南京市2016屆高三年級第三次模擬考試數(shù)學(xué)(含答案)

1、南京市2016屆高三年級第三次模擬考試 數(shù) 學(xué) 2016.05注意事項：1本試卷共4頁，包括填空題（第1題第14題）、解答題（第15題第20題）兩部分本試卷滿分為160分，考試時間為120分鐘2答題前，請務(wù)必將自己的姓名、學(xué)校、班級、學(xué)號寫在答題紙的密封線內(nèi)試題的答案寫在答題紙上對應(yīng)題目的答案空格內(nèi)考試結(jié)束后，交回答題紙參考公式樣本數(shù)據(jù)x1，x2，xn的方差s2 (xi)2，其中 xi一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，計70分. 不需寫出解答過程，請把答案寫在答題紙的指定位置上）1已知全集U1，2，3，a，集合M1，3若UM2，5，則實數(shù)a的值為2設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z(1i)24i，其中i為

2、虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為 3甲、乙兩位選手參加射擊選拔賽，其中連續(xù)5輪比賽的成績（單位：環(huán)）如下表：選手第1輪第2輪第3輪第4輪第5輪甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.79.8則甲、乙兩位選手中成績最穩(wěn)定的選手的方差是S1I2While S100II2SS×IEnd WhilePrint I（第5題圖）4從2個白球，2個紅球，1個黃球這5個球中隨機取出兩個球，則取出的兩球中恰有一個紅球的概率是5執(zhí)行如圖所示的偽代碼，輸出的結(jié)果是 6已知，是兩個不同的平面，l，m是兩條不同直線，l，m給出下列命題：lm； lm； ml； lm其中正確的命題是 (填寫所有

3、正確命題的序號)7設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，滿足Sn2an2，則 8設(shè)F是雙曲線的一個焦點，點P在雙曲線上，且線段PF的中點恰為雙曲線虛軸的一個端點，則雙曲線的離心率為9如圖，已知A，B分別是函數(shù)f(x)sinx(0)在y軸右側(cè)圖象上的第一個最高點和第一個最低點，且AOB，則該函數(shù)的周期是10已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x0時，f(x)2x2，則不等式f(x1)2的解集是OyxAB（第9題圖）ABCDM（第11題圖）11如圖，在梯形ABCD中，ABCD，AB4，AD3，CD2，2若·3，則· 12在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓M：(xa)2(ya3)21(a0)，點

4、N為圓M上任意一點若以N為圓心，ON為半徑的圓與圓M至多有一個公共點，則a的最小值為13設(shè)函數(shù)f(x)g(x)f(x)b若存在實數(shù)b，使得函數(shù)g(x)恰有3個零點，則實數(shù)a的取值范圍為 14若實數(shù)x，y滿足2x2xyy21，則的最大值為二、解答題（本大題共6小題，計90分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟，請把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi)）15(本小題滿分14分)在ABC中，已知a，b，c分別為角A，B，C的對邊若向量m(a，cosA)，向量n(cosC，c)，且m·n3bcosB（1）求cosB的值；（2）若a，b，c成等比數(shù)列，求的值16(本小題滿分14分)如圖，在直三

5、棱柱ABCA1B1C1中，D為棱BC上一點 （1）若ABAC，D為棱BC的中點，求證：平面ADC1平面BCC1B1；（2）若A1B平面ADC1，求的值 （第16題圖）ABCDA1B1C117 (本小題滿分14分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，點(2，1)在橢圓C上（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)直線l與圓O：x2y22相切，與橢圓C相交于P，Q兩點 OxyFPQ（第17題圖）若直線l過橢圓C的右焦點F，求OPQ的面積；求證： OPOQ18(本小題滿分16分)如圖，某森林公園有一直角梯形區(qū)域ABCD，其四條邊均為道路，ADBC，ADC90°，AB5千

6、米，BC8千米，CD3千米現(xiàn)甲、乙兩管理員同時從地出發(fā)勻速前往D地，甲的路線是AD，速度為6千米/小時，乙的路線是ABCD，速度為v千米/小時（1）若甲、乙兩管理員到達D的時間相差不超過15分鐘，求乙的速度v的取值范圍；（2）已知對講機有效通話的最大距離是5千米若乙先到達D，且乙從A到D的過程中始終能用對講機與甲保持有效通話，求乙的速度v的取值范圍（第18題圖）CBAD19(本小題滿分16分)設(shè)函數(shù)f(x)x3mx2m(m0) （1）當(dāng)m1時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間； （2）設(shè)g(x)|f(x)|，求函數(shù)g(x)在區(qū)間0，m上的最大值；（3）若存在t0，使得函數(shù)f(x)圖象上有且僅有兩個不

7、同的點，且函數(shù)f(x)的圖象在這兩點處的兩條切線都經(jīng)過點(2，t)，試求m的取值范圍 20(本小題滿分16分)已知數(shù)列an的前n項的和為Sn，記bn （1）若an是首項為a，公差為d的等差數(shù)列，其中a，d均為正數(shù) 當(dāng)3b1，2b2，b3成等差數(shù)列時，求的值； 求證：存在唯一的正整數(shù)n，使得an+1bnan+2 （2）設(shè)數(shù)列an是公比為q(q2)的等比數(shù)列，若存在r，t(r，tN*，rt)使得，求q的值南京市2016屆高三年級第三次模擬考試 數(shù)學(xué)附加題 2016.05注意事項：1附加題供選修物理的考生使用2本試卷共40分，考試時間30分鐘3答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、學(xué)校、班級、學(xué)號寫在答題紙

8、的密封線內(nèi)試題的答案寫在答題紙上對應(yīng)題目的答案空格內(nèi)考試結(jié)束后，交回答題紙21【選做題】在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計20分請在答卷紙指定區(qū)域內(nèi)作答解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟A選修41：幾何證明選講APOHC（第21題A圖）B如圖，已知半圓O的半徑為2，P是直徑BC延長線上的一點，PA與半圓O相切于點A， H是OC的中點，AHBC（1）求證：AC是PAH的平分線；（2）求PC的長B選修42：矩陣與變換已知曲線C：x22xy2y21，矩陣A所對應(yīng)的變換T把曲線C變成曲線C1，求曲線C1的方程 C選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程設(shè)極坐標(biāo)系的極點與直角坐標(biāo)系的原點重合

9、，極軸與x軸的正半軸重合已知橢圓C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），點M的極坐標(biāo)為(1，)若P是橢圓C上任意一點，試求PM的最大值，并求出此時點P的直角坐標(biāo)D選修45：不等式選講求函數(shù)f(x)5的最大值【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分請在答卷卡指定區(qū)域內(nèi)作答解答應(yīng)寫出 文字說明、證明過程或演算步驟22（本小題滿分10分）從0，1，2，3，4這五個數(shù)中任選三個不同的數(shù)組成一個三位數(shù)，記X為所組成的三位數(shù)各位數(shù)字之和（1）求X是奇數(shù)的概率；（2）求X的概率分布列及數(shù)學(xué)期望23（本小題滿分10分） 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點P(x0，y0)在曲線yx2(x0)上已知A(0，1)，Pn(x

10、，y)，nN*記直線APn的斜率為kn （1）若k12，求P1的坐標(biāo)；（2）若 k1為偶數(shù)，求證：kn為偶數(shù)南京市2016屆高三年級第三次模擬考試數(shù)學(xué)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)說明：1本解答給出的解法供參考如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評分標(biāo)準(zhǔn)制訂相應(yīng)的評分細(xì)則2對計算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后續(xù)部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后續(xù)部分的解答有較嚴(yán)重的錯誤，就不再給分3解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)4只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，填空題不給中間分?jǐn)?shù)一、填空題（本大題共14小題，每小題

11、5分，計70分. 不需寫出解答過程，請把答案寫在答題紙的指定位置上）15 23i 30.02 4 58 674 8 94 101，3 11 123 13(1，2) 14 二、解答題（本大題共6小題，計90分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟，請把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi)）15(本小題滿分14分)解：（1）因為m·n3bcosB，所以acosCccosA3bcosB由正弦定理，得sinAcosCsinCcosA3sinBcosB，············

12、···············································3分所以sin(AC)3sinBco

13、sB，所以sinB3sinBcosB因為B是ABC的內(nèi)角，所以sinB0，所以cosB···········································

14、;·········7分（2）因為a，b，c成等比數(shù)列，所以b2ac由正弦定理，得sin2BsinA·sinC ································&#

15、183;··············································9分因為cosB，B是ABC的內(nèi)角，所以

16、sinB·················································&#

17、183;····11分又············································

18、3;····················14分16(本小題滿分14分)證明：（1）因為ABAC，點D為BC中點，所以ADBC ······················

19、83;··························2分 因為ABCA1B1C1 是直三棱柱，所以BB1平面ABC 因為ADÌ平面ABC，所以BB1AD ··············&

20、#183;····································4分 因為BCBB1B，BCÌ平面BCC1B1，BB1Ì平面BCC1B1， 所以AD平面BCC1B1 因為ADÌ平面ADC1，所

21、以平面ADC1平面BCC1B1 ·············································6分(2)連結(jié)A1C，交AC

22、1于O，連結(jié)OD，所以O(shè)為AC1中點 ·············································8分因為A1B平面AD

23、C1，A1BÌ平面A1BC，平面ADC1平面A1BCOD，所以A1BOD ···········································

24、·······12分因為O為AC1中點，所以D為BC中點，所以1 ······································

25、3;···························14分17(本小題滿分14分)解：（1）由題意，得，1，解得a26，b23所以橢圓的方程為1 ···············

26、;··················································

27、;·2分（2）解法一 橢圓C的右焦點F(，0)設(shè)切線方程為yk(x)，即kxyk0，所以，解得k±，所以切線方程為y±(x)······························4分由方程組解得或 所以點P，Q的坐標(biāo)分別為(，)，(，)，所以PQ ·&#

28、183;·······························6分因為O到直線PQ的距離為，所以O(shè)PQ的面積為 因為橢圓的對稱性，當(dāng)切線方程為y(x)時，OPQ的面積也為綜上所述，OPQ的面積為 ·······&

29、#183;·························8分解法二 橢圓C的右焦點F(，0)設(shè)切線方程為yk(x)，即kxyk0，所以，解得k±，所以切線方程為y±(x)·············

30、··················4分把切線方程 y(x)代入橢圓C的方程，消去y得5x28x60設(shè)P(x1，y1) ，Q(x2，y2)，則有x1x2 由橢圓定義可得，PQPFFQ2ae( x1x2)2××················

31、·····6分因為O到直線PQ的距離為，所以O(shè)PQ的面積為 因為橢圓的對稱性，當(dāng)切線方程為y(x)時，所以O(shè)PQ的面積為綜上所述，OPQ的面積為 ·································8分解法

32、一：(i)若直線PQ的斜率不存在，則直線PQ的方程為x或x當(dāng)x時，P (，)，Q(，)因為·0，所以O(shè)POQ當(dāng)x時，同理可得OPOQ ·································10分(ii) 若直線PQ的斜率存在，設(shè)直線PQ的方程為yk

33、xm，即kxym0因為直線與圓相切，所以，即m22k22將直線PQ方程代入橢圓方程，得(12k2) x24kmx2m260.設(shè)P(x1，y1) ，Q(x2，y2)，則有x1x2，x1x2·································12分因為

34、3;x1x2y1y2x1x2(kx1m)(kx2m)(1k2)x1x2km(x1x2)m2(1k2)×km×()m2將m22k22代入上式可得·0，所以O(shè)POQ綜上所述，OPOQ ································

35、83;····14分解法二：設(shè)切點T(x0，y0)，則其切線方程為x0xy0y20，且xy2 (i)當(dāng)y00時，則直線PQ的直線方程為x或x當(dāng)x時，P (，)，Q(，)因為·0，所以O(shè)POQ當(dāng)x時，同理可得OPOQ ····························

36、;······10分(ii) 當(dāng)y00時，由方程組消去y得(2xy)x28x0x86y0設(shè)P(x1，y1) ，Q(x2，y2)，則有x1x2，x1x2 ······························12分所以·x1x

37、2y1y2x1x2因為xy2，代入上式可得·0，所以O(shè)POQ綜上所述，OPOQ ·····································14分18(本小題滿分16分)解：(1)由題意，可得AD12千米

38、由題可知|， ··············································2分解得v ··

39、;············································4分(2) 解法一：經(jīng)過t小時，甲、乙之間的距離的平方為f(t)由于先

40、乙到達D地，故2，即v8 ················································

41、;6分當(dāng)0vt5，即0t時，f(t)(6t)2(vt)22×6t×vt×cosDAB(v2v36) t2因為v2v360，所以當(dāng)t時，f(t)取最大值，所以(v2v36)×()225，解得v ······························

42、3;··········9分當(dāng)5vt13，即t時，f(t)(vt16t)29(v6) 2 (t)29因為v8，所以，(v6) 20，所以當(dāng)t時，f(t)取最大值，所以(v6) 2 ()2925，解得v ·························

43、;···············13分當(dāng)13vt16， t時，f(t)(126t)2(16vt)2，因為126t0，16vt0，所以當(dāng)f(t)在(，)遞減，所以當(dāng)t時，f(t)取最大值，(126×)2(16v×)225，解得v 因為v8，所以 8v ···············

44、······························16分解法二：設(shè)經(jīng)過t小時，甲、乙之間的距離的平方為f(t)由于先乙到達D地，故2，即v8 ············&#

45、183;····································6分以A點為原點，AD為x軸建立直角坐標(biāo)系， 當(dāng)0vt5時，f(t)(vt6t)2(vt)2由于(vt6t)2(vt)225，所以(v6)2(v)2對任意0t都

46、成立，所以(v6)2(v)2v2，解得v ··············································

47、83;9分當(dāng)5vt13時，f(t)(vt16t)232由于(vt16t)23225，所以4vt16t4對任意t都成立，即對任意t都成立，所以解得v ·····································

48、3;·········13分當(dāng)13vt16即t，此時f (t)(126t)2(16vt)2由及知：8v，于是0126t12124，又因為016vt3，所以f (t)(126t)2(16vt)2423225恒成立綜上可知8v ························

49、;·····················16分19(本小題滿分16分)解：（1）當(dāng)m1時，f(x)x3x21f (x)3x22xx(3x2)由f (x)0，解得x0或x所以函數(shù)f(x)的減區(qū)間是(，0)和(，) ··············

50、83;·······················2分（2）依題意m0因為f(x)x3mx2m，所以f (x)3x22mxx(3x2m)由f (x)0，得x或x0 當(dāng)0x時，f (x)0，所以f(x)在(0，)上為增函數(shù)；當(dāng)xm時，f (x)0，所以f(x)在(，m)上為減函數(shù)；所以，f(x)極大值f()m3m ····

51、83;············································4分當(dāng)m3mm，即m，ymaxm3m··

52、83;············································6分當(dāng)m3mm，即0m時，ymaxm綜上，ymax ·&

53、#183;················································8分（3）設(shè)兩

54、切點的橫坐標(biāo)分別是x1，x2則函數(shù)f(x)在這兩點的切線的方程分別為y(x13mx12m)(3x122mx1)(xx1)，y(x23mx22m)(3x222mx2)(xx2) ···································&#

55、183;·······10分將(2，t)代入兩條切線方程，得t(x13mx12m)(3x122mx1)(2x1)，t(x23mx22m)(3x222mx2)(2x2)因為函數(shù)f(x)圖象上有且僅有兩個不同的切點，所以方程t(x3mx2m)(3x22mx)(2x)有且僅有不相等的兩個實根···········12分整理得t2x3(6m)x24mxm設(shè)h(x)2x3(6m)x24mxm，h (x)6x22(6m)x4m2

56、(3xm)(x2)當(dāng)m6時，h (x)6(x2)20，所以h(x)單調(diào)遞增，顯然不成立當(dāng)m6時， h (x)0，解得x2或x列表可判斷單調(diào)性，可得當(dāng)x2或x，h(x)取得極值分別為h(2)3m8，或h()m3m2m 要使得關(guān)于x的方程t2x3(6m)x24mxm有且僅有兩個不相等的實根，則t3m8，或tm3m2m ·······················

57、3;·······14分因為t0，所以3m80，（*），或m3m2m0（*）解（*），得m，解（*），得m93或m93因為m0，所以m的范圍為(0，93，) ·······························

58、···16分20(本小題滿分16分)解：（1）因為3b1，2b2，b3成等差數(shù)列， 所以4b23b1b3，即4×3(2ad)， 解得， ···································&#

59、183;4分 由an1bnan2，得anda(n1)d，整理得 ········································6分解得n， ···

60、83;····································8分由于1且0 因此存在唯一的正整數(shù)n，使得an1bnan2 ········&#

61、183;································10分（2）因為，所以 設(shè)f(n)，n2，nN*則f(n1)f(n)，因為q2，n2，所以(q1)n22(q2)n3n2310，所以f(n1)f(n)0，即f(n1)f(n)，即f(n)單調(diào)遞增·&

62、#183;································12分所以當(dāng)r2時，tr2，則f(t)f(r)，即，這與互相矛盾所以r1，即 ··········

63、3;························14分若t3，則f(t)f(3) ·，即，與相矛盾于是t2，所以，即3q25q50又q2，所以q ················

64、3;··························16分南京市2016屆高三年級第三次模擬考試 數(shù)學(xué)附加題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn) 2016.05 說明：1本解答給出的解法供參考如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評分標(biāo)準(zhǔn)制訂相應(yīng)的評分細(xì)則2對計算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后續(xù)部分的解答未改變該題的內(nèi)容和

65、難度，可視影響的程度決定給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后續(xù)部分的解答有較嚴(yán)重的錯誤，就不再給分3解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)4只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，填空題不給中間分?jǐn)?shù)21【選做題】在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計20分請在答卷卡指定區(qū)域內(nèi)作答解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟A選修41：幾何證明選講證明：(1)連接AB因為PA是半圓O的切線，所以PACABC因為BC是圓O的直徑，所以ABAC又因為AHBC，所以CAHABC，所以PACCAH，所以AC是PAH的平分線 ·····&

66、#183;·····································5分(2)因為H是OC中點，半圓O的半徑為2，所以BH3，CH1又因為AHBC，所以AH2BH·HC3，所以AH在RtAHC中，AH，C

67、H1，所以CAH30°由(1)可得PAH2CAH60°，所以PA2由PA是半圓O的切線，所以PA2PC·PB，所以PC·(PCBC)(2)212，所以PC2 ·································

68、83;·········10分B選修42：矩陣與變換解：設(shè)曲線C上的任意一點P(x，y)，P在矩陣A對應(yīng)的變換下得到點Q(x，y)則 ， 即x2yx，xy，所以xy，y ····························&#

69、183;···················5分代入x22xy2y21，得y22y·2()21，即x2y22，所以曲線C1的方程為x2y22 ·····················&#

70、183;·····················10分C選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程解：M的極坐標(biāo)為(1，)，故直角坐標(biāo)為M(0，1)，且P(2cos，sin)，所以PM，sin1，1 ·················

71、5分當(dāng)sin時，PMmax，此時cos±所以，PM的最大值是，此時點P的坐標(biāo)是(±，)·······························10分D選修45：不等式選講 解：函數(shù)定義域為0，4，且f(x)0 由柯西不等式得52()2()()(5··)2，······················5分 即27×4(5··)2，所以56 當(dāng)且僅當(dāng)5，即x時，取等號所以，函數(shù)f(x)5的最大值為6 ········