第一至第六屆全國(guó)大學(xué)生高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽真題(非數(shù)學(xué)類)

1、2009-2015年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽試卷(非數(shù)學(xué))2009年第一屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽試卷一、填空題(每小題5分，共20分)(x y) ln(1 )1 .計(jì)算j j .dxdy =,其中區(qū)域 D由直線x + y = 1與兩D v 1 - x - y坐標(biāo)軸所圍成三角形區(qū)域.22 .設(shè) f(x)是連續(xù)函數(shù)，且湎足 f(x) =3x2 - J。f(x)dx-2,則 f(x)=.23 .曲面z =巳+ y2 -2平行平面2x+2y-z = 0的切平面方程是.24 .設(shè)函數(shù)y = y(x)由方程xef(y) =eyln29確定，其中f具有二階導(dǎo)數(shù)， 且f01,則吧=.dx2x 2xnx e二、(

2、5分)求極限四(e e J)x,其中n是給定的正整數(shù).三、(15分)設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，g(x)=f(xt)dt ,且4 =慶，A為 常數(shù)，求g(x)弁討論g7x)在x=0處的連續(xù)性.四、(15分)已知平面區(qū)域 D =(x,y)10MxMn,0My-, L為D的 正向邊界，試證：(1) 匚xesin ydy - ye-5 xdx =cxe-siny dy - yesin xdx ; LL(2) : xesinydy -yesinydx 二 5二2.L2五、(10 分)已知 y1=xex+e2x, y2=xex+eT, y3 = xex+e2x - e j是某 二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的三個(gè)

3、解，試求此微分方程.六、(10分)設(shè)拋物線y =ax2+bx+2ln c過(guò)原點(diǎn).當(dāng)0E x 1時(shí)，y圭0,又已知該拋物線與x軸及直線x=1所圍圖形的面積為 L試確定3a,b,c,使此圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積最小.七、(15 分)已知 Un(X)滿足 un(x) =Un(X)+XneX(n=1,2,)，且 / =一, n求函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)Jun(X)之和. n 1八、(10分)求XT1田1 與J Xn2等價(jià)的無(wú)窮大量.n O2010年第二屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽試卷、(25分，每小題5分)(1)設(shè) Xn =(1+a)(1 + a2)|(1 + a2 )，其中 |a1,求 lim Xn.求

4、lim eon_ :二(2)(4)設(shè)函數(shù)f(t)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),(3) 設(shè) SA0,求 I = RXXndX(n=1,2,|D。r =Jx2 + y2,g(x, y)= f 求r-2-2二 g . i g-2 .X-2-y6 / 9(5)求直線1i：X：0.與直線l2=4*的距離 二、(15分)設(shè)函數(shù)f(x)在(,)上具有二階導(dǎo)數(shù)，弁且f (x)0,Jim/(x) =a A0,JjmJ x) = P M0,且存在一點(diǎn) X0,使得 f (Xo) -1)所確定，其 y =一 中W(t)具有二階導(dǎo)數(shù)，曲線求函數(shù)中(t)。e”小在出相切，n四、(15 分)設(shè) an 0,Sn =H ak,證明: kd（

5、1）當(dāng)1時(shí)，級(jí)數(shù)能收斂;（2）當(dāng)1 M1且SnT 8（nT時(shí)級(jí)數(shù)一吃發(fā)散。 nS五、（15分）設(shè)l是過(guò)原點(diǎn)、方向?yàn)槲槊穸。ㄆ渲?+日2+2=1）的直線，均勻橢球222a10cb b c 0, c12 :z2 = x2 + y2,為工1與工2的交線，求橢球面工1在上各點(diǎn)的切平面到原點(diǎn)距離的最大值和最小值。，一， 一、一， x2 3y2 = 1 八,五.(本題16分)已知S是空間曲線/ 3y 1繞y軸旋轉(zhuǎn)形 z = 0成的橢球面的上半部分(z之0)取上側(cè)，n是S在P(x,y,z)點(diǎn) 處的切平面，P(x,y,z)是原點(diǎn)到切平面n的距離，九尸,v表示S 的正法向的方向余弦。計(jì)算：(1) IIzdS

6、; (2)仃 z(人 x +3卜 y+ 期 z)dSs、x, y,zs六.(本題12分)設(shè)f(x)是在(-咒+叼內(nèi)的可微函數(shù)，且 f、(x)mf(x),其中0m(2)求通過(guò)直線l :12xy-3Z2=0的兩個(gè)互相垂直的平面和5x 十5y 4z+ 3 = 0%,使其中一個(gè)平面過(guò)點(diǎn)(4,-3,1) o2已知函數(shù)z = u(x,y)eax9,且上- = 0。確JE常數(shù)a和b,使函x.: y數(shù)z = z(x,y)滿足方程上二一電一學(xué)+ z = 0 :x；yx 2y設(shè)函數(shù)u=u(x)連續(xù)可微，u(2) = 1，且J(右半平面與路徑無(wú)關(guān)，求u(x,y)ox+2y)X +(x + u3)y 在x 1 sin

7、t lxdtx t cost(本題10分)計(jì)算廣exsinxdx三、1求萬(wàn)程x2sin= 2x501的近似解，精確到 0.001. x四、(本題12分)設(shè)函數(shù)y= f(x)二階可導(dǎo)，且f(x)0, f(0) = 0,x3f (u)f (0) =0 ,求mx 0 f(x)n，其中u是曲線y = f (x)上點(diǎn)P(x , f (x)處的切線在x軸上的截距。五、(本題12分)求最小實(shí)數(shù)C,使得滿足1|f(x)dx=1的連續(xù) 函數(shù) f(x)者B 有f ()dx0o區(qū)域。是由拋物面z = x2 y2和球面x2+y2+z2=t2(zA0)所圍起來(lái)的部分。定義三重積分F(t) =f(x2 y2 z2)dv求

8、F(t)的導(dǎo)數(shù)F ”(t)七、(本題14分)設(shè)J an與J bn為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，證明：n z1n 1(1)若 lim(- )0,則級(jí)數(shù) an 收斂；n i an 1bn b 1nJ(2)若im (一 一工)0,且級(jí)數(shù)J如發(fā)散，則級(jí)數(shù)J %發(fā) n； ： an ibn bn injn散。2013第五屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽試卷解答下列各題(每小題 6分共24分，要求寫(xiě)出重要步驟)_ n1 .求極限 lim (1 +sin n Ji + 4n2 ).n_l 二2 .證明廣義積分;蟲(chóng)dx不是絕對(duì)收斂的 0 x3 .設(shè)函數(shù)y = y(x )由x3+3x2y-2y3 =2確定，求y(x)的極值。4 .過(guò)曲線y

9、=(x之0)上的點(diǎn)A作切線，使該切線與曲線及x軸 所圍成的平面圖形的面積為3,求點(diǎn)A的坐標(biāo)。4X二、(滿分 12)計(jì)算定積分 i = JxSinxarCtane dx二1 cos x三、(滿分12分)設(shè) “乂)在乂=0處存在二階導(dǎo)數(shù)f”，且li mf 二 0。證明級(jí)數(shù)n 1f r 收斂。5/四、(滿分12分)設(shè) f (x)Mn,f0(aMxMb),證明, 一2Js i n( x d x五、(滿分14分)設(shè)工是一個(gè)光滑封閉曲面，方向朝外。給定第二型的曲面積分 I = J(x3-x )dydz+(2y3 - y )dzdx+(3z3-z)dxdy。試確定曲面工，使積分I的值最小，弁求該最小值。六、

10、(滿分14分)設(shè)ia()=號(hào)/，其中a為常數(shù)，曲線C為 C x2 y2橢圓x2+xy+y2 =r2,取正向。求極限limla(r) r- r：1 - in -七(滿分14分)判斷級(jí)數(shù)工，n的斂散性，若收斂，求其n4 n 1 n 2和。2014年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽試題非數(shù)學(xué)類一、 填空題(共有5小題，每題6分，共30分)1 .已知yi=ex和yi=xex是齊次二階常系數(shù)線性微分方程的解，則該方程是2 .設(shè)有曲面S: z = x2+2y2和平面L:2x+2y + z = 0。則與L平行的S 的切平面方程是3 .設(shè)函數(shù)y = y(x)由方程x=fisin213dt所確定。求5=114；dx4.o

11、(k 1)!則 lim xn =ni 二：9 / 915.已知 lim 11 + x + f(x) f = e3。貝U lim f2x) = x qxx 山 x(本題12分)設(shè)n為正整數(shù)，計(jì)算I = f3T8$1濃e dx xj三、(本題14分)設(shè)函數(shù)f(x)在0,1上有二階導(dǎo)數(shù)，且有正常數(shù) A,B 使得 | f(x)|B o 證明：對(duì)任意 xW0,1,有 | f(x) |:六、(本題15分)設(shè)人=2+ 22 + 22 n 1 n 2 n n求 m n - - Anf ：，,. 42015第七屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽試卷一、填空題(每小題6分，共5小題，滿分30分)ji二ms n n2 1(2

12、)設(shè)函數(shù)z =z(x, y )由方程F x + -, y +- =0所決定，其中F(u,v)具【y xJ有連續(xù)偏導(dǎo) 數(shù)， 且xFu + yFv # 0 o 則:z:zx 一 y 一 二.:x：:y(3)曲面z = x2+y2+1在點(diǎn)M (1,-1,3)的切平面與曲面所圍區(qū)域的體積是.(4)函數(shù)fix30)在(-5,5】的傅立葉級(jí)數(shù)在x = 0收斂的值 0.x 10,5是.(3)設(shè)區(qū)間(0, f )上的函數(shù)u(x )定義域?yàn)榈膗(x戶廠edt ,則u(x)的 初 等 函 數(shù) 表 達(dá) 式是.二、(12分)設(shè)M是以三個(gè)正半軸為母線的半圓錐面，求其方程。三、(12分)設(shè)f (x)在(a, b)內(nèi)二次可導(dǎo)，且存在常數(shù) a,B ,使得對(duì)于 7xa,b),有 f(x)=cc f(x)*Bf (x 卜 則 f (x)在(a,b)內(nèi)無(wú)窮次可導(dǎo)。四、(14分)求窯級(jí)數(shù)(x.1)n的收斂域，及其和函數(shù)。五、(16 分)設(shè)函數(shù) f(x