實數(shù)學習知識點及易錯題型.doc0001

1、實數(shù)復習與回顧一、知識梳理1. 平方根（1） 算術(shù)平方根的定義：一個正數(shù)x的平方等于 a,即,那么這個正數(shù)x就叫做a的的算術(shù)平方根是o（2）平方根的定義：如果一個數(shù)x的平方等于a ,即,那么這個數(shù)x就叫做a的o（3）平方根的性質(zhì)：一個正數(shù)有個平方根，它們; 0只有個平方根，它是:負數(shù)平方根。（4）開平方：求一個數(shù)a的的運算，叫做開平方。2. 立方根（1）立方根的定義：如果一個數(shù)x的等于a,即,那么這個數(shù)x就叫做a的立方根。（2）立方根的性質(zhì)：每個數(shù)a都只有個立方根。正數(shù)的立方根是; 0的立方根是:負數(shù)的立方根是o（3）開立方：求一個數(shù)a的的運算叫做開立方。3. 實數(shù)（1） 無理數(shù)的定義：無限不

2、循環(huán)小數(shù)叫做o（2）實數(shù)的定義： 和統(tǒng)稱實數(shù)。（3）實數(shù)的分類：按定義分：；按性質(zhì)分：o（4）實數(shù)與數(shù)軸上的點的對應關(guān)系：與數(shù)軸上的點是對應的。（5）有關(guān)概念：在實數(shù)范圍內(nèi)，相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值的意義和有理數(shù)范圍內(nèi)的意義4. 實數(shù)的運算：（1）實數(shù)的加、減、乘、除、乘方運算和一樣，而且有理數(shù)的運算律對仍然適用。（2）兩個非負數(shù)的算術(shù)平方根的積等于這兩個數(shù)積的算術(shù)平方根，算術(shù)平方根的商等于這兩個數(shù)商的算術(shù)平方根，用式子表示為二、考點例析考點1 平方根、立方根的定義與性質(zhì)例1（1）下列各數(shù)是否有平方根若有，求出其平方根；若沒有，說明理由。625 （一 2） 23（ 1）彳（2）下列各數(shù)是否有立方根

3、若有，求出其立方根。- 343- 2227分析：（1）要判斷一個對象有無平方根，首先要對這個對象進行轉(zhuǎn)化，直到能看出它的符號，然后依據(jù)平方根的性質(zhì)進行判斷。（2）因為正數(shù)、0、負數(shù)均有立方根，所以所給各數(shù)都有立方根。解：（1）因為625>0,故其平方根有兩個，即土 J5 =±25；因為（一2） 2=4>0,故其平方根有兩個，即土J （2） =± 2；3因為（一1 ） = 1<0,故其不存在平方根。； f3437 ;3一22的立方根人廠匚。明：只有非數(shù)才有平方根，一點同學一定要牢固掌握?？键c2 數(shù)的分與性例2 下列各數(shù)中：Il問 LL 一一一，廠 7 , 兀

4、, 一、$ 4 ,0,0. 3,8，小 6 ,2.4F 3其中有理數(shù)有；無理數(shù)有O解:有理數(shù)：-，0，字廠64無理數(shù)有:明：本考有理數(shù)和無理數(shù)的概念,要正確判斷一個數(shù)屬于哪一理解各數(shù)的意是關(guān)O例3富1的相反數(shù)是； JTT的是的倒數(shù)是分析:如果a表示一個正數(shù),那么一a就表不一個數(shù),a互相反數(shù)；0的相反數(shù)依然是0。一個正數(shù)的它本身;一個 數(shù)的 是它的相反數(shù),1 非零數(shù) a的倒數(shù)是。a與一是是 0o分析：于3 7匚、h再先化再判斷。解:Q 1的相反數(shù)是JTT的絕對值是 JTI : ；'_§!=121-2，所以-11的倒數(shù)是一21119說明：解決此問題要牢記實數(shù)的性質(zhì)，實數(shù)范圍內(nèi)一個

5、數(shù)的相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值的意義和在有理數(shù)范圍內(nèi)的意義是一樣的。例4( 1)計算:/7T282考點3實數(shù)的運算(2)化簡 J8 V 2丁2 2)得()(A) - 2(B)V 2 2( C) 2(D) 4V2 2分析：有理數(shù)的運算法則、性質(zhì)、運算律等在實數(shù)范圍內(nèi)仍然適用,本例根據(jù)運算順序直接計算即可。5_11(1) =X 一 J 225 (-)=丄-515 ( 5) 475 75 一；45 5444(2) 0 廠 * 2 2)廟 2 2 22 2 32 2 =- 故選(A) o說明：在實數(shù)范圍內(nèi)進行加、減、乘、除、乘方和開方運算，運算順序依然是從高級到低級。值得注意的是，在進行開方運算時，正 實數(shù)

6、和零可以開任何次方，負實數(shù)能開奇次方，但不能開偶次方?？键c4 非負數(shù)例5 已知x , y為實數(shù)，且f 3( y 2)2 0 ,則x y的值 ).(A) 3(B) - 3(C) 1(D) - 1分析：本題主要考查非負數(shù)的性質(zhì)及其應用，非負數(shù)，即不是負數(shù)，也 即正數(shù)和零，常見的非負數(shù)主要有三種：實數(shù)的絕對值、實數(shù) 的算術(shù)平方根、實數(shù)的偶次方。它有一個非常重要的性質(zhì)：若干個非負數(shù)的和為0,這幾個非負數(shù)均為零。利用這個性質(zhì)可 解本題，解：由題意，得xl 0 , y 20 ,即x 1 , y 2,所以x yl o 故選(D) o說明:非負數(shù)是中考常考的知識點，同學們應從其意義入手，理解并掌握它。考點5數(shù)

7、形結(jié)合題已知實數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示：試化簡：I分析:要化簡丨a-b I - I a+b I ,需根據(jù)數(shù)軸上a、b的位置判斷a b和a+b的符'1解：因為a>0, bvO,且丨ab0 aI < I b I ,所以 a b>0, a+bvO,所以原式=(a b) + ( a+b) =a b+a+b=2a說明：數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學問題常用的思想方法,解題時必須通過所給圖形抓住相關(guān)數(shù)的信息?？键c6 探究題例7閱讀下列解題過程:11(1)、觀察上面的解題過程，請直接寫出式子： 嘰 >/nin 2(2)、利用上面所提供的解法，請化簡:11 111廠 廠廣L廠廣2 1

8、32435 4109分析：通過閱讀解題過程不難發(fā)現(xiàn)，每個式子的結(jié)果都等于分母屮兩個式子的差。解：(1) 了Jn 1 % n on n 1 廠廣廠=2 1324354109 = 10 1 o說明：這類題目需要我們細心觀察及思考，探究其屮的規(guī)律，尋找解 決問題的途徑。三、易錯點例析1、對平方根、算術(shù)平方根、立方根的概念與性質(zhì)理解不透理解不透平方根、算術(shù)平方根、立方根的概念與性質(zhì)，往往出現(xiàn)以下錯誤：求一個正數(shù)的平方根時，漏掉其中一個，而求立方根時，又多寫一個；求算術(shù)平方根時前面加上“”成了平方根等等。例1 ( 1)求6 J的平方根(2)求V 81的算術(shù)平方根錯解：（1）6 _；2S J ；（2） J

9、KT的算術(shù)平方根是 9i 4 V4 2錯解分析：錯解（1）中混淆了平方根和算術(shù)平方根；錯解（2）中8? =9, JT的算術(shù)平方根其實是9的算術(shù)平方根，而9的算術(shù)平方根是3o正確解法：（1 ）是3 o2的算術(shù)半方根例2求64與一 27的立方根。錯解：64的立方根是±4, 27沒有立方根。錯解分析：64的立方根是4,只有一個,認為64的立方根有兩個且互為相反數(shù)，是與正數(shù)的平方根相混淆；一27的立方根是一3,錯誤地認為一27沒有立方根是與負數(shù)沒有平方根 相混淆。正確解法：因為 4*64,所以64的立方根是4。因為（一 3） 3二一 27,所以一27的立方根是一 3o 2、忽略平方根成立的條

10、件只有非負數(shù)才能開平方，這一條件解題時往往被我們忽略。 例3當m取何值時，Vm2有意義錯解：不論m取何值時， m2都無意義。錯解分析：考慮不全，漏掉了m=0時的情況。正確解法：當m=0時，一m2=0,此時 m2有意義。3、實數(shù)分類時只看表面形式對實數(shù)進行分類不能只看表面形式，應先化簡，再根據(jù)結(jié)果去判斷。例4下列各數(shù)一2、_、一少、尸、(一戸)J、和兩中35無理數(shù)有.錯解：無理數(shù)有一、一3、C、(- #)彳、廠8。3錯解分析：這種錯誤認為帶根號的數(shù)都是無理數(shù)。其實能化簡的應先化簡，一9 =- 3,(-V7 ) 2=7,豈8=2,所以它們是有理數(shù)。正確解法：無理數(shù)有、廠5。34、運算錯誤在進行實數(shù)的運算時要注意運算法則與公式的正確應用，千萬不要忽略公式的應用條件。例 5 化簡(1)5 va v9a ( 2) J( 9)錯解：(1)5 Qa «9a =5 da 3(a =2；(2) J ( 9)( 25) =p 9)