高等數(shù)學(xué)-微積分下-課件-華南理工大學(xué) (12)

1、1/29一、一個(gè)方程的情形一、一個(gè)方程的情形二、方程組的情形二、方程組的情形第五節(jié)第五節(jié) 隱函數(shù)的求導(dǎo)法隱函數(shù)的求導(dǎo)法三、小結(jié)三、小結(jié)四、作業(yè)四、作業(yè)2/29 隱函數(shù)在實(shí)際問題中是常見的隱函數(shù)在實(shí)際問題中是常見的.平面曲線方程平面曲線方程空間曲面方程空間曲面方程空間曲線方程空間曲線方程下面討論如何由下面討論如何由隱函數(shù)方程隱函數(shù)方程0),( yxF0),( zyxF 0),(0),(zyxGzyxF如如求偏導(dǎo)數(shù)求偏導(dǎo)數(shù).3/29一、一個(gè)方程的情形一、一個(gè)方程的情形 在一元函數(shù)微分學(xué)中在一元函數(shù)微分學(xué)中, 現(xiàn)在利用復(fù)合函數(shù)的現(xiàn)在利用復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t鏈?zhǔn)椒▌t給出隱函數(shù)給出隱函數(shù)(1)0),(.

2、1 yxF)1(0),( yxF的求導(dǎo)法的求導(dǎo)法.并指出并指出:曾介紹過隱函數(shù)曾介紹過隱函數(shù)的求導(dǎo)公式的求導(dǎo)公式,隱函數(shù)存在的一個(gè)充分條件隱函數(shù)存在的一個(gè)充分條件. .4/29隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)存在定理1 1),(yxF),(00yxP設(shè)二元函數(shù)設(shè)二元函數(shù)的某一鄰域內(nèi)滿足的某一鄰域內(nèi)滿足:在點(diǎn)在點(diǎn), 0),(00 yxFy則方程則方程; 0),(00 yxF),(xfy ),(00 xfy 的某一鄰域內(nèi)的某一鄰域內(nèi)并有并有),(),(ddyxFyxFxyyx (1) 具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù);0),( yxF),(00yxP它滿足條件它滿足條件在點(diǎn)在點(diǎn)隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式(2

3、) (3) 恒能唯一確定一個(gè)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)恒能唯一確定一個(gè)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)(證明從略證明從略)僅推導(dǎo)公式僅推導(dǎo)公式.將恒等式將恒等式兩邊關(guān)于兩邊關(guān)于x求導(dǎo)求導(dǎo),),(xF由由全導(dǎo)數(shù)公式全導(dǎo)數(shù)公式,得得)(xf0 5/29連續(xù)，連續(xù)，由于由于),(yxFy，且且0),(00 yxFy, 0),( yxFy),(),(ddyxFyxFxyyx 或簡寫或簡寫:.ddyxFFxy ),(00yx于是得于是得所以存在所以存在的一個(gè)鄰域的一個(gè)鄰域, 在這個(gè)鄰域內(nèi)在這個(gè)鄰域內(nèi)),(yxFx),(yxFy xydd 0 ),(xF)(xf0 6/29解解. . 令令則則,arctanln),(22xyy

4、xyxF ,),(22yxyxyxFx ,),(22yxxyyxFy yxFFxy dd.xyyx 例例1.1.dd,arctanln22xyxyyx求求已知已知 7/29),(zyxF),(000zyxP, 0),(000 zyxFz則方程則方程; 0),(000 zyxF),(yxfz ),(000yxfz 內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的并有并有具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù);若三元函數(shù)若三元函數(shù)的某鄰域內(nèi)的某鄰域內(nèi)0),( zyxF),(000zyx函數(shù)函數(shù)它滿足條件它滿足條件在點(diǎn)在點(diǎn)在點(diǎn)在點(diǎn)0),( zyxF2. 由三元方程由三元方程確定二元隱函數(shù)確

5、定二元隱函數(shù)),(yxfz .,yzxz 求求隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)存在定理2 2的某一鄰域的某一鄰域,zxFFxz .zyFFyz (1)(2)(3)滿足滿足:8/29(證明從略證明從略)僅推導(dǎo)公式僅推導(dǎo)公式.將恒等式將恒等式兩邊分別關(guān)于兩邊分別關(guān)于x和和y求導(dǎo)求導(dǎo),),(yxF應(yīng)用應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法法得得),(yxf0 xFzF xz , 0 ,zxFFxz .zyFFyz ),(yxfz 是方程是方程0),( zyxF所確定的隱所確定的隱設(shè)設(shè)函數(shù)函數(shù), ,則則yFzF yz . 0 zF，且且0),(000 zyxFz, 0 zF),(000zyx點(diǎn)點(diǎn)所以存在所以存在的一個(gè)鄰域

6、的一個(gè)鄰域,在這個(gè)鄰域內(nèi)在這個(gè)鄰域內(nèi)因?yàn)橐驗(yàn)檫B續(xù)連續(xù),于是得于是得9/29例例2.2. , 1222222 czbyax已知已知.,2yxzyzxz 及及求求解解. . ),(zyxF1222222 czbyax則則,22axFx ,22byFy 22czFz xzzaxc22 yzzbyc22 令令)0( z,zxFFxz zyFFyz 看看作作是是將將時(shí)時(shí)、在在求求),(,zyxFFFFzyx的的zyx,.三個(gè)自變量的函數(shù)三個(gè)自變量的函數(shù)注意：注意：10/29將將 xzzaxc22 yxz222axc 22222)(zazbycxc 3224zbaxyc 再一次對(duì)再一次對(duì)y求偏導(dǎo)數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)

7、,得得2z yz 11/29例例3.3. 設(shè)有隱函數(shù)設(shè)有隱函數(shù) ,其中其中F的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),0),( zyzxF 求求 ,xz .yz 解解. .令令),(),(zyzxFzyxG xG yG zG zxGGxz zyGGyz用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法)(22 yzF法一法一由公式由公式.zxGGxz 1F 1 z2F 1 z)(21 xzF,211FyFxFz 212FyFxFz , 0 012/29將隱函數(shù)方程兩邊取全微分將隱函數(shù)方程兩邊取全微分, zxF d1即即1F 故故2121dddFyFxyFzxFzz 從而從而,211FyFxFzxz 此法步驟清楚此法步驟清楚法二

8、法二 利用全微分利用全微分.212FyFxFzyz 2F , 0),( zyzxF 求求 ,xz .yz zyF d20 2ddzzxxz 2ddzzyyz 0 得得13/29將方程兩邊求導(dǎo)將方程兩邊求導(dǎo).對(duì)對(duì)x求偏導(dǎo)求偏導(dǎo):u vuF 即即 zuF 1vFyuFxuFzxz 自己練習(xí)自己練習(xí)z是是 x,y 的函數(shù)的函數(shù)!0),( zyzxF法三法三012 xzzyvFvF 0 xu xv xz 21zx .212FyFxFzyz 14/29解解. .令令, zyxu ,xyzv 則則).,(vufz .,),(zyyxxzxyzzyxfz 分別求分別求設(shè)設(shè),xz xzvf 整理得整理得xz

9、vuvuxyffyzff 11.2.,yx ),(yxyzxzfv )1(0 yxfuuf)1(xz ),(xzxyyz 把把z看成看成x, y的函數(shù)的函數(shù)對(duì)對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)求偏導(dǎo)數(shù),得得把把x看成看成y, z的函數(shù)的函數(shù)對(duì)對(duì)y求偏導(dǎo)數(shù)求偏導(dǎo)數(shù),得得例例4.15/29),(xyzzyxfz 整理得整理得,vuvuyzffxzff yx )1(1 zyfu),(zyxzxyfv 整理得整理得zy .1vuvuxzffxyff 3.,zy 把把y看成看成x, z的函數(shù)的函數(shù)對(duì)對(duì)z求偏導(dǎo)數(shù)求偏導(dǎo)數(shù),得得16/29二、方程組的情形二、方程組的情形(隱函數(shù)組隱函數(shù)組) 下面討論由聯(lián)立方程組所確定的隱函數(shù)的下

10、面討論由聯(lián)立方程組所確定的隱函數(shù)的 0),(0),(vuyxGvuyxF確定兩個(gè)確定兩個(gè)二元函數(shù)二元函數(shù),xu ,yu ),(yxuu 求求由方程組由方程組求導(dǎo)方法求導(dǎo)方法.).,(yxvv ,xv .yv 17/29將恒等式將恒等式 0),(),(,(0),(),(,(yxvyxuyxGyxvyxuyxF兩邊關(guān)于兩邊關(guān)于x求偏導(dǎo)求偏導(dǎo),xu 解這個(gè)以解這個(gè)以,xu xv 為未知量的線性方程組為未知量的線性方程組,由由鏈?zhǔn)椒▌t鏈?zhǔn)椒▌t得得:xG xF uF vF xv 0 uG xu vG xv 0 18/29解得解得當(dāng)系數(shù)行列式不為零時(shí)當(dāng)系數(shù)行列式不為零時(shí),即即vGuGvFuF ),(),(

11、vuGFJ雅可比行列式雅可比行列式. 0 Jacobi,C.G.j.(德德)1804-1851 xuvGuGvFuFvGxGvFxF xvvGuGvFuFxGuGxFuF ,),(),(1vxGFJ .),(),(1xuGFJ 19/29同理同理, vGuGvFuFvGyGvFyFyu vGuGvFuFyGuGyFuFyv ,),(),(1vyGFJ .),(),(1yuGFJ 00yvvGyuuGyGyvvFyuuFyF兩邊關(guān)于兩邊關(guān)于y求偏導(dǎo)求偏導(dǎo),得得20/29特特,0),(0),(時(shí)時(shí) vuxGvuxF如果方程組如果方程組它可能確定兩個(gè)它可能確定兩個(gè)現(xiàn)假定它確定現(xiàn)假定它確定),(),(

12、xvvxuu 且兩個(gè)函數(shù)都且兩個(gè)函數(shù)都則求則求xvxudddd與與的方法同前面求的方法同前面求與與xu xv 的方法相同的方法相同. 0),(0),(vuyxGvuyxF為為可微可微,別別一元函數(shù)一元函數(shù),21/29例例5.5.)0, 0( ,212222 zyzyxzyx設(shè)設(shè)及及求求xzxydd,dd.dd,dd11 xxxzxy解解. .分析分析),(xyy ).(xzz 方程組兩邊對(duì)方程組兩邊對(duì) x求導(dǎo)求導(dǎo)1 x2xydd xzdd 0 y2 xzdd xydd z 22/29得得zyzxxy 22ddzyyxxz 222dd1 x1 x0 1 x1 x1 例例6.6.設(shè)方程組設(shè)方程組,

13、0022222 vuxyuvyx確定函數(shù)確定函數(shù)和和),(yxuu ),(yxvv .,yvxvyuxu 求求解解. .原方程組兩邊分別對(duì)原方程組兩邊分別對(duì) x求偏導(dǎo)數(shù)：求偏導(dǎo)數(shù)：23/29解方程組得解方程組得,2222 yxvvxuuxxvuxuv移項(xiàng)得：移項(xiàng)得：,022022 xvvxuuyxvuxuvx2224.2()vxuvyxuv,0的條件下的條件下在在 J xu2224,2()xvuyuvvuuv22 vu2x22y 24/29原方程組兩邊分別對(duì)原方程組兩邊分別對(duì),022202 yvvyuuxyyvuyuvy,222vuxyvyvyu .222vuxyvyuyv 解方程組得解方程組

14、得y求偏導(dǎo)數(shù)：求偏導(dǎo)數(shù)：25/29解解. . 用全微分用全微分)2(0)1( dzFdyFdxFdyfdxfdzzyxyx得得消去消去,)2()1(dyfFyy dxfFFfdzFfFyxyxzyy)()( zyyyxyxFfFfFFfdxdz 和和由由方方程程),(yxfz 分別具有分別具有和和其中其中的函數(shù)的函數(shù)為為確定確定Ffzxy,.ddxz求求一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)和一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)和一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),0),( zyxF例例7.26/29(以下三種情況以下三種情況)隱函數(shù)的求導(dǎo)法則隱函數(shù)的求導(dǎo)法則0),()1( yxF0),()2( zyxF 0),(0),()3(vuyxGvuyxF三、小結(jié)三、小結(jié)27/29思考題思考題.,2zuxvxuvzuyzvux 求求設(shè)設(shè)分析分析方程組中含有五個(gè)變量方程組中含有五個(gè)變量,由題意看出由題意看出vu,是因變量是因變量,zx,是自變量是自變量, y究竟是因變量究竟是因變量,還是自變量還是自變量?在這種所求偏導(dǎo)是在這種所求偏導(dǎo)是一階一階,而