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1、第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用§ 1內(nèi)容提要一、介值定理1、定理1 (零點(diǎn)定理) 設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù),且f(a)f(b) :0,那么在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)使 f( ) =02、定理2 (介值定理)設(shè)函數(shù)f (x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù),且f(a)=A及f(b)=B, A=B 那么對(duì)于A與B之間的任一個(gè)常數(shù) C,開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)使f ( HC, (a:b)二、微分中值定理1、定理3 (費(fèi)馬(fermat)引理)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)xo的某鄰域U(x。)=(x° -Xo )內(nèi)有定義,并且在 Xo處可導(dǎo),如果對(duì)任意的 x w U (x0),有 f
2、(x)蘭 f (x0) ( f (x)亠 f (x0),那么 f "(x0) =0。注:費(fèi)馬引理函數(shù)的極值點(diǎn)若可導(dǎo),則其導(dǎo)數(shù)為0。一階導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn)。2、定理4 (羅爾(Rolle定理)如果函數(shù)f(x)滿足:(1)在閉區(qū)間a,b上連續(xù);(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);(3)在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等,即f(aH f(b),那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)(a: :b),使得f ( )=0。3、定理5 (拉格朗日(Lagrange定理)如果函數(shù)f(x)滿足:(1)在閉區(qū)間a,b上連續(xù);(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)(a: : b),使得 f(b)-
3、f(a) = f( )(b-a)。4、定理6如果函數(shù)f(X)在區(qū)間I上的導(dǎo)數(shù)恒為零,那么函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是一個(gè)常數(shù)。5、定理7 (柯西(Cauchy定理)如果函數(shù)f(x)及F(x)滿足:(1)在閉區(qū)間a,b上連續(xù);(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);(3)對(duì)任一 (a,b), F(x) =0,那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn) a:b),使得 f(b)-f(a)_()。F(b) -F(a) F()6、定理8 (泰勒(Tayloi)定理)畀(x_x°)n 尺(X), n!如果函數(shù)f(x)在含有x0的某個(gè)開區(qū)間(a,b)內(nèi)具有直到n,1階的導(dǎo)數(shù),則對(duì)x(a,b),有f(X)二 f(Xo) f
4、 (X°)(X -Xo) f 2:0)&_滄)1,廠(0,1),使 f( 1)= f( 2)=0。(提示:同例 3)題型二證明存在,使f(n)( )=0 (n =1,2l()解題提示:用羅爾定理(或多次利用羅爾定理)例5、設(shè)函數(shù)f(x)在0,3上連續(xù),在(0,3)內(nèi)可導(dǎo),且f(0) f(1),f(2) =3,f (3) =1 o試證必存在:(0,3),使f ( ) 0 。(提示:只需證明存在一點(diǎn)c 0,3), 使f (c)二f (3) =1然后應(yīng)用羅爾定理即可。由條件 f(0) ff(2) =1,問題轉(zhuǎn) 川f 5卑)岸)其中Rn(x)- (X - Xo)""
5、;,這里'是x與Xo之間的某個(gè)值,此公式也稱為帶有拉格(n +1)!朗日型余項(xiàng)的n階泰勒公式。(1)當(dāng) |Rn(X)=0 (XXo)"時(shí),f(X)二 f (Xo)f (X°)(X -Xo)字(xmd2!n!(X-X°)n 0|_(X-Xo)n稱為帶有皮亞諾(Pea no)余項(xiàng)的n階泰勒公式。(2)在泰勒公式中,如果取 xo=0,則二在x與0之間,此時(shí)可令上=日x(0<Tc1)下面兩公式分別稱為帶有拉格朗日余項(xiàng)的n階麥克勞林公式和帶有皮亞諾余項(xiàng)的n階麥克勞林-|H-f (o)xn 0(xn). n!公式:f(x)=f(O)fg譽(yù)x2皿晉八行xn1
6、67; 2典型題型與例題分析題型一證明存在匕使f(t) = o(。廠何牛解題提示:用介值定理。唯一性由f (x) 7 (或f (xb: O )確定。例1、設(shè)f(x)在a:)上連續(xù),當(dāng)x a時(shí),f (x) KO( K為常數(shù))。試證明:若f(a) : O,則方程 f(x)=O 在 a, a罟上有且僅有一個(gè)實(shí)根。(提示:由拉格朗日中值定理在 a, 二中先找到一點(diǎn),使f ( ) O,然后再用介值定理,注意唯一性)例2、設(shè)f (x)在a,b上連續(xù),且f(x) O,證明在(a,b)內(nèi)存在唯一的,使得直線x二' 將曲線y二f (x)和直線x二a,x二b以及y = O所圍成的平面圖形分成面積相等的兩部
7、分。例 3、設(shè)函數(shù) f(x)在0,二上連續(xù),且 :f(x)dx = 0,' f (x)cos xdx = 0。試證:在(0,二)內(nèi)至少存在兩個(gè)不同的點(diǎn)1,2,使f ( 1)= f2)=0.分析:證明介值問題,一般兩種情形:(1)要證的結(jié)論與某函數(shù)在一點(diǎn)的函數(shù)值f ()有關(guān),但與其導(dǎo)數(shù)值無關(guān),可考慮用連續(xù)函數(shù)的介值定理(如例1,例2);( 2)要證的結(jié)論與某函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值 f(J或更高階導(dǎo)數(shù)值有關(guān),則應(yīng)考慮微分中值定理(包括羅爾定理、拉格朗日中值定理和泰勒公式)(題型二將詳述)。本題要證的結(jié)論與導(dǎo)數(shù)無關(guān),但用連續(xù)函數(shù)的介值定理又解決不了,是隱含介值問題,rxx實(shí)際上應(yīng)用微分中值定理
8、解決, 根據(jù).f(t)dt i; -f (x),利用變限積分的函數(shù).f (t)dt作 £_a輔助函數(shù)。本題提示:本題直接用連續(xù)函數(shù)的介值定理比較困難,可考慮作輔助函數(shù):xF(x) f (t) dt顯然有F (0) = F (二)=0,但要證本題結(jié)論,還需要找F (x)的一個(gè)零a點(diǎn),這要由第二個(gè)條件o f (x)cos xd 0來實(shí)現(xiàn),為了與F(x)聯(lián)系起來,可將其變換為0二(x)cosxdx二J: cosxdF(x)再通過分部積分和積分中值定理就可達(dá)到 目的。1例4、設(shè)f(x)在0,1上連續(xù),° f(x)dx =0, g(x)在0,1上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)且在可以三次用羅爾定理)例
9、7、設(shè)函數(shù)f(x),g(x)在a,b上連續(xù),在(a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且存在相等的最大值,且 f(a)二 g(a), f(b)二 g(b),證明:存在 (a,b),使得 f ( g ()。(本題綜合考查介值定理和羅爾定理。 提示:令F(x) = f (x) - g(x),只需對(duì)F (x) 用羅爾定理。)題型三 證明存在,使f(n)(J=k (k=0)解題提示:構(gòu)造輔助函數(shù),利用中值定理)步驟:(1 )將換為x ;( 2)恒等變形,便于積分;(3)積分并分離常數(shù):F(x,f(x) =C,則F(x, f(x)即為所需的輔助函數(shù)。例8、設(shè)f (x)在0,1上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且滿足1f(1)
10、 = k 0kxe1f(x)dx (k 1),證明至少存在一點(diǎn)(0,1),使得f)= (1-*)f ()。(提示:將要證關(guān)系式怕=(1亠)心中的浪x,并作恒等變形得謂心,兩邊積分后得xe»f(x) =C故可作出輔助函數(shù)F(x) =xef (x),對(duì)已知條件使用積分中值定理,然后對(duì)輔助函數(shù)應(yīng)用羅爾定理即可。)例9、設(shè)f(x)在0,1內(nèi)上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且f(0)=0,但當(dāng)x (0,1)時(shí),f(x) 0,求證對(duì)任意自然數(shù)在(0,1)內(nèi)存在,使nf ()f()f (1-)f(1-)(提示:將所證結(jié)論中改為x,兩邊積分后,可作出輔助函數(shù)F(x)二f(x) f(1-x)。例10、設(shè)f
11、(x)在a,b上可導(dǎo),且a,b同號(hào),證明:至少存在一點(diǎn)(a,b),使af(b)-bf(aK f(f ()。(提示:令 F(x)=3,G(x) J,注意到 a,b 同a -bxx號(hào),故用柯西中值定理)。1例 11、設(shè) f(x)在0,1內(nèi)上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且 f(0) = f (1) = 0, f() =1,21證明:(1)存在(丁1),使f ()二;(2)對(duì)任意自然數(shù),必存在:(0,),使f ( ) - f() - 胡(提示:(1)直接用介值定理即可;(2)令F(x)二e-'xf (x) x利用羅爾定理)例12、假設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)在a, b存在二階導(dǎo)數(shù),并且g(x) =
12、 O,f (a) = f (b)二 g(a) = g(b)二 0,試證:(1 )在開區(qū)間(a,b)內(nèi) g(x) = 0 ;(2)在開區(qū)間(a, b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)',使丄£2。g(®g)(提示:對(duì)f (x)g (x)g(x)f (x) =0等式積分可令輔助函數(shù)為F(x) = f(x)g (x) -g(x)f (x)。再利用羅爾定理即可 )題型四雙介值問題,要證存在兩個(gè)中值,滿足某種關(guān)系的命題解題提示:先用一次中值定理轉(zhuǎn)化為單介值問題,一般是再用一次拉格朗日中值定理或柯西中值定理。例13、設(shè)f(x)在a,b上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且 f (a) = f(b)= 1
13、,試證:存在,(a,b),使得 e _f( ) f ()丨-1.(提示:將要證結(jié)論改寫為 ef (口)+ f U) = e.即證_exf(x* xM = e7。令F (x)二ex f (x),對(duì)其應(yīng)用拉格朗日中值定理。)評(píng)注:對(duì)雙介值問題(證明 ',(a,b),使H,)=0)般按以下步驟證明:(1) 與,化 H( , ) =0為 f( f()。(2) 若容易找到F(x),使F'(x)=f(x)(或g(x),則對(duì)F(x)應(yīng)用拉格朗日中值定理,得 F(b) - F(a)二卩()=f()。ba(3) 應(yīng)用微分中值定理,證明F(b) _ F(a)壯()。ba例14、設(shè)f (x)在a,b
14、上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且f(x)=0,試證:存在',-(a,b),f ?t) eb _ea n使得e;(提示:應(yīng)用拉格朗日中值定理和柯西中值定理。)f( ) b-a例15、設(shè)f(x)在0,1上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且f (0) =0, f(1)=1,試證(1)存在:(0,1),使得 f( ) =1 -(2)存在兩個(gè)不同的點(diǎn),二(0,1),使得f ( ) f)=1(提示:第一問用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理;第二問為雙介值問題,考慮用拉格朗日中值定理,并注意用第一問已得結(jié)論。)題型五不等式的證明解題提示:不等式的證明方法很多,一般有:利用單調(diào)性證明不等式;利用 極值與最值證明不等
15、式;利用凹凸性證明不等式;利用拉格朗日中值定理證 明不等式;利用泰勒展開式證明不等式。這里只簡(jiǎn)要敘述兩種方法,應(yīng)用拉格朗日中值定理的難點(diǎn)在于找到適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)名,將其在某兩點(diǎn)的函數(shù)值之差與要證的不等式聯(lián)系起來,如果輔助函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)不能確定符號(hào),需要二階甚至 二階以上的導(dǎo)數(shù)信息才能證明不等式,此時(shí)也可考慮用泰勒公式證明。類型一 利用微分中值定理證明不等式例16、設(shè)f (x)在0,1上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且 f(x) <1,又f (0) = f (1),求證:對(duì)11任意X1,X20,1,必有f (xj f(X2)c (提示:當(dāng)X2X1蘭一在X1,x2上利用拉格221 朗日中值定理證明。當(dāng)
16、X2-X1 在0, X與X2, 1上分別利用拉格朗日中值定理證明)2例17、設(shè)f (x)在0, a上二階可導(dǎo),且在(0, a)內(nèi)達(dá)到最小值,又在f"(x)蘭M。證明:f (0)| +| f (a)蘭 Ma.(提示:存在c(0, a)使(c) =0在0, c與c, a上分別使用f "(x)蘭M)類型二 利用泰勒公式證明不等式 適用于二階以上可導(dǎo)的情形。例18、設(shè)f (x)在0,1上具有二階導(dǎo)數(shù),且滿足條件f(x)蘭a, f “(x) E b,其中a, b都是非負(fù)常數(shù),證明:對(duì)任意(0,1),必有f"(x)蘭2a+.f"心 2(提示:f(t) = f(x)
17、f (x)(t -x)(t -x) 2x (0,1), (1 -x) x <1.)例19、設(shè)f(x)在0,1上具有二階導(dǎo)數(shù),且f (0) = f(1) =0, f (x)在0,1上的最小值等于-1,試證:至少存在一點(diǎn)(0,1),使 f ( ) -8.(提示:a (0,1), f(a)=-1, f (a) = 0,再將t =0, t =1分別代入相減。并注意2!在點(diǎn)a處泰勒展開,并將x =0, x =1分別代入。)題型六中值定理的綜合應(yīng)用例20、設(shè)f(x)在(_L, L)內(nèi)連續(xù),在x = 0處可導(dǎo),且f (0) =0.(1)求證:對(duì)任意給定的0 : x L,存在 0 : v : 1,使x.
18、 x0f(t)dt 0 f(t)dt = xf (松)-f Gx).(2)求極限lim日.(2 )由(1)得x_x(提示:(1 )令F(x) = j f(t)dt o f (t)dt,對(duì)其應(yīng)用拉格朗日中值定理;x_x-再令兩邊分別取極限)0 f (t)dt 0 f(t)dt _ f(*)_ f(“x)2 2x2*例21、設(shè)f(x)在-1,1上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且f (_1) = 0, f(1)=1, f (0) =0,證明在 (-1,1)內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得=3.(提示:將f (x)在x=0展成二階麥克勞林公式, 令x=-1,x=1得到兩式相減,對(duì)f lx)用介值定理。)附:01-07年天津市
19、大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽中與該部分內(nèi)容有關(guān)的題目1、設(shè)f(x)在區(qū)間a, :具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且f (x)蘭 M 0, 0f "(x)| 蘭 M2, (a 蘭x v +=c)證明:f "(x)蘭 2(M0M 2. (01 年試題)12、設(shè)f(x)在區(qū)間0,1上連續(xù),在(0,1)可導(dǎo),且4.3 f(x)dx二f (0),求證:在(0,1)內(nèi)至4少存在一點(diǎn)在,使得f ( ) =0 o(01年試題)3、 設(shè)f(x)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且f(0) =0, f (00, f (0) 0.在曲線y = f (x)上任意取一點(diǎn)(x, f (x) (x = 0)作曲線的切線,此切線在x軸上的截距記作
20、丄,求:lim ZU >T Af(X)(03年試題)4、設(shè)f(x)在區(qū)間0,1上連續(xù),在(0,1)可導(dǎo),且f(0) =0, f(1)=1,試證明:對(duì)于任意給定的正數(shù)a和b,在開區(qū)間(0,1)內(nèi)存在不同的和,使得 一ab a b.f) f ?)(03年試題)5、設(shè)正整數(shù)n . 1 ,證明方程x2n - ahx2n- a?.x -仁0至少有兩個(gè)實(shí)根。(04年試題)6、設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù),證明:存在(a,b),使得fa + b '111+ f (b)I 2丿f (a) _2f二廠(。(05年試題)7、設(shè)函數(shù)f (x)在閉區(qū)間-2,2上具有二階導(dǎo)數(shù),f(X)
21、< 1且f (0) f + If *(0) f =4,證x _2明:存在一點(diǎn)'(一2,2),使得f( ) f ( 0。( 05年試題)&證明:當(dāng) x 2 時(shí),(x-2)e2 -xeX 2e : 0。(07 年試題)兀029、設(shè)f (x)在a,b連續(xù),在(a,b)可導(dǎo),且有ef(x)1arctan xdx , f(1) = 0,則至少存在一點(diǎn)匚 (0,1),使(12)arctanf ( ) = -1。( 07 年試題)答案提示1、對(duì)f (x)進(jìn)行泰勒展開。2、先利用積分中值定理,再利用羅爾定理。3、過點(diǎn)(x, f (x)的曲線 y 二 f (x)的切線方程為:Y - f (x)二 f(x)(X - x),注意到:由于f (0) = 0, f (0)0,在x = 0的鄰域內(nèi)當(dāng)x = 0時(shí)f (x) = 0。因此,此直線在x軸上的截距為f(x) f (x),且 limlimx )0x >0x-lim3x)0 f (x)=0。利用泰勒公式將 f (x)在X二0點(diǎn)展開,得到1 1f(x)二 f(0) f (0)x ? f ( 1)x2f ( 1)x21 在 0 與 x之間1f(J = J ( 2)Q 2在0與之間代入得2f (0)_if (0) f (0) 一 24、 提示:取數(shù)(0,1),由介質(zhì)定理知,存在(0,1),使得f(c)m二,在區(qū)間0, c與C, 1
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