導(dǎo)與練普通班高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第二篇函數(shù)及其應(yīng)用第9節(jié)函數(shù)模型及其應(yīng)用理

1、第第9 9節(jié)函數(shù)模型及其應(yīng)用節(jié)函數(shù)模型及其應(yīng)用知識(shí)鏈條完善知識(shí)鏈條完善考點(diǎn)專項(xiàng)突破考點(diǎn)專項(xiàng)突破解題規(guī)范夯實(shí)解題規(guī)范夯實(shí) 知識(shí)鏈條完善知識(shí)鏈條完善 把散落的知識(shí)連起來把散落的知識(shí)連起來【教材導(dǎo)讀】【教材導(dǎo)讀】 1.1.函數(shù)模型應(yīng)用常見的有哪三種情形函數(shù)模型應(yīng)用常見的有哪三種情形? ?提示提示: :(1)(1)利用給定的函數(shù)模型解決實(shí)際問題利用給定的函數(shù)模型解決實(shí)際問題; ;(2)(2)建立確定性函數(shù)模型解決實(shí)際問題建立確定性函數(shù)模型解決實(shí)際問題; ;(3)(3)建立擬合函數(shù)模型解決實(shí)際問題建立擬合函數(shù)模型解決實(shí)際問題. .2.2.應(yīng)用函數(shù)模型解決實(shí)際問題的一般步驟有哪些應(yīng)用函數(shù)模型解決實(shí)際問題的

2、一般步驟有哪些? ?提示提示: :(1)(1)審題審題;(2);(2)建模建模;(3);(3)求模求模;(4);(4)還原還原. .知識(shí)梳理知識(shí)梳理 1.1.三種函數(shù)模型性質(zhì)比較三種函數(shù)模型性質(zhì)比較y=ay=ax x(a1)(a1)y=logy=loga ax(a1)x(a1)y=xy=xn n(n0)(n0)在在(0,+)(0,+)上的單調(diào)性上的單調(diào)性單調(diào)單調(diào) 函數(shù)函數(shù)單調(diào)單調(diào) 函數(shù)函數(shù)單調(diào)單調(diào) 函數(shù)函數(shù)增長速度增長速度越來越越來越 . .越來越越來越 . .相對(duì)平穩(wěn)相對(duì)平穩(wěn)圖象的圖象的變化變化隨隨x x值增大值增大, ,圖象圖象與與y y軸接近平行軸接近平行隨隨x x值增大值增大, ,圖圖

3、象與象與x x軸接近軸接近平行平行隨隨n n值變化而值變化而不同不同遞增遞增遞增遞增遞增遞增快快慢慢ax+b ax+b axax2 2+bx+c+bx+c3.3.解函數(shù)應(yīng)用問題的步驟解函數(shù)應(yīng)用問題的步驟(1)(1)審題審題: :弄清題意弄清題意, ,分清條件和結(jié)論分清條件和結(jié)論, ,理順數(shù)量關(guān)系理順數(shù)量關(guān)系, ,初步選擇數(shù)學(xué)模型初步選擇數(shù)學(xué)模型; ;(2)(2)建模建模: :將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言, ,將文字語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言將文字語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言, ,利用利用數(shù)學(xué)知識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí), ,建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型; ;(3)(3)解模解模: :求解數(shù)學(xué)模型求解

4、數(shù)學(xué)模型, ,得出數(shù)學(xué)結(jié)論得出數(shù)學(xué)結(jié)論; ;(4)(4)還原還原: :將數(shù)學(xué)問題還原為實(shí)際問題的意義將數(shù)學(xué)問題還原為實(shí)際問題的意義. .以上過程用框圖表示如下以上過程用框圖表示如下: :【重要結(jié)論】【重要結(jié)論】 1.1.在區(qū)間在區(qū)間(0,+)(0,+)上上, ,盡管函數(shù)盡管函數(shù)y=ax(a1),y=logy=ax(a1),y=loga ax(a1)x(a1)和和y=xy=xn n(n0)(n0)都是都是增函數(shù)增函數(shù), ,但它們的增長速度不同但它們的增長速度不同, ,而且不在同一個(gè)而且不在同一個(gè)“檔次檔次”上上. .2.2.隨著隨著x x的增大的增大,y=ax(a1),y=ax(a1)的增長速度

5、越來越快的增長速度越來越快, ,會(huì)超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于會(huì)超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y=xy=xn n(n0)(n0)的增長速度的增長速度, ,而而y=logy=loga ax(a1)x(a1)的增長速度則會(huì)越來越慢的增長速度則會(huì)越來越慢. .3.3.總會(huì)存在一個(gè)總會(huì)存在一個(gè)x x0 0, ,使得當(dāng)使得當(dāng)xxxx0 0時(shí)時(shí), ,有有l(wèi)ogloga axxxxn naax x. .夯基自測(cè)夯基自測(cè)A A C C2.2.某種細(xì)胞某種細(xì)胞, ,每每1515分鐘分裂一次分鐘分裂一次(12)(12)這種細(xì)胞由這種細(xì)胞由1 1個(gè)分裂成個(gè)分裂成4 0964 096個(gè)個(gè)需經(jīng)過需經(jīng)過( ( ) )(A)12(A)12小時(shí)小時(shí)(B)

6、4(B)4小時(shí)小時(shí)(C)3(C)3小時(shí)小時(shí)(D)2(D)2小時(shí)小時(shí)解析解析: :2 21212=4 096,=4 096,分裂了分裂了1212次次. .共用時(shí)共用時(shí)121215=18015=180分鐘分鐘=3=3小時(shí)小時(shí). .A A3.3.某種動(dòng)物繁殖量某種動(dòng)物繁殖量y(y(只只) )與時(shí)間與時(shí)間x(x(年年) )的關(guān)系為的關(guān)系為y=alogy=alog3 3(x+1),(x+1),設(shè)這種動(dòng)設(shè)這種動(dòng)物第物第2 2年有年有100100只只, ,到第到第8 8年它們發(fā)展到年它們發(fā)展到( ( ) )(A)200(A)200只只(B)300(B)300只只(C)400(C)400只只(D)500(D)

7、500只只解析解析: :由已知得由已知得100=alog100=alog3 3(2+1),(2+1),得得a=100,a=100,則當(dāng)則當(dāng)x=8x=8時(shí)時(shí),y=100log,y=100log3 3(8+1)=200(8+1)=200(只只).).答案答案: :2 5002 500答案答案: :y=a(1+r)y=a(1+r)x x,x,xN N5.5.某種儲(chǔ)蓄按復(fù)利計(jì)算利息某種儲(chǔ)蓄按復(fù)利計(jì)算利息, ,若本金為若本金為a a元元, ,每期利率為每期利率為r,r,存期是存期是x,x,本利和本利和( (本金加利息本金加利息) )為為y y元元, ,則本利和則本利和y y隨存期隨存期x x變化的函數(shù)關(guān)

8、系式是變化的函數(shù)關(guān)系式是.解析解析: :已知本金為已知本金為a a元元, ,利率為利率為r,r,則則1 1期后本利和為期后本利和為y=a+ar=a(1+r),y=a+ar=a(1+r),2 2期后本利和為期后本利和為y=a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2,y=a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2,3 3期后本利和為期后本利和為y=a(1+r)3,y=a(1+r)3,x x期后本利和為期后本利和為y=a(1+r)x,xy=a(1+r)x,xN N. .考點(diǎn)專項(xiàng)突破考點(diǎn)專項(xiàng)突破 在講練中理解知識(shí)在講練中理解知識(shí)考點(diǎn)一考點(diǎn)一 一次函數(shù)、二次函數(shù)模型一次函數(shù)、二次函數(shù)模型【例【例1

9、1】 某跳水運(yùn)動(dòng)員在一次跳水訓(xùn)練時(shí)的跳水曲線為如圖所示拋物線某跳水運(yùn)動(dòng)員在一次跳水訓(xùn)練時(shí)的跳水曲線為如圖所示拋物線的一段的一段. .已知跳水板已知跳水板ABAB長為長為2 m,2 m,跳水板距水面跳水板距水面CDCD的高的高BCBC為為3 m.3 m.為安全和空為安全和空中姿態(tài)優(yōu)美中姿態(tài)優(yōu)美, ,訓(xùn)練時(shí)跳水曲線應(yīng)在離起跳點(diǎn)訓(xùn)練時(shí)跳水曲線應(yīng)在離起跳點(diǎn)A A處水平距處水平距h m(h1)h m(h1)時(shí)達(dá)到距時(shí)達(dá)到距水面最大高度水面最大高度4 m,4 m,規(guī)定規(guī)定: :以以CDCD為橫軸為橫軸,BC,BC為縱軸建立直角坐標(biāo)系為縱軸建立直角坐標(biāo)系. .(1)(1)當(dāng)當(dāng)h=1h=1時(shí)時(shí), ,求跳水曲線

10、所在的拋物線方程求跳水曲線所在的拋物線方程; ;解解: :由題意由題意, ,最高點(diǎn)為最高點(diǎn)為(2+h,4,)(h1).(2+h,4,)(h1).設(shè)拋物線方程為設(shè)拋物線方程為y=ax-(2+h)y=ax-(2+h)2 2+4.+4.(1)(1)當(dāng)當(dāng)h=1h=1時(shí)時(shí), ,最高點(diǎn)為最高點(diǎn)為(3,4),(3,4),方程為方程為y=a(x-3)y=a(x-3)2 2+4. (+4. (* *) )將點(diǎn)將點(diǎn)A(2,3)A(2,3)代入代入( (* *) )式得式得a=-1.a=-1.即所求拋物線的方程為即所求拋物線的方程為y=-xy=-x2 2+6x-5.+6x-5.(2)(2)若跳水運(yùn)動(dòng)員在區(qū)域若跳水運(yùn)

11、動(dòng)員在區(qū)域EFEF內(nèi)入水時(shí)才能達(dá)到比較好的訓(xùn)練效果內(nèi)入水時(shí)才能達(dá)到比較好的訓(xùn)練效果, ,求此求此時(shí)時(shí)h h的取值范圍的取值范圍. .反思?xì)w納反思?xì)w納 解函數(shù)應(yīng)用題時(shí)首先要把求解目標(biāo)表示為一個(gè)變量的函數(shù)解函數(shù)應(yīng)用題時(shí)首先要把求解目標(biāo)表示為一個(gè)變量的函數(shù), ,這這個(gè)變量應(yīng)該把求解目標(biāo)需要的一切量表示出來個(gè)變量應(yīng)該把求解目標(biāo)需要的一切量表示出來, ,同時(shí)注意實(shí)際問題的函數(shù)定同時(shí)注意實(shí)際問題的函數(shù)定義域義域( (指定的、根據(jù)實(shí)際意義的指定的、根據(jù)實(shí)際意義的),),一般不是由求出的函數(shù)解析式確定的一般不是由求出的函數(shù)解析式確定的. .考點(diǎn)二考點(diǎn)二指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)模型指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)模

12、型【例【例2 2】 某醫(yī)藥研究所開發(fā)的一種新藥某醫(yī)藥研究所開發(fā)的一種新藥, ,如果成年人按規(guī)定的劑量服用如果成年人按規(guī)定的劑量服用, ,據(jù)監(jiān)測(cè)據(jù)監(jiān)測(cè): :服藥后每毫升血液中的含藥量服藥后每毫升血液中的含藥量y(y(微克微克) )與時(shí)間與時(shí)間t(t(小時(shí)小時(shí)) )之間近似滿之間近似滿足如圖所示的曲線足如圖所示的曲線. .(1)(1)寫出第一次服藥后寫出第一次服藥后y y與與t t之間的函數(shù)關(guān)系式之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(t);y=f(t);(2)(2)據(jù)進(jìn)一步測(cè)定據(jù)進(jìn)一步測(cè)定: :每毫升血液中含藥量不少于每毫升血液中含藥量不少于0.250.25微克時(shí)治療疾病有微克時(shí)治療疾病有效效, ,求服藥一次后

13、治療疾病有效的時(shí)間求服藥一次后治療疾病有效的時(shí)間. .反思?xì)w納反思?xì)w納 (1) (1)與冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)三類函數(shù)模型有關(guān)的與冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)三類函數(shù)模型有關(guān)的實(shí)際問題實(shí)際問題, ,在求解時(shí)在求解時(shí), ,要先學(xué)會(huì)合理選擇模型要先學(xué)會(huì)合理選擇模型, ,在三類模型中在三類模型中, ,指數(shù)函指數(shù)函數(shù)模型是增長速度越來越快數(shù)模型是增長速度越來越快( (底數(shù)大于底數(shù)大于1)1)的一類函數(shù)模型的一類函數(shù)模型, ,與增長率、與增長率、銀行利率有關(guān)的問題都屬于指數(shù)函數(shù)模型銀行利率有關(guān)的問題都屬于指數(shù)函數(shù)模型. .(2)(2)在解決冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型問題時(shí)在解決冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)

14、數(shù)函數(shù)模型問題時(shí), ,一般需要先通一般需要先通過待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式過待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式, ,再借助函數(shù)的圖象求解最值問題再借助函數(shù)的圖象求解最值問題, ,必必要時(shí)可借助導(dǎo)數(shù)要時(shí)可借助導(dǎo)數(shù). .(2)(2)到今年為止到今年為止, ,該森林已砍伐了多少年該森林已砍伐了多少年? ?(3)(3)今后最多還能砍伐多少年今后最多還能砍伐多少年? ?分段函數(shù)模型分段函數(shù)模型考點(diǎn)三考點(diǎn)三 【例【例3 3】 提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況, ,在一在一般情況下般情況下, ,大橋上的車流速度大橋上的車流速度v(v(單位單位: :千米

15、千米/ /時(shí)時(shí)) )是車流密度是車流密度x(x(單位單位: :輛輛/ /千千米米) )的函數(shù)的函數(shù). .當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200200輛輛/ /千米時(shí)千米時(shí), ,造成堵塞造成堵塞, ,此時(shí)車流速此時(shí)車流速度為度為0;0;當(dāng)車流密度不超過當(dāng)車流密度不超過2020輛輛/ /千米時(shí)千米時(shí), ,車流速度為車流速度為6060千米千米/ /時(shí)時(shí), ,研究表明研究表明: :當(dāng)當(dāng)20 x20020 x200時(shí)時(shí), ,車流速度車流速度v v是車流密度是車流密度x x的一次函數(shù)的一次函數(shù). .(1)(1)當(dāng)當(dāng)0 x2000 x200時(shí)時(shí), ,求函數(shù)求函數(shù)v(x)v(x)的表達(dá)式的表達(dá)式; ;

16、(2)(2)當(dāng)車流密度當(dāng)車流密度x x為多大時(shí)為多大時(shí), ,車流量車流量( (單位時(shí)間內(nèi)通過橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車輛數(shù)單位時(shí)間內(nèi)通過橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車輛數(shù), ,單位單位: :輛輛/ /時(shí)時(shí))f(x)=xv(x)f(x)=xv(x)可以達(dá)到最大可以達(dá)到最大, ,并求出最大值并求出最大值.(.(精確到精確到1 1輛輛/ /時(shí)時(shí)) )反思?xì)w納反思?xì)w納 本題的難點(diǎn)是函數(shù)模型是一個(gè)分段函數(shù)本題的難點(diǎn)是函數(shù)模型是一個(gè)分段函數(shù), ,由于月處理由于月處理量在不同范圍內(nèi)量在不同范圍內(nèi), ,處理的成本對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式也不同處理的成本對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式也不同, ,故此類最值故此類最值的求解必須先求出每個(gè)區(qū)間內(nèi)的最值的求解必須

17、先求出每個(gè)區(qū)間內(nèi)的最值, ,然后將這些區(qū)間內(nèi)的最值進(jìn)然后將這些區(qū)間內(nèi)的最值進(jìn)行比較確定最值行比較確定最值. .(2)(2)當(dāng)河中的堿濃度開始下降時(shí)當(dāng)河中的堿濃度開始下降時(shí), ,即刻第二次投放即刻第二次投放1 1個(gè)單位的固體堿個(gè)單位的固體堿, ,此后此后, ,每一時(shí)刻河中的堿濃度認(rèn)為是各次投放的堿在該時(shí)刻相應(yīng)的堿濃度的和每一時(shí)刻河中的堿濃度認(rèn)為是各次投放的堿在該時(shí)刻相應(yīng)的堿濃度的和, ,求河中時(shí)堿濃度可能取得的最大值求河中時(shí)堿濃度可能取得的最大值. .備選例題備選例題 (2)(2)若物體的溫度總不低于若物體的溫度總不低于2 2攝氏度攝氏度, ,求求m m的取值范圍的取值范圍. .(2)(2)隔熱層修建多厚時(shí)隔熱層修建多厚時(shí), ,總費(fèi)用總費(fèi)用f(x)f(x)達(dá)到最小達(dá)到最小, ,并求最小值并求最小值. .解題規(guī)范夯實(shí)解題規(guī)范夯實(shí) 把典型問題的解決程序化把典型問題的解決程序化利用函數(shù)模型解決實(shí)際問題利用函數(shù)模型解決實(shí)際問題審題點(diǎn)撥審題點(diǎn)撥關(guān)鍵點(diǎn)關(guān)鍵點(diǎn)所獲信息所獲信息利潤利潤利潤利潤= =收入收入- -成本成本求最大利潤求最大利潤求函數(shù)最大值求函數(shù)最大值解題突破解題突破: :轉(zhuǎn)化為求分段函數(shù)的最大值轉(zhuǎn)化為求分段函數(shù)的最大值答題模板答題模板: :解函數(shù)應(yīng)用題的一般步驟解函數(shù)應(yīng)用題的一般步驟: :第一步第一步: :審題審題弄清題意弄清題意, ,分清條件和結(jié)