三中值定理應用.

1、第三章微分中值定理與導數(shù)的應用§ 1內容提要一、介值定理1、定理1 (零點定理) 設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，且f(a)f(b) ：0，那么在開區(qū)間(a,b)內至少有一點使 f( ) =02、定理2 (介值定理)設函數(shù)f (x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，且f(a)=A及f(b)=B, A=B 那么對于A與B之間的任一個常數(shù) C，開區(qū)間(a,b)內至少有一點使f ( HC, (a：b)二、微分中值定理1、定理3 (費馬(fermat)引理)設函數(shù)f(x)在點xo的某鄰域U(x。)=(x° -Xo )內有定義，并且在 Xo處可導，如果對任意的 x w U (x0)，有 f

2、(x)蘭 f (x0) ( f (x)亠 f (x0)，那么 f "(x0) =0。注：費馬引理函數(shù)的極值點若可導，則其導數(shù)為0。一階導數(shù)等于零的點稱為函數(shù)的駐點。2、定理4 (羅爾(Rolle定理)如果函數(shù)f(x)滿足：(1)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；(2)在開區(qū)間(a,b)內可導；(3)在區(qū)間端點處的函數(shù)值相等，即f(aH f(b)，那么在(a,b)內至少有一點(a： ：b)，使得f ( )=0。3、定理5 (拉格朗日(Lagrange定理)如果函數(shù)f(x)滿足：(1)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；(2)在開區(qū)間(a,b)內可導，那么在(a,b)內至少有一點(a： : b)，使得 f(b)-

3、f(a) = f( )(b-a)。4、定理6如果函數(shù)f(X)在區(qū)間I上的導數(shù)恒為零，那么函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是一個常數(shù)。5、定理7 (柯西(Cauchy定理)如果函數(shù)f(x)及F(x)滿足：(1)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；(2)在開區(qū)間(a,b)內可導；(3)對任一 (a,b), F(x) =0,那么在(a,b)內至少有一點 a：b)，使得 f（b）-f（a）_（）。F（b） -F（a） F（）6、定理8 （泰勒（Tayloi）定理）畀（x_x°）n 尺（X）， n!如果函數(shù)f（x）在含有x0的某個開區(qū)間（a,b）內具有直到n，1階的導數(shù)，則對x（a,b）,有f(X)二 f(Xo) f

4、 (X°)(X -Xo) f 2：0)&_滄)1,廠(0,1)，使 f( 1)= f( 2)=0。(提示：同例 3)題型二證明存在，使f(n)( )=0 (n =1,2l()解題提示：用羅爾定理(或多次利用羅爾定理)例5、設函數(shù)f(x)在0,3上連續(xù)，在(0,3)內可導，且f(0) f(1)，f(2) =3,f (3) =1 o試證必存在：(0,3)，使f ( ) 0 。(提示：只需證明存在一點c 0,3)， 使f (c)二f (3) =1然后應用羅爾定理即可。由條件 f(0) ff(2) =1，問題轉 川f 5卑）岸）其中Rn（x）- （X - Xo）""

5、;，這里'是x與Xo之間的某個值，此公式也稱為帶有拉格（n +1）!朗日型余項的n階泰勒公式。（1）當 |Rn（X）=0 （XXo）"時，f(X)二 f (Xo)f (X°)(X -Xo)字(xmd2!n!(X-X°)n 0|_(X-Xo)n稱為帶有皮亞諾（Pea no）余項的n階泰勒公式。（2）在泰勒公式中，如果取 xo=0，則二在x與0之間，此時可令上=日x（0<Tc1）下面兩公式分別稱為帶有拉格朗日余項的n階麥克勞林公式和帶有皮亞諾余項的n階麥克勞林-|H-f (o)xn 0(xn). n!公式：f（x）=f（O）fg譽x2皿晉八行xn1

6、67; 2典型題型與例題分析題型一證明存在匕使f（t） = o（。廠何牛解題提示：用介值定理。唯一性由f （x） 7 （或f （xb： O ）確定。例1、設f（x）在a：）上連續(xù)，當x a時，f （x） KO（ K為常數(shù)）。試證明：若f(a) ： O，則方程 f(x)=O 在 a, a罟上有且僅有一個實根。（提示：由拉格朗日中值定理在 a, 二中先找到一點，使f （ ） O，然后再用介值定理，注意唯一性）例2、設f （x）在a,b上連續(xù)，且f（x） O，證明在（a,b）內存在唯一的，使得直線x二' 將曲線y二f （x）和直線x二a,x二b以及y = O所圍成的平面圖形分成面積相等的兩部

7、分。例 3、設函數(shù) f(x)在0,二上連續(xù)，且 ：f(x)dx = 0,' f (x)cos xdx = 0。試證：在(0,二)內至少存在兩個不同的點1,2，使f ( 1)= f2)=0.分析：證明介值問題，一般兩種情形：(1)要證的結論與某函數(shù)在一點的函數(shù)值f ()有關，但與其導數(shù)值無關，可考慮用連續(xù)函數(shù)的介值定理(如例1，例2)；( 2)要證的結論與某函數(shù)在某一點的導數(shù)值 f(J或更高階導數(shù)值有關，則應考慮微分中值定理(包括羅爾定理、拉格朗日中值定理和泰勒公式)(題型二將詳述)。本題要證的結論與導數(shù)無關，但用連續(xù)函數(shù)的介值定理又解決不了，是隱含介值問題，rxx實際上應用微分中值定理

8、解決， 根據(jù).f(t)dt i； -f (x)，利用變限積分的函數(shù).f (t)dt作 £_a輔助函數(shù)。本題提示：本題直接用連續(xù)函數(shù)的介值定理比較困難，可考慮作輔助函數(shù)：xF(x) f (t) dt顯然有F (0) = F (二)=0，但要證本題結論，還需要找F (x)的一個零a點，這要由第二個條件o f (x)cos xd 0來實現(xiàn)，為了與F(x)聯(lián)系起來，可將其變換為0二(x)cosxdx二J： cosxdF(x)再通過分部積分和積分中值定理就可達到 目的。1例4、設f(x)在0,1上連續(xù)，° f(x)dx =0, g(x)在0,1上有連續(xù)的導數(shù)且在可以三次用羅爾定理)例

9、7、設函數(shù)f(x),g(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內具有二階導數(shù)且存在相等的最大值，且 f(a)二 g(a), f(b)二 g(b)，證明：存在 (a,b)，使得 f ( g ()。(本題綜合考查介值定理和羅爾定理。 提示：令F(x) = f (x) - g(x)，只需對F (x) 用羅爾定理。)題型三 證明存在，使f(n)(J=k (k=0)解題提示：構造輔助函數(shù)，利用中值定理)步驟：(1 )將換為x ；( 2)恒等變形，便于積分；(3)積分并分離常數(shù)：F(x,f(x) =C,則F(x, f(x)即為所需的輔助函數(shù)。例8、設f (x)在0,1上連續(xù)，在(0,1)內可導，且滿足1f(1)

10、 = k 0kxe1f(x)dx (k 1)，證明至少存在一點(0,1)，使得f)= (1-*)f ()。(提示：將要證關系式怕=(1亠)心中的浪x，并作恒等變形得謂心，兩邊積分后得xe»f(x) =C故可作出輔助函數(shù)F(x) =xef (x)，對已知條件使用積分中值定理，然后對輔助函數(shù)應用羅爾定理即可。)例9、設f(x)在0,1內上連續(xù)，在(0,1)內可導，且f(0)=0，但當x (0,1)時,f(x) 0，求證對任意自然數(shù)在(0,1)內存在，使nf ()f()f (1-)f(1-)(提示：將所證結論中改為x，兩邊積分后，可作出輔助函數(shù)F(x)二f(x) f(1-x)。例10、設f

11、(x)在a,b上可導，且a,b同號，證明：至少存在一點(a,b)，使af(b)-bf(aK f(f ()。(提示：令 F(x)=3,G(x) J，注意到 a,b 同a -bxx號，故用柯西中值定理)。1例 11、設 f(x)在0,1內上連續(xù)，在(0,1)內可導，且 f(0) = f (1) = 0, f() =1，21證明：(1)存在(丁1)，使f ()二;(2)對任意自然數(shù)，必存在：(0,)，使f ( ) - f() - 胡(提示：(1)直接用介值定理即可；(2)令F(x)二e-'xf (x) x利用羅爾定理)例12、假設函數(shù)f(x)和g(x)在a, b存在二階導數(shù)，并且g(x) =

12、 O,f (a) = f (b)二 g(a) = g(b)二 0，試證:(1 )在開區(qū)間(a,b)內 g(x) = 0 ；(2)在開區(qū)間(a, b)內至少存在一點'，使丄£2。g(®g)(提示：對f (x)g (x)g(x)f (x) =0等式積分可令輔助函數(shù)為F(x) = f(x)g (x) -g(x)f (x)。再利用羅爾定理即可 )題型四雙介值問題，要證存在兩個中值,滿足某種關系的命題解題提示：先用一次中值定理轉化為單介值問題，一般是再用一次拉格朗日中值定理或柯西中值定理。例13、設f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內可導，且 f (a) = f(b)= 1

13、，試證：存在,(a,b)，使得 e _f( ) f ()丨-1.(提示：將要證結論改寫為 ef (口)+ f U) = e.即證_exf(x* xM = e7。令F (x)二ex f (x)，對其應用拉格朗日中值定理。)評注：對雙介值問題(證明 ',(a,b)，使H，)=0)般按以下步驟證明：(1) 與，化 H( , ) =0為 f( f()。(2) 若容易找到F(x)，使F'(x)=f(x)(或g(x)，則對F(x)應用拉格朗日中值定理，得 F(b) - F(a)二卩()=f()。ba(3) 應用微分中值定理，證明F(b) _ F(a)壯()。ba例14、設f (x)在a,b

14、上連續(xù)，在(a,b)內可導，且f(x)=0，試證：存在',-(a,b)，f ?t) eb _ea n使得e；(提示：應用拉格朗日中值定理和柯西中值定理。)f( ) b-a例15、設f(x)在0,1上連續(xù)，在(0,1)內可導，且f (0) =0, f(1)=1，試證(1)存在：(0,1),使得 f( ) =1 -(2)存在兩個不同的點，二(0,1)，使得f ( ) f)=1(提示：第一問用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理；第二問為雙介值問題，考慮用拉格朗日中值定理，并注意用第一問已得結論。)題型五不等式的證明解題提示：不等式的證明方法很多，一般有：利用單調性證明不等式；利用 極值與最值證明不等

15、式；利用凹凸性證明不等式；利用拉格朗日中值定理證 明不等式；利用泰勒展開式證明不等式。這里只簡要敘述兩種方法，應用拉格朗日中值定理的難點在于找到適當?shù)暮瘮?shù)名，將其在某兩點的函數(shù)值之差與要證的不等式聯(lián)系起來，如果輔助函數(shù)的一階導數(shù)不能確定符號，需要二階甚至 二階以上的導數(shù)信息才能證明不等式，此時也可考慮用泰勒公式證明。類型一 利用微分中值定理證明不等式例16、設f (x)在0,1上連續(xù)，在(0,1)內可導，且 f(x) <1,又f (0) = f (1),求證：對11任意X1,X20,1,必有f (xj f(X2)c (提示：當X2X1蘭一在X1,x2上利用拉格221 朗日中值定理證明。當

16、X2-X1 在0, X與X2, 1上分別利用拉格朗日中值定理證明)2例17、設f (x)在0, a上二階可導，且在(0, a)內達到最小值，又在f"(x)蘭M。證明：f (0)| +| f (a)蘭 Ma.(提示：存在c(0, a)使(c) =0在0, c與c, a上分別使用f "(x)蘭M)類型二 利用泰勒公式證明不等式 適用于二階以上可導的情形。例18、設f (x)在0,1上具有二階導數(shù)，且滿足條件f(x)蘭a, f “(x) E b，其中a, b都是非負常數(shù)，證明：對任意(0,1),必有f"(x)蘭2a+.f"心 2(提示：f(t) = f(x)

17、f (x)(t -x)(t -x) 2x (0,1), (1 -x) x <1.)例19、設f(x)在0,1上具有二階導數(shù)，且f (0) = f(1) =0, f (x)在0,1上的最小值等于-1，試證：至少存在一點(0,1),使 f ( ) -8.(提示：a (0,1), f(a)=-1, f (a) = 0,再將t =0, t =1分別代入相減。并注意2!在點a處泰勒展開，并將x =0, x =1分別代入。)題型六中值定理的綜合應用例20、設f(x)在(_L, L)內連續(xù)，在x = 0處可導，且f (0) =0.(1)求證：對任意給定的0 : x L,存在 0 ： v ： 1,使x.

18、 x0f(t)dt 0 f(t)dt = xf (松)-f Gx).(2)求極限lim日.(2 )由(1)得x_x(提示：(1 )令F(x) = j f(t)dt o f (t)dt,對其應用拉格朗日中值定理;x_x-再令兩邊分別取極限)0 f (t)dt 0 f(t)dt _ f(*)_ f(“x)2 2x2*例21、設f(x)在-1,1上具有三階連續(xù)導數(shù)，且f (_1) = 0, f(1)=1, f (0) =0,證明在 (-1,1)內至少存在一點，使得=3.(提示：將f (x)在x=0展成二階麥克勞林公式， 令x=-1,x=1得到兩式相減，對f lx)用介值定理。)附：01-07年天津市

19、大學生數(shù)學競賽中與該部分內容有關的題目1、設f(x)在區(qū)間a, ：具有二階連續(xù)導數(shù)，且f (x)蘭 M 0, 0f "(x)| 蘭 M2, (a 蘭x v +=c)證明：f "(x)蘭 2(M0M 2. (01 年試題)12、設f(x)在區(qū)間0,1上連續(xù)，在(0,1)可導，且4.3 f(x)dx二f (0)，求證：在(0,1)內至4少存在一點在，使得f ( ) =0 o(01年試題)3、 設f(x)具有二階連續(xù)導數(shù)，且f(0) =0, f (00, f (0) 0.在曲線y = f (x)上任意取一點(x, f (x) (x = 0)作曲線的切線，此切線在x軸上的截距記作

20、丄，求：lim ZU >T Af(X)(03年試題)4、設f(x)在區(qū)間0,1上連續(xù)，在(0,1)可導，且f(0) =0, f(1)=1，試證明：對于任意給定的正數(shù)a和b，在開區(qū)間(0,1)內存在不同的和，使得 一ab a b.f) f ?)(03年試題)5、設正整數(shù)n . 1 ,證明方程x2n - ahx2n- a?.x -仁0至少有兩個實根。(04年試題)6、設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上具有連續(xù)的二階導數(shù)，證明：存在(a,b)，使得fa + b '111+ f (b)I 2丿f (a) _2f二廠(。(05年試題)7、設函數(shù)f (x)在閉區(qū)間-2,2上具有二階導數(shù)，f(X)

21、< 1且f (0) f + If *(0) f =4，證x _2明：存在一點'(一2,2)，使得f( ) f ( 0。( 05年試題)&證明：當 x 2 時，(x-2)e2 -xeX 2e ： 0。(07 年試題)兀029、設f (x)在a,b連續(xù)，在(a,b)可導，且有ef(x)1arctan xdx , f(1) = 0，則至少存在一點匚 (0,1)，使(12)arctanf ( ) = -1。( 07 年試題)答案提示1、對f (x)進行泰勒展開。2、先利用積分中值定理，再利用羅爾定理。3、過點(x, f (x)的曲線 y 二 f (x)的切線方程為：Y - f (x)二 f(x)(X - x),注意到：由于f (0) = 0, f (0)0，在x = 0的鄰域內當x = 0時f (x) = 0。因此，此直線在x軸上的截距為f(x) f (x)，且 limlimx )0x >0x-lim3x)0 f (x)=0。利用泰勒公式將 f (x)在X二0點展開，得到1 1f(x)二 f(0) f (0)x ? f ( 1)x2f ( 1)x21 在 0 與 x之間1f(J = J ( 2)Q 2在0與之間代入得2f (0)_if (0) f (0) 一 24、 提示：取數(shù)(0,1)，由介質定理知，存在(0,1)，使得f(c)m二，在區(qū)間0, c與C, 1