1996年試題全國高考試題(高考數(shù)學試卷)

1、199阿普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(理工農(nóng)醫(yī)類)本試卷分第I卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分.共150分，考試時間120分鐘.第I卷(選擇題共65分)一、選擇題：本大題共15小題;第(10)題每小題4分，第(11) (15)題每小題5分，共65分，在每 小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.(1)已知全集 I=N,集合A=x | x=2n,nC N,B=x | x=4n,nC N,貝U(A)I A B (B)I A B (C)I A B (D)I A BKey C (1)已知全集 I=N,集合A=x | x=2n,n N,B=x | x=4n,n N,貝U(A)I A

2、B (B)I A B (C)I A B (D)I A BKey C若sin2x>cos2x,則x的取值范圍是x 2k- ,k Z4x 2k5 ,k Z43x k - ,k Z)43x k - ,k Z)4(A)x|2k34，1(B)x|2k-4八,1(C)x|k-4,1(D)x|2k-4Key D (2 2i)4復(fù)數(shù)(1網(wǎng)等于(A)1. 3i (B) 1 3i (C)1. 3i (D) 1. 3iKey B5)如果直線卜m與平面a、B、丫滿足：l=enY,la,m a和m, 丫那么必有 (A) a _L 丫 且 l _L m(B) a _L 丫且 m / 0(C)m / B 且 l，m(

3、D)且 / B 且 a，丫Key A(6)當 22 ,函數(shù) f (x ) sin x,'3 cos x 的(A)最大值是1,最小值是-1(B)最大值是1,最小值是-(1/2)(C)最大值是2,最小值是-2(D)最大值是2,最小值是-1Key Dx 33 cos(7)橢圓y 1 5 sin的兩個焦點坐標是(B)(A)(-3,5),(-3,-3) (B)(3,3,),(3,-5)(C)(1,1,),(-7,1) (D)(7,-1,),(-1,-1)0 aarcsincos(a) arccossin( a)(8)若 2 ,則 (2)()(A)- (B)- (C)- 2a(D)-2a2222K

4、ey A(9)將邊長為a的正方形ABCD沿對角線AC折起，使得BD=a,則三棱錐D-ABC的體積為,2 (D) a 12aa小、3 3(A) (B)(C)一a61212 Key DS1031(10)等比數(shù)列an的首項a1=-1 ,前n項的和為Sn,若S532 ,則nim Sn等于22(A)- (B) - (C)2 (D) 2 33Key B3(11)橢圓的極坐標方程為2 cos ,則它在短軸上的兩個頂點的極坐標是3(A)(3,0)(1, )(B)(.3,-)(.3,j)5. 3-,.3(B)(2, -)(2, ) (B)( . 7,arctg-)( 7,2 arctg)3322Key C(12

5、)等差數(shù)列an的前m項和為30前2m項和為100，則它的前3m項和為(A)130 (B)170 (C)210 (D)260Key C22x y21(0 a b)(13)設(shè)雙曲線ab的半焦距為c,直線l過兩點(a,0)(0,b)。已知原點到直線l的距,3c離為4 ,則雙曲線的離心率為-2 3(A)2 (B).3 (C),2 (D) 3Key A(14)母線長為1的圓錐體積最大時，其側(cè)面展開圖圓心角山等于(A)2-(B)2-(C). 2 (D)2-6333Key D (15)設(shè)f(x)是(-oo,+oo)上的奇函數(shù)，f(x+2)=f(x),當00x0 1 時,f(x)=x,則f(7.5)等于(A)

6、0.5 (B)-0.5(C)1.5 (D)-1.5Key B (16)已知圓x2+y2-6x-7=0與拋物線y2=2px(p>0)的準線相切.貝U P=Key 2(17)正六邊形的中心和頂點共7個點，以其中3個點為頂點的三角形共有 個(用數(shù)字作答).Key32(18)tg20° + tg40° +3tg20° tg40° 的值是Key ，3(19)如圖,正方形ABCD所在平面與正方形ABEF所在平面成60°的二面角，則異面直線AD與BF所成角的余弦值是二Key 丁.log(20)解不等式 Key本小題考查對數(shù)函數(shù)性質(zhì)，對數(shù)不等式的解法，分

7、類討論的方法和運算能力.滿分11分. 解:（1）當a> 1時，原不等式等價于不等式組：1 x1x1 a 由此得 因為1-a<0,所以x<0,1x 05 分1 a(H)當0<a<1時，原不等式等價于不等式組110(1)x7分11 23cos4cosBcos a (2) x由得,x>1或x<0,11由(2)得,0<x<1 a ,.-. 1<x< 1 a10分,1、x | x 0綜上，當a>1時，不等式的解集為1 a,1 、x |1 x 當0<a<1時，不等式的解集為1a11分(21)已知 ABC的三個角A , B,

8、 C滿足A+C=2B,1cosA1cosA2AC cos cosB，求 2 的值第9頁共11頁Key本小題考查三角函數(shù)基礎(chǔ)知識，利用三角公式進行包等變形和運算的能力.滿分12分.解法一：由題設(shè)條件知B=60° ,A+C=120° . 2分_2cos602 2, AC AC ，.2 cos- cos-2. 2cos(A C) cos(A C)將 cosAC cos60 1,cos(A C) 1 代入上式得 222AC 2八cos() 2cos(A C) 6 分將cos(A C) 2cos3(AyC) 1代入上式并整理得4 2cos2(AC) 2cos(AC) 3.2 0,9分

9、22A C A C2 cos(-. 2)(2,2 cos- 3) 0 A C2,2 cos- 3 022 cosA-C2 02從而得cosA_C 與12分22解法二：由題設(shè)條件知B=60° ,A+C=12060 ,C 601cos(60 )(3分)A C一設(shè)A_C則A C 2 ,可得A2111所以 ' 1cosA cosC cos(60 )1 3_._1 _3 - cos 一sin - cos 一sin2 222cos1 -2cos 2 cossin44cos2 cos依題設(shè)條件有2 cosBcos整理得 4 - 2 cos22 cos3 20(9分)(2cos .2)(2

10、.2 cos 3) 02.2cos 3 0(2 cos .2) 0從而得cos AC 上2 (12分)22(22)如圖,在正三棱柱ABC-A 1B1cl中,ECBB1,截面A1EC，側(cè)面AC1.(I )求證:BE=EB1;（n ）若人人1=A1B1;求平面A 1 EC與平面A1B1cl所成二面角（銳角）的度數(shù).注意:在下面橫線上填寫適當內(nèi)容，使之成為（I ）的完整證明，并解答（H）.BiKey(I )證明:在截面A1EC內(nèi),過E作EG，A1C,G是垂足.V EG,側(cè)面 AC 1 ;MAC 的中點 F,連結(jié) BF,FG由 AB=BC 得BF XAC,. BFL側(cè)面AC1;彳#BF/ EGBF、E

11、G確定一個平面，交側(cè)面AC1于FGVBE/ FG四邊形BEGF是平行四邊形，BE=FG,VFG/ AA1AAA 1cszFGC,V_11 1FGAA1BB1,即 BEBB1,故 BEEB1222(H)解本小題考查空間線面關(guān)系，正三棱柱的性質(zhì)，邏輯思維能力，空間想象能力及運算能力.滿分12 分.(I ).面 A1ECL側(cè)面 AC1,2分面ABC,側(cè)面AC1,3分=BE/側(cè)面AC1, 4分BE/AA1, 5分. AF=FC,6分(H)解:分別延長CE、C1B1交于點D,連結(jié)A1D.EB"/CC1,EB1BB1CC1221EB1DC1 B1cl A1B12A1B1C1B1C1A1 601

12、.DA 1B1A1DB1 （180 DB1A1 30DA1C1DA1B1 B1A1C1 90,即 DA1 AG（明）CC1，面A1clB1,即A1cl是A1c在平面A1clD上的射影，根據(jù)三垂線定理得DA1LA1C,所以/CA1cl所求二面角的平面角.11分. CC1=AA 1=A1B1=A1C1,ZA1C1C=90° ,.二/CA1cl=45°，即所求二面角為45° . 12分23.某地現(xiàn)有耕地10000公頃，規(guī)劃10年后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)在增加22%,人均糧食占有量比現(xiàn)在提 高10%.如果人口年增長率為1%,那么耕地平均每年至多只能減少多少公頃(精確到 1公頃)?3

13、.10 1310 13.10 1101.1 (1 0.01)1.221.11.22_1 _2(1 C100.01 C100.012 )1.11.22(1.1045)總產(chǎn)量、 總?cè)丝跀?shù))(糖食單產(chǎn)士二: 二，人均糧食占有量(耕地面積，Key本小題主要考查運用數(shù)學知識和方法解決實際問題的能力，指數(shù)函數(shù)和二項式定理的應(yīng)用近似計算的方法和能力.滿分10分.解:設(shè)耕地平均每年至多只能減少X公頃，又設(shè)該地區(qū)現(xiàn)有人口為P人，糧食單產(chǎn)為M噸/公頃. 依題意得不等式(1 10%)(5 分)M (1 22%) (104 10x) M 1044.1x4.1(公頃)(9分)答:按規(guī)劃該地區(qū)耕地平均每年至多只能減少 4

14、公頃.10分(24)已知1i、l2是過點P(-?2,0)的兩條互相垂直的直線，且1i、l2與雙曲線y2-x2=1各有兩個交點，分別為Ai、Bi和A2、B2(I)求1i的斜率k1的取值范圍；(II)若|AiBi|=而|A2B2|,求 1i、l2的方程(24)本小題主要考查直線與雙曲線的性質(zhì)，解析幾何的基本思想，以及綜合運用知識的能力.滿分12分.解：(I)依題設(shè)，1i、l2的斜率都存在，因為1i過點P(-6,0)且與雙曲線有兩個交點，故方程組y 空 7)(k1 0)(1 分) y2 x2 1有兩個不同的解.在方程組中消去y,整理得(k2 1)x2 2.2k2x 2k2 1 0(2)若k21-1=

15、0，則方程組只有一個解，即1i與雙曲線只有一個交點，與題設(shè)矛盾，故k21-1w0即第8頁共11頁|ki|wl方程的判別式為i (2.2k2)2 4(k2 1)(2k2 1)4(3k2 1)設(shè)的斜率為k2,因為12過點P(-我,0)且與雙曲線有兩個交點，故方程組y k2(x 2)(k20)y2 x2 1有兩個不同的解.在方程組中消去y,整理得(k2 1)x2 2%Qk2x 2k 2 1 0(4)同理有 k2 1 0, 24(3k2 1)又因為11-2,所以有k1 k2=-1 4分于是,112與雙曲線各有兩個交點，等價于3k2 1023k2 1 0k1?k21|k1| 1 解得k1|k1 |,3.

16、 3.3 八k1 ( <3, 1) ( 1) (,1) (1)(7分) 333(H )設(shè)AxoOB4x2y2)1 .由方程知x1 x22.2k22k2 1T2L- ,x1 x2k1 1k1 11A1B1 I 2=(x1-x2)2+(y1-y2)2(1 k2)(x1 x2)22 一 24(1 k1)(3k1422(k11)1)(5)(9分)同理，由方程可求得,|A2B2|2|A2B2|2,整理得22心)(3以)2(1 仁)(6j由 |AiBi|=d5 1A 2B2 L 得|AiBi|2=5|A2B2|2 將、代入上式得22224(1 ki )(3ki 1) 5 4(1 ki)(3 ki )

17、(k； i)2(i k2)2解得ki.2- - -取 ki.2 時,li：y ,2(x.2)2：y (x .2)2j2取ki'2時，li：y寸'2(x <2),12 ： y 5-(x J2)(i2分)25.已知a、b、d!實數(shù)，函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,當-i0x&i時，| f(x) | < i.(I)證明：I c | < l;(10證明:當/乂& i時，| g(x) | < 2;(I)設(shè)a>0,當-iWxWi時,g(x)的最大值為2,求f(x).Key本小題主要考查函數(shù)的性質(zhì)、含有絕對值的不等式的性質(zhì)，以

18、及綜合運用數(shù)學知識分析問題與解決問題的能力。滿分i2分.(I)證明：由條件當-i<x<iB, | f(x) | < i,取x=0得I c | = | f(0) | <i,即 I c | 0 i. 2分(H)證法一：當a>0時,g(x)=ax+b在-i,i上是增函數(shù), g(-i)wg(x)&g(i), I f(x) I < i(-Kx<i), | c | <i,., g(i)=a+b=f(i)-c< I f(i) I + I c I < 2,g(-i)=-a+b=-f(-i)+c >-( | f(-i) I + I c| > 2,由此得I g(x) | < 2； 5分當a<0時,g(x)=ax+b在-i,i上是減函數(shù)， -g(-i)>g(x)>g(i), I f(x) I < i(-Kx<i), | c | <i,g(-i)=-a+b=-f(-i)+c < I f(-i) I + I c I < 2,g(i)=a+b=f(i)-c&