)，注重考生對(duì)一些概念的理解與應(yīng)用；不等式部分注重考查解不等式、利用均值不等式求最值等；導(dǎo)數(shù)部分主要體現(xiàn)導(dǎo)數(shù)解題的工具性，以切線問題、極值或最值問題為載體考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用. 對(duì)這一部分的綜合考查主要以不等式恒成立問題為載體考查等價(jià)轉(zhuǎn)化能力. 從命題趨勢(shì)看，2013年的高考仍會(huì)對(duì)這一部分加強(qiáng)考查，會(huì)更加突出知識(shí)的聯(lián)系與應(yīng)用. 對(duì)導(dǎo)數(shù)部分的考查難度會(huì)保持中等水

2、平，函數(shù)與不等式以基礎(chǔ)題目為主，有可能涉及一些文字型應(yīng)用題. 這一部分在數(shù)學(xué)思想上也會(huì)有所體現(xiàn)，主要有：數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與分類討論思想等.本試卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分. 滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.第卷（選擇題 共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1（理）已知，則下列關(guān)系正確的是（ ）A BC D（文）已知，則下列關(guān)系式正確的是（ ）A BC D2若（c是任意常數(shù)），則下列各點(diǎn)在的反函數(shù)的圖象上的是（ ）A（1，1） B（3，1） C（1，3） D（2，2）3已知函

3、數(shù)，且成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）A（-，1） B（1，+）C（-，-1）（1，+） D（-1，1）4（理）已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)且在時(shí)取得極值，則a+b的值為（ ）A B C1 D2（文）已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)且在時(shí)取得極值，則a+b的值為（ ）A B C1 D25已知函數(shù)，設(shè)函數(shù)的最大值為m，函數(shù)的最小值為n，則m-n的值為（ ）A8 B-8 C4 D-46（理）已知定義在R上的偶函數(shù)f (x)在（0，+）上的解析式為，則在下列區(qū)間中使f (x)遞減的區(qū)間是（ ）A B C D（文）已知定義在R上的偶函數(shù)f (x)在上的解析式為，則在下列區(qū)間中使f (x)遞增的區(qū)間是（ ）

4、A0，1 B-1，0 C D-1，17已知曲線在區(qū)間是的切線的傾斜角的取值范圍是，則實(shí)數(shù)a的最小值是（ ）A8 B12 C14 D158已知函數(shù)，若的反函數(shù)為，且g(2)=1，則實(shí)數(shù)a的值為（ ）A-7 B7 C3 D89如果圓柱軸截面的周長(zhǎng)為定值4，則圓柱體積的最大值為（ ）A B C D10設(shè)f (x)的定義域?yàn)椋?，+），且滿足條件對(duì)于任意的x>0都有；f (2)=1；對(duì)于定義域任意的x，y有，則不等式的解集是（ ）A-1，4 B-1，3 C D3，611設(shè)正實(shí)數(shù)a，b滿足等式2a+b=1，且有恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（ ）A BC D12（理）設(shè)函數(shù)（a>0，a1），若

5、g(x)<1與f(x)<g(x)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（ ）Ab>12 Bb<12 Cb15 Db>15（文）設(shè)函數(shù)，若f (x)<g (x)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（ ）Ab>12 Bb<12 Cb15 Db>15第卷（非選擇題 共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分. 將答案填在題中的橫線上.13曲線在x=1處切線的傾斜角為 .14（理）如果關(guān)于x的不等式的解集總包含區(qū)間，求實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .（文）若直角三角形的周長(zhǎng)為2，則其面積的最大值為 .15若關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，則實(shí)

6、數(shù)m的取值范圍是 .16（理）設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，在（-，0）上有且，則不等式的解集為 .（文）設(shè)f (x)是定義在R上的奇函數(shù)，在（-，0）上有且f (-2)=0，則不等式的解集為 .三、解答題：本大題共6小題，共70分. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17（本小題滿分10分）已知在x=2時(shí)取得極值2，請(qǐng)寫出f (x)的單調(diào)區(qū)間.18（本小題滿分12分）（理）已知函數(shù).（文）已知函數(shù)（1）試判斷函數(shù)f (x)的單調(diào)性并說明理由；（2）若對(duì)任意的，不等式組恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.19（本小題滿分12分）設(shè)，若AB=A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.20（本小題滿分12分）某企業(yè)

7、花費(fèi)50萬元購(gòu)買一臺(tái)機(jī)器，這臺(tái)機(jī)器投入生產(chǎn)后每天要付維修費(fèi)，已知第x天應(yīng)付的維修費(fèi)為元. 機(jī)器從投產(chǎn)到報(bào)廢共付的維修費(fèi)與購(gòu)買機(jī)器費(fèi)用的和均攤到每一天，叫做每天的平均損耗，當(dāng)平均損耗達(dá)到最小值時(shí)，機(jī)器應(yīng)當(dāng)報(bào)廢.（1） 將每天的平均損耗y（元）表示為投產(chǎn)天數(shù)x的函數(shù)；（2） 求機(jī)器使用多少天應(yīng)當(dāng)報(bào)廢？21（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)（b，c，d為常數(shù)），方程有兩個(gè)正實(shí)根x1，x2，且|x1-x2|>1.（1）求證：b2-2b>4c；（2）若，試比較的大??；（3）若f (x)在-1，1上的切線傾斜角取值范圍是，求證：22（本小題滿分12分）如圖，已知曲線與曲線交于點(diǎn)O、A，直線x=t（0&

8、lt;t<1）與曲線C1，C2分別交于點(diǎn)B、D（1） 求出兩曲線的交點(diǎn)O、A的坐標(biāo)；（2） 寫出四邊形ABCD的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式S（t）；（3） 討論S（t）的單調(diào)性，并求出S（t）的最大值.參考答案與解析熱點(diǎn)專題一 函數(shù)、不等式與導(dǎo)數(shù)1（理）B 由于本題給出了函數(shù)的解析式，所以只需根據(jù)條件求導(dǎo)進(jìn)行驗(yàn)證即可. ，故（文）B 因?yàn)?，故，則2B 本題先根據(jù)函數(shù)解析式求出導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)函數(shù)與反函數(shù)的關(guān)系即可得出答案. 因?yàn)?，過點(diǎn)（1，3），故反函數(shù)過點(diǎn)（3，1）. 這類問題通常不需要求反函數(shù).3D 本題實(shí)際上是解一個(gè)不等式，正確求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是解題的關(guān)鍵. ，故由可得4（理）D 合理利用奇

9、函數(shù)的性質(zhì)可以簡(jiǎn)化運(yùn)算過程. 因?yàn)閒 (x)是奇函數(shù)，所以，即b=1，則，由可得，于是a=1，故a+b=2. 對(duì)于復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)一定要注意公式的準(zhǔn)確性.（文）D 因?yàn)閒 (x)是奇函數(shù)，所以，即b=1，則，由可得，于是a=1，故a+b=2.5B 利用均值不等式求最值的關(guān)鍵是找出均值不等式所滿足的條件，若不能正確轉(zhuǎn)化這些條件也會(huì)因?yàn)榈忍?hào)取不到或者“”與“”的轉(zhuǎn)化不當(dāng)而導(dǎo)致錯(cuò)誤. ，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)；. 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，m=-4，n=4，則m-n=-8.6（理）B 解此題要注意偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性的性質(zhì)，當(dāng)然出發(fā)點(diǎn)還是要先看區(qū)間（0，+）上的單調(diào)性，在（0，+）上時(shí)，由及x&

10、gt;0可得0<x<1，故f (x)在單調(diào)遞增，又因?yàn)閒 (x)是偶函數(shù)，所以f (x)在區(qū)間上遞減.（文）B 在上時(shí)，由可得0<x<1，故f (x)在0，1單調(diào)遞減，又因?yàn)閒 (x)是偶函數(shù)，所以，f (x)在區(qū)間-1，0上遞增.7C 傾斜胸與斜率的轉(zhuǎn)化可以根據(jù)正切函數(shù)的圖象進(jìn)行觀察得出結(jié)論. ，根據(jù)條件，故，而在上的最大值為=14，故.8A 解與反函數(shù)有關(guān)的問題往往不是先求反函數(shù)，而是要尋找原函數(shù)與反函數(shù)的關(guān)系. 由可得，即，所以的反函數(shù)為，由g (2)=1可得. 即，所以f (-1)=2，代入可得9A 建立體積的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵. 設(shè)圓柱的高為h，底面半徑為R，

11、根據(jù)條件4R+2h=4. 所以，h=2-2R，故體積，由可得，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)V遞增，時(shí)，函數(shù)V遞減，故時(shí)，V取得最大值.10C 與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式問題一般都要從其單調(diào)性出發(fā)，把不等式轉(zhuǎn)化為的形式再求解. 因?yàn)?，所以由可得，又由可知f (x)是定義在（0，+）上的增函數(shù)，故原不等式可化為11B 解此題的關(guān)鍵是求出的最大值，這就要根據(jù)條件利用均值不等式求最值. 因?yàn)?，所以，而，因而，?dāng)且僅當(dāng)2a=b，即時(shí)等號(hào)成立，所以=，令，則，故函數(shù)遞增，最大值為. 故只需，故12（理）D 把所給不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，再利用判別式即可求解，因?yàn)楹愠闪ⅲ?，由可?<a<1，于是由可得即x2

12、-6x+b-6>0恒成立，由=，解這得b>15.（文）D 由即可得2x2-5x+b>x2+x+6即x2-6x+b-6>0恒成立，由=，解這得b>15.13 ，所以，故切線的傾斜角為. 求出導(dǎo)數(shù)即是切線的斜率，還要注意直線傾斜角的取值范圍是. 否則就可能得出的錯(cuò)誤結(jié)論.14（理） 正確理解題意，等價(jià)轉(zhuǎn)化為熟悉的問題是解題的關(guān)鍵. 由條件知a>0，則a+x>1，故原不等式可化為，即，令，則在區(qū)間上恒成立，故有，即，解之得（文） 首先建立直角邊的關(guān)系式，再利用均值不等式即可求最值. 設(shè)其直角邊為a，b，則有，由均值不等式可知，則，面積15 函數(shù)與方程的互化可

13、以體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想的重要價(jià)值，因此我們可以通過代換把方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題進(jìn)行求解，原方程可化為，令，則，原方程變?yōu)?，? 由于，所以16（理）（-1，1） 觀察所給條件的特征，構(gòu)造函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵. 令，則，故在（-，0）上遞減，再由是奇函數(shù)可知是偶函數(shù)，而，所以，于是不等式等價(jià)于，故只需|x|<1，不等式的解集為（-1，1）.（文）（-2，0）（0，2） 本題主要體現(xiàn)了分類討論的基本思想. 當(dāng)時(shí)，由可知，故函數(shù)在遞增，再根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可知f (x)在（0，+）也遞增. 且. 若x<0則不等式可化為，于是有x>-2，故-2<x<0；若x>0，則不等式可化為f

14、 (x)<0=f (2)，于是有x<2，故0<x<2，所以原不等式的解集為17因?yàn)?，所以，根?jù)條件可得，解之得.故.由可得；由可得，即f (x)的單調(diào)增區(qū)間為，遞減區(qū)間為1，2思路點(diǎn)撥 解與高次函數(shù)有關(guān)的問題一般都離不開求導(dǎo)，而這里的條件“在x=2時(shí)取得極值2”實(shí)際上是包含了兩個(gè)條件：. 在求單調(diào)區(qū)間時(shí)一般要解一個(gè)不等式，這就是靈活進(jìn)行因式分解，因?yàn)閤=2處取得極值，故肯定可以分解出一個(gè)（x-2），這樣就使得不等式問題簡(jiǎn)化.18（1）（理）函數(shù)f (x)在R上單調(diào)遞增. 利用導(dǎo)數(shù)證明如下：因?yàn)?，所以，在R上恒成立，所以f (x)在R上遞增.（文）函數(shù)f (x)在R上單調(diào)

15、遞增，利用導(dǎo)數(shù)證明如下：因?yàn)?，所以在R上恒成立，所以f (x)在R上遞增.（2）（理）由于f (x)在R上遞增，不等式組可化為，對(duì)于任意x0，1恒成立.令對(duì)任意x0，1恒成立，必有，即，解之得-3<k<4，再由對(duì)任意x0，1恒成立可得，在x0，1恒成立，因此只需求的最小值，而當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)，故k<2.綜上可知，k的取值范圍是（-3，2）.（文）同（理）思路點(diǎn)撥 判斷函數(shù)的單調(diào)性可以利用導(dǎo)數(shù)，在得出函數(shù)的單調(diào)性之后就可以利用函數(shù)的單調(diào)性把等價(jià)轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的不等式，再利用二次函數(shù)的圖象特點(diǎn)進(jìn)行求解. 需要注意的是，第（2）小題不要盲目代入函數(shù)表達(dá)式，否則就會(huì)使表達(dá)式變得非

16、常復(fù)雜，實(shí)際上第（2）小題就是把函數(shù)f (x)看成一個(gè)單調(diào)遞增的抽象函數(shù)，這樣使問題反而變得簡(jiǎn)單. 這體現(xiàn)了抽象與具體的轉(zhuǎn)化思想.19不等式等價(jià)于或，2<2x<4.即，因AB=A，則.（1）若a=a2，即a=0或a=1，則A= ，滿足；（2）若a<a2，即a<0或a>1，則，若有，則，所以（3）若a>a2，即，則，若有，則，所以a.綜上所述，a的取值范圍為思路點(diǎn)撥 集合之間的運(yùn)算關(guān)系通?？梢赞D(zhuǎn)化為集合的包含關(guān)系，本題首先把AB=A轉(zhuǎn)化為，然后再考慮集合中的不等式，一般思路是能解出的直接解出，而對(duì)于集合A中含有參數(shù)的二次不等式通常需要進(jìn)行分類討論，還要需要注意

17、的是A=這一特殊情況.20（1）機(jī)器投產(chǎn)x天，每天的平均損耗是（2），當(dāng)且僅當(dāng)，即x=2000時(shí)取等號(hào). 所以這臺(tái)機(jī)器使用2000天應(yīng)當(dāng)報(bào)廢.思路點(diǎn)撥 解應(yīng)用題的第一步是先根據(jù)條件建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，實(shí)際上就是我們的說的建模，它是體現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值的主要方法. 這里主要是建立平均損耗與天數(shù)的關(guān)系，然后再根據(jù)函數(shù)的特點(diǎn)選用合適的方法求最值，這里選擇的是最常見的均值不等式. 某些問題可能還要根據(jù)等號(hào)是否能取得的情況選擇函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行解題.21（1）因?yàn)?，故方程可化為故又，所以，所以?）因?yàn)閤1是方程的一個(gè)根，所以，且，于是，所以.因?yàn)?，所以，又根?jù)條件可知，即，所以，所以，故（3）因?yàn)榍芯€的傾斜角范圍是，所以，切線斜率為-1，1，故條件可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)x-1，1時(shí)，所以，故，即，所以思路點(diǎn)撥 通過求導(dǎo)把問題轉(zhuǎn)化為二次方程根的有關(guān)問題，再利用韋達(dá)定理便可解決此題. 這里對(duì)兩個(gè)式子大小的比較采用了最常用的比較法，而韋達(dá)定理溝通了字母之間的關(guān)系，使得問題得以轉(zhuǎn)化.22（1）由消去y可得，即，故x=0或x=1，即兩交點(diǎn)分別為O（0，0），A（1，1）；（2）由及