工程力學(xué)2運(yùn)動(dòng)學(xué)

1、第二篇第二篇 運(yùn)動(dòng)學(xué)運(yùn)動(dòng)學(xué)任務(wù): 運(yùn)動(dòng)學(xué)單純從幾何觀點(diǎn)描述物體在空間的位置隨時(shí)間變化的 幾何性質(zhì)運(yùn)動(dòng)方程、軌跡、速度、加速度等。運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性： 參照物-參考體-參考坐標(biāo)系-參考系 對(duì)任何物體運(yùn)動(dòng)的描述都是相對(duì)的。點(diǎn)、剛體第八章第八章 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)1.點(diǎn)的直線運(yùn)動(dòng)軌跡：點(diǎn)所走過(guò)的路線xoMxx = x（t）運(yùn)動(dòng)方程：平均速度：txv加速度：xvdtxddtdva 22xdtdxv速度： 在直線運(yùn)動(dòng)中, v、a 都是代數(shù)量，當(dāng)v、a 同號(hào)時(shí)，點(diǎn)作加速運(yùn)動(dòng)，否則反之。 建立點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程是描述點(diǎn)運(yùn)動(dòng)幾何性質(zhì)的關(guān)鍵。若a為常量,則有:axvvattvxxatvv2212022000例:曲柄連桿機(jī)構(gòu)如

2、圖,求滑塊B的運(yùn)動(dòng)規(guī)律、速度及加速度。oBArlt 解： 分析要求點(diǎn)的軌跡若為直線運(yùn)動(dòng)，則建立直線軸x，取一固定點(diǎn)作為原點(diǎn)，將要求點(diǎn)置于坐標(biāo)軸上任意位置（不要放在特殊位置），標(biāo)出動(dòng)點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的位置坐標(biāo)x，純粹用幾何方法找出x的長(zhǎng)度，并表成時(shí)間t 的函數(shù)，即為運(yùn)動(dòng)方程。xx x = rcost+ lcos而 tlrsinsin2)sin(1costlrltrxv、a 同學(xué)們自己求。2.點(diǎn)的曲線運(yùn)動(dòng)一. 矢徑法:(用于理論推導(dǎo))MrOr rM r = = r (t)運(yùn)動(dòng)方程：矢端所描出的曲線即為M點(diǎn)的軌跡.平均速度:速度:rvrva 22dtddtd加速度：trvrrvdtd二、直角坐標(biāo)法(多用

3、于軌跡為未知之情形)Mrr =xi+yj+zkk kj ji i（x，y，z）（x， y， z） xyz0M x = x（t）y = y（t）Z = z（t）運(yùn)動(dòng)方程：kjirvzyxkjirvazyx 222zyxvvx coszvayvaxvazzyyxx 222zyxa ax coszvyvxvzyx例：半徑為r的圓輪放在粗糙的水平面上，輪心A以勻速v0前進(jìn)，求輪緣上任一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。v0 AOM解：在輪緣上任取一點(diǎn)M（不能是特殊點(diǎn)）；xy 找一固定點(diǎn)O建立直角坐標(biāo)，標(biāo)出M點(diǎn)的位置坐標(biāo)；DBC 純粹用幾何方法找出該坐標(biāo)的長(zhǎng)度，最終表為時(shí)間t的函數(shù)-即為運(yùn)動(dòng)方程。x=OC=OB-CBy=M

4、C=AB-AD=vot-rsin=r-rcosrMBrtvsin0rtvrtv00sinrtvrr0cos速度、加速度請(qǐng)同學(xué)們做。三、自然坐標(biāo)法(用于軌跡為已知之情形):1、弧坐標(biāo)、運(yùn)動(dòng)方程S(+)Ms=s(t)oS：弧坐標(biāo)運(yùn)動(dòng)方程：自然法：用弧坐標(biāo)描述點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方法 稱為弧坐標(biāo)法或自然坐標(biāo)法， 簡(jiǎn)稱自然法。2、曲率、自然軸系MoTM T sT 把MM 段曲線的平均彎曲程度用K*表示K*s= 平均曲率:曲率:dsdk曲率半徑:ddsk1rr自然軸系: 對(duì)于空間任意曲線,其上任一點(diǎn)都有自己的切線和法線,以弧坐標(biāo)增加的方向規(guī)定為切線的正向,沿切線的單位矢量記為 ,規(guī)定過(guò)切點(diǎn)指向曲率中心的方向?yàn)橹鞣ň€

5、方向,沿主法線的單位矢量記為n,再取 b= n 為第三個(gè)矢量,稱為付法線,此三軸即為自然自然軸系軸系. 自然軸系為流動(dòng)坐標(biāo)系，其原點(diǎn)隨點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)， 、n 、b是變矢量,其方向隨點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)而改變。Mbno(+)3、速度MoM s(+)r r r rO r r0 0 ttr0limdtdrv )(lim00r srtsts v4、加速度MoM s(+) n nCdtd va dtsd)(dtdsdtsddtdss dtdsdsddddtdddsk)(limlim00edde ee00lim2sin2limnnnss2 naa 字母頂上加“”表示矢量，以下同。 切向加速度:sa aaan 法向

6、加速度:22aaan 全加速度:naatgnvan2a aa an n a a全加速度始終位于曲線內(nèi)凹的一側(cè).特殊地:=, an=0 ,直線運(yùn)動(dòng), a=a, 直線運(yùn)動(dòng)不必表為弧坐標(biāo).v=常量, a=0 ,勻速曲線運(yùn)動(dòng), a=a.n.勻變速曲線運(yùn)動(dòng), a=常量, 則有: savvtatvsstavv2212022000例1: 點(diǎn)作平面曲線運(yùn)動(dòng),速度為v,其加速度a與曲率圓所截的弦MA=l,求證此時(shí) rvaan2cos解:依題意畫圖,CAMlravlva22rl 2cos例2: 點(diǎn)作平面曲線運(yùn)動(dòng),其速度v在某一固定方向的投影為常量C, 求證其加速度 ,為曲線在M點(diǎn)處的曲率半徑. MvnyxCva3

7、Cvvxcos解:依題意畫圖,0 xayaaarvaan2cosvCcos兩式相除即得結(jié)果.概念題 ： 點(diǎn)M做直線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程曲線為x-t曲線，問(wèn)速度曲線v-t有幾處明顯錯(cuò)誤? x(t)tt1 v(t)tOOt2 t3 以后為直線答:t=0 ， v0 t=t1 ， v=0 t=t2 ， v=0 t1t t2 ， v 0 tt3 ，v=CMv v 沿切線判斷正誤: 點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)方程為x =A sint , A、為常數(shù)，則M點(diǎn)的軌跡必為正弦曲線。 左圖中動(dòng)點(diǎn)M作加速運(yùn)動(dòng)，右圖中動(dòng)點(diǎn)M作減速運(yùn)動(dòng).a a 沿法線.v v 沿切線a a M 下列三圖中，點(diǎn)沿已知曲線運(yùn)動(dòng)，圖上標(biāo)注的 v v、a a 是

8、否可能? v v沿切線a a v v a a v v a a 切線切線概念題 ： 1)點(diǎn)做何種運(yùn)動(dòng)，出現(xiàn)下列情況之一： 2）點(diǎn)M沿螺線以勻速v自外向里運(yùn)動(dòng)，問(wèn)該點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的加速度是越來(lái)越大？還是越來(lái)越小？ 勻速直線運(yùn)動(dòng)勻速直線運(yùn)動(dòng).vM勻速曲線運(yùn)動(dòng)勻速曲線運(yùn)動(dòng)直線運(yùn)動(dòng)直線運(yùn)動(dòng) a 0 an 0 a 0概念題 ： 1)圖示點(diǎn)沿曲線(不是直線)運(yùn)動(dòng)，已知 a a 為常矢量。問(wèn)點(diǎn)作下列何種運(yùn)動(dòng)？ 勻變速運(yùn)動(dòng)。非勻變速運(yùn)動(dòng)。 勻速運(yùn)動(dòng)。 2）判斷正誤 點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，必有 點(diǎn)作勻速曲線（不是直線）運(yùn)動(dòng)，則 （a） a a =0 （b） =常矢量 （c） =常量 （d） v v =常矢量aaaa an n

9、a a svva2202例：點(diǎn)沿拋物線 y2=4px 運(yùn)動(dòng)，沿y方向的速度為常量C，求vx及加速度 a 。解：軌跡方程兩邊對(duì) t 求導(dǎo)，pCxCpxpCxxpCvaavaCpxCppxpyCvxpyyxxyyx22202442422 例：點(diǎn)沿半徑為R的圓周作勻加速運(yùn)動(dòng)，v0=0，全加速度 a 與切線的夾角為，以表示點(diǎn)所走過(guò)的弧 s 所對(duì)的圓心角，求證： tg=2as解：根據(jù)題意畫圖：Rvaan2sinaacos兩式相除：Ravtg2sav v2202 而Rs 又 tg=2例：點(diǎn)沿半徑為R的圓弧運(yùn)動(dòng)，v在直徑AB方向的投影u是常數(shù)，求點(diǎn)M的vM及aM與的關(guān)系。ABvM解：uvvxsinsinuv

10、 ruva32sincos 222sinrurvan3222sinruaaanx例：圖示卷?xiàng)顧C(jī)構(gòu)，繩OB以勻速下拉，求套在固定桿上的套筒A的速度與加速度，表成 x 的函數(shù)。AOBlxvB解：A作直線運(yùn)動(dòng)，222lABx兩端對(duì)時(shí)間求導(dǎo)：0)(22BvABxx22)(lxxvxvABxBB?x 同學(xué)們自己求。第九章第九章 剛體的簡(jiǎn)單運(yùn)動(dòng)剛體的簡(jiǎn)單運(yùn)動(dòng)1 . 剛體的平行移動(dòng)(平動(dòng)) 剛體的平動(dòng) : 如果剛體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,其上任一條直線始終與它的最初位置平行,這種運(yùn)動(dòng)稱為剛體的平行移動(dòng),簡(jiǎn)稱平動(dòng)或移動(dòng).平面平行四連桿機(jī)構(gòu)orAABA1B1A2B2rBaAaBvAvBBAv vv vBAa aa a 當(dāng)

11、剛體平行移動(dòng)時(shí),其上各點(diǎn)的軌跡形狀相同;在同一瞬時(shí),各點(diǎn)的速度、加速度也分別相同. 研究剛體的平動(dòng)可以歸結(jié)為研究剛體內(nèi)一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng).BABAr rr r2 .剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng) 轉(zhuǎn)動(dòng) : 如剛體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,其中只有一條直線保持不動(dòng), 則這種運(yùn)動(dòng)稱為剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng),簡(jiǎn)稱轉(zhuǎn)動(dòng). 這條不動(dòng)的直線,稱為剛體的轉(zhuǎn)軸,簡(jiǎn)稱軸.z 轉(zhuǎn)角:=(t)轉(zhuǎn)動(dòng)方程:角速度:dtd 22dtddtd角加速度:2212022000ttt當(dāng)角加速度為常量時(shí)，有:3 .轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)各點(diǎn)的速度和加速度s s RsRRsv 轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)任一點(diǎn)的速度大小,等于剛體的角速度與該點(diǎn)到軸線的垂直距離的乘積,它的方向沿圓周的切線而指向轉(zhuǎn)動(dòng)的一

12、方.MvoR 切向加速度:RRsa aaan 法向加速度:222)(RRRRvan 全加速度:naatg2422Raaan速度:a a a an n a a4 .輪系的傳動(dòng)比v122211rrv1221rr12i傳動(dòng)比：r1r212r1r2)1 (60n2 rpm sn轉(zhuǎn)速 轉(zhuǎn)/分， ； 角速度概念題1)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角加速度為正時(shí)，則剛體 （1）越轉(zhuǎn)越快 （2）越轉(zhuǎn)越慢 （3）不一定2）兩齒輪嚙合時(shí)： 接觸點(diǎn)的速度 （1）相等；（2）不相等；（3）不一定 接觸點(diǎn)的切向加速度 （1）相等；（2）不相等；（3）不一定3）平動(dòng)剛體上點(diǎn)的軌跡不可能為空間曲線4）某瞬時(shí)平動(dòng)剛體上各點(diǎn)的速度大小相等而方向可

13、以不同練習(xí)題：圖示連續(xù)印刷過(guò)程，紙厚為b，以勻速v水平輸送，試以紙卷的半徑表示紙卷的角加速度。vbr解：ddrrvdtdddrrvdtdrrvrv222 )減小r(2增大時(shí)而bddr 322rbv 練習(xí)題：一飛輪繞固定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，其輪緣上任一點(diǎn)的全加速度在某段運(yùn)動(dòng)過(guò)程中與輪半徑的夾角恒為600，當(dāng)運(yùn)動(dòng)開(kāi)始時(shí)，其轉(zhuǎn)角0=0， 初角速度為 0，求飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)方程及角速度與轉(zhuǎn)角的關(guān)系。aO解：ra60sina2n60cosara兩式相除：260tg2323dtd23dddtd23dddd3030dd30e第十章第十章 點(diǎn)的合成點(diǎn)的合成( (復(fù)合復(fù)合) )運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)1. 基本概念點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)研究一個(gè)點(diǎn)相對(duì)于

14、兩個(gè)完全不同的坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)及其之間的關(guān)系. 點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)研究一個(gè)點(diǎn)相對(duì)于兩個(gè)完全不同的坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)及其之間的關(guān)系.絕對(duì)運(yùn)動(dòng)絕對(duì)運(yùn)動(dòng)牽連運(yùn)動(dòng)牽連運(yùn)動(dòng)靜系相對(duì)運(yùn)動(dòng)相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)點(diǎn)M動(dòng)系點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng) 牽連點(diǎn):動(dòng)系上瞬時(shí)瞬時(shí)與動(dòng)點(diǎn)重合與動(dòng)點(diǎn)重合的點(diǎn). 絕對(duì)速度 va絕對(duì)加速度 aa相對(duì)速度 vr相對(duì)加速度 ar靜系通常固結(jié)于地面 牽連點(diǎn)相對(duì)于靜系的速度、加速度分別稱之為牽連速度v ve e和牽連加速度a ae e。2 .點(diǎn)的速度合成定理AMBM1M/ABrae/11/MMMMMMtMMtMMtMMttt/1010/0limlimlim 動(dòng)點(diǎn)在某瞬時(shí)的絕對(duì)速度等于它在該瞬時(shí)的牽連速度與相對(duì)速度

15、的矢量和。r例1:凸輪半徑為R,沿水平面以勻速v0向右運(yùn)動(dòng),求=600時(shí)桿AB的速度.ABv0R解:r re ea av vv vv v003360vvctgveaABv0R.正確地選取并明確地指出指出動(dòng)點(diǎn)和動(dòng)系：動(dòng)點(diǎn)和動(dòng)系不能在同一剛體上；在某一物體上，動(dòng)點(diǎn)相對(duì)該物體的位置應(yīng)是不變的點(diǎn)；動(dòng)點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡要清晰可辨；常取兩物體的接觸點(diǎn)、滑塊、套筒、小環(huán)、小球等為動(dòng)點(diǎn)。對(duì)動(dòng)點(diǎn)進(jìn)行速度分析并圖示,列出速度合成定理,常用幾何法求速度幾何法求速度。動(dòng)點(diǎn): A(AB上)動(dòng)系: 凸輪.分析三種運(yùn)動(dòng):絕對(duì)運(yùn)動(dòng): 直線運(yùn)動(dòng);相對(duì)運(yùn)動(dòng): 曲線運(yùn)動(dòng);牽連運(yùn)動(dòng): 平動(dòng)vavevrr re ea av vv vv

16、vvavevr0erv2vv360sin0ABCODM解：動(dòng)點(diǎn)M，動(dòng)系OD桿vevavr23cosOCOMve232coseavv23sinarvvt =1s 時(shí)，=30023633108 OM例2：OD桿繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)方程為：radt6sin3小環(huán)M套在OD桿和固定桿AB上，設(shè)OC=54cm，求 t =1s 時(shí)小環(huán)M的絕對(duì)速度與相對(duì)速度。r re ea av vv vv vvrvave例3 ：桿OA長(zhǎng)l，在推桿BCD以勻速u 的推動(dòng)下繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，求當(dāng)OC=x時(shí)，桿端A的速度，表為x的函數(shù)。buxDCBOA解：動(dòng)點(diǎn)B，動(dòng)系OA。vevavrsinaevvubxb22OBveOA22bxveubx

17、b22ubxlbvA22例4 ：OA桿繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，=t / 6 （rad），小環(huán)M套在OA桿和半徑為 r = 6cm 的固定大圓環(huán)上，求當(dāng)t=2秒時(shí)，小環(huán)M 的va、 ve、 vr 。MOA解：動(dòng)點(diǎn)M，動(dòng)系OA，牽連為轉(zhuǎn)動(dòng)，vavrve3sin2rvectgvver2cosravvr re ea av vv vv v3. 牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)時(shí)點(diǎn)的加速度合成定理zxox y z o MM 絕對(duì)軌跡相對(duì)軌跡a ar r a ae e a aa a r re ea avvvr r0 0 vv d dt td dd dt td dr ro ovvvdtdar re ea aa aa aa a推導(dǎo)有中間過(guò)程,

18、略上式為矢量式,最多可能有六項(xiàng):r rn ne en na an nr re ea aa aa aa aa aa aa a一般用投影式求解.例:凸輪半徑為R,沿水平面向右運(yùn)動(dòng),當(dāng)=600時(shí)凸輪的速度為u,加速度為a,求此時(shí)桿AB的加速度.ABuRa解:解題思路與求速度同, 求加速度時(shí)一般應(yīng)先求速度.在上例中,速度已經(jīng)求出,為003360vvctgvea0erv32vv060sin動(dòng)點(diǎn): A (AB上)動(dòng)系: 凸輪列出加速度合成公式:r rn ne en na an nr re ea aa aa aa aa aa aa ar rn nr re ea aa aa aa aa aa aa a a a

19、e e arn ar ?將上式向不要求的未知量的垂線方向投影nreaacosasinaRva2rnr若要求ar則可將加速度矢量式向另一軸投影.注意!矢量等式投影時(shí),兩端各自投影,等號(hào)照搬。r rn ne en na an nr re ea aa aa aa aa aa aa a例:凸輪半徑為R,沿水平面向右運(yùn)動(dòng),當(dāng)=600時(shí)凸輪的速度為u,加速度為a,桿OA長(zhǎng)l,此時(shí)與鉛直線的夾角為300,求此時(shí)桿OA的角加速度OA.解.動(dòng)點(diǎn): A (AO上)動(dòng)系: 凸輪a ae e ar AuRaO絕對(duì)運(yùn)動(dòng): 圓弧運(yùn)動(dòng);相對(duì)運(yùn)動(dòng): 圓弧運(yùn)動(dòng);牽連運(yùn)動(dòng): 平動(dòng)v va a v ve e v vr r arn

20、aan aa 將上式向不要求的未知量的垂線方向投影r re ea avvvr rn ne ea an nr ra aa aa aa aa aa a?練習(xí)題：圖示傾角為=30o的尖劈以勻速u=200mm/s沿水平面向右運(yùn)動(dòng)，使桿OB繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，BOBOmmr,3200求時(shí)當(dāng),OBurvavrve30cos2eravvv解：速度分析如圖31rvaBOaaaraan牽連為平動(dòng)，加速度分析如圖2733030sin30cos2tgaanaa練習(xí)題：半徑為R的固定半圓環(huán)和可以水平移動(dòng)的豎直桿AB用小環(huán)M套在一起，位于同一平面內(nèi)。已知AB向右的速度為常數(shù)u，求圖示位置時(shí)，小環(huán)M的絕對(duì)加速度的大小和方向。45

21、0ABMu解：速度分析如圖vavrveuva2牽連為平動(dòng)，加速度分析如圖aaaraanRuRvaana222RuaRuaaanaa22222練習(xí)題：桿OA長(zhǎng)40cm，以勻角速=0.5rad /s 繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，求當(dāng)=300時(shí)，曲桿BC的速度和加速度。解：動(dòng)點(diǎn)A(OA上)，動(dòng)系BC。CBOAvavrvecosaevv coslscm /3 .17牽連為平動(dòng)，reaaaarenaaaaaaaraesinaeaa 22/530sinscml練習(xí)題：十字型套筒K套在固定桿AB和鉛直桿CD上，曲柄OC=32cm并以=t /4 的規(guī)律繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，求當(dāng)t=秒時(shí)套筒K的加速度。OKDCBA解：動(dòng)點(diǎn)套筒K，動(dòng)系CD，

22、牽連為平動(dòng)。aeaaarconst, t4144時(shí),當(dāng)t2OCaanee)/( 22scmcoseaaa )/(22scm4. 牽連運(yùn)動(dòng)為轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)的加速度合成定理其中,ak為科氏加速度,由動(dòng)系的轉(zhuǎn)動(dòng)和相對(duì)運(yùn)動(dòng)共同作用所致.加速度合成式為矢量式,最多可能有七項(xiàng):k kr rn ne en na an nr re ea aa aa aa aa aa aa aa a一般用投影式求解.r re ea av vv vv vr re ea aa aa aa a動(dòng)系平動(dòng)時(shí):速度:動(dòng)系轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí):k kr re ea aa aa aa aa ar rk k2 2v va asin2vark方向:大小:也可將vr沿

23、的轉(zhuǎn)向旋轉(zhuǎn)900即是.(推導(dǎo)略)CBAODv ve e 例:彎成直角的曲桿OAB以常角速繞O轉(zhuǎn)動(dòng),設(shè)OA=r,求=300時(shí)CD桿的速度和加速度.解: 動(dòng)點(diǎn):C(CD上), 動(dòng)系:OAB絕對(duì)運(yùn)動(dòng): 鉛直線運(yùn)動(dòng);相對(duì)運(yùn)動(dòng): 斜直線運(yùn)動(dòng);牽連運(yùn)動(dòng): 轉(zhuǎn)動(dòng)r re ea av va a v vr r tg30cos30rtg30OCtg30vear32k kr rn ne en na an na aa aa aa aa aa aa ar re ea aaraaa ae e a ak k ?knaa0cos30acos30ae2ar3910a注意!不要掉了ak例:彎成直角的曲桿OBC繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，小環(huán)M同時(shí)

24、套在曲桿和固定桿OA上，已知，OB=10cm，曲桿的角速度= 0.5 rad / s，求當(dāng)=600 時(shí)小環(huán)M 的速度和加速度。ABMOC解：動(dòng)點(diǎn)小環(huán)M，動(dòng)系曲桿，牽連運(yùn)動(dòng)為轉(zhuǎn)動(dòng)。vavrve10OMve31060 tgvvea2030sin/ervvaraa動(dòng)系轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí):k kr re ea aa aa aa aa aak將上式向圖示軸投影：kneaaaa60cos60cos)/(352scmaaaek kr rn ne en na an na aa aa aa aa aa aa ar re ea a?第十一章第十一章 剛體的平面運(yùn)動(dòng)剛體的平面運(yùn)動(dòng)1 基本概念 定義定義: : 在剛體運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中

25、，剛體上的在剛體運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，剛體上的任一點(diǎn)任一點(diǎn)( (每一點(diǎn)每一點(diǎn)) )與某一固定平面間的距離始與某一固定平面間的距離始終保持不變。這種運(yùn)動(dòng)稱為終保持不變。這種運(yùn)動(dòng)稱為剛體的平面運(yùn)動(dòng)剛體的平面運(yùn)動(dòng)。1 基本概念 一.定義:在剛體運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，剛體上的任一點(diǎn)(每一點(diǎn))與某一固定平面間的距離始終保持不變。這種運(yùn)動(dòng)稱為剛體的平面運(yùn)動(dòng)。二.平面圖形:剛體找點(diǎn)作直線該直線方位不變平動(dòng)該點(diǎn)代表該直線上所有點(diǎn)過(guò)該點(diǎn)作平面上無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)代表了無(wú)數(shù)條直線形成該剛體平面圖形平面圖形xyoo (xo,，yo,)(t)y(t)yx(t)x/oo三.運(yùn)動(dòng)方程:四.運(yùn)動(dòng)的分解: 在平面圖形上任找一點(diǎn)0，稱之為基點(diǎn)，則剛體的

26、平面運(yùn)動(dòng)可以分解為隨基點(diǎn)的平動(dòng)和繞該基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)兩部分。其平動(dòng)與基點(diǎn)的選擇有關(guān)，而轉(zhuǎn)動(dòng)與基點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān)。B A B A12 21即:平面運(yùn)動(dòng)中的轉(zhuǎn)角、角速度、角加速度與基點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)！2 . 平面圖形上各點(diǎn)的速度A AV V 平面圖形上任一點(diǎn)的速度等于隨任選基點(diǎn)的平動(dòng)速度與繞該基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)速度的矢量和.BAABv vv vv v1.基點(diǎn)法ABA AV VB BA AV VvB其中:ABBAABv其方向垂直于AB例:曲柄連桿機(jī)構(gòu)如圖所示,OA=r，以勻角速繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，AB=l，求當(dāng)=300時(shí)滑塊B的速度。 基點(diǎn)法既可以求剛體上任一點(diǎn)的速度,也可以求剛體作平面運(yùn)動(dòng)的角速度.r re ea av vv v

27、v vOAB其中AB為剛體平面運(yùn)動(dòng)的角速度。的大小、方向已知。Av v解：解題思路 將系統(tǒng)置于待求瞬時(shí)的位置，而不要放在一般位置；分析各構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)類型及整個(gè)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的傳遞過(guò)程，從運(yùn)動(dòng)為已知的構(gòu)件開(kāi)始，分析關(guān)鍵連接點(diǎn)的速度、加速度，并標(biāo)注在圖上；重點(diǎn)研究作平面運(yùn)動(dòng)的構(gòu)件，逐步從已知過(guò)渡到未知。OABv vA A v vB B v vBA BA v vA A BAABv vv vv vr vAcosvcosvAB)cos( BA2B2A2BAv2vvvvABvBABA 這里，AB作平面運(yùn)動(dòng)，A點(diǎn)的速度已知。二.速度投影法BAABv vv vv v0cosvcosvAB 剛體上任意兩點(diǎn)的速度在該兩點(diǎn)

28、的連線上投影相等. 稱之為速度投影定理.A AV VABA AV VB BA AV VvBcosvcosvBA 速度投影定理主要用于已知?jiǎng)傮w上兩點(diǎn)速度的方向及其中一點(diǎn)速度的大小,求另一點(diǎn)速度的大小，但不能用來(lái)求角速度。例：題目同前。例：四連桿機(jī)構(gòu)如圖，AB=BC=CD=l，AB的角速度為0 ，求當(dāng)1= 2 =60o時(shí)，CD桿的角速度D 。vBvCABCD012三 .求平面圖形上各點(diǎn)速度的瞬心法此時(shí)，剛體可以看作是繞C點(diǎn)作瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)。把速度瞬時(shí)為零的點(diǎn)稱為速度瞬時(shí)中心，簡(jiǎn)稱瞬心。BAABvvv若能找到一點(diǎn)C，且有VC=0，則以C點(diǎn)為基點(diǎn)，有：BCBCBCCBv vv vv vv vv v 0 A

29、AV VABA AV VB BA AV VvBA AV VABC 剛體平面運(yùn)動(dòng)時(shí)，任意瞬時(shí)都唯一確定地存在著瞬心。 找到瞬心后，剛體即可看作是繞瞬心作瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)。剛體上任一點(diǎn)的速度就等于剛體繞瞬心作瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)的速度。確定速度瞬心的幾種典型情況：1.已知?jiǎng)傮w上兩點(diǎn)速度的方向,且不平行:C過(guò)兩點(diǎn)作速度的垂線 ,交點(diǎn)即為瞬心.2.平行但不相等:CC3. 凸輪在固定面上只滾不滑時(shí):接觸點(diǎn)即為瞬心.C瞬心法既可求速度,也可求角速度.4. 瞬時(shí)平動(dòng):OAB 該瞬時(shí),瞬心在無(wú)窮遠(yuǎn)處(或無(wú)瞬心),剛體上各點(diǎn)速度均相等,角速度AB=0,但角加速度AB0.瞬心在剛體上不是瞬心在剛體上不是一個(gè)固定點(diǎn)一個(gè)固定點(diǎn), ,不同

30、瞬不同瞬時(shí)具有不同的位置時(shí)具有不同的位置, ,在給定瞬時(shí)其位置在給定瞬時(shí)其位置是唯一確定的是唯一確定的! !例:機(jī)構(gòu)如圖所示,OA=r，以勻角速繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，AB=l，求當(dāng)=600、OAB=900時(shí)輪緣上最高點(diǎn)D的速度。輪半徑為R，在地面上作純滾動(dòng)。OABDRr例:機(jī)構(gòu)如圖所示,OA=r，以勻角速繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，AB=l，求當(dāng)=600、OAB=900時(shí)輪緣上最高點(diǎn)D的速度。輪半徑為R，在地面上作純滾動(dòng)。解:v vA A v vB B CBCrv30cosvABC為輪B的瞬心,有:AB作平面運(yùn)動(dòng),用速度投影定理求VB:BCBRvv vD D BBCDv2R2vr334請(qǐng)思考:當(dāng)=900時(shí)vD=?3 . 平

31、面圖形上各點(diǎn)的加速度A Aa a 平面圖形上任一點(diǎn)的加速度等于隨任選基點(diǎn)的平動(dòng)加速度與繞該基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)加速度的矢量和.BAABa aa aa a(求加速度只有)基點(diǎn)法:AB其中:ABBA2ABnBAABaABa方向垂直于ABr re ea aa aa aa a動(dòng)系平動(dòng)時(shí):nB BA Aa aA Aa aB BA Aa anABBABAa aa aa aa a方向沿BA加速度合成式為矢量式，最多可能有六項(xiàng):B BA An nB BA AA An nA AB Bn nB Ba aa aa aa aa aa a一般用投影式求解.例：半徑為R的圓輪沿直線軌道作純滾動(dòng)，已知某瞬時(shí)輪心的速度為v0，加速度為

32、a0，求輪子上與軌道的接觸點(diǎn)C的加速度。v v0 0 a a0 0 C解：輪心O的加速度已知，則以O(shè)為基點(diǎn)求aCOCOCOnOCa aa aa aa aC CO Oa anCOa大小方向？Rva20nCOCORaCO,輪心O點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，有：RdtdRdtd(R)dtdvao0Ra00COaRaCOxy將加速度矢量式投影：0a0aa0Ocx20ncocyRaa2cycRaa沿直線軌道只滾不滑的圓輪其沿直線軌道只滾不滑的圓輪其速度瞬心的加速度為：速度瞬心的加速度為：2cRa其方向由瞬心指向輪心其方向由瞬心指向輪心a0=RaA=R2aBn =R2aB=2R練習(xí)題:半徑為R的圓輪，在直線軌道上只滾不

33、滑，設(shè)該瞬時(shí)、已知，求此時(shí)輪心O的加速度a0，與地面的接觸點(diǎn)A的加速度aA，輪緣上最高點(diǎn)B處的加速度aBn ，aB。OBAC練習(xí)題:桿長(zhǎng)AB=l，圖示位置時(shí)，vA、aA已知，求此時(shí)的AB 、AB、 vB、aB 。ABvAaA450解：AB的瞬心位于P點(diǎn)，該瞬時(shí)：PvBaBABBAlvv45sinaBAaBAnBAnBAABaaaanBAABaaa45cos45sin將上式向BA方向投影：將上式向BP方向投影：45sin45cos0BAnBAAaaa練習(xí)題:桿AB=l， OA= r， = 300 ，圖示位置時(shí)，OAAB，此時(shí)的 =0 、= 0 ，求 vB、aB 。300AOB解：AB的瞬心位于P

34、點(diǎn)，該瞬時(shí)：P030cosrvvABaBAaAnaBaBAnBAnBAABaaaa230cosBAnBABBAaa將上式向BA方向投影：033032lr rvABB lraB932202概念題: 圖示平行四連桿機(jī)構(gòu) ，ABC為一剛性三角形板，則C點(diǎn)的速度為: 1) Vc=AC 2) Vc=CO1 3) Vc=AO1 4) Vc=BCC點(diǎn)的切線加速度為: 1)a= AO12) a= AC 3) a= CO1 4) a= BCO1 AB O2ABCO2 O1 .平動(dòng)剛體上的( )始終保持不變 .平面運(yùn)動(dòng)剛體上的( )始終保持不變?nèi)我粭l直線的方位任一點(diǎn)到某一固定平面的距離剛體的平面運(yùn)動(dòng)綜合練習(xí)剛體的

35、平面運(yùn)動(dòng)綜合練習(xí)概念題: (1)平面運(yùn)動(dòng)通常可以分解為_(kāi)動(dòng)和_動(dòng)， _動(dòng)與基點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān)? _動(dòng)與基點(diǎn)的選擇有關(guān)? (2).如圖已知作平面運(yùn)動(dòng)的剛體上A點(diǎn)的速度vA，則B點(diǎn)的速度可能為圖中的哪一種_?vAAB300450 平平轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)概念題: (1)平面圖形某瞬時(shí)的角速度，角加速度，速度瞬心為C， 則 1). v vA A= v= vB B+ + _ 2). a aA A= a= aB B+ + _ 3). vA=AC_ 4). vB=_ 5). AB2=_ 6). AB=_ v vABAB a aABABCBnBAaBAa300300600300BA(2)平面圖形上A點(diǎn)的速度為vA，則B點(diǎn)速度可

36、能為圖中的哪一種?_概念題:下列平面圖形中，那些速度分布是不可能的?用“、”表示AvA vB vA vB BABvB vA vB vAvBABvA vA vA AABBvB vB vA vB v0=RvA=0概念題: 半徑為R的圓輪，在直線軌道上只滾不滑，設(shè)該瞬時(shí)已知，則輪心O的速度v0= ？與地面的接觸點(diǎn)A的速度vA= ？C點(diǎn)速度的大小及方向如何？OACRVC2概念題: （1）判正誤 ： 已知某瞬時(shí)平面圖形作瞬時(shí)平動(dòng)，則下列表達(dá)式是否正確？0;0;0;0;BAABBAnBAABBAaaaavvRvA20（2）圖示圓輪邊緣B點(diǎn)絞接桿AB，A端放在水平地面上，輪與地面只滾不滑，此瞬時(shí)A端速度為v

37、A，B點(diǎn)位于輪上最高點(diǎn)，則此時(shí)圓輪的角速度0= ？桿的角速度AB= ？ABOvA概念題:找出下列作平面運(yùn)動(dòng)的剛體的瞬心位置。概念題:找出下列作平面運(yùn)動(dòng)的剛體的瞬心位置。概念題:找出下列作平面運(yùn)動(dòng)的剛體的瞬心位置。只滾不滑練習(xí)題:機(jī)構(gòu)在圖示瞬時(shí)， 求該瞬時(shí)滑塊C的絕對(duì)速度vc，滑塊B相對(duì)于O2D的相對(duì)速度vr，O1A的角速度1，AB的角速度AB。 ，的角速度為，2221221DOOODODOAOO1O2ABrlCD2解：該瞬時(shí)，AB瞬時(shí)平動(dòng)。0 0 vAB21r2rllvC練習(xí)題:圖示機(jī)構(gòu)， OA= 2a， 在圖示位置時(shí)，OB=BA，OAAC，求此時(shí)套筒D相對(duì)于BC桿的速度。600ABODC解：分別求出套筒D和桿BC的速度，之差即為相對(duì)速度。vAvDavvAD230cosvevavra vvvveBCae 而30cos/avBCD15.1練習(xí)題:圖示機(jī)構(gòu)中，C作純滾動(dòng)，曲柄O1A以勻角速繞軸O1轉(zhuǎn)動(dòng)，且O1A=O2B=l，BC=2l，輪半徑R=l/4，求圖示位置時(shí)輪的角速度C 。此時(shí)，O1O2B=900。CBAO2 O1 300300解：綜合題，先考慮合成運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)A，動(dòng)系O2Bve