高等數(shù)學(xué)課件：7-5 全微分方程

1、 高等數(shù)學(xué)（下）高等數(shù)學(xué)（下） 河海大學(xué)理學(xué)院河海大學(xué)理學(xué)院第四節(jié) 全微分方程 高等數(shù)學(xué)（下）高等數(shù)學(xué)（下）一、全微分方程及其求法1.1.定義定義: :0),(),( dyyxQdxyxP則稱(chēng)方程則稱(chēng)方程dyyxQdxyxPyxdu),(),(),( 左端恰為一個(gè)函數(shù)左端恰為一個(gè)函數(shù)u（x，y）的全微分，即）的全微分，即例如例如, 0 ydyxdx),(21),(22yxyxu 全微分方程全微分方程或恰當(dāng)方程或恰當(dāng)方程,),(ydyxdxyxdu 所以是全微分方程所以是全微分方程. .0),(),( dyyxQdxyxP如果一階線(xiàn)性微分方程如果一階線(xiàn)性微分方程 高等數(shù)學(xué)（下）高等數(shù)學(xué)（下）2.

2、2.解法解法: :0),(),( dyyxQdxyxP應(yīng)用曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)應(yīng)用曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān). .xQyP 通解為通解為yyxxdyyxQxdyxPyxu00),(),(),(0;),(Cyxu 用直接湊用直接湊全微分的方法全微分的方法. .全微分方程全微分方程.xQyP 全微分方程全微分方程 高等數(shù)學(xué)（下）高等數(shù)學(xué)（下）.0)3()3(2323的的通通解解求求方方程程 dyyxydxxyx解解1 1,6xQxyyP 是全微分方程是全微分方程, ,yxdyyxyxdxyxu02303)3(),(.42344224Cyyxx 原方程的通解為原方程的通解為,42344224yyxx 例例1

3、1解解2 20)(32233 dyyxdxxydyydxx方方程程化化為為 高等數(shù)學(xué)（下）高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)微分性質(zhì):4設(shè)C是常數(shù),d(CU)=CdU4d(U1+U2)= dU1+dU2 高等數(shù)學(xué)（下）高等數(shù)學(xué)（下）.0324223的通解的通解求方程求方程 dyyxydxyx解解,64xQyxyP 是全微分方程是全微分方程, ,將左端重新組合將左端重新組合)32(14232dyyxdxyxdyy )()1(32yxdyd .132Cyxy 原方程的通解為原方程的通解為),1(32yxyd 例例2 2 高等數(shù)學(xué)（下）高等數(shù)學(xué)（下）二、積分因子法定義定義: : 0),( yx 連連續(xù)續(xù)可可微微函函

4、數(shù)數(shù)，使使方方程程0),(),(),(),( dyyxQyxdxyxPyx成成為為全全微微分分方方程程. .則則稱(chēng)稱(chēng)),(yx 為為方方程程的的積積分分因因子子. .問(wèn)題問(wèn)題: : 如何求方程的積分因子如何求方程的積分因子? ? 高等數(shù)學(xué)（下）高等數(shù)學(xué)（下）1.1.公式法公式法: :,)()(xQyP xQxQyPyP 求解不容易求解不容易特殊地特殊地: :;.有有關(guān)關(guān)時(shí)時(shí)只只與與當(dāng)當(dāng)xa , 0 y ,dxdx )(1lnxQyPQdxd .)()( dxxfex )( xf 高等數(shù)學(xué)（下）高等數(shù)學(xué)（下）.0)()3(22的的通通解解求求微微分分方方程程 dyxyxdxyxy例例3解解,1)

5、(1xxQyPQ dxxex1)( . x 則原方程為則原方程為, 0)()3(2322 dyyxxdxxyyx原方程的通解為原方程的通解為.)(2123Cxyyx 高等數(shù)學(xué)（下）高等數(shù)學(xué)（下）;.有有關(guān)關(guān)時(shí)時(shí)只只與與當(dāng)當(dāng)yb )(1lnyPxQPdyd )(yg .)()( dyygey 可選用的積分因子有可選用的積分因子有.,1,1,1,12222222等等xyyxyxyxxyx ,22yyxx 高等數(shù)學(xué)（下）高等數(shù)學(xué)（下）2.2.觀(guān)察法觀(guān)察法: : 憑觀(guān)察湊微分得到憑觀(guān)察湊微分得到),(yx 常見(jiàn)的全微分表達(dá)式常見(jiàn)的全微分表達(dá)式 222yxdydyxdx xydxydxxdy2 xydy

6、xydxxdyarctan22 xydxyydxxdyln )ln(212222yxdyxydyxdx yxyxdyxydxxdyln2122 高等數(shù)學(xué)（下）高等數(shù)學(xué)（下）.0的通解的通解 xdyydx解解1, 02 yxdyxdyydx,1),(21yyx 取取于是于是,原方程的通解為原方程的通解為:.Cyx 例例 求微分方程求微分方程方程化為方程化為 高等數(shù)學(xué)（下）高等數(shù)學(xué)（下）.0的通解的通解 xdyydx解解2, 02 xydxxdyydx,1),(22xyx 取取于是于是,原方程的通解為原方程的通解為:.Cxy 例例 求微分方程求微分方程方程化為方程化為 高等數(shù)學(xué)（下）高等數(shù)學(xué)（下）

7、.0的通解的通解 xdyydx解解3, 0lnln ydxdydyxdx,1),(3xyyx 取取于是于是,原方程的通解為原方程的通解為:.lnlnCyx 例例 求微分方程求微分方程方程化為方程化為該例說(shuō)明該例說(shuō)明,方程的積分因子不唯一方程的積分因子不唯一. 高等數(shù)學(xué)（下）高等數(shù)學(xué)（下）性質(zhì):若 是積分因子,設(shè)任意函數(shù) , 則 也是積分因子.),(yx ),(),(),()(,(yxdUdyyxQdxyxPyx ),(yxU ),(),(yxUyx 高等數(shù)學(xué)（下）高等數(shù)學(xué)（下）.0)1()1(的通解的通解 xdyxyydxxy解解將方程左端重新組合將方程左端重新組合,有有例例4 求微分方程求微

8、分方程, 0)( xdyydxxyxdyydx原方程的通解為原方程的通解為.lnln1Cyxxy ,0)(2 xyxdyydxxyxyd,1),(22yxyx 取取:或或 高等數(shù)學(xué)（下）高等數(shù)學(xué)（下）.0)1()3(32的通解的通解 dyyxdxxxy解解將方程左端重新組合將方程左端重新組合,有有, 0133 dyxydydxdxxy,),(23yxyx 易知易知, 0)(1)(133 xdyydxxdyxydxy則則. 0)(1)(13 xydxyxdy即即原方程的通解為原方程的通解為.)(31)(21323Cxyyx 例例5 求微分方程求微分方程 高等數(shù)學(xué)（下）高等數(shù)學(xué)（下）0)(2yxy

9、xf0)()(3dxxyxdyxxf1)(1)(xfxxfxCxxf21)(.132的通解的通解求微分方程求微分方程xyxxdxdy 解解1整理得整理得,112xyxdxdy A A 常數(shù)變易法常數(shù)變易法: :B B 公式法公式法: :.4343Cxxxyy 通解為通解為.1xCy 對(duì)應(yīng)齊方通解對(duì)應(yīng)齊方通解.1)(xxCy 設(shè)設(shè).43)(43CxxxC ,11211Cdxexeydxxdxx 例例6 高等數(shù)學(xué)（下）高等數(shù)學(xué)（下）解解2 2整理得整理得, 0)1()(32 dyxdxyxx,1xQyP .是全微分方程是全微分方程A A 用曲線(xiàn)積分用曲線(xiàn)積分法法: :,)(),(0032 yxdydxyxxyxuB B 湊微分法湊微分法: :, 0)(32 dxxdxxydxxdydy，043)(43 xdxdxyddy. 0)43(43 xxxyyd 高等數(shù)學(xué)（下）高等數(shù)學(xué)（下）C C 不定積分不定積分法法: :,32yxxxu dxyxx)(32),(4343yCxyxx ),(yCxyu ,1xyu 又又,1)(xyCx , 1)( yC,)(yyC 原方程的通解為原方程的通解為.4343Cxxxyy 高等數(shù)學(xué)（下）高等數(shù)學(xué)（下）三、一階微分方程小結(jié)分離變量法分離變量法常數(shù)變易法常數(shù)變易法全微分方程全