三角恒等變換的常見技巧

1、三角恒等變換的常見技巧注：有*的內(nèi)容選看！、教學(xué)內(nèi)容：三角恒等變換的常見技巧、學(xué)習(xí)目標1、掌握引入輔助角的技巧；2、掌握常見的拆、拼角技巧；3、掌握公式的變用、逆用技巧；4、掌握三角對等式、齊次式的處理技巧；5、掌握弦切互化、異名化同名、異次化同次、異角化同角等變形技巧三、知識要點1、三角恒等變換中的“統(tǒng)一”思想：三角恒等變換的主要目的是異名化同名、異次化同次、異角化同角、異構(gòu)化同構(gòu)，即化異為同，也就是將待證式左右兩邊統(tǒng)一為一個形式，或?qū)l件中的角、函數(shù)式表達 為問題中的角或函數(shù)式， 達到以已知表達未知的目的?；厩腥?點是統(tǒng)一角，往往從統(tǒng)一角入手便能全面達到化異為同的目的。2、統(tǒng)一思想的應(yīng)用

2、一一引入輔助角：對y asi nx bcosx型函數(shù)式的性質(zhì)的研究，我22by asi nx bcosx vab sin(x), ta n們常常引入輔助角。即化a，然后將該式與基本三角函數(shù) y Asinx進行比照研究。“位置相同，地位平等”是處理原則。3、統(tǒng)一思想的應(yīng)用拆、 拼角，如 2等;4、統(tǒng)一思想的應(yīng)用一一弦切互化，如利用萬能公式，把正余弦化為正切等等；對關(guān)于正 余弦函數(shù)的齊次式的處理也屬于“弦化切”技巧；5、統(tǒng)一思想的應(yīng)用一一公式變、逆用，主要做法是將三角函數(shù)式或其一部分整理成公式的一部分，然后利用公式的這一部分與另一部分的等量關(guān)系代入t21”-,si nx cosx t,s in x

3、cosx *6、代換思想的應(yīng)用一一關(guān)于正余弦對等式的處理，常以2代入，把函數(shù)式化為關(guān)于t的函數(shù)式進行研究；另外，三角代換也是處理函數(shù)最值、值域等 問題的重要技巧。四、考點解析與典型例題考點一 引入輔助角研究三角函數(shù)的性質(zhì)例1.設(shè) f (x) =asin x +bcos x（a,b, ）的周期為且最大值f （ 12 ）=4；1)、a、b的值；2）若為f （x） =0的兩個根（終邊不共線）tan (）的值。【解】2f (x). a1)b2 sin(x ), tan，則f(x)周期為,f (x)maxa2b2 a2 b24tanx32.3f(x) 4 si n(2x由上可知：，令f(x)2x因為終邊

4、不共線，故考點二拆、拼角例2.已知cos （sintan(2 )=，且2,02 求cos2【分析】觀察已知角和所求角，可作出的配湊角變換，然后利用余弦的差角公式求角。 【解】5542sirrn(244 2 42222 _ ,41.554-52222 2(cos(2cos）（3）（3”cos尹雪（cos）修）嗎99 33 9 93339 2737 527考點三化弦為切0x -f(x)cos x2例3.當(dāng)4時，函數(shù)cosxsin xsinx的最小值是（）.(A) 4(B)(C) 2(D)【解析】注意到函數(shù)的表達式的分子與分母是關(guān)于sinx與cosx的齊二次式，所以,2分子與分母同時除以2cos x

5、轉(zhuǎn)化為關(guān)于tanx的函數(shù)進行求解.因為0xn4，所以f(X1tan x tan2 xtanx0 tan x 1，所以故選（A）.考點四巧用公式例 4.求 tan17tan28 tan 17 tan 28 的值。ta解(17原式2Btan(l7tan12S28an 17tata1i72J|ap 28an17 tan 28tan 45（1 tan175tsin a +sin 3B.sin (a + 3)cos a +cos 3C. cos(a + 3) sin a+ sin 3D.cos (a + 3)cos a+ cos 3_33、已知( 2 ,), sin =5 ,則tan(4 )等于A. 7

6、B. 7C.-7D. - 73 sin 7024、 2 cos 0 =1_2A. 2B. 2C. 2D.25、已知 tan2,2則 sinsincos2cos24534A. 3B. 4C.4D. 5cos22.n2sin6、若4，貝U cossin的值為工11遼A.2B. 2C.2D. 212cot A*7、已知ABC中,5 ,貝y cosA125512A. 13B. 13C.13D.13、填空題& tan10 tan20 +、3 (tan 10+ tan20)的值為9、函數(shù)y 2cos2x sin2x的最小值是 三、解答題廠 cos1010、化簡：(tan10 . 3)sin 501 m11、已知sinmsin (2),求證：tan()1tan (m m1).1 21 225b R，且b 1(a )(b -)*12、已知：a、a求證: