董銀麗 差分方程

1、差分方程模型差分方程模型數(shù)列的差分方程數(shù)列的差分方程差分方程概念、解及三類微分方程差分方程概念、解及三類微分方程一般式一般式一階線性常系數(shù)差分方程模型一階線性常系數(shù)差分方程模型高階線性常系數(shù)差分方程高階線性常系數(shù)差分方程模型模型線性常系數(shù)差分方程線性常系數(shù)差分方程 組模型組模型差分方程模型簡介差分方程模型的實際背景：在經(jīng)濟金融保險領(lǐng)域、生物種群的數(shù)量結(jié)構(gòu)規(guī)律分析、疾病和病蟲害的控制與防治、遺傳規(guī)律的研究等許多方面都有著非常重要的作用。差分方程式在離散時段上描述現(xiàn)實世界中變化過程的數(shù)學(xué)模型。差分方程模型建立：（1）將變化過程進行劃分，劃分成若干時段，建立每兩個相鄰時段或幾個相鄰時段的量之間的變化

2、規(guī)律和運算關(guān)系等式，即差分方程。（2）對事物系統(tǒng)進行劃分，劃分成若干子系統(tǒng)，在每個子系統(tǒng)中引入恰當?shù)淖兞炕蛳蛄?，然后分析建立起子過程間的這種量的關(guān)系等式，即差分方程。 一. 數(shù)列的概念一個數(shù)列就是實數(shù)的任何(有限或無限的)有序集. 這些數(shù)稱為數(shù)列的或。用an來表示數(shù)列的第n項, 稱之為數(shù)列的。定義1.1 一個是一個函數(shù), 其定義域為全體正整數(shù)(有時, 為方便計, 是全體非負整數(shù)集合), 其值域包含在全體實數(shù)集中。數(shù)列的差分數(shù)列的表示:1. 列舉法:2, 4, 6, 8, 10, A 2, 4, 8, 16, 32, B 1234, , , , 2345C2. 通項法: 2,nAan 2,nnB

3、b .1nnCcn3. 圖象法: 序列的項通過標出點(n, an) 圖示. 直觀, 具有可視化的效果. 4. 描述法:數(shù)列的一些例子例： 假如你開了一個10000元的銀行帳戶, 銀行每月付給2%的利息. 假如你既不加進存款也不取錢, 那么每個月后的存款余額就構(gòu)成一個數(shù)列.二. 數(shù)列差分的概念數(shù)列相鄰項的差, 稱為數(shù)列的.定義 對任何數(shù)列A a1, a2, , 其一階定義如下: a1 a2 a1, a2 a3 a2, a3 a4 a3, ,一般地, 對任何n有： an an1 an, 應(yīng)用這個算子, 由原來的數(shù)列A構(gòu)成一個新的數(shù) 列A；同樣的理論 ，由數(shù)列A可得到數(shù)列 2A 2an, 即 2an

4、 (an) an1 an an2 an1 an1 an an2 2an1 an, 稱之為數(shù)列A的； 二階差分2an的差分 3an稱為；二階及二階以上的差分稱為.差分的物理和幾何意義:在物理方面, 一階差分表示物體運動的平均速度, 二階差分表示平均加速度.在幾何方面, 一階差分表示數(shù)列圖形中相鄰兩點連線的斜率.例. 外出汽車旅行, 每小時記錄下里程表的讀數(shù). 設(shè)A an 22322, 22352, 22401, 22456, 22479, 22511,A an 30, 49, 55, 23, 32,例1. 假設(shè)我們有數(shù)列an 3n 5, 并考慮由表給出的關(guān)于n 1, 2, 3, 的數(shù)列。按函數(shù)值

5、列表, 并考慮相鄰項的差. 3333333-21471013161912345678nnana結(jié)論： 若an c, 其中c是一個與n無關(guān)的常數(shù), 則有存在常數(shù)b使 an cn b （線性函數(shù)）定理1.3 若數(shù)列an由一個二次多項式定義, 則該數(shù)列具有性質(zhì): 其二階差分為常數(shù), 2an c.定理1.4 若數(shù)列an具有性質(zhì): 對一切n有2an c, c為一個常數(shù), 則該數(shù)列的項遵從二次變化模式, 而且表達其通項的公式是一個二次多項式.注: 一般地, 由k次多項式定義的數(shù)列的k1階差分為零, 反之, 若數(shù)列an的k1階差分為零, 則存在一個生成該數(shù)列的k次多項式.例2： 考慮數(shù)列an 1, 3, 6

6、, 10, 15, 21, , 運用差分算子得an 2, 3, 4, 5, 6, 以及 2an 1, 1, 1, 1, 1, .令 an An2 Bn C,12A 12B 0C 2111(1)222nannn n例3：求數(shù)列an n2 12, 22, 32, 42, 52, 62, 前n項和Sn, 即n個正整數(shù)平方和. 由前n項和Sn可以構(gòu)成部分和數(shù)列Sn： S1， S2， S3，運用差分算子得： Sn(n1)222, 32, 42, 52, , 2Sn 2n3 5, 7, 9, 11, 以及 3Sn 2, 2, 2, 2, 令 Sn An3 Bn2 Cn D.由S1 1, S2 5, S3

7、14, S4 30得 A B C D 1, 8A 4B 2C D 5, 27A 9B 3C D 14, 64A 16B 4C D 30,321111(1)(21).3266nSnnnn nn解關(guān)于A, B, C和D的方程組可得 A 1/3, B 1/2, C 1/6, D 0,則三. 差分的性質(zhì) 討論數(shù)列 -n2 + 6n 5的性質(zhì) （1）構(gòu)造前12個數(shù)列值的差分表并畫出相應(yīng)的散點圖； （2）并用該表確定數(shù)列在何處增加、減少, 達到相對極大或極小,上凹、下凹以及是否有拐點.一、差分方程的基本概念差分方程定義 差分方程表明數(shù)列中的任意項如何用前一項或幾項來計算. 初始條件是該數(shù)列的第一項.差分方

8、程的階指出現(xiàn)在差分方程中的項的最大下標減去最小下標得到的數(shù)223,nnaan15,nnaa21346,nnnaaa21,nnaa21.nnnaaa線性的非線性的差分方程的解具有不同的形式: 數(shù)值, 圖形, 公式定義2.2 數(shù)值解是從一個或多個初值出發(fā)迭代差分方程得到的一張數(shù)值表.例如, 在銀行帳戶上以7%的利息積累起來的錢數(shù)是由差分方程 an1 an 0.07an來確定, 其中an表示n個月后銀行中的存款數(shù). 二、差分方程的解月本金利息nan0$1000.000$70.000011070.000 74.900021144.900 80.143031225.043 85.753041310.79

9、6 91.755751402.552 98.178661500.730 105.0510716.5.781 112.405081718.186 120.273091838.459 128.6920101967.151137.7010定義2.3 差分方程的一個解析解是一個函數(shù), 當把它代入差分方程時就得到一個恒等式, 而且還滿足任何給定的初始條件.差分方程 an1 an 0.07an若把函數(shù)ak (1.07)kc, 其中c為任意常數(shù), 代入差分方程就得到一個恒等式:11(1.07) (1.07)0.07(1.07),kkkkaccc11(1.07)(1.07)kkcc定義2.4 差分方程的一個通

10、解是一個函數(shù), 當代入特定值后就得到相應(yīng)于不同初值的特解.ak (0.07)kc稱為差分方程an1 an 0.07an的通解, 因為代入c的特定值就給出與不同的初值a0相應(yīng)的特解.數(shù)值解與解析解的比較: 在求銀行模型的數(shù)值解時只需要一個差分方程和一個初值. 這是數(shù)值解的一個強有力的性質(zhì)求數(shù)值解時無須要求差分方程具有特殊的性質(zhì). 只要從一個或多個初值開始進行迭代計算就行了. 另一方面, 因為沒有第k項的一個一般的公式, 每一項必須從前一項或幾項算得. 從一個數(shù)值解來預(yù)測解的長期性態(tài)可能是困難的. 解析解給出了一個可以直接計算數(shù)列中任何特定項的函數(shù). 解析解的另一個優(yōu)點是, 當求得一個解析解時,

11、通常也同時得到了通解. 相比之下, 用迭代計算求得的解只從屬于某個初始條件. 能夠給出解析解的差分方程是為數(shù)很少的一部分, 大多數(shù)差分方程是不能給出解析解的, 此時, 只能對其解的性質(zhì)給出一定的討論, 討論解的性質(zhì)(解的變化趨勢, 是周期的還是非周期的或混沌的)有兩種方法: 一是數(shù)值計算方法, 二是定性或定性定量結(jié)合的方法.一階常系數(shù)線性差分方程 xn+1 + axn= b, (其中a, b為常數(shù)，且a -1, 0)的通解為xn=C (- - a) n + b/(a + 1)當且僅當|a|1時，b/(a +1)是穩(wěn)定的平衡點. 三、三類差分方程一般式二階常系數(shù)線性差分方程xn+2 + axn+

12、1 + bxn = r,其中a, b, r為常數(shù). 當r = 0時，它有一特解x* = 0； 當r 0，且a + b + 1 0時，它有一特解x*=r/( a + b +1). 不管是哪種情形，x*是其平衡點. 設(shè)其特征方程 2 + a + b = 0 兩個根分別為 = 1, = 2. 則 當1, 2 是兩個不同實根，差分方程的通解為xn= x*+ C1( 1)n + C2( 2)n ; 當1, 2 =是兩個相同實根，差分方程的通解為xn= x* + (C1 + C2 n) n; 當1, 2= (cos + i sin ) 是一對共軛 復(fù) 根，差分方程的通解為xn = x*+ n (C1cos

13、n + C2sinn ). 易知，當且僅當特征方程的任一特征根 |i |1時, 平衡點x*是穩(wěn)定的. 一階非線性差分方程xn+1 = f (xn ) 其平衡點x*由代數(shù)方程x = f (x)解出. 為分析平衡點x*的穩(wěn)定性, 將上述差分方程近 似為一階常系數(shù)線性差分方程*),(*)*)(1xfxxxfxnn1|*)(| xf時,上述近似線性差分方程與原非線性差分方程的穩(wěn)定性相同. 因此當時, , x*是穩(wěn)定的；當1|*)(| xf時, , x*是不穩(wěn)定的.當1|*)(| xf常見一階常系數(shù)差分方程模型例1:某種貨幣1年期存款的年利率是r，現(xiàn)存入M元，問n年后的本金與利息和是多少元？ 解：第k+

14、1年本金與第k年的本金滿足：11kkxr xK=0時0,xM1nnxrM一階線性常系數(shù)差分方程模型一階線性常系數(shù)差分方程模型 例2：污水處理廠每天可將處理池的污水濃度 降低一個固定的比例q，問多長時間才能 將污水濃度降低一半？ 則第k+1天的解：記第k天的污水濃度為 ，kC污水濃度為：11,0,1,2,kkCq Ck從k=0開始遞推n次得： 以 代入即求解。01,nnCqC02nCC 瀕危物種的自然演變和人工孵化問題例3： Florida沙丘鶴屬于瀕危物種，在較好的自然環(huán)境下，年均增長率僅為1.94%，而在中等和較差的環(huán)境下年均增長率分別為-3.24%和-3.82%，如果在自然保護區(qū)內(nèi)開始有1

15、00只鶴，建立描述其數(shù)量變化規(guī)律的模型，并作數(shù)值計算。模型建立記第k年沙丘鶴的數(shù)量為 ， 年增長率為r，則第110,1,2,kkxr xkK+1年鶴的數(shù)量為kx已知0100,x 在較好，中等和較差的自然環(huán)境下0.0194, 0.0324, 0.0382r 計算20年后在三種情況下沙丘鶴的數(shù)量變化情況。0510152025050100150146.8563,51.7508,45.8876y function x=sqh(n,r) %20年后的沙丘鶴t=1:21;r=0.0194 -0.0324 -0.0382;z=zeros(3,20);y=0 0 0;x(1)=100;for n=1:3a=1

16、+r(n);for k=1:20 x(k+1)=a*x(k);z(n,k+1)=x(k+1);endy(n)=x(21);endyz;plot(t,z(1,:),or,t,z(2,:),*b,t,z(3,:),.g)人工孵化是挽救瀕危物種的措施之一，如果每年孵化5只鶴放入保護區(qū)，觀察20年后在三種條件下沙丘鶴的數(shù)量如何變化？1150,1,2,kkxr xk如果每年孵化b只，則求解b為多少時比較合適？110,1,2,kkxr xbk267.6200,126.2094,116.7153y 每年人工孵化5只計算結(jié)果：0510152025050100150200250300一階線性常系數(shù)差分方程的解、

17、平衡點及其穩(wěn)定性10,1,2,kkxaxbk方程的解：100,1,2,kkkxaxa xk人工孵化條件下：12101kkkkxa xb aaa011kkaa xba自然環(huán)境下，b=0：平衡點及穩(wěn)定性平衡點及穩(wěn)定性令令1,kkxxx得差分方程的平衡點得差分方程的平衡點1bxa當當,kkxx 時稱平衡點是穩(wěn)定的。稱平衡點是穩(wěn)定的。問題（作業(yè)問題（作業(yè)2）：）：依據(jù)例3的問題及所給的數(shù)據(jù)，解決下面兩個問題：（1）如果每年孵化6只鶴放入保護區(qū)，觀察在三種自然條件下沙丘鶴的20年中的數(shù)量如何變化？（2）從那一年開始，在中等自然條件下沙丘鶴的數(shù)量就包子持恒定了？ 作業(yè)要求：必須有問題簡述、問題分析、假設(shè)、

18、作業(yè)要求：必須有問題簡述、問題分析、假設(shè)、模型建立，給出數(shù)據(jù)，給出計算過程及結(jié)果的分模型建立，給出數(shù)據(jù)，給出計算過程及結(jié)果的分析。析。作業(yè)3：按揭貸款問題：以目前的商業(yè)貸款利率，計算如果房貸20萬元，15年期，（1）按照等額還款方式，每月還多少？（2）應(yīng)用差分方法計算每月的還款，與銀行計算相比較？若果有差異，分析原因。例：一年生植物的繁殖一年生植物春季發(fā)芽，夏天開花，秋季產(chǎn)種，沒有腐爛，風(fēng)干，被人為掠取的那些種子可以活過冬天，其中一部分能在第2年春季發(fā)芽，然后開花，產(chǎn)種，其中的另一部分未能發(fā)芽，但如又能活過一個冬天，則其中一部分可在第三年春季發(fā)芽，然后開花，產(chǎn)種，如此繼續(xù)。一年生植物只能活一年

19、，近似的認為，種子最多可以活過兩個冬天。試建立數(shù)學(xué)模型研究這種植物數(shù)量變化的規(guī)律，及他能一直繁殖下去的條件。高階線性常系數(shù)差分方程如果第k+1時段的變量1,kx不僅取決于第k時段的變量,kx而且與以前時段變量有關(guān)，則用高階差分方程描述。模型模型的建立與求解的建立與求解 記一棵植物春季產(chǎn)種的平均數(shù)為C，種子能活過一個冬天的（1歲種子）比例為b，活過一個冬天沒有發(fā)芽有活過一個冬天的（2歲種子）比例仍為b，1歲種子發(fā)芽率為a1, 2歲種子發(fā)芽率為a2。 設(shè)C、a1,a2固定，b是變量，考察能一直繁殖的條件。記第k年植物數(shù)量為 顯然與kx,kx1,kx2kx112121kkkxa b c xabab

20、c x 有關(guān)，即其中：2,3,4,k 假設(shè)012100,0.5,0.5,10,0.180.20 xaacb考察b不同時，21年后植物的繁殖情況。（運用matlab計算）計算結(jié)果及分析：的關(guān)系式也可以描述為：12(2,3,4)(1)kkkxpxqxk對高階差分方程可以尋求形如與kx1,kx2kx10(2)xpxkkx的解。代入（1）式得差分方程的特征方程：2pq特征方程的特征根：21,242ppq則方程（1）的解可以表示為：1122kkkxccc1,c2由初始條件01,x x確定，并有以下結(jié)論：本例中，b=0.18時，1,21,0;kxk 1,21,kxk 12( ,)(95.64,4.36)c c12(,)(0.9430, 0.0430) 95.64 0.94304.360.0430kkkx 結(jié)果分析：植物不能一直繁殖下去。線性常系數(shù)差分方程組線性常系數(shù)差分方程組汽車租賃公司的運營汽車租賃公司的運營 一家汽車租賃公司在3個相鄰的城市運營，為了方便顧客，公司承諾，在一個城市租賃的汽車可以在任意一個城市歸還。根據(jù)經(jīng)驗估計和市場調(diào)查，一個租賃期內(nèi)，在A市租賃的汽車在A,B,C市歸還的比例分別為0.6,0.3,0.1；在B市租賃的汽車歸還的比例分別