復(fù)變函數(shù)課件：4-2 冪級數(shù)

1、2 2 冪級數(shù)冪級數(shù)& 1. 冪級數(shù)的概念冪級數(shù)的概念& 2. 收斂定理收斂定理& 3. 收斂圓與收斂半徑收斂圓與收斂半徑& 4. 收斂半徑的求法收斂半徑的求法& 5. 冪級數(shù)的運算和性質(zhì)冪級數(shù)的運算和性質(zhì)1. 冪級數(shù)的概念冪級數(shù)的概念定義定義 設(shè)復(fù)變函數(shù)列：設(shè)復(fù)變函數(shù)列：)1()()()()(211 zfzfzfzfnnn, 2 , 1,)( nDzzfn-稱為復(fù)變函數(shù)項級數(shù)稱為復(fù)變函數(shù)項級數(shù)級數(shù)的最前面級數(shù)的最前面n項的和項的和 nkknnzfzfzfzfzs121)()()()()(-級數(shù)的部分和級數(shù)的部分和.)1()(lim),(,)1(),()

2、(lim0000000發(fā)發(fā)散散在在，稱稱級級數(shù)數(shù)不不若若其其和和為為收收斂斂在在稱稱級級數(shù)數(shù)若若zzszszzszsDznnnn 若級數(shù)若級數(shù)(1)在在D內(nèi)處處收斂，其和為內(nèi)處處收斂，其和為z的函數(shù)的函數(shù))()()()(21zfzfzfzsn -級數(shù)級數(shù)(1)的和函數(shù)的和函數(shù)特殊情況，在級數(shù)特殊情況，在級數(shù)(1)中中得得nnnzzczf)()(0 ) 2()(00 nnnzzc)3(010 nnnzcz當當稱為冪級數(shù)稱為冪級數(shù)并并不不失失一一般般性性。研研究究級級數(shù)數(shù)中中令令在在)3()2()2(00 kknczz 2. 收斂定理收斂定理同實變函數(shù)一樣，復(fù)變冪級數(shù)也有所謂的收斂定理：同實變函數(shù)

3、一樣，復(fù)變冪級數(shù)也有所謂的收斂定理：定理定理1 (阿貝爾阿貝爾(Able)定理）定理）.,)0(000級級數(shù)數(shù)必必絕絕對對收收斂斂的的則則對對滿滿足足收收斂斂在在若若級級數(shù)數(shù)zzzzzzcnnk .,00級級數(shù)數(shù)必必發(fā)發(fā)散散的的則則對對滿滿足足發(fā)發(fā)散散若若級級數(shù)數(shù)在在zzzzz MzczczczcMnnNN 0020201,max故故取取 證明證明，即即則則收收斂斂0lim,)1(010 nnnnnnzczc nnzcNnN000，恒恒有有，1,00 qzzzz則則若若,00nnnnnnMqzzzczc ,0收收斂斂由由于于 nnMq,0收收斂斂由由比比較較判判別別法法得得 nnnzc絕對收斂

4、。絕對收斂。 0nnnzc(2)用反證法，用反證法，3. 收斂圓與收斂半徑收斂圓與收斂半徑收斂，收斂，有，有設(shè)設(shè) 01011,nnnzczzz由由Able定理，冪級數(shù)的收斂范圍不外乎下述定理，冪級數(shù)的收斂范圍不外乎下述三種情況：三種情況：(i)若對所有正實數(shù)都收斂，級數(shù)若對所有正實數(shù)都收斂，級數(shù)(3)在復(fù)平面上處在復(fù)平面上處處收斂。處收斂。！收收斂斂與與假假設(shè)設(shè)矛矛盾盾，得得證證知知由由 00)1(nnnzc(ii )除除z=0外，對所有的正實數(shù)都是發(fā)散的，這時，外，對所有的正實數(shù)都是發(fā)散的，這時， 級數(shù)級數(shù)(3)在復(fù)平面上除在復(fù)平面上除z=0外處處發(fā)散。外處處發(fā)散。.)3(:)3(:發(fā)發(fā)散散

5、數(shù)數(shù)外外，級級在在圓圓周周收收斂斂；內(nèi)內(nèi)，級級數(shù)數(shù)定定理理，在在圓圓周周由由 zczcAble., 0, 0)(00發(fā)發(fā)散散收收斂斂 nnnnnncciii 顯然，顯然， 否則，級數(shù)否則，級數(shù)(3)將在將在 處發(fā)散。處發(fā)散。將收斂部分染成紅色，發(fā)散將收斂部分染成紅色，發(fā)散部分染成藍色，部分染成藍色， 逐漸變大，逐漸變大，在在c c 內(nèi)部都是紅色內(nèi)部都是紅色, , 逐漸變逐漸變小，在小，在c c 外部都是藍色，外部都是藍色，紅、藍色不會交錯。紅、藍色不會交錯。故故藍藍兩兩色色的的分分界界線線。為為紅紅、一一定定,RzcR ： 播放播放A ( (i) )冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)部收斂，在收斂圓外冪級數(shù)在收

6、斂圓內(nèi)部收斂，在收斂圓外部發(fā)散，在圓周上可能收斂可能發(fā)散，具體問題部發(fā)散，在圓周上可能收斂可能發(fā)散，具體問題要具體分析。要具體分析。定義定義這個紅藍兩色的分界圓周這個紅藍兩色的分界圓周cR叫做冪級數(shù)的叫做冪級數(shù)的收斂圓；這個圓的半徑收斂圓；這個圓的半徑R叫做冪級數(shù)的收斂半徑。叫做冪級數(shù)的收斂半徑。(ii)冪級數(shù)冪級數(shù)(3)的收斂范圍是以的收斂范圍是以0為中心，半徑為為中心，半徑為R的圓域；冪級數(shù)的圓域；冪級數(shù)(2)的收斂范圍是以的收斂范圍是以z0為中心為中心,半徑半徑為為R的圓域的圓域.4. 收斂半徑的求法收斂半徑的求法的的收收斂斂半半徑徑求求法法，有有關(guān)關(guān)于于冪冪級級數(shù)數(shù))3(0 nnnzc

7、 定理定理2(比值法比值法) 000/1lim1Rccnnn，則則若若zzcczczcinnnnnnnn 111limlim, 0)(證明證明發(fā)發(fā)散散，時時時時，即即當當絕絕對對收收斂斂；時時即即時時當當 00,11,1,1nnnnnnzczzzczz !,01矛矛盾盾收收斂斂 nnnzc.1:0也也發(fā)發(fā)散散時時，當當以以下下證證 nnnzcz ,1,000收收，外外有有一一點點設(shè)設(shè)在在用用反反證證法法 nnnzczz :1,011定理得定理得，由，由滿足滿足再取一點再取一點Ablezzz .1,10 Rzcznnn故故發(fā)散發(fā)散時，時，當當即即發(fā)發(fā)散散 ,00 nnnzc收收斂斂都都有有時時，

8、對對若若 00)(nnnzczii ;0 Rzcnnn故故在復(fù)平面上處處收斂，在復(fù)平面上處處收斂，.,0)(00也也發(fā)發(fā)散散發(fā)發(fā)散散，從從而而有有外外，對對一一切切時時，除除當當 nnnnnnzczczziii . 0!0,001101000 Rzczzzzcznnnnnn故故收收斂斂，矛矛盾盾，滿滿足足則則收收斂斂否否則則，如如果果有有一一點點 定理定理3(根值法根值法) 000/1limRcnnn，則則若若例例1的收斂范圍及和函數(shù)。的收斂范圍及和函數(shù)。求冪級數(shù)求冪級數(shù) nnnzzzz201121 nnzzzs又又zzn 11解解11lim1 Rccnnn.11lim, 0lim1zszzn

9、nnn 時，時，當當., 0lim1級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散時時，當當 nnzz 綜上綜上 .1;111,0時時當當發(fā)發(fā)散散時時當當且且和和函函數(shù)數(shù)為為收收斂斂zzzznn例例2 求下列冪級數(shù)的收斂半徑求下列冪級數(shù)的收斂半徑:解解 (1); )0() 1 (1 npnpnz;)1)(ch)2(1 nnzni.)ln()3(1nninz nnncc1lim pnnn)1(lim 1 R,1時時當當 z,1時時當當 z,)1(1 nnn級級數(shù)數(shù)為為,11 nn級級數(shù)數(shù)為為該級數(shù)收斂該級數(shù)收斂該級數(shù)發(fā)散該級數(shù)發(fā)散p=1p=2,1上上在在圓圓周周 z 1122,1nnnnnz是是收收斂斂的的該級數(shù)在收斂圓上是

10、處處收斂的。該級數(shù)在收斂圓上是處處收斂的。nninnineenicninin1cos1sin1cos1sin1cos21)(21ch)2( nnncc1lim 11cos11coslim nnn1 R,11上上在在圓圓周周 z 11)1(cos)1)(ch(nninnenzni 1)1)(ch(, 0)1(coslimnninnznien發(fā)發(fā)散散。 綜上綜上該級數(shù)發(fā)散。該級數(shù)發(fā)散。該級數(shù)收斂，該級數(shù)收斂，時時，當當11 z時時，當當11 z222)2(ln1ln1nnnninc R22)2(lnln2ln)arg(ln)ln()3( ninininiinin其其中中：0)2(ln1lim)2(

11、ln1limlim2122222 nncnnnnnnn故故故該級數(shù)在復(fù)平面上是處處收斂的。故該級數(shù)在復(fù)平面上是處處收斂的。5. 冪級數(shù)的運算和性質(zhì)冪級數(shù)的運算和性質(zhì)q代數(shù)運算代數(shù)運算220110)()(rRzgzbrRzfzannnnnn 設(shè)設(shè)Rzzgzfzbazbzannnnnnnnnn )()()(000),min(21rrR 其中：其中：Rzzgzfzbabababazbzannnnnnnnnnnn ),()()()()(002211000-冪級數(shù)的加、減運算冪級數(shù)的加、減運算-冪級數(shù)的乘法運算冪級數(shù)的乘法運算rzgRzzgrzzazfnnn )()(,)(0內(nèi)內(nèi)解解析析，且且在在設(shè)設(shè)R

12、zzgazgfnnn 0)()(-冪級數(shù)的代換冪級數(shù)的代換(復(fù)合復(fù)合)運算運算A 冪級冪級數(shù)的代換運數(shù)的代換運算在函數(shù)展算在函數(shù)展成冪級數(shù)中成冪級數(shù)中很有用很有用.例例3.)(10abazcbznnn 這這里里，復(fù)復(fù)常常數(shù)數(shù)的的冪冪級級數(shù)數(shù)，表表成成形形如如把把解解)(11111)()(11zgabazababazbz 代換代換Rabazabazabazabazzgzgzgzgzgnn 11)()()()(1)(1122解解)(11111)()(11zgabazababazbz Razazabazabazababzgabbznn )()(1)()(1)()(11)(11111232代換代換展開

13、展開還原還原q分析運算分析運算定理定理4Rzzfzannn )(0設(shè)設(shè).)()(內(nèi)內(nèi)解解析析在在Rzzfi Rzznczczczfiinnnnnnnnn 1100)()()( )(zdzcdzzcdzzfiiincnncnnnc 00)()(-冪級數(shù)的逐項求導(dǎo)運算冪級數(shù)的逐項求導(dǎo)運算-冪級數(shù)的逐項積分運算冪級數(shù)的逐項積分運算 0101)(nnnznzcdf 或或Rz .)3(:)3(:發(fā)發(fā)散散數(shù)數(shù)外外，級級在在圓圓周周收收斂斂；內(nèi)內(nèi)，級級數(shù)數(shù)定定理理，在在圓圓周周由由 zczcAble., 0, 0)(00發(fā)發(fā)散散收收斂斂 nnnnnncciii 顯然，顯然， 否則，級數(shù)否則，級數(shù)(3)將在將

14、在 處發(fā)散。處發(fā)散。將收斂部分染成紅色，發(fā)散將收斂部分染成紅色，發(fā)散部分染成藍色，部分染成藍色， 逐漸變大，逐漸變大，在在c c 內(nèi)部都是紅色內(nèi)部都是紅色, , 逐漸變逐漸變小，在小，在c c 外部都是藍色，外部都是藍色，紅、藍色不會交錯。紅、藍色不會交錯。故故藍藍兩兩色色的的分分界界線線。為為紅紅、一一定定,RzcR ：.)3(:)3(:發(fā)發(fā)散散數(shù)數(shù)外外，級級在在圓圓周周收收斂斂；內(nèi)內(nèi)，級級數(shù)數(shù)定定理理，在在圓圓周周由由 zczcAble., 0, 0)(00發(fā)發(fā)散散收收斂斂 nnnnnncciii 顯然，顯然， 否則，級數(shù)否則，級數(shù)(3)將在將在 處發(fā)散。處發(fā)散。將收斂部分染成紅色，發(fā)散將

15、收斂部分染成紅色，發(fā)散部分染成藍色，部分染成藍色， 逐漸變大，逐漸變大，在在c c 內(nèi)部都是紅色內(nèi)部都是紅色, , 逐漸變逐漸變小，在小，在c c 外部都是藍色，外部都是藍色，紅、藍色不會交錯。紅、藍色不會交錯。故故藍藍兩兩色色的的分分界界線線。為為紅紅、一一定定,RzcR ：.)3(:)3(:發(fā)發(fā)散散數(shù)數(shù)外外，級級在在圓圓周周收收斂斂；內(nèi)內(nèi)，級級數(shù)數(shù)定定理理，在在圓圓周周由由 zczcAble., 0, 0)(00發(fā)發(fā)散散收收斂斂 nnnnnncciii 顯然，顯然， 否則，級數(shù)否則，級數(shù)(3)將在將在 處發(fā)散。處發(fā)散。將收斂部分染成紅色，發(fā)散將收斂部分染成紅色，發(fā)散部分染成藍色，部分染成藍

16、色， 逐漸變大，逐漸變大，在在c c 內(nèi)部都是紅色內(nèi)部都是紅色, , 逐漸變逐漸變小，在小，在c c 外部都是藍色，外部都是藍色，紅、藍色不會交錯。紅、藍色不會交錯。故故藍藍兩兩色色的的分分界界線線。為為紅紅、一一定定,RzcR ：.)3(:)3(:發(fā)發(fā)散散數(shù)數(shù)外外，級級在在圓圓周周收收斂斂；內(nèi)內(nèi)，級級數(shù)數(shù)定定理理，在在圓圓周周由由 zczcAble., 0, 0)(00發(fā)發(fā)散散收收斂斂 nnnnnncciii 顯然，顯然， 否則，級數(shù)否則，級數(shù)(3)將在將在 處發(fā)散。處發(fā)散。將收斂部分染成紅色，發(fā)散將收斂部分染成紅色，發(fā)散部分染成藍色，部分染成藍色， 逐漸變大，逐漸變大，在在c c 內(nèi)部都是

17、紅色內(nèi)部都是紅色, , 逐漸變逐漸變小，在小，在c c 外部都是藍色，外部都是藍色，紅、藍色不會交錯。紅、藍色不會交錯。故故藍藍兩兩色色的的分分界界線線。為為紅紅、一一定定,RzcR ：.)3(:)3(:發(fā)發(fā)散散數(shù)數(shù)外外，級級在在圓圓周周收收斂斂；內(nèi)內(nèi)，級級數(shù)數(shù)定定理理，在在圓圓周周由由 zczcAble., 0, 0)(00發(fā)發(fā)散散收收斂斂 nnnnnncciii 顯然，顯然， 否則，級數(shù)否則，級數(shù)(3)將在將在 處發(fā)散。處發(fā)散。將收斂部分染成紅色，發(fā)散將收斂部分染成紅色，發(fā)散部分染成藍色，部分染成藍色， 逐漸變大，逐漸變大，在在c c 內(nèi)部都是紅色內(nèi)部都是紅色, , 逐漸變逐漸變小，在小，在c c 外部都是藍色，外部都是藍色，紅、藍色不會交錯。紅、藍色不會交錯。故故藍藍兩兩色色的的分分界界線線。為為紅紅、一一定定,RzcR ：.)3(:)3(