2020中考常見最值問題總結(jié)歸納微專題三幾何最值雙線段最值(PA+PB)型(原卷版)

1、LOGO2020中考常見最值問題歸納總結(jié)微專題三：雙線段最值 + (PA+PB型二次函數(shù)最值公式法央逼法函數(shù)最值一元二次方程判別式法一元二次方程防法WORKING PL設(shè)X.構(gòu)造函數(shù)法利用一次函數(shù)墻減性.確定最值翱邊目壁單動(dòng)點(diǎn)型 軌跡圓室圓弧型引跡不確定型攀段最值典用等量代換轉(zhuǎn)化利用和差關(guān)賽轉(zhuǎn)化雙動(dòng)點(diǎn)型 1利用勾股定理轉(zhuǎn)ft利用三露形邊南關(guān)系轉(zhuǎn)化幾何最值喳3PA + PB型商定麗一定兩動(dòng)雙線段最值胡不歸模型PA*K*PB 型二二L阿氏圓模型同利差值最大PAPA 型觸!差ffiS左三線段最值費(fèi)馬點(diǎn)模型微專題三：雙線段最值 + （PA+PB型類型一：兩定一動(dòng)（將軍飲馬問題）考法指導(dǎo)這類問題的解法主

2、要是通過軸對稱，將動(dòng)點(diǎn)所在直線同側(cè)的兩定點(diǎn)中的一 個(gè)映射到直線的另一側(cè)，轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短問題。【典例精析】例題1.如圖，A, B為兩定點(diǎn)，點(diǎn)P在定直線上運(yùn)動(dòng)，在直線上找一點(diǎn)P使彳導(dǎo)PA+PB最小？【解法】作點(diǎn) A關(guān)于直線的對稱點(diǎn) A,連接PA ,則PA =PA所以PA+PB=PA +PB當(dāng)A、P、B三點(diǎn)共線的時(shí)候，PA +PB=A ?此時(shí)為最小值（兩點(diǎn)之間線段 最短）【針對訓(xùn)練】1 . （2019四川省初三）如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，BE= 2, AB=8, P是AC上一動(dòng)點(diǎn)，則 PB+PE的最小值2 .（2017天津中考真題）如圖，在24AC中，皿CE是33C的兩條中線

3、,F是AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列線段的長度等于SP + EP最小值的是（）A. BCB. CEC. ADD.4匚3. （2017貴州中考真題）如圖，在正方形 ABCD中，AB =9,點(diǎn)E在CD邊上，且DE=2CE,點(diǎn)P是對角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則 PE+PD的最小值是（）A. 3而B. 10.3C. 9D. 9我4. （2017湖北中考真題）如圖，/ AOB的邊OB與x軸正半軸重合，點(diǎn) 點(diǎn)，點(diǎn)N （3, 0）是OB上的一定點(diǎn)，點(diǎn) M是ON的中點(diǎn)，/ AOB =30 小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.P是OA上的一動(dòng),要使PM+PN最5. （2017山東中考真題） 如圖，菱形ABCD的邊長為6, , ABC =1

4、20 M等分點(diǎn)，P是對角線AC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng) PB+PM的值最小時(shí)，PM的長是是BC邊的一個(gè)三）Af C6. （2019遼寧中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中， 矩形OABC的邊BC交x軸于點(diǎn)D ,kAD x軸，反比例函數(shù) y （x 0）的圖象經(jīng)過點(diǎn) A,點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3,0）, AB BD . x（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）點(diǎn)p為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng) pa pb的值最小時(shí)，求出點(diǎn) p的坐標(biāo).7. (2018山東中考真題)如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E, F分別是邊AD , BC的中點(diǎn)，連接DF ,過點(diǎn)E作EH，DF ,垂足為 H , EH的延長線交 DC于點(diǎn)G.(1 )猜想DG與CF的數(shù)量關(guān)

5、系，并證明你的結(jié)論；(2)過點(diǎn)H作MN / CD,分別交AD , BC于點(diǎn)M , N,若正方形 ABCD 的邊長為10 , 點(diǎn)P是MN上一點(diǎn)，求 PDC周長的最小值.8. (2018湖南中考真題)綜合與探究如圖1所示，直線y=x+c與x軸交于點(diǎn) A(-4,0),與y軸交于點(diǎn)C,拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn) A, C, (1)求拋物線的解析式(2)點(diǎn)E在拋物線的對稱軸上，求 CE+OE的最小值；(3)如圖2所示，M是線段OA的上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn) M垂直于x軸的直線與直線 AC和拋物 線分別交于點(diǎn)巳N,若以C,巳N為頂點(diǎn)的三角形與，APM相似，則，CPN的面積為, 若點(diǎn)P恰好是線段MN的中點(diǎn)，點(diǎn)

6、F是直線AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn) D,使以點(diǎn)D, F, P, M為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.注：二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a w0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為( ,4ac)2a 4ay=ax2+2x+c與 x軸交于備用國9. （2019湖南中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線A, , 1, 0, B, 3）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D是該拋物線的頂點(diǎn).,1）求拋物線的解析式和直線 AC的解析式;,2）請?jiān)趛軸上找一點(diǎn) M,使4BDM的周長最小，求出點(diǎn) M的坐標(biāo);,3）試探究：在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使以點(diǎn)A, P, C為頂點(diǎn)，AC為直角邊的

7、三角形是直角三角形？若存在，請求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.10. (2019貴州中考真題)如圖，以 D為頂點(diǎn)的拋物線 y=-x2+bx+c交x軸于A、B兩點(diǎn)， 交y軸于點(diǎn)C,直線BC的表達(dá)式為y=-x+3.(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)在直線BC上有一點(diǎn)P,使PO+PA的值最小，求點(diǎn) P的坐標(biāo)；(3)在x軸上是否存在一點(diǎn) Q,使得以A、C、Q為頂點(diǎn)的三角形與 BCD相似？若存在, 請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不，存在，請說明理由.（2） P是拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，求滿足（3）在第四象限的拋物線上是否存在點(diǎn)的平行四邊形？若存在，請求出點(diǎn)E坐標(biāo)，若不存在請說明理由.（請?jiān)趫D2中探索）1

8、1 . （2019青海中考真題）如圖 1 （注：與圖2完全相同），在直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過PA PC的值為最小的點(diǎn) P坐標(biāo)（請?jiān)趫D1中探索）；E ,使四邊形OEBF是以O(shè)B為對角線且面積為1212. (2017四川中考真題) 如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、G分別是邊AD、BC的中點(diǎn),1AF= 7AB 4(1)求證：EF, AG ;(2)若點(diǎn)F、G分別在射線AB、BC上同時(shí)向右、向上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn) G運(yùn)動(dòng)速度是點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)速度的2倍，EF, AG是否成立(只寫結(jié)果，不需說明理由)？(3)正方形 ABCD的邊長為4, P是正方形 ABCD內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)？2?然？么?求4PA喟長的最小值.類型二：兩定兩動(dòng)考法

9、指導(dǎo)運(yùn)用平移變換，把保持平移后的線段與原來線段平行且相等的特性下，把 無公共端點(diǎn)的兩線段移動(dòng)到具有公共端點(diǎn)的新位置，從而轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段 最短問題求解最值。【典例精析】例題1.已知將軍在圖中點(diǎn) A處，現(xiàn)要過河去往 B點(diǎn)的軍營，橋必須垂直于河岸建造,問：橋建在何處能使路程最短？（將軍過橋）【解法】考慮MN長度恒定，只要求AM+NB最小值即可.問題在于 AM、NB彼此分離，所以首先通過平移，使 AM與NB連在一起，將AM向下平移使 得M、N重合，此時(shí)A點(diǎn)落在A位置.JMA河 、B軍營問題化為求A N+NB最小值， 位置.將軍A M4A ）河N、B軍營顯然，當(dāng)共線時(shí)，值最小，并得出橋應(yīng)建的將軍AA

10、M+MN+NB 值最例題2.已知A、B兩點(diǎn)，MN長度為定值，求確定 M、N位置使得小？（將軍遛馬）AM平移使M、【解法】考慮MN為定值，故只要AM+BN值最小即可.將N重合，AM=A N ,將AM+BN轉(zhuǎn)化為A N+NBN、M位置，可構(gòu)造點(diǎn)A關(guān)于MN的對稱點(diǎn)A；連接A J可依次確定 得路線.【針對訓(xùn)練】1. （2019天津中考模擬）如圖，在矩形ABCD中，AB 4 , BC7 , E為CD的中APQE的周長最小，則BP的長度應(yīng)為點(diǎn)，若P、Q為BC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且 PQ 2,若想使得四邊形8,點(diǎn)P到直線11的距A,直線12上有一動(dòng)2. （2017四川中考真題）如圖，已知直線11/ 12, 11

11、, 12之間的距離為離為6,點(diǎn)Q到直線12的距離為4, PQ、,在直線11上有一動(dòng)點(diǎn)4 30點(diǎn)B,滿足ABL12,且PA+AB+BQ最小，此時(shí)PA+BQ=3. (2020廣東中考真題)如圖所示拋物線y ax2 bx c過點(diǎn)A 1,0 ,點(diǎn)C 0,3 ,且OB OC(1)求拋物線的解析式及其對稱軸；(2)點(diǎn)D, E在直線x 1上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且DE 1 ,點(diǎn)D在點(diǎn)E的上方，求四邊形ACDE的周長的最小值；(3)點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，連接 CP,直線CP把四邊形CBPA的面積分為3： 5兩部分， 求點(diǎn)P的坐標(biāo).類型三：一定兩動(dòng)考法指導(dǎo)一定兩動(dòng)型可轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短和點(diǎn)到直線的垂線段最短問題，進(jìn) 而

12、求最值。關(guān)鍵是作定點(diǎn)（或動(dòng)點(diǎn)）關(guān)于動(dòng)折點(diǎn)所在直線的對稱點(diǎn)，通過等量 代換轉(zhuǎn)化問題?！镜淅觥坷}1.點(diǎn)P是定點(diǎn)，在 OA、OB上分別取 M、N,使得PM+MN 最小?！窘夥ā孔鼽c(diǎn)P關(guān)于OA對稱白t點(diǎn)P,將折線段PM+MN轉(zhuǎn)化為P M+MN,即 過點(diǎn)P作OB垂線分別交OA、OB于點(diǎn)M、N,得PM+MN最小值（垂線段最例題2.點(diǎn)P是定點(diǎn)，在 OA、OB上分別取點(diǎn) M、N,使得APMN周長最小.【解法】分別作點(diǎn)P關(guān)于OA （折點(diǎn)M所在直線）、OB （折點(diǎn)N所在直線）的 對稱點(diǎn)，化折線段 PM+MN+NP為P M+MN+NP,當(dāng)P、M、N、P共線時(shí), zTMN周長最小.【針對訓(xùn)練】1. （2019四川中考真題）如圖，在邊長為 1的菱形ABCD中， ABC 60 ,將 ABD沿射線BD的方向平移得到A B D ,分別連接AC,AD,BC則AC BC的最小值為2. （2020鄭城縣第三中