第4章拉普拉斯變換

1、1 第四章第四章 拉普拉斯變換拉普拉斯變換 4.1 4.1 引言引言 4.2 4.2 拉普拉斯變換拉普拉斯變換 4.3 4.3 拉普拉斯變換的收斂域拉普拉斯變換的收斂域 4.4 4.4 常用函數(shù)的拉普拉斯變換常用函數(shù)的拉普拉斯變換 4.5 4.5 拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換 4.6 4.6 拉普拉斯變換的基本性質(zhì)拉普拉斯變換的基本性質(zhì) 小小 結(jié)結(jié)2 4.1 4.1 引言引言 傅立葉分析工具在研究信號和線性時不變系傅立葉分析工具在研究信號和線性時不變系統(tǒng)的很多問題時，是極為有用的。但傅立葉變統(tǒng)的很多問題時，是極為有用的。但傅立葉變換有不足之處。換有不足之處。1 1、要求信號、要求信號f(t)絕

2、對可積。而有些常用信絕對可積。而有些常用信號不滿足該條件。號不滿足該條件。2、有些重要函數(shù)如、有些重要函數(shù)如eat (a0) 的傅立葉變換的傅立葉變換不存在，無法用傅立葉分析方法處理。不存在，無法用傅立葉分析方法處理。而拉氏變換作為傅氏變換的推廣，解決了上述不足。而拉氏變換作為傅氏變換的推廣，解決了上述不足。3拉氏變換與傅氏變換的關(guān)系：拉氏變換與傅氏變換的關(guān)系：1、傅立葉變換是將時間函數(shù)、傅立葉變換是將時間函數(shù)f(t)分解為無窮分解為無窮多項多項虛指數(shù)信號虛指數(shù)信號ej t之和。之和。 deFtftj)(21)(2、拉普拉斯變換是將時間函數(shù)、拉普拉斯變換是將時間函數(shù)f(t)分解為無窮多項分解為

3、無窮多項復(fù)復(fù)指數(shù)信號指數(shù)信號est之和。其中之和。其中s= +j s稱為復(fù)頻率稱為復(fù)頻率 dsesFjtfts)(21)( 3、拉普拉斯變換是傅立葉變換的推廣、拉普拉斯變換是傅立葉變換的推廣 4.1 4.1 引言引言返回返回4 4.2 4.2 拉普拉斯變換拉普拉斯變換一、從傅立葉變換到拉普拉斯變換一、從傅立葉變換到拉普拉斯變換1 1、傅立葉變換定義、傅立葉變換定義當(dāng)函數(shù)當(dāng)函數(shù)f(t)滿足狄里赫利條件時滿足狄里赫利條件時 deFtftj)(21)( dtetfFtj )()(52 2、當(dāng)函數(shù)不滿足絕對可積條件時、當(dāng)函數(shù)不滿足絕對可積條件時0)(lim ttetf tetf )(F F)( bF

4、dteetftjt )( dtetftj)()( )1()()( dtetfsFstb一、從傅立葉變換到拉普拉斯變換一、從傅立葉變換到拉普拉斯變換te稱為收斂因子稱為收斂因子其中其中dtetfst)(令令s= +j 因為上式中因為上式中t為積分變量為積分變量,故積分結(jié)果必為故積分結(jié)果必為s的函數(shù)的函數(shù)將將f(t)乘以乘以衰減因子衰減因子e- t ( 為為 一實常數(shù)一實常數(shù) ) ，恰當(dāng)?shù)剡x取，恰當(dāng)?shù)剡x取 的值的值 就有可以使就有可以使f(t)e- t 變得變得絕對可積絕對可積，即，即6令令s= +j ，,因因 為常數(shù)，所以為常數(shù)，所以d = 1/j ds，且當(dāng)，且當(dāng)時，時，s j 進行積分換元進

5、行積分換元用傅立葉反變換的定義方法求拉氏反變換用傅立葉反變換的定義方法求拉氏反變換 desFetftjbt)(21)( deesFtftjtb)(21)(兩邊同乘兩邊同乘e t)2()(21)( jjtsbdsesFjtf (1)式和式和(2)式為雙邊拉普拉斯變換對式為雙邊拉普拉斯變換對一、從傅立葉變換到拉普拉斯變換一、從傅立葉變換到拉普拉斯變換7二、拉普拉斯變換定義二、拉普拉斯變換定義1 1、雙邊拉普拉斯變換、雙邊拉普拉斯變換)2()(21)( jjtsbdsesFjtf )1()()( dtetfsFstbs稱復(fù)頻率，稱復(fù)頻率，F(xiàn)b(s)稱信號的復(fù)頻譜稱信號的復(fù)頻譜82 2、單邊拉普拉斯變

6、換、單邊拉普拉斯變換f(t)為有始函數(shù)，即為有始函數(shù)，即t0,幅度發(fā)散幅度發(fā)散 0的任何值，都有的任何值，都有0)(lim ttetu 所以其收斂域為所以其收斂域為s平面的右半面平面的右半面3. 線性增長信號線性增長信號 tn0lim tntet 對于對于 0的任何值，都有的任何值，都有所以其收斂域為所以其收斂域為s平面的右半面平面的右半面 4.3 4.3 拉普拉斯變換的收斂域拉普拉斯變換的收斂域134. 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)0lim ttatee 4.3 4.3 拉普拉斯變換的收斂域拉普拉斯變換的收斂域返回返回te只有當(dāng)只有當(dāng) 時，才有時，才有所以其收斂域為所以其收斂域為s平面上平面上 的部分的

7、部分.14 4.4 4.4 常用函數(shù)的拉普拉斯變換常用函數(shù)的拉普拉斯變換設(shè)設(shè)f(t)為有始函數(shù)，只討論單邊拉氏變換為有始函數(shù)，只討論單邊拉氏變換1、單位階躍信號、單位階躍信號u(t)L L )(tu 0dtest|0sests1 即即stu1)(L L ate 0dteestatas 1即即L L ateas 12、指數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)te153、 tn n為正整數(shù)為正整數(shù) L L nt 0dtetstn 010|dtentseeststnststn 01dtetsnstnL L nt1! nsn即即L L t21s 4.4 4.4 常用函數(shù)的拉普拉斯變換常用函數(shù)的拉普拉斯變換164、正弦函數(shù)、

8、正弦函數(shù))(21sintjtjeejt t sinL L則則 )(21tjtjeej LL)11(21 jsjsj 22 s 4.4 4.4 常用函數(shù)的拉普拉斯變換常用函數(shù)的拉普拉斯變換17即即 22sin stL L同理同理 22cos sstL L 4.4 4.4 常用函數(shù)的拉普拉斯變換常用函數(shù)的拉普拉斯變換185、沖激函數(shù)、沖激函數(shù) (t) 1)()(0 dtettst L L 1)( t L L即即同理同理 0)(0stett L L 4.4 4.4 常用函數(shù)的拉普拉斯變換常用函數(shù)的拉普拉斯變換返回返回19 4.5 4.5 拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換 利用拉氏變換進行系統(tǒng)分析時，常常

9、需要從象函利用拉氏變換進行系統(tǒng)分析時，常常需要從象函數(shù)數(shù)F(s)求出原函數(shù)求出原函數(shù)f(t)。 一、部分分式法一、部分分式法01110111)()()(asasasabsbsbsbsDsNsFnnnnmmmm 其中，其中，ai ,bj均為實數(shù)，均為實數(shù)，m，n為正整數(shù)為正整數(shù) 部分分式法的實質(zhì)部分分式法的實質(zhì)：將：將F(s)展開為簡單分式之和，展開為簡單分式之和，再逐項求出其拉氏反變換。再逐項求出其拉氏反變換。20一、當(dāng)一、當(dāng)m m n n時時 設(shè)設(shè)N(s)比比D(s)高高r階階 將將F(s)化為化為s的多項式與真分式之和的多項式與真分式之和 )()()(2210sBsAsgsgsggsFrr

10、 則其拉氏反變換為：則其拉氏反變換為： )()()()()()(1)(10sBsAtgtgtgtfrrL 一、部分分式法一、部分分式法21二、二、F(s)F(s)為真分式的情況為真分式的情況1、D(s)=0 的根為單實根的根為單實根)()()()()()(21nnpspspsasNsDsNsF 將上式展開為將上式展開為 n個簡單分式之和，即個簡單分式之和，即 )()()()(1)(2211nniinpskpskpskpskasF niiinpska1)(1其中，其中，ki為待為待定系數(shù)定系數(shù) 一、部分分式法一、部分分式法22 為了確定為了確定ki，在方程兩端同時乘以因子，在方程兩端同時乘以因子

11、(s-pi) ，再令再令s=pi ，則，則ipsinisDsNpsak )()()(或用另一辦法或用另一辦法(由羅比塔法則由羅比塔法則)ipsnisDsNak )()( 一、部分分式法一、部分分式法23 確定了確定了ki 之后，求出各簡單分式對應(yīng)的之后，求出各簡單分式對應(yīng)的時間函數(shù)，迭加后即為時間函數(shù)，迭加后即為f(t)nitpinniiintuekapskatfi111)(11)(L 一、部分分式法一、部分分式法24例：已知例：已知231)(2 sssF求求f(t)解：解：)2)(1(23)(2 sssssD有兩個互異實根有兩個互異實根將將F(s)展開為部分分式：展開為部分分式：21)(21

12、 sksksF 一、部分分式法一、部分分式法2521)(21 sksksF1) 2)(1(1) 1()() 1(|111 ssssssFsk1) 2)(1(1) 2()() 2(|222 ssssssFsk2111)( sssF即即 一、部分分式法一、部分分式法所以：所以： )()(2tueetftt 26、D(s)=0 的根為重實根的情況的根為重實根的情況設(shè)設(shè)p1為為r重實根重實根)()()()()()(1)(11111211211) 1( 111nnrrrrrrnpskpskpskpskpskpskasF 式中：含有單極點因子的部分分式系數(shù)求法與前述同式中：含有單極點因子的部分分式系數(shù)求法

13、與前述同 一、部分分式法一、部分分式法271)()()(11psrnrsDsNpsak 1)()()(1)1(1psrnrsDsNpsdsdak 1)()()()!(1)()(1psririrnisDsNpsdsdirak 含有重極點因子的部分分式系數(shù)求法如下：含有重極點因子的部分分式系數(shù)求法如下： 一、部分分式法一、部分分式法28 nritpintprrrrniekaektktrktrkatf111122) 1( 1111)!2()!1(1)(1 一、部分分式法一、部分分式法29、D(s)=0 的根為共軛復(fù)根的情況的根為共軛復(fù)根的情況因為因為D(s)的系數(shù)均為實數(shù)，所以有復(fù)的系數(shù)均為實數(shù)，所

14、以有復(fù)根出現(xiàn)時，必為成對的共軛復(fù)根。根出現(xiàn)時，必為成對的共軛復(fù)根。 一、部分分式法一、部分分式法設(shè)設(shè))( js 則則)()()()(1sDjsjssNsF 30)()()()(1sDjsjssNsF （）用上面所講方法進行部分分式展開（）用上面所講方法進行部分分式展開這種方法要進行復(fù)數(shù)運算，比較麻煩這種方法要進行復(fù)數(shù)運算，比較麻煩（）配方法（）配方法)()()()(122sDsMsbassF 一、部分分式法一、部分分式法31已知正弦函數(shù)已知正弦函數(shù) 22)()(sin stutetL L 22)()(cos sstutetL L余弦：余弦：所以，可以把含有共軛復(fù)根的部分分式用配方所以，可以把含

15、有共軛復(fù)根的部分分式用配方法寫成如下形式：法寫成如下形式：22)( s或或22)( ss 一、部分分式法一、部分分式法32例：例：52)(2ssssFjs21 極點為極點為222) 1(11)(sssF22222) 1(2212) 1(1sss)(2sin21)(2cos)(tutetutetftt 一、部分分式法一、部分分式法返回返回33 4.6 4.6 拉普拉斯變換的基本性質(zhì)拉普拉斯變換的基本性質(zhì)1、線性性質(zhì)、線性性質(zhì)若若 , )()(11sFtf L L )()(22sFtf L L則則 )()()()(22112211sFasFatfatfa L L2、時間平移、時間平移若若 )()(

16、sFtf L L則則 0)()()(00stesFttuttf L L34例：周期函數(shù)例：周期函數(shù)f(t)，周期為，周期為T，若，若f1(t)表示從表示從t=0開始開始 的第一個周期的波形，且的第一個周期的波形，且f1(t)的拉氏變換為的拉氏變換為F1(s)， 求求f (t)的拉氏變換的拉氏變換解：解： )2()2()()()()(111TtuTtfTtuTtftftf且且 ,)()(11sFtf L L sTsTesFesFsFtf2111)()()()(L L)1)(21 sTsTeesFsTesF 11)(1 4.6 4.6 拉普拉斯變換的基本性質(zhì)拉普拉斯變換的基本性質(zhì)353、s域域平移

17、平移若若 )()(sFtf L L則則 )()(00ssFetfts L L4、尺度變換、尺度變換若若 )()(sFtf L L則則 0)(1)( aasFaatfL L 4.6 4.6 拉普拉斯變換的基本性質(zhì)拉普拉斯變換的基本性質(zhì)365、時域微分、時域微分若若 )()(sFtf L L則則)0()()( fssFdttdfL L)0()0()()(222 fsfsFsdttfdL L)0()0()0()()()1(21 nnnnnnffsfssFsdttfdL L 4.6 4.6 拉普拉斯變換的基本性質(zhì)拉普拉斯變換的基本性質(zhì)37 當(dāng)當(dāng)f(t)為有始函數(shù)時，為有始函數(shù)時，f(0-), f(0-

18、), f(n-1)(0-)均均為為0，此時，此時)()(sFsdttfdnnn L L 4.6 4.6 拉普拉斯變換的基本性質(zhì)拉普拉斯變換的基本性質(zhì)386、時域積分、時域積分若若 )()(sFtf L L則則ssFdft)()(0 L LsdfssFdft 0)()()( L L 4.6 4.6 拉普拉斯變換的基本性質(zhì)拉普拉斯變換的基本性質(zhì)397、s域微分特性域微分特性若若 )()(sFtf L L則則)()()(tftdssdF )()()(tftdssFdnnn 4.6 4.6 拉普拉斯變換的基本性質(zhì)拉普拉斯變換的基本性質(zhì)8、s域積分特性域積分特性若若 )()(sFtf L L則則ttfd

19、ssFs)()(11 409、初值定理、初值定理若函數(shù)若函數(shù)f(t)及其導(dǎo)數(shù)及其導(dǎo)數(shù)f (t)存在拉氏變換，則存在拉氏變換，則f(t)的初值為：的初值為：)(lim)(lim)0(0ssFtffst 4.6 4.6 拉普拉斯變換的基本性質(zhì)拉普拉斯變換的基本性質(zhì)10、終值定理、終值定理若函數(shù)若函數(shù)f(t)及其導(dǎo)數(shù)及其導(dǎo)數(shù)f (t)存在拉氏變換，且存在拉氏變換，且sF(s)的所的所有極點都位于有極點都位于s平面的左半平面，平面的左半平面，則則f(t)的終值為：的終值為：)(lim)(lim)(0ssFtffst 41頻域卷積頻域卷積若若 , )()(11sFtf L L )()(22sFtf L L則則)()(21)()(2121sFsFjtftf 若若