信息光學(xué)(傅里葉光學(xué))Chap2-1

1、第二章 線性系統(tǒng) Linear System 2-1 線性系統(tǒng)簡介一、用算符表示系統(tǒng)二、線性系統(tǒng)的定義g(x, y) = f(x, y) 輸入f(x, y)輸出g(x, y) a1 f1 (x, y) + a2 f2 (x, y) = a1 f1 (x, y) + a2 f2 (x, y) = a1 f1 (x, y) + a2 f2 (x, y) = a1 g1 (x, y) + a2 g2 (x, y) 如果g1(x, y) = f1(x, y)， g2(x, y) = f2(x, y)2-1 線性系統(tǒng)簡介線性系統(tǒng)具有疊加性質(zhì) 利用線性系統(tǒng)的疊加性質(zhì)，可以把復(fù)雜的輸入函數(shù)分解為簡單的 “基

2、元”函數(shù)的線性組合，則輸出就是這些“基元”函數(shù)響應(yīng)的線性組合。常用常用 “基元基元”函數(shù)有函數(shù)有d d 函數(shù)、復(fù)指數(shù)函數(shù)等等。函數(shù)、復(fù)指數(shù)函數(shù)等等。系統(tǒng)對某個輸入的響應(yīng)不會因為其它輸入的存在而改變系統(tǒng)的響應(yīng)性質(zhì)不會因為輸入幅度的增大而改變線性系統(tǒng)對各個輸入的響應(yīng)是互相獨立的。2-1 線性系統(tǒng)簡介 三、脈沖響應(yīng)系統(tǒng)對處于原點的脈沖函數(shù)的響應(yīng)：h(x, y) = d(x, y)系統(tǒng)對輸入平面上坐標(biāo)為(x,h)處的脈沖函數(shù)的響應(yīng)：h(x, y; x,h) = d (x-x, y- h)在線性系統(tǒng)中引入脈沖響應(yīng)的意義:1. 任意復(fù)雜的輸入函數(shù)可以分解為脈沖函數(shù)的線性組合2. 若線性系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)為

3、已知,則系統(tǒng)的輸出為脈沖響應(yīng)函數(shù)的線性組合2-1 線性系統(tǒng)簡介 任意復(fù)雜的輸入函數(shù)可以分解為脈沖函數(shù)的線性組合 hxhxdhxddyxfyxf),(),(),(根據(jù)d 函數(shù)的卷積性質(zhì)或d 函數(shù)的篩選性質(zhì):此式的物理意義: 脈沖分解函數(shù) f(x, y)可以看成輸入(x, y)平面上不同位置處的許多d 函數(shù)的線性組合.每個位于(x, h)的d 函數(shù)的權(quán)重因子是 f (x, h).2-1 線性系統(tǒng)簡介 線性系統(tǒng)的輸出為脈沖響應(yīng)函數(shù)的線性組合對于線性系統(tǒng):g(x, y) = f(x, y) hxhxhxhxhxdhxddyxhfddyxf),;,(),(),( ),(疊加積分只要知道各個脈沖響應(yīng)函數(shù),

4、 系統(tǒng)的輸出即為脈沖響應(yīng)函數(shù)的線性組合. 問題是如何求對任意點的脈沖d (x-x, y- h)的響應(yīng)h(x, y; x,h) 對一般系統(tǒng)而言, 脈沖響應(yīng)函數(shù)的形式可能是點點不同的只有對一類特殊的系統(tǒng)線性不變系統(tǒng), h(x, y; x,h)= h(x-x , y-h) 成立, 分析可以得到簡化.則 h (x;1) h (x-1)=1例如, d(x)= h (x)=1而 d(x-1)= h (x;1)= exp(-j2px)2-1 線性系統(tǒng)簡介 脈沖響應(yīng)函數(shù)h(x, y ; x, h )的求法: 2-2 線性不變系統(tǒng) 一、定義設(shè)系統(tǒng)在 t = 0時刻對脈沖的響應(yīng)為 h(t), 即: d(t)=h

5、(t)若輸入脈沖延遲時間 t ,其響應(yīng)只有相應(yīng)的時間延遲t, 而函數(shù)形式不變, 即 d (t - t )=h (t - t )則此線性系統(tǒng)稱為時不變系統(tǒng). 系統(tǒng)的性質(zhì)不隨所考察的時間而變, 是穩(wěn)定的系統(tǒng). 時間軸平移了, 響應(yīng)也隨之平移同樣的時間,即具有平移不變性.實際物理系統(tǒng)大多可近似為平移不變系統(tǒng)實際物理系統(tǒng)大多可近似為平移不變系統(tǒng).2-2 線性不變系統(tǒng) 推廣到二維空間函數(shù)空間脈沖在輸入平面發(fā)生位移, 線性系統(tǒng)的響應(yīng)函數(shù)不變, 只是產(chǎn)生相應(yīng)的位移, 即: d(x-x, y-h)=h (x-x, y-h)線性不變系統(tǒng)的脈沖響應(yīng):線性不變系統(tǒng)的輸入線性不變系統(tǒng)的輸入-輸出變換關(guān)系不隨空間位置變

6、化輸出變換關(guān)系不隨空間位置變化.則此線性系統(tǒng)稱為空間不變系統(tǒng)或位移不變系統(tǒng). h (x, y; x, h) = h (x-x, y-h)觀察點坐標(biāo)輸入脈沖坐標(biāo)二個坐標(biāo)的相對間距2-2 線性不變系統(tǒng): 例 時不變(一維)系統(tǒng) : RC電路tt0d (t-t)t0d (t)空不變(二維)系統(tǒng) : 等暈成像系統(tǒng)d (x-x ; y-h)(x ;h)h(x-x ; y-h)xyxy光學(xué)成像系統(tǒng)在等暈區(qū)內(nèi)是空間不變的.暈斑d (x,y)h(x,y)th(t)0th(t-t)t02-2 線性不變系統(tǒng) 輸入輸出關(guān)系: 空域 hxhxdhxdddyxfyxyxfyxf);(),(),(),(),( hxhxd

7、hxddyxfyxfyxg);( ),(),( ),( hxhxhxddyxhf);(),(),(),(yxhyxf輸出是輸入與脈沖響應(yīng)函數(shù)的卷積積分.這也是線性空不變系統(tǒng)的判據(jù).2-2 線性不變系統(tǒng) 二、線性不變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)),(),(),( yxhyxfyxg由兩邊作F.T.: G(fx,fy) = F (fx,fy) H (fx,fy) 傳遞函數(shù)輸出頻譜輸入頻譜傳遞函數(shù)是脈沖響應(yīng)函數(shù)的.F.T. dxdyyfxfjyxhffHyxyx)(2exp),(),(p= h(x,y)2-2 線性不變系統(tǒng) 傳遞函數(shù)頻率響應(yīng)注意H (fx,fy) 是 h(x,y) 的F.T.,即h(x,y)的頻譜

8、函數(shù)h(x,y)是對d(x,y)函數(shù)的響應(yīng)d 函數(shù)的頻譜恒為1, 即含有所有頻率成分, 并且各頻率成分的權(quán)重都相等(=1).但h(x,y)的頻譜已經(jīng)改變成H (fx,fy) H (fx,fy)反映了系統(tǒng)對不同頻率成分的響應(yīng), 即頻率響應(yīng)2-2 線性不變系統(tǒng) 傳遞函數(shù)頻率響應(yīng)對于給定的系統(tǒng)和輸入, F (fx,fy) 和H (fx,fy) 較容易求出, 因此容易由輸出的頻譜推算出系統(tǒng)的輸出, 可避免冗繁的卷積積分求輸出的運算例: P62, 2.1已知線性不變系統(tǒng)的輸入為g(x) = comb(x)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 rect(f/b), 若b取下列值, 求系統(tǒng)的輸出 g(x) (1) b=1 (2

9、) b=32-2 線性不變系統(tǒng) 傳遞函數(shù)例: P62, 2.1系統(tǒng)的輸入 g(x) = comb(x)傳遞函數(shù) H(f) = rect(f/b) = rect(f) (取b=1)解: 輸入頻譜 G(f)= comb(x) = comb(f) 閱讀: P36, 七、八(2) 輸出頻譜 G(f)= G(f) H(f) = rect(f) comb(f)=d(f) 輸出函數(shù) g(x) = -1G(f) = 1fG(f)0-1101/21/2fH(f)1fG(f)0-11=*=?xg(x)0-11F.T.g(x)1xF.T.-1圖解:2-2 線性不變系統(tǒng) 例: P62, 2.1(續(xù)): 空域處理輸出函

10、數(shù) g(x) = g(x)*h(x) = comb(x) * sinc(x)圖解:系統(tǒng)的輸入 g(x) = comb(x)脈沖響應(yīng): h(x)= -1H(f) = sinc(x)xg(x)0-11*xsinc(x)01-11=g(x)1x2-2 線性不變系統(tǒng): 傳遞函數(shù)例: P62, 2.1 b=3g(x) = comb(x), H(f) = rect(f/b) = rect(f/3) (取b=3)G(f)= comb(x) = comb(f)G(f)= G(f) H(f) = rect(f/3) comb =d(f)+ d(f-1)+ d(f+1)g(x) = -1G(f) = 1+2cos

11、(2px)fG(f)0-1103/2-3/2fH(f)1=*=?xg(x)0-11F.T.F.T.-1fG(f)0-11g(x)1x2-2 線性不變系統(tǒng) 例: P62, 2.1(續(xù)): b=3 空域處理輸出函數(shù) g(x) = g(x)*h(x) = comb(x) * 3sinc(3x)圖解:xg(x)0-11*系統(tǒng)的輸入 g(x) = comb(x)脈沖響應(yīng): h(x)= -1H(f) =3sinc(3x)x3sinc(3x)01-11=g(x)1xg(x)1x=2-2 線性不變系統(tǒng) 三、線性不變系統(tǒng)作為濾波器線性空不變系統(tǒng)通過傳遞函數(shù)改變輸入函數(shù)的頻譜,其功能類似濾波器.輸入系統(tǒng)輸出空域

12、f(x,y)h(x,y) g(x,y)= f(x,y) * h(x,y)頻域 F(fx,fy)H(fx,fy) G(fx,fy)= F(fx,fy) H(fx,fy)傳遞函數(shù)通常是復(fù)函數(shù),可以改變輸入函數(shù)的振幅和位相振幅傳遞函數(shù):對各頻率分量產(chǎn)生均勻的位相延遲,但改變相對振幅大小位相傳遞函數(shù):對各頻率分量產(chǎn)生均勻的振幅衰減,但改變相對位相分布2-2 線性不變系統(tǒng) 濾波器的分類 全通濾波器: 整體無畸變地通過,但允許幅值變化和位移脈沖響應(yīng): kd (x-x , y-h)傳遞函數(shù): kexp-j2p (fxx fyh)輸出: g(x,y) = f(x,y)* h(x,y)= f(x,y)* kd

13、(x-x , y-h) = k f(x-x , y-h)低通濾波器: 允許通過的頻率有一上限截止頻率例2.1中的傳遞函數(shù)的性質(zhì)：在|頻率| b的區(qū)間內(nèi)信號能無畸變地通過,此外全部阻塞. 這種系統(tǒng)的作用是低通濾波器. 高通濾波器: 允許通過的頻率有一下限 帶通濾波器: 只通過某特定頻帶內(nèi)的頻率分量 其它濾波器: 位相濾波器, 匹配濾波器等等線性不變系統(tǒng) 例:P64 2.7(3)間隔為2的脈沖陣列, 基頻為1/2在有限空間區(qū)域不為零, |x|25方波, 底寬為1)(rect50rect2comb21)(xxxxg輸入:0-25-2225. . . . . . . . . . . . xg(x)1線

14、性不變系統(tǒng) 例:P64 2.7(3)間隔為1/2的脈沖陣列 窄帶譜, 半寬1/50包絡(luò), 半寬為1輸入頻譜:)(sinc50sinc2comb50)(ffffG)(rect50rect2comb21)(xxxxg輸入:0-1/21/2fG(f)1-125線性不變系統(tǒng) 例:P64 2.7(3)對|f| 1/4 的 頻率分量反相其他頻率分量全通傳遞函數(shù)其它 141|f | 1)exp()2(rectexp)(ppjfjfH0-1-1/41/4fH(f)1H(f) = 1-2rect(2f)線性不變系統(tǒng) 例脈沖響應(yīng):2sinc)()( )(xxfHxhd-1H(f) = 1-2rect(2f)0-22xh(x)線性不變系統(tǒng) H(f) = 1-2rect(2f)G(f) = G(f).H(f) = G(f)-2rect(2f)G(f) 2rect(2f)250-1/21/2fG(f)1-1nnffffffG)2(50sinc)(sinc25 )(sinc50sinc22comb25)(2nfnd G(f)-225sinc(50f)sinc(f) G(f)- 2 25sinc(50f)線性不變系統(tǒng) 例:P64 2.7(3)輸出頻譜: G(f) G(f) - 2 25