線性規(guī)劃問(wèn)題的常見(jiàn)題型

1、關(guān)于x、y的二元一次不等式組稱為對(duì)變量x、y的約束條件，把要求最值的滿足約束條件的函數(shù)線性規(guī)劃問(wèn)題的常見(jiàn)題型吳小五李蘭瓊（汨羅市第一中學(xué) 湖南 汨羅414400）摘要線性規(guī)劃作為高中數(shù)學(xué)中一個(gè)比較常用的知識(shí)點(diǎn)，也是高考中的重要考點(diǎn)，巧妙利用該知識(shí)，可以對(duì)函數(shù)最值、 平面圖形的面積、斜率范圍、參數(shù)取值范圍、概率問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題的解決大為簡(jiǎn)化。本文就線性規(guī)劃問(wèn)題簡(jiǎn)要介紹幾 種常見(jiàn)的題型。關(guān)鍵詞線性規(guī)劃問(wèn)題；可行域；求最優(yōu)解中圖分類號(hào)G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼A（m、n為常數(shù)）稱為目標(biāo)函數(shù)，在線性約束條件下求目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問(wèn)題。線性規(guī)劃作為高中數(shù)學(xué)相對(duì)獨(dú)立的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，也是高考的一個(gè)重

2、要考點(diǎn)（近幾年各地高考試題涉及線性規(guī)劃知識(shí)點(diǎn)的試題頻頻出現(xiàn)）。高中數(shù)學(xué)中的線性規(guī) 劃體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的工具性、應(yīng)用性，同時(shí)也滲透了化歸、數(shù)形結(jié)合思想，也順應(yīng)當(dāng)今新課改和高考改革的趨勢(shì)。如果目標(biāo)函數(shù)（其中m、n為常數(shù)，x、y即為公共區(qū)域中點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)）的最值存在，則這些最值都在該公共區(qū)域的邊界角點(diǎn)處取得，將這些角點(diǎn)的坐標(biāo)代入上述函數(shù)，得到一組對(duì)應(yīng)z值，最大的那個(gè)數(shù)為函數(shù)z的最大值，最小的那個(gè)數(shù)為函數(shù)z的最小值。在線性規(guī)劃中，這種求最值的方法叫做角點(diǎn)法。若求函數(shù)的最值還有一種方法，這種方法的步驟是：第一步，畫(huà)出可行域（畫(huà)出線性約束條件所表示的可行域）；第二步，作直線，平移直線lo （據(jù)可行域，將直

3、線lo平行移動(dòng)）；第三步，求出最優(yōu)解（X，y）;第四步，將最優(yōu)解（x，y）代入我認(rèn)為在線性規(guī)劃中問(wèn)題解決過(guò)程中，應(yīng)突破 畫(huà)"（畫(huà)出線性約束條件所表示的可行域）、 移"（作平行直線）、求"（解方程組求出最優(yōu)解），即可輕松解決。線性規(guī)劃問(wèn)題的常見(jiàn)題型有以下七類，現(xiàn)舉例說(shuō)明如下:1.求函數(shù)的最值例1.（2009天津高考試題）設(shè)變量x、y滿足約束條件I'* -丁 -則目標(biāo)函數(shù)的最小值為（）C、8D、23解析:作出可行域如圖陰影所示，依題意,該題有最小值。方法一：易求得 A（ 4，5），B（ 1，2），C（2，1），將角點(diǎn)坐標(biāo)分別代入得z的值分別為23、8、7,所以

4、,選B.方法二：作直線-，將10平移至C處，此時(shí).2 =在y軸上的截距為-有最小值，從而 z有最小值，由2.求平面圖形的面積為十畀二？2x-y = 3得C（2，1），所以,，選B.<0go例2,（ 2008年安徽高考試題）若A為不等式組P -X-2，表示的平面區(qū)域，則當(dāng)a從一2連續(xù)變化到1時(shí)，動(dòng)直線掃過(guò)A中的那部分區(qū)域的面積為分析：由圖知 BCO為等腰直角三角形, BDE為等腰直角三角形且Dx2x2-xlx =2 2 2131 “ 一7X3x-xlxl =22243.求斜率的范圍A>1例3. （2007年遼寧高考試題）已知變量x、y滿足約束條件y，則-的取值范圍是（B、（一迥習(xí) U

5、6）DJ3.6答案選A.4.求距離例4.（2007年山東高考試題）設(shè)D是不等式組表示的平面區(qū)域，則D中的點(diǎn)P（x,y）到直線距離的最大值是分析：可行域如右圖陰影部分，觀察得到的距離最大，值是例5. （2006年湖南高考題）已知* x-y+l<032x-y-2 < 0.的最小值是分析：可行域如右圖陰影部分，由圖知A（ 1, 2）到原點(diǎn)的距離最小，所以，'' ；-5求參數(shù)取值范圍H十尹21* x-y > -2a-y 2例6. （2009年陜西試題）若x、y滿足約束條件、目標(biāo)函數(shù)'僅在點(diǎn)（1,0）處取得最小值，則a的取值范圍是（）分析：作出可行域如圖所示，直

6、線僅在點(diǎn)(i,o)處取得最小值，由圖象可知2，即4 <a < 2.其答案為B6.求概率例7. (2007年寧夏高考試題)設(shè)關(guān)于x的一元二次方程為二 I 一-口I -；"(1)若a是從0,1,2,3四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，b是從0,1,2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率;(2)若a是從區(qū)間0,3任取一個(gè)數(shù)，b是從區(qū)間0,2任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率，因?yàn)榉治觯涸O(shè)方程亠 一”上 - 有實(shí)根"為條件A，方程1 -u/l - 有實(shí)根時(shí)三 即； L-，所以左二二，從而方程-有實(shí)根的充要條件為：i 打/2/a3 L（1）基本事件的總數(shù)為J :; - =-

7、，事件A的個(gè)數(shù)為4+3+2=9,所以,（2）試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)椋ㄘ?）|0莖戊筈$ 0<6<2）構(gòu)成事件A的區(qū)域?yàn)樨埃﹟0蘭口蘭3 0玄b卷2,百，作出可行域，則，所求概率為兀4）二7.解決實(shí)際問(wèn)題例8.（ 2009年四川高考試題）某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用A原料3噸、B原料2噸；生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用 A原料1噸、B原料3噸.銷(xiāo)售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤(rùn)5萬(wàn)元、每噸乙產(chǎn)品獲得利潤(rùn)3萬(wàn)元，該企業(yè)在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)消耗 A原料不超過(guò)13噸、B原料不超過(guò)18噸，那么該企業(yè)可 獲得的最大利潤(rùn)是（）A、12萬(wàn)元B、20萬(wàn)元C、25萬(wàn)元 D、27萬(wàn)元分析：消耗毫f1=1 廠 口口甲乙A31B23利潤(rùn)53由題意得可行域如圖中陰影所示由圖可知，當(dāng)x、y在