函數(shù)單調(diào)性和奇偶性總結(jié)復習

1、學習資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考課次教學計劃(教案)課題函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性教學目標I.通過已學過的函數(shù)特別是二次函數(shù)，理解函數(shù)的單調(diào)性及其幾何意義；學會運用函數(shù)圖像理解和研究函數(shù)的性質(zhì).理解增區(qū)間、減區(qū)間等概念，掌握增(減)函數(shù)的證明和判別2.結(jié)合具體函數(shù)，了解奇偶性的含義；學會運用函數(shù)圖像理解和研究函數(shù)的性質(zhì).理解奇函數(shù)、偶函數(shù)的幾何意義，能熟練判別函數(shù)的奇偶性教學策略重點難點：理解函數(shù)的模型化思想，用集合與對應(yīng)的語言來刻畫函數(shù) 教學策略：講練結(jié)合，查漏補缺函數(shù)的單調(diào)性1 .例1:觀察y=x2的圖象，回答下列問題問題1:函數(shù)y=x2的圖象在y軸右側(cè)的部分是上升的，說明什么？=隨著x的增加，y值

2、在增加。問題2：怎樣用數(shù)學語言表示呢？=設(shè) XI、x2 0 , +o0,得 yi=f(Xl), y2=f(X2).當 Xl<X2 時,f(x1)< f(x 2).結(jié)論：這時，說y尸X2在0, +8止是增函數(shù)。(同理分析y軸左側(cè)部分) 由此可有：2 .定義：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I：如果對于屬于I內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值X1、X2,當 X1<X2 時都有 f(Xl)< f(X2).那么就說f(x)在這個區(qū)間上是 增函數(shù)(increasing function)。如果對于屬于I內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值Xi、X2,當Xi<X2時都有f(Xi)&

3、gt;f(X2).那么就是f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù)(decreasing function)。如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函說y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調(diào)性，這一區(qū)間叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象是上升的，減函數(shù)的圖象是下降的。注意：(1)函數(shù)的單調(diào)性也叫函數(shù)的增減性;(2)注意區(qū)間上所取兩點Xi,X2的任意性;(3)函數(shù)的單調(diào)性是對某個區(qū)間而言的，它是一個局部概念。3 .例2.己知函數(shù)f(x) =X2+2X+3，畫出函數(shù)的圖象；根據(jù)圖象寫出函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間；利用定義證明 函數(shù)f (X) = X2+2X+ 3在區(qū)間(-8

4、,1上是增函數(shù) M當函數(shù)f(x)在區(qū)間(一8,m上是增函數(shù)時，求實數(shù)m的 取值范圍.1、用定義判斷單調(diào)性：A . 設(shè)Xi, X2 W所給范圍 且Xi < X2 ;B.計算f(x 1 )-f(x2尸幾個因式的乘積形式C.判斷上述差的符號；D.下結(jié)論。如果f(Xi) < f(X2),則函數(shù)是增函數(shù)；如果f(Xi)> f(X2),則函數(shù)是減函數(shù)用定義法判斷單調(diào)性2X1,試用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)f(x)= 在區(qū)間(0, I)上的單倜性.X -I解：任取 X1 ,X2 C (0,1),且 Xi <X2 .則 f(Xl) 一 f(X2)=2x12X2X1 -1x2 -12(X2

5、 -Xi)(X1 1)(X2 -1)由于 0 <X1 <X2<1,X1 -1<0 ,X2-1 <0 ,X2X1>0 ,故 f(X1) f(X2) >0 ,即f (x) A f(X2).所以，函數(shù)f(x)=-23在(0, 1)上是減函數(shù).X -1【擴展】1判斷函數(shù)y =X +1在(1,收)的單調(diào)性，并用定義證明之.X1判斷函數(shù)y =x +1在(0,1)的單調(diào)性，并用定義證明之.x求單調(diào)區(qū)間1 .判斷函數(shù) y=x26X+10在區(qū)間(2, 4)的單調(diào)性 一 2x -12 .已知f(x) =，指出f(x)的單調(diào)區(qū)間3x 2根據(jù)圖像判斷單調(diào)性(看圖像，向上趨勢的

6、就是增函數(shù)，向下趨勢的就是減函數(shù);1 已知函數(shù) f (x) = x2 -2x-3 .(1) 畫出該函數(shù)的圖象；(2)寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.21 .已知m<2,點(mT,y1 ),(m,y2 ),(m+1, y3)都在二次函數(shù)y=x 2x的圖像上，則a .y1< y2< y3 b.y3< y2<yc .y< y3< y2d. y? <y1<y3()根據(jù)單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍一 2ax 1.若函數(shù)f(x)= 在(1,收)上為增函數(shù)，求實數(shù) a的取值范圍 x -12.如果函數(shù)y=x2 +(2a-1)x+1在區(qū)間L2,2】上為減函數(shù)，求實數(shù) a的取值

7、范圍223設(shè)函數(shù)f (x)=x -(3a-1)x+a在區(qū)間(1,口)上是增函數(shù)，求實數(shù) a的取值范圍。4 .若f (x) =x2+2ax與g(x) =a在區(qū)間1,2】上都是減函數(shù)，則a的取值范圍是 x 15 .若函數(shù)f(x) =ax-b +2在0,收 讓為增函數(shù)，則實數(shù)a,b的取值范圍是().學習資料學習資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考利用單調(diào)性判斷函數(shù)值例6.己知函數(shù)y=f(x)在0,十8止是減函數(shù)，試比較f(_3)與f(a2 一 a十1)的大小.函數(shù)的值域二、新知導航：1 .函數(shù)最大(小)值定義最大值：一般地，設(shè)函數(shù) y = f (x)的定義域為I,如果存在實數(shù) M滿足：(1)對于任意的xw I

8、,都有f (x) MM ；存在x° w I ,使得f (x0) =M .那么，稱M是函數(shù)y = f (x)的最大值.【例1】畫出下列函數(shù)的圖象，指出圖象的最高點或最低點，并說明它能體現(xiàn)函數(shù)的什么特征？ f(x)=-x+3 f(x) = x+3 xw_1,2_2_2 f(x)=x +2x+1 f(x)=x +2x+1 xW2,22.注意：函數(shù)最大(小)首先應(yīng)該是某一個函數(shù)值，即存在x0w I ,使得f(x0) = M ;函數(shù)最大(小)應(yīng)該是所有函數(shù)值中最大(小)的，即對于任意的xI ,都有f(x)<M (f(x)>m).利用函數(shù)單調(diào)性來判斷函數(shù)最大(小)值的方法. 1(1)

9、配方法 (2)換元法(3)數(shù)形結(jié)合法一一 ，一一 2 ，一一 ，一 一x -1【例2】求函數(shù)y =在區(qū)間2 , 6上的取大值和取小值【例3】求函數(shù)、經(jīng)典范例:學習資料【例1】求函數(shù)y=一6一的最大值.y x x 1解：配方為 y=6由(x4)2 +3 得 0<6-<8.(x 1)2 324 4(x)2 22424所以函數(shù)的最大值為 8.【例2】21 .已知函數(shù)f(x)=x 2x3 ,求出函數(shù)的最值 ；22 .已知函數(shù)f(x)=x 2x3, xW 0,4求出函數(shù)的最值 ；23 .已知函數(shù)f(x)=x -2x-3 , xw 2,4求出函數(shù)的最值 ;【擴展】 已知函數(shù)f(x) =x2 -

10、2mx + 2在(-8,2)上是減函數(shù)，在(2,+=)上是增函數(shù)，求實數(shù) m的值；并根據(jù)所 求的m的值求函數(shù)在(_oo, 上上的最值.已知函數(shù)f (x)=卜2 +2x3 .(1)寫出該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)求函數(shù)在區(qū)間xw 1-2,2】上的最值.2已知函數(shù)f(x)=2x + .x(1)試討論函數(shù)在 x w (0, 士對上的單調(diào)性，并證明之；(2)由(1)試求函數(shù)在(0,七碼上的最值.【例3】求函數(shù)y =2x，Jx -1的最小值.解：此函數(shù)的定義域為 1,此),且函數(shù)在定義域上是增函數(shù)，所以當x=1時，ymin =2+，77=2,函數(shù)的最小值為 2.點評：形如y=ax+b±uCx工d的

11、函數(shù)最大值或最小值，可以用單調(diào)性法研究，也可以用換元法研究.【另解】令 我"7=t，則t至0, x =t2 +1 ,所以y =2t2 +t +2 = 2(t+1)2 +15 ,在t20時是增函數(shù)，當t = 048時，ymin =2 ,故函數(shù)的最小值為 2.【例4】求下列函數(shù)的最大值和最小值:一、25 3(1) y =3 -2x x , x = -一,一 ;(2) y 弓x +1| -|x -2|.2 2學習資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考解：（1）二次函數(shù)y =3_2x_x2的對稱軸為x=-b,即x = 1.2a畫出函數(shù)的圖象，由圖可知，當x=1時，ymax=4；當x=N時，ymin=_9.

12、24所以函數(shù)y=32xx2, x引5,3的最大值為4,最小值為號.2 24四、課堂練習1 .已知函數(shù)y =kx+2 , x 0,-Hc）,下列說法中正確的是（）（A）函數(shù)有最大值2（B）函數(shù)有最小值 2（C）當k>0時函數(shù)有最大值2（D）當k<0時函數(shù)有最大值 22 .已知函數(shù)f（x）=x2 +mx+2在（g,1）上是減函數(shù)，在（1,上c）上是增函數(shù)，求實數(shù) m的值；并根據(jù)所求的m的值求函數(shù)在 （-00,土無）上的最值. 3 .已知函數(shù)y=x2 2x+2, xw3,2，求該函數(shù)的最值 4 .已知函數(shù) f(x) = x2 -2x -3 .（1）寫出該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間

13、xw L1,5 的最值.6.函數(shù)f （x） =x22ax+a在區(qū)間（-°o,1）上有最小值，則a的取值范圍是（）.A. a <1B. a <1C. a >1D. a >123 .7.已知函數(shù)f（x）=x2 +x+1,x虻0,3的最大（?。┲登闆r為（）.2A.有最大值-，但無最小值B.有最小值-,有最大值144C.有最小值1,有最大值 D.無最大值，也無最小值48 .函數(shù)y =3x J2x的最大值是 .9 .已知函數(shù)y=r2+axa+1在區(qū)間0, 1上的最大值為2,求實數(shù)a的值.4 2函數(shù)的奇偶性1 .回憶增函數(shù)、減函數(shù)的定義，并復述證明函數(shù)單調(diào)性的步驟。2 .

14、初中幾何中軸對稱，中心對稱是如何定義的？軸對稱：兩個圖形關(guān)于某條直線對稱（即一個圖形沿直線折疊，能夠與另一圖形重合）中心對稱：兩個圖形關(guān)于某一點對稱（即把一個圖形繞某點旋轉(zhuǎn)180、能夠與另一圖形重合）這節(jié)課我們來研究函數(shù)的另外一個性質(zhì)一一奇偶性學習資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考y=f(x)=x點，那么，與它關(guān)于y軸的對稱點(-x,y)1 .偶函數(shù)(1)觀察函數(shù)y=x2的圖象(如右圖)圖象有怎樣的對稱性？從函數(shù) 本身來說，其特點是什么？二當自變量取一對相反數(shù)時，函數(shù)y取同一值。例如：f(-2)=4, f(2)=4,即 f(-2)=f(-2) ; f(-1)=1 , f=1 ,即 f(_1)=1, f

15、(1)=-,即 f (_1)=f (l)°f(-1尸 f,242422由于(-x) 2=x2f(-x)= f(x).以上情況反映在圖象上就是：如果點( x,y)是函數(shù)y=x2的圖象上的任也在函數(shù)y=x2的圖象上，這時，我們說函數(shù)y=x2是偶函數(shù)。(2)定義：一般地，如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x,都有f(-x)= f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)(even function )。22例如：函數(shù)f(x)=x +1, f (x), f (x) =|x等都是偶函數(shù)。x 112 .奇函數(shù)(1)觀察函數(shù)y=x3的圖象(投影2)當自變量取一對相反數(shù)時，它們對應(yīng)的函數(shù)值有什么關(guān)系？

16、二也是一對相反數(shù)。這個事實反映在圖象上，說明函數(shù)的圖象有怎樣的對稱性呢?是函數(shù)y=x3的圖象上任一點，那么與它關(guān)于原點對稱的點(y=x3的圖象上，這時，我們說函數(shù)y=x3是奇函數(shù)。(2)定義一般地，(板書)如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個 x,都有f (-x) = - f(x)那么 函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)(odd function)。1例如：函數(shù)f (x) =x, f(x)=都是奇函數(shù)。 x3 .奇偶性如果函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，那么我們就說函數(shù)f(x)具有奇偶性。例1.判斷下列函數(shù)的奇偶性。(4) f(x)=x 2,x 0,二；(5) f(x)=-; x(1) f(x)=x 3

17、+2x;(2) f(x)=2x 4+3x2;(3) f(x)=x 2+2x+5;(6) f(x)=x+ ;x分析： 這里主要是根據(jù)奇函數(shù)或偶函數(shù)的定義進行判斷；f(x)=0 (x C R 或函數(shù)中有奇函數(shù)，也有偶函數(shù)，但是還有些函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，唯有xC (-a,a).a>0)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。從函數(shù)奇偶性的定義可以看出，具有奇偶性的函數(shù)，首先其定義域關(guān)于原點對稱；其次f(-x)= f(x)或f(-x尸-f(x)必有一成立。因此，判斷某一函數(shù)的奇偶性時：首先看其定義域是否關(guān)于原點對 稱，若對稱，再計算f(-x),看是等于f(x)還是等于-f(x),然后下結(jié)論；若定義域關(guān)于

18、原點不對稱，則函數(shù)沒有 奇偶性。學習資料例2、判斷下列函數(shù)的奇偶性(1)f(x)2,1 -x| x 2 | -2,1 x(二(1-對口判斷下列分段函數(shù)的奇偶性(1 -x)x(1 + x)(x-0)(x :二 0)一3(2) f(x)=x|x|+x一 一，1例3.函數(shù)f(x)= 1x的圖象關(guān)于()(判斷圖像性質(zhì))xA. y軸對稱B.直線y=-xC.坐標原點對稱D.直線y=x例4、已知函數(shù)y=f(x)在R上是奇函數(shù)，而且在 (0,十8提增函數(shù)。證明y=f(x)在(-g ,0 )上也是增函數(shù)。4 .結(jié)論： 奇函數(shù)在兩個對稱區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性是相同的；偶函數(shù)在兩個對稱區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性是相反的；奇函數(shù)的圖象關(guān)

19、于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于Y軸對稱；奇函數(shù)與偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱.利用函數(shù)奇偶性的定義和性質(zhì)求參數(shù)例1.若函數(shù)f(x) =r+a是奇函數(shù) 則a=2x -1x -2, x 0例2.若函數(shù)f(x)=a,x=0是奇函數(shù)，則a+b =x b, x ：二 03、如果定義在區(qū)間3-a,5上的函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則a=5 .已知函數(shù) f(x) =ax2 +bx+c,xw12a3,1是偶函數(shù)，則 a + b=_7536 .已知 f(x) =ax +bx +cx +dx+5,其中 a,b,c,d 為常數(shù)，右 f(7) = -7,則 f (7) =27 .若函數(shù)f(x)=(k2)x +(k1)x+2是偶

20、函數(shù)，則 f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是 8 .已知函數(shù) f(x)=ax2 +bx+c.(1)若函數(shù)為奇函數(shù)，求實數(shù)(2)若函數(shù)為偶函數(shù)，求實數(shù)a, b, c滿足的條件;a, b, c滿足的條件_54f (x) = ax bx若函數(shù)是奇函數(shù)，則3 , 2 , cx dx ex f【總結(jié)】若函數(shù)是偶函數(shù)，則求函數(shù)表達式:22.已知f(x)是偶函數(shù)，x之0時，f(x)=2x +4x,求x<0時f(x)的解析式.解：作出函數(shù)y=-2x2+4x = -2(x1)2+2, x之0的圖象，其頂點為(1,2). f(x)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱.作出x <0時的圖象，其頂點為(-1,2),且與右側(cè)

21、形狀一致，x<0時，f (x) =2(x+1)2 +2 =-2x2 4x.【擴展】若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，當xA0時，f (x) =2x x2,試求函數(shù)f (x)在x<0時的解析式.若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，當x<0時，f (x) =x+x2 ,試求函數(shù)f(x)的解析式.判斷抽象函數(shù)的奇偶性1 .設(shè)f (x)是R上的任意函數(shù)，下列敘述正確的是()A. f(x) f(x)是奇函數(shù)B, f(x) 'f(x)是奇函數(shù)C. f(x)+f(x)是偶函數(shù)D, f(x)-f(-x)是偶函數(shù)2,設(shè)函數(shù)f (x)和g(x)分另ij是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則下列結(jié)論一定成立的是()A. f

22、 (x) + |g(x)|是偶函數(shù)B. f(x)|g(x)|是奇函數(shù)C. | f (x)|+g(x)是偶函數(shù)d.| f(x)|-g(x)是奇函數(shù)利用函數(shù)的圖像比較函數(shù)值的大小例定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足：對任意的x1,x210,)(x1x2),有 3fM0則 x2 - x1f (3), f (-2), f的大小關(guān)系是.利用奇偶圖像判斷單調(diào)性以及解不等式(數(shù)形結(jié)合)1 .若奇函數(shù)f(x)在3, 7上是增函數(shù)，且最小值是1,則它在_7,一3上是().A.增函數(shù)且最小值是1B.增函數(shù)且最大值是1C,減函數(shù)且最大值是-1D,減函數(shù)且最小值是-12 .若f (x)為奇函數(shù)，且在(0,十g)內(nèi)是增函數(shù)，又f (-3) = 0，則xf(x)<0的解集為3 .已知奇函數(shù)f(x)的圖象是兩條直線的一部分(如圖所示)，其定義域為-1,0)= (0,1,則不等式f(x)-f(-x)1 的解集是()x1,x2都有 f (x1 %)=f (x1)+ f (x2),且當A. * |-1 _ x _ 1且x = 0，