北師大版數(shù)學(xué)必修一新素養(yǎng)同步講義：第一章1第1課時集合的含義

1、§ 1集合的含義與表示第1課時集合的含義研讀導(dǎo)竽 巖情1 .集合、元素的含義及標(biāo)記方法(1)集合：指定的某些對象的全位JT用大寫字母A. B. C. D.標(biāo)記.(2)元素：集合中的每個對象，常用小寫字母a, b, c, d,標(biāo)記.(3)元素的特性：確定性、無序性、互異性.2 .元素與集合間的關(guān)系屬于：如果a在集合A中，則a屬于集合A,記作aC A.關(guān)系不屬于：如果 必在集合A中，則a不屬于集合A,記作a?A.3 .常用的數(shù)集及其記法數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集符號NN +或 N*ZQR4.集合中元素的三大特性兀素的特性理解作用確定性給定的集合，它的兀素必須是確定 的.也就

2、是說，給定一個集合，那么任 何一個元素是否在這個集合中就確定了判定對象能否構(gòu)成集合；確定 元素與集合的關(guān)系互異性一個給定集合中的兀素是互不相同 的.也就是說，集合中的元素是不能重 復(fù)出現(xiàn)的判定集合是否正確；求集合中 字母的值時需檢驗互異性無序性集合中的兀素是沒有順序的.也就是 說，集合中的元素沒有前后之分判定兩個集合是否為同一個集 合1 .判斷正誤(正確的打“，”，錯誤的打“X”)(1)集合中的元素一定是數(shù).()(2)高一四班的全體同學(xué)組成一個集合.()由1, 2, 3構(gòu)成的集合與由3, 2, 1構(gòu)成的集合是同一個集合.()(4) 一個集合中可以找到兩個相同的元素.()(5)集合N中的最小元素

3、為 0.()(6)若 aC Q,則一定有 aC R.()答案: (1)X (2)， (3)，(4)X (5)，(6)，2 .下列各組對象中不能組成集合的是()A.北京大學(xué)2016年入學(xué)的全體學(xué)生8 .參加國慶66周年招待會的全體成員C.清華大學(xué)建校以來畢業(yè)的所有學(xué)生D.中國最富有的人答案: D3.若a是R中的元素，但不是 Q中的元素，則a可以是()A. 3.14B. 2C- 8D- <7答案: D4 .方程x2-1 = 0的解與方程x+1 = 0的解組成的集合中共有 個元素.答案: 25 .已知集合 M有兩個元素3和a+1,且4CM,則實數(shù)a =.答案: 3廟名師指津1 .準(zhǔn)確認識集合的

4、含義(1)集合的概念是一種描述性說明，因為集合是數(shù)學(xué)中最原始的、不加定義的概念，這 與我們初中學(xué)過的點、直線等概念一樣，都是用描述性語言表述的，其本質(zhì)特征是指定的確 定元素的總體.(2)集合含義中的“元素”所指的范圍非常廣泛，現(xiàn)實生活中我們看到的、聽到的、觸 摸到的、想到的各種各樣的事物或一些抽象的符號等，都可以看作“對象”， 即集合中的元素.2 .應(yīng)用符號和“？”的三個關(guān)鍵點(1)唯一性：由集合中元素的確定性可知給定一個對象，要么它是給定集合的元素，要 么不是這個集合的元素.(2)專用性：符號和“ ？”是表示元素與集合之間關(guān)系的，不能用來表示元素與元 素或者集合與集合之間的關(guān)系.(3)方向性

5、：符號和“ ？”具有方向性，左邊是元素，右邊是集合，形如 NC 0是 錯誤的.二探究案，筋每目探究點1集合的含義與集合的判定學(xué)生用書P2例國有下列各組對象：接近于1的數(shù)的全體；比較小的實數(shù)的全體；平面上到點O的距離等于1的點的全體；正三角形的全體.其中能構(gòu)成集合的個數(shù)是()A. 2B. 3C. 4D. 1【解析】 因為中“接近于1”、中“比較小”標(biāo)準(zhǔn)不明確，所以不能構(gòu)成集 合，能構(gòu)成集合，故選A.【答案】A卜判斷一組對象構(gòu)成集合的依據(jù)判斷一組對象能否構(gòu)成集合的關(guān)鍵在于是否能找到一個明確的判斷標(biāo)準(zhǔn)，來判斷這組對象中的任一個對象是否在所描述的范圍內(nèi)，如果能找到，則可構(gòu)成一個集合，否則不能.時,跟蹤

6、訓(xùn)煉1.下列各組對象能成集合的有 (填序號).中國農(nóng)業(yè)銀行的所有員工；我國的大河流；不大于3的所有自然數(shù)；未來世界的高科技產(chǎn)品；所有的好心人.解析：能，中的對象是確定的； 不能，“大”無明確標(biāo)準(zhǔn)；能，不大于3的所 有自然數(shù)有0、1、2、3,其對象是確定的；不能，“高科技”的標(biāo)準(zhǔn)不能確定；不能， 沒有一個確定的標(biāo)準(zhǔn)來判斷某個人是否是“好心人” .答案:探究點2 元素與集合的關(guān)系學(xué)生用書P2例團(1)下列關(guān)系中，正確的有()1 2c R；艱?Q; |3|CN; | J3|CQ.A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個(2)滿足“ aCA且4aC A, aC N且4aC N”，有且只有2個元素的集合

7、 A的個數(shù)是()A. 0B. 1C. 2D. 3【解析】(1)2是實數(shù)，y2是無理數(shù)，i3戶3是非負整數(shù)，i43i=y3是無理數(shù).因此，正確，錯誤.(2)因為 aCA 且 4aCA, aCN 且 4aC N,所以若a=0,則4-a=4,此時A滿足要求；若a=1,則4-a=3,此時A滿足要求；若a = 2,則4-a=2,此時A含1個元素，不滿足要求.故有且只有2個元素的集合 A有2個，故選C.【答案(1)C (2)C判斷元素和集合關(guān)系的兩種方法(1)直接法：若集合中的元素是直接給出的，直接觀察判斷元素與集合的關(guān)系；(2)推理法：若集合中的元素是用性質(zhì)表達的，則需推斷所給對象是否具備集合中元素的性

8、質(zhì)，才能判定對象與集合的關(guān)系.H.除訓(xùn)糯2.(1)(2017長沙高一檢測)已知集合A中元素滿足2x+ a>0, aCR,若1?A, 2CA,則()A. a> 4B. a<- 2C. 一 4vav 2D. 4vaW 2(2)已知集合 A的元素形式為 x=2k, kCZ, B的元素形式為 x= 2k+ 1, k Z.5 a A, bCB,貝U a+b A, a+b B(用 “C” 或 “ ？” 填空).解析：(1)因為1?A, 2C A,所以2X 1 + aw 0,2X2+a>0即一 4<aW 2.(2)因為 aCA, 所以 a=2ki(ki £ Z). 因

9、為bC B, 所以 b=2k2+ 1(k2c Z). 所以 a+ b= 2(ki + k2) + i. 又因為ki + k2c Z , 所以a+bC B,從而a + b?A. 答案: (I)D (2)? £1策究點3集合中元素的特性及其應(yīng)用學(xué)生用書P2例區(qū) 已知集合A含有兩個元素a和a2,若ICA,則實數(shù)a的值為.【解析】 若ICA,則a=i或a2 = i,即a="當(dāng)a=i時，集合A有重復(fù)元素，所以aw i當(dāng)a=I時，集合A含有兩個元素i, I,符合元素的互異性，所以a=I.【答案IQ皂E2圜圖I.若去掉本例中的條件“ ICA”，則實數(shù)a的取值范圍是什么？解：因為集合A中含

10、有兩個元素a和a2,所以aw a2,即 aw0 且 awi.2 .若將本例中的“ i C A”改為“ 2C A”，則a為何值？解：因為2CA,所以a=2或a2=2,即a = 2或a=好2.3 .若由a和a2構(gòu)成的集合只有一個元素，則a為何值？解：因為由a和a2構(gòu)成的集合只有一個元素，所以a=a2,即a = 0或a=i.由集合中元素的特性求解字母取值（范圍）的步驟根據(jù)集合中元素的確定性，解出字母 的所書取值殖避行檢檢（作卷;_算出所有符有題廢的字母的取值3.(1)若集合M中的三個元素是 ABC的三邊長，則4 ABC 一定不是()A.銳角三角形B .直角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形(2)若集

11、合A中有三個元素x, x+1, 1,集合B中也有三個元素x, x+ x2, x2,且集合A 與B中的元素相同，求實數(shù) x的值.解：(1)選D.由集合中元素的互異性可知，集合中的任何兩個元素都不相同，故選D.(2)因為集合A與B中的元素相同,x+ 1 = x2,所以 9 或1 = x2+ xx+ 1 = X2+ X, 1 = x2.解得x= 蟲.經(jīng)檢驗,x= 1不適合集合元素白互異性，而x=- 1滿足，所以x=- 1.索養(yǎng)提升規(guī)范解答集合的探究型問題典例I數(shù)集A滿足條件：若aCA,則eAlawD.1 a若2 c A,試求出A中其他所有元素；(2)自己設(shè)計一個數(shù)屬于 A,然后求出A中其他所有元素；

12、從上面的解答過程中，你能悟出什么道理？并大膽證明你發(fā)現(xiàn)的“道理”.1【解】(1)若2C A,則匚A即一1CA,則CA,即1CA, 1+12即2CA,所以A中其他元素為一(2)如：若3CA,則A中其他元素為*6 1-212.1 22' 3.(3)分析以上結(jié)果可以得出：A中只能有3個元素，它們分別是a, 4,1 aa 1a且三個數(shù)的乘積為1.(8分)證明如下：11若 aCA, aw1,則有 一a CA 且 !一a w1,所以又有士 =、1cA且1 -a1 一 一 進而有-=a C A.a- 11-因為aw(因為若11 - a，1a=,貝Ua a + 1 = 0,1 a而方程a2a+1 =

13、0無解.所以所以A中只能有3個元素，它們分別是a 1a, 1二,二且三個數(shù)的乘積是一1.a，1抓住a C A, 1_a'C A(a W 1)是正確解答本題的關(guān)鍵.注明aw，牛3是易漏點.1 a a本題屬于結(jié)論開放型問題，需要認真分析條件，在解決第(1)(2)題的基礎(chǔ)上，探求結(jié)論， 對分析問題，解決問題的能力要求較高. 當(dāng)堂檢測 1 .已知集合 A中元素x滿足一，5wxw5,且xC N*,則必有()A. 1CAB.0CAC.ge AD. 1 C A解析：選D.xC N*,且事& x< 45,所以x= 1, 2.所以1 A.2 .已知集合 M具有性質(zhì)：若aC M,則2aC M

14、,現(xiàn)已知一1 C M,則下列元素一定是 M 中的元素的是 ()A. 1B. 0C. 2D. 2解析：選 C.因為 aCM,且 2aCM,又1CM,故1X2=2CM.3 .設(shè)直線y=2x+ 3上的點集為P,點(2,7)與點集P的關(guān)系為(2,7)P(填“C” 或 “ ？”).解析：直線y=2x+ 3上的點的橫坐標(biāo) x和縱坐標(biāo)y具有y= 2x+ 3的關(guān)系，即只要具備 此關(guān)系的點就是集合 P的元素.由于當(dāng) x=2 時，y=2X2+3=7,故(2, 7) C P.答案: e4 .已知集合P有三個元素：1, m, m2-3m- 1,若3c P,且1?P,則實數(shù)m的值為解析：因為3C P,且1?P,所以當(dāng)m

15、=3時，P含有三個元素：1, 3, 1,與1?P矛盾.當(dāng) m23m1 = 3 時，m= 4 或 m= 1（舍去），此時P含有三個元素：1, 4, 3,符合題意.所以m= 4.答案:4（固 巧蜂:果蹤,胎證,學(xué)生用書P85（單獨成冊）A基礎(chǔ)達標(biāo)1 .下列各組對象中能構(gòu)成集合的是（）A. 2017年中央電視臺春節(jié)聯(lián)歡晚會中好看的節(jié)目B.某學(xué)校高一年級高個子的學(xué)生C.陋的近似值D. 2016年全國經(jīng)濟百強縣解析：選D.由于集合中的元素是確定的，所以D中對象可構(gòu)成集合.2.給出下列關(guān)系：（1）3C R； （2）mC Q； （3）3?Z; （4）“3?N,其中正確的個數(shù)為（）A. 1B. 2C. 3D.

16、 4一1解析：選B.：是實數(shù)，（1）正確；m是無理數(shù)，（2）錯誤；3是整數(shù)，（3）錯誤；巾是 3無理數(shù)，（4）正確.故選B.3.若a, b,c,d為集合A的四個元素，則以a, b, c, d為邊長構(gòu)成的四邊形可能是（）A.矩形B.平行四邊形C.菱形D.梯形解析：選D.因為a, b, c, d為集合A中的四個元素，故a, b, c, d均不相同，故選D.4,由實數(shù)x, -x, |x|, Vx2,一我所組成的集合，最多含有（）A. 2個元素B. 3個元素C. 4個元素D. 5個元素解析：選 A. -7X2= |x|, 3/x3= x.當(dāng)x=0時，它們均為0;當(dāng)x>0時，它們分別為x, -x,

17、 x, x, x;當(dāng)x<0時，它們分別為x, -x, -x, -x, - x.通過以上分析，它們最多表示兩個不同的數(shù)，故集合中元素最多含有2個.5.已知集合 A中含有三個元素 2, 4, 6,且當(dāng)aCA時，有6aCA,那么2為（）A. 2B. 2 或 4C. 4D. 6解析：選 B.若 a=2CA,則 6a = 4CA；若 a=4CA,則 6 a= 2CA；若 a=6CA,則 6-a=0?A,故選 B.6 .方程1 + x 2= 0的全體實數(shù)解組成的集合元素的個數(shù)為 .解析：由1 + /= 0知，此方程無實數(shù)解.答案: 07 .給出下列說法：集合 N與集合N+是同一個集合；集合 N中的元

18、素都是集合 Z 中的元素；集合Q中的元素都是集合 Z中的元素；集合Q中的元素都是集合 R中的元 素.其中正確的有.解析：因為集合N +表示正整數(shù)集，N表示自然數(shù)集，Z表示整數(shù)集，Q表示有理數(shù)集， R表示實數(shù)集，所以中的說法不正確，中的說法正確.答案:8,若a, bCR,且aw。，bw0,則:十膽的可能取值所組成的集合中元素的個數(shù)為 a b解析：當(dāng) a>0, b>0 時，囿+|b|=2; a b當(dāng)a b<0時，回+用=0; a b當(dāng) a<0 且 b<0 時，|a|+ |b|= 2. a b所以集合中的元素為 2, 0, 2.即元素的個數(shù)為3.答案: 39由三個數(shù)a,

19、 3 1組成的集合與由* " b' 0組成的集合是同一個集合，求a2 017 + b2 017 的值.解：由a, a 1組成一個集合,可知aw0,且# 1. a2= 1,a2=a,由題意可得a=a+b,或b _一=0aa = - 1, a= 1,解得或 (舍去),b=0 b=0所以 a2 017+ b2 017=( 1)2 017+ 0= 1.1, 2, 3,，8.現(xiàn)指導(dǎo)老x號同學(xué)去，則8x號同10.某研究性學(xué)習(xí)小組共有 8位同學(xué)，記他們的學(xué)號分別為 師決定派某些同學(xué)去市圖書館查詢有關(guān)數(shù)據(jù)，分派的原則為：若 學(xué)也去.請你根據(jù)老師的要求回答下列問題：(1)若只有一個名額，請問應(yīng)

20、該派誰去？(2)若有兩個名額，則有多少種分派方法？解：(1)分派去圖書館查數(shù)據(jù)的所有同學(xué)構(gòu)成一個集合，記作M,則有xCM, 8-x M.若只有一個名額，即M中只有一個元素，必須滿足x= 8-x,故x=4,所以應(yīng)該派學(xué) 號為4的同學(xué)去.(2)若有兩個名額，即M中有且僅有兩個不同的元素x和8- x,從而全部含有兩個元素的集合M應(yīng)含有1, 7或2, 6或3, 5.也就是兩個名額白分派方法有3種.B 能力提升11.集合A的元素y滿足y=x2+1,集合B的元素(x, y)滿足y=x2+1(A, B中xC R, yC R).則下列選項中元素與集合的關(guān)系都正確的是()A. 2C A,且 2C BB. (1 , 2)C A,且(1, 2) BC. 2 A,且(3, 10) 6 BD. (3, 10) A,且 2C B解析：選C.集合A中的元素為y,是數(shù)集，又y=x2+1 >1,故2C A,集合B中的元素 為點(x, y),且滿足y=x2+1,經(jīng)驗證，(3, 10) CB,故選C.12,已知集合A中的元素滿足ax2bx+1=0,又集合A中只有唯一的一個元素1,則實數(shù)a+ b的值為.解析：當(dāng)aw0時，由題意可知方程 ax2bx+1 = 0有兩個相等的實數(shù)根，