無理方程和二元二次方程組-教師版

1、I例題解析【例1】(1)(4)3；(5)x 1(6)*212x 43 0 ；2 0 . x(1),(2), (4).方程中含有根式，且被開方數(shù)是含有未知數(shù)的代數(shù)式,這樣的方程叫做無理方程.卜列方程是哪些是無理方程2 / 27(3), (5), (6)中被開方數(shù)中沒有未根據(jù)無理方程的概念，(1), (2), (4)是無理方程.知數(shù)，不是無理方程.其中(3)是一元二次方程，是整式方程；(5), (6)都是分式方程.【總結】考察無理方程的基本概念.【例2】判定下列方程是否有實數(shù)根：(1)1374 74-y 3y 4；J2x2 5 p2 3 (p為實數(shù)).【難度】【答案】(1)有實數(shù)根；(2)沒有實數(shù)

2、根.4【解析】根據(jù)無理萬程有意義的條件，要同時滿足3y 4 0和4 3y 0,得到：y ,3， 4代入原萬程，左邊3閂4右邊，方程成立，所以該方程有實數(shù)根.3(2)中，方程左邊0,而右邊 p2 3 3,所以，左邊 右邊，故方程沒有實數(shù)根.【總結】考察無理方程有意義的前提條件與方程的實數(shù)解的關系.【例3】將下列無理方程化成有理方程： &x2 3x 1 x ； 4x2 6x ,2x2 3x 1 5 0 .【難度】【答案】x2 3x 1 0 ;2t2 t 7 0 .【解析】 方程中只有一個根號，左右兩邊同時平方，得2x2 3x 1 x2,整理得：x2 3x 1 0;方程中根號里面部分 2x2

3、 3x與根號外面部分4x2 6x有倍數(shù)關系，所以設<2x2 3x 1 t 0,則 4x2 6x 2 (t2 1),所以原方程可轉化為 2(t2-1) t 5 0,化簡整理得：2t2 t 7 0.【總結】考察解無理方程的思想，即化無理方程為有理方程.【例4】解下列無理方程：；(1) (y 2)77 0；(2) 2x Jx2 9 6.【難度】【答案】(1) y 3; (2) xi 3, X2 5.【解析】(1)方程是ab 0,則得a 0,或b 。的形式，所以解(1)方程得y 2 ?；?并且還要保證y 3 0,解得：丫1 2,y2 3,又因為當y 2時，沒意義，所以經(jīng)檢驗y 3是原方程的根.(

4、2)方程只含一個根號，所以整理為2x 6 Jx2 9 ,等號兩邊同時平方去根號得:22x 6 x2 9,整理得 x2 8x 15 0, x 3 x 50 ,得玄 3, x2 5,經(jīng)檢驗x 3, x2 5都是原方程的根.【總結】考察無理方程的基本解法，注意不要忘了最后一步檢驗所得解是否是增根.【例5】解下列無理方程：(1)2x 4x31 ；.3x 2x83 2 ;(3) 5x 6【難度】2x3J3x 5 .【答案】(1) x6；(2)x1 10, x2 16 ;(3) x 2【解析】(1)方程含兩個根號，要盡量分散在等號的兩邊，原方程整理為,2x 4 <x 3 1,等號兩邊平方得2x 4

5、x 3 2v x- 1 ,整理得x 2vx"飛，再等號兩邊平方得22x 4(x 3),整理得：x 4x 12 0,從而 x 6 x 20 ,得：x 6,先 2 ,經(jīng)檢驗K 6是原方程的根，x22是原方程的增根；(2)原方程整理為底2 >/x8 3J2,等號兩邊平方得3x 2 x 8 6j2(x 8) 18,整理得x 4 3?2x 16 ,等號兩邊再平方得x2 8x 16 9(2x 16),整理得2x 26x 160 0,從而 x 10 x 16 0 ,得：X1 10, X2 16.經(jīng)檢驗X1 10, X2 16都是原方程的根；(3)方程含3個根號，通過觀察方程先整理為 J5X-

6、6 J亞后飛，然后等號兩邊 平方得 5x 6 2x 3 2j 2x 3 3x 5 3x 5 ,整理得：1 J 2x 3 3x 5 ,等號兩 邊平方得1 2x 3 3x 5 ,整理得x 2 6x 70 ,從而x1 2, x21 2 6經(jīng)檢驗x 2是原方程的根.【總結】考察含有兩個根號或者三個根號無理方程解法，注意最后要驗根.例6解下列方程：(1) Jx2 9 Jx2 9 "5； Jx2 x 6 J2x2 1僅 15 x 3 .【難度】【答案】(1)x 4 , x24; (2) x=3.【解析】(1)整理得技9而5 Jx2 9,等號兩邊平方得x2 9 26(x2 9) 7 25 1042

7、 9 x2 9,整理得.7x2 63 54 9 ,等號兩邊平方得7x263 25(x2 9),整理得：x216 ,解得：x14,x24.經(jīng)檢驗” 4, x24是原方程的根；(2)方程整理得7x3x2 J2x 5 x 3 x 3,為等號左邊0,所以右邊x 3 0,當x=3時，方程成立，當xw3時，可得J x 2 J 2x 5 Jx 3 , 等號兩邊平方得 x 2 2，x 2 2x 5 2x 5 x-3 ,整理得2,x 2 2x 5 2x, 因為x 3 0, x 3,所以2xp0,而左邊2jx 2 2x 50,所以方程無解.綜上，原方程的解為 x=3.【總結】考察含有多個根號的無理方程的解法，注意

8、解完之后進行檢驗.【例7】若方程 &_2m2 x 2m有一個根x=1,求m的值及方程的其他的根.【難度】【答案】m 0, x為一切非負數(shù).【解析】把x 1代入原方程，得4'1 2m2 1 2m ,等號兩邊平方得，1 2m2 1 4m 4m2 , 整理得m2 2m 0 ,從而m(m 2) 0,解得：成 0, m2 2,經(jīng)檢驗m 0是原方程的根把 m 0代入原方程4x2 2 02 x 2 0,整理得JX2 x ,所以x為一切非負數(shù).【總結】考察無理方程的根的意義，及解無理方程的方法.【例8】解下列方程：(1) 3x2 5x 2d3x2 5x 1 2;(3)4x2 6x 6 xx2x

9、_1 0 【難度】5【答案】(1) xi 0, x2 ; (2) x 3; ( 3) xi3x29 3 . 2910【解析】(1)設J3x2 5x 1 t0,則3x2 5x t2 1,原方程可轉化為t2 12t 2,化簡整理得：t2 2t 3 0 ,從而t 1 t 30,因為t 30,解得：t 1,即73x2 5x 1 1 ,等號兩邊平方得 3x2 5x 1 1 ,解得:x10, x25經(jīng)檢驗x1 0, x2 -是原方程的根；3(2)原方程可轉化為 后3 2d 1,設，x79 t 0，原方程可轉化為t 2因為t 10解得t12_一一- 1 ,整理得t t 2 0 ,從而t 2 t 10,t2,

10、即Jx工 2,等號兩邊得-9 4,解得：x 3,xx經(jīng)檢驗x 3是原方程的根；(3)原方程可以轉化為 6 x2 x 1-',-22xvxx 1 2x 0 ,因式分解(3>/x2 x 1 2x)(2 Vx2x1 x) 0 ,得：34x2 x 1 2x 0,或 2>Z?x1 x 0,當3Jx2 x 1 2x 0時，解此無理方程得：“ 9 3"29 , x2 9 3/291010經(jīng)檢驗x 9 3 29是原方程的根;10當2收 x 1 x 0,解此無理方程得：xi 2, %2經(jīng)檢驗X是原方程的根,3綜上所述原方程的根是：X19 3 2910【總結】考察利用換元法求無理方程

11、的解，求解后注意進行驗根.【例9】解方程：G Lx 2 2jx2 2x 4 2x；【難度】【答案】x 1 . 4【解析】因為Vx?Vx-2 Jx2 2x ,所以原方程可以轉化為(x 2&_2x x 2)Vx s/xT 60,可得(6Tx-2)2(Tx Vx-2)6 0,從而因式分解可得(jxTx-2 3)(a""2) 0,因為7x-2 3 0,可得 & Jx 2 2 0,即 Jx 2 2 Jx,解此無理方程可得x 1 ,41經(jīng)檢驗x -是原方程的根.4【總結】考察整體換元法解無理方程，綜合性較大，注意認真分析方程的特點.【例10】用換元法解無理方程：3/3x

12、 2 34 3x 1【提示：a3 b3 (a b)(a2 ab b2)】.【難度】【答案】無實數(shù)根.【解析】設3/3x 2 a,尋4 3x b ,則有a3 b3 2, a b 1 ,又 a3 b3a b a2 ab b2 a b a b2 3ab ,所以有21123ab，得ab 1 .即 3/3x 2 34 3x，3x 2) 4 3x 1 ,得(3x 2) 4 3x 1 ,解此方程可得：x 1 ,經(jīng)檢驗x 1不是原方程的根，故原方程無實數(shù)根.【總結】考察利用換元法解特殊無理方程，注意對所求得的根進行檢驗.【例 11】解方程：2x2 15x J2x2 15x 199818.【難度】【答案】x1

13、9,加 -. 2【解析】)設 J2x2-15x 1998 t 0,貝U 2x2 15x t2 1998,原方程可轉化為t2 1998 t 18 , 2化簡整理得:t t 1980 0,從而t 45 t 440,因為 t 440,解得：t 45,即 J2x2 15x 1998 45,等號兩邊平方得2x2 15x 27 0 ,因式分解得 x 9 2x 30,解得：* 9,旭 -,23經(jīng)檢驗x1 9, x2是原方程的根.2【總結】考察利用換元法解無理方程，注意對方法的提煉.【例12】設實數(shù)x、y、z滿足x y z 4('x 5 Jy 4 z1z3)，求x、y、z的值.【難度】【答案】x 9,

14、 y 8, z 7 .【解析】原方程可轉化為 (x 5 4&5 4) (y 4 46_4 4) (z 3 4jz 3 4) 0 ,即(V,x 5 2)2 (Jy 4 2)2 (7z- 2)20,得 dx 5 0, Jy 4 0, Jz 3 0 ,解得：x 9, y 8, z 7 ,經(jīng)檢驗x 9, y 8, z 7滿足原方程.【總結】考察幾個非負數(shù)的和為零的基本模型，注意根據(jù)題目中的條件先進行配方.18 / 27【例13】下列方程是二元二次方程的有22y 1 ；7y5x1 ； y225xy 0 ； 7a y5y 1.A.B. 2C. 3D. 4是分式方程；，是二元二次方程.是二元三次方程

15、.【總結】考察二元二次方程的基本概念.【例14】卜列方程組中，不是二元二次方程組的是（A.x 3y 522x 2xy yx yB, 2y2C.x yxyD.2X2D是無理方程,二元二次方程是有理方程.【總結】考察二元二次方程組的基本概念.【例15】解下列方程組:x y(1)22x y625(2)2xy y2 122x 4y 8(3)2xxy 122y25(4)24xy 3y(1)20x215(3)y1X2y1y2(1)15y2X3y320(2)X4y4可得yX1y1（4）x 5，代入X2y2X1y1102575X3y3X4V42575X2y231,X3y3X4y，.55式得X(x 5)2 62

16、5,整理得2x 5x 300 0,解得：X20, X2 15,分別代入x y 5 0 得 yi15, V2 20,所以原方程組的解為,yi20 X2 1515, V2 20(2)由可彳導x所以原方程組可分解為y 14y2分別解這兩個方程組可得原方程組的解為:x1y1X2V22575y4y2(3)式可轉化為x2xy25,把 xy12整體代入,所以原方程組可分解為xy x12y 7或xyx12“、一，12 兩個方程組,y 7分別解這兩個方程組可得原方程組的解為:y1x2y2x3y3(4)式可分解為 x 3y x y 0,所以原方程組可轉化為分別解這兩個方程組可得原方程組的解為:x1x2y2【例16

17、】解下列方程組:(1)4xx(2)xy2xy6y yx3y3x3y3X4x4y4V4493y2 y或10x4y42 x2x5(x y)(1)xy43y1x2y2x1y13212x2x3y2y33212x4y4(3)x2y216,x3.43x4(1)J,y343y，,43而,y 1 ,代入 整理得3y2 8yy1y22575025y 105代入x y i,得：Xi i, X2 ,所以原方程組的解為 3XiyiX2V253 .8 '3(2)由因式分解得x 3y x 2y0,由可知xx 3y 0所以原方程組可以轉化為x y 23y y2y y 2x 2yx y02四個方程組,分別解這四個方程

18、組得原方程組的解為:Xiyi3212X2V2X3y332 i2X4V40,(3)由可得 x y x y 5xy,即 xyxy5x y 0所以原方程組可以轉化為22x xy y或43Xy兩個方程, 43分別解這兩個方程組得原方程組的解為:XiyiX2y2X3y3.43X4y，,43.43【總結】考察二元二次方程組的解法，注意代入法和因式分解法的靈活運用.22【例i7】若方程組X Xy 9y 1有實數(shù)解，求實數(shù)k的取值范圍. x 3y k【難度】【答案】盤女瑛55-,一，1.,、，122【解析】由得X 3y k,代入式得3y k 3y k y 9y 1 ,整理得2921y2 7ky k2 1 0,

19、因為方程組有實數(shù)解，所以 0,即 7k 4 21 k2 10 ,22 15,2 15得 5k 12,即k .55【總結】考察二元二次方程組有實數(shù)解的應用，最終轉化為一元二次方程有實數(shù)解的問題.22【例18】若二元二次方程組X y 有唯一解，求實數(shù)k的值及方程組的解.y k(x 2) 1【難度】【解析】把整理得x111 , y10故可分為兩種情況:1時，代入X2V21代入1時，代入k2整理得3k2綜上k53432k2 x120時，方程有唯一解,4kX1V1y2 1中，得2 4k 4k20時，即k0,此方程無實數(shù)根.X2V25343，即0,1,122k x 211,因為方程組有唯一解,此時方程為0

20、,次方程，有唯一解,2 22kVi0；0,得:X2V2k24k【總結】考察二元二次方程組有唯一解的應用，注意從多個角度進行分類討論.【例19】解方程組:3x(1)2Xxy2y4y2 3x254y(2)2X2X3xy 4 y24xy 4y2(1)V1X2V2(2)X1V1X2V2(1)由可因式分解得從而得3x 4y x y 1所以原方程組可以轉化為X3V3X3V32316X4V4X4V423163x4y x3x4y0,3x2X4y2 y以或X2y 12兩個方程組,y2 25分別解這兩個方程組得原方程組的解為:x1 4x24x34x43? ? ?y13 y23y33y4420/27所以原方程組可以

21、轉化為x y 0x 2y 1(2)由可因式分解為 x y x 4yx y0 x4y0x4y0x 2y1 x2y1x2y 1分別解這四個方程組可得原方程組解為:22x3x43311y3y466x11x21y1 1y21【總結】考察復雜二元二次方程組的解法，注意方法的靈活運用.【例20】解方程組:(x2 3x)(x x2 4x yy) 4014(2)xy x y 1122x y xy 30【難度】【答案】(1)X5 x22x34x41 ) )W9 y22y314y49(2)x15x21x32K43y11 y25y33y42【解析】(1)原方程組可以轉化為2x 3x x y 40，設 x2 3x m

22、, x y n ,2f' jx 3x x y 14 mn 40則原方程組可轉化為，由韋達定理，設以m、n為兩根的方程為t2 14t 40 0,m n 14因式分解得t 10 t 40 ,解得:10, t24 ,所以m110ni 422m24x3x 10 或x3x 4n210'xy 4xy 10x15x22x34x41再分別解這兩個方程組得原方程組的解為：c ， C， ,J C；y19y22y314y49xy x y 11(2)原方程組可以轉化為y y ，所以設以xy和x y為兩個實數(shù)根的一元二次xy x y 30方程為m2 11m 30 0 ,從而因式分解為 m 5 m 6 0

23、,得：m1 5, m2 6.xy 5Xi 1 X2 5,得：，x y 6y15y2 1同理解方程組xy 6 得 x3x y 5' V32 x4 33 y4 2綜上，原方程組的解為:x15x21x32x43? ? ?y11y25y33y42【總結】考察利用整體換元法求二元二次方程組的解，注意對方法的歸納總結.【例21】設方程組x x y 0的解是x x1y 2x 1y y1x2y2,、11.，求一 一和y1gy2的值.x1x2【難度】【答案】1 1 3; y1 y2 1 .x1 x2【解析】把方程組中22y 2x 1代入x *丫0中，得* x2x 10,整理得，x2 3x 1 0,由韋達

24、定理知x1 x2 3, Xi x2 1 ,所以1 工學2x1x2Xi x23 °一 3，yi V212為 1 2x2 14x1x2 2 x1 x21【總結】考察二元二次方程組的應用，利用方程組的解再結合韋達定理求出相應的值.【例22】解下列方程組:(1)2x2 5xy 2y2 5223x xy 6y 8(2)222x 4xy 8y 3x y 8 03x2 6xy 12 y2 4x 2y 13 0【難度】【答案】（1）Xi1x2yiiV21X31V323.220223 220 正，40(2)x1 13 x2 1yi 11y2 i【解析】（i）由X8- X5 得 8 2x2 5xy 2y

25、25 3x2 xy 6y2 5 8 8 5,整理得x2 45xy 46y2 0,因式分解得:x y x 46y0,解得：Xi y, X2 46y；當x y時，代入,得 2y2 5y2 2y2 5,解得：y1 1 , y2i,從而得方程組的解為:x11x21yiiy2i即xy 5或xy 6,用同樣方法解方程組x y 6 x y 524 / 27X323 . 223. 2同理當x2 46y時，解得方程組的解為:y32040x4202 y440綜上，原方程組的解為x11x21y11y21X323.2202y340X4V423, 22040(2)觀察到方程組中前面三個二次項的系數(shù)成倍數(shù)關系,所以得：3

26、 2x2 4xy 8y2 3x y 82 3x2 6xy12y24x 2y 130,整理得：x y 2,代入8y2 3 2y y 8 0,整理得：y2 10y 11 0,解得:yi所以 X 13, x2 1 ,綜上原方程組的解為:Xiyi1311，X2y2【總結】考察特殊二元二次方程組的解法，注意對兩種方法的總結以及所適應的方程的特征的 歸納.2【例23】解方程組:xy y 3x 6y 3 02x x xy 2 y 1 0【難度】dx2x11y11V2517415 3 174517415 3 174【解析】觀察兩個方程,2x y -4 x 2y 4 0,-得 x2 y2 4 x 2y 44 x

27、 2y 4 0,與 2 xy + 得 x y 2 x 2y 2 0 ,從而 24 x2y 4 0 聯(lián)立相加得：2 xy 2x y x y 0,2斛信y1x ,y23x;把y x代入式中得xx x 3 x 6 x3 0,整理得：3x 3 0,得x1 ,得 1 ,從而得原方程的解為x11y1同理把y23x代入式中得x 3x 3x解得:X25 i74X33x,得y2中V3i5 3 i74故原方程組的解為:XiyiiX2i，y25 萬4i5 3 i74X3V35 .萬4i5 3、斤7 .【例24】解方程組:y xy i4y2 xy 84【答案】Xi 8yi 2x2 2y2 8【解析】設x y m,an

28、 ,則x22y xy2xyxy xi26 / 27i4 m n84m n i4原方程組可轉化為22 ，因為mm n 84所以可得m n 6,又因為m n i4,聯(lián)立得m i0,即n 4xyy i0i6 ，根據(jù)韋達定理設以x,y為兩實數(shù)解的二次方程為t2 10t i6 0,因式分解得t 8 t 2。，得ti8, t2 2x y i0所以方程組xy i6的解為Xix22即原方程組的解為XiX2yiV2yiV2 8【總結】考察利用整體換元法解二元二次方程組，綜合性較強.【例25】已知方程組X(2k i)y 4 0y x 2(i)求證：不論k為何值時，此方程組一定有實數(shù)解;是該2(2)設等腰 ABC的

29、三邊長分別為ax a,b , c ,其中c 4,且，y a 2方程的兩個解，求 ABC的周長.【難度】【答案】（1）見解析；（2） 10.【解析】（1）將 y x 2 代入 x2 2k 1y 4 0,得 x2 2k 1 x 24 0,2o2整理得 x2 2k 1 x 4k 2 0, 2k 14 14k 2 4k212k 9 2k 30 ,所以不論k為何值時，此方程組一定有實數(shù)解；（2）可分為兩種情況 a b ,或者a 4 .第一種情況a b,即方程組有兩個相等的實數(shù)根，可知 0,從而k ,2由韋達定理得a b 2k 1 4,此時a, b, c不能構成三角形，舍去；第二種情況a 4,將x 4代入

30、x2 2k 1 x 4k 2 0 ,得k 9,2由韋達定理得a b 2k 1 6,可得：b 2,此時a, b, c能構成三角形，故周長=4+4+2=10 .【總結】考察二元二次方程組的應用及對方程組有解的準確理解.ax y 2a 10 0【例26】已知方程組, 只有一組實數(shù)解，求x y 2 0【難度】【答案】a 12或a 6 .【解析】由x . y2由 ax y 2a 10整理得x2 ax 120 ,知 x 0,y0可知ax 2a2a 0 ,因式分解得 a 12 a 4當 a 12 時，x2 12x 12經(jīng)檢驗x 6是原方程根；當 a24 時，x24 x經(jīng)檢驗x2是原方程增根.222,x2 y

31、 2, x2 210 y ,把 x2 2當 a2 4 1 120,解得：a1 12, a2422 12 0,得 x 12x 3612 240 ,得 x2 4xa的值.y,2y代入，可得ax 2a 10 x 2 ,2a 0時，整理得a2 8a 48 0,0 ,解得：x 6,31 / 27當 有兩個異號實數(shù)根時，則4 >0且2a+12<0,a 6; 當 有一負根另一根為零時，則>0且a<0, 2a+12=0,綜上所述：a 12或a 6 .注意從多個角度去分類討論.【總結】本題綜合性較強，考察二元二次方程組的唯一解的應用,隨堂檢測1(3) x2(6) x2【練習1】下列方程是

32、哪些是無理方程 ？(1)3/ 4；(2) Jx2 3625 0；29x2 4a x12r(4) 1;(5) 3 -x 7；xa【難度】【答案】(1) (2) (3) (4) (6)【解析】無理方程的概念即被開方數(shù)是涵未知數(shù)的代數(shù)式，根據(jù)概念可知只有(5)不符合要求.【總結】考察無理方程的基本概念.【練習2】不解方程試說明下列方程為什么沒有實數(shù)根？(1) Vx-T <2-x 5;(2) 4V 2 yl 0.【難度】【答案】見解析.【解析】(1)有題意知x 3 0且2 x 0,兩不等式無交集，所以方程無實數(shù)根.(2)由題意知 Jy 2 0,且 JV-T 0,要 Jy 2 JV_7 0,只有

33、0+0=0,此時y 2且y 1 ,不符合實際情況，所以無實數(shù)根.【總結】考察無理方程中增根的理解，即要注意驗根.【練習3】(1)若關于x的方程 ""x a 1 0有實數(shù)根，則a的取值范圍是 ;(2)將 “ x 16 4x 0化成整式方程是 .【難度】【答案】(1) a 1; (2) 16x4 128x2 x 252 0.【解析】(1)由題知JE a 1 0,所以a 1;(2)由題知44 x 16-4x 4 4 x ,原方程可轉化為 4 x 16(16 8x2 x4),42即 16x128x x 252 0【總結】(1)考察無理方程中增根的產(chǎn)生過程，解無理方程中一定要驗根.(

34、2)考察解無理方程的一般方法.【練習4】下列方程組中哪一個是二元二次方程組()A.B.x y 5xy 62323x25y0-7x4廠 2 d D , xxy1x2 y21【解析】二元二次方程組是含兩個未知數(shù),且最高次為兩次的整式方程組.A中最高次為1次；C中含 返，是無理方程；D中分母中含未知數(shù)，為分式方程.所以答案是 B.【總結】考察二元二次方程組的基本概念22 G【練習5】由方程組x y 3,消去x后得到的方程是.x 2y 1【難度】【答案】3y2 4y 2 0.【解析】由得x 1 2y代入中得1 2y 2 y2 3 ,整理得3y2 4y 2 0 .【總結】考察代入消元法解二元二次方程組的

35、方法.【練習6】解下列方程：(1) Vx 3 x 1 0 ;(2) Jx2 2 V2x 1 0.【難度】【答案】(1)為1, x2 2 ； (2) x 3.【解析】(1)由題得Jx 3 x 1 ,兩邊同時平方得x 3 x 1 2,整理得x2 x 2 0 ,因式分解得 x 2 x 1 0 ,從而得x1 1, x22 ,經(jīng)檢驗，x 1 x 1, x22是原方程的解；(2)由題得Jx2 2 J2x 1,兩邊同時平方得 x2 2 2x 1,整理得x2-2x 3 0,因式分解得x 1 x 3 0,從而得：x11, x2 3,經(jīng)檢驗x 3是原方程的解，x 1是增根.【總結】考察無理方程的基本解法，注意最后

36、要驗根.【練習71解下列方程:i34 / 27x(i)2x(2)y2 25 y 7【解析】（i）yix2iy22'(2)Xiyiy 3，代入中得yX2V20,整理得7y因式分解得yy 50,解得：%2,V2代入x y 3,xii, x22 ,所以原方程組的解為XiyiX2y2（2）由得xy,代入整理得7yi20,因式分解得yy 4 o,得yi3 , y24 ,故得:xi4 , x2所以原方程組的解為yiX2y2【總結】考察二元二次方程組的方法,注意對代入法的正確理解及運用.【練習8】解下列方程組:(2)22x 2xy y ix 2y 4(x i)得y x i ,代入得9(y i)2 i

37、(i)94x y i【難度】【答案】（i）x(yi345x2 229V2 i5(2)x2xi22yiiy2【解析】（i）由2i ,整理得 5x 44x 68 0 ,因式分解得:5x 34 x 20 ,解得：xi34二，x22 ,代入y x i中得yi綜上原方程組的解為:xyi345x2 229V2 1g2(2)由得x y 1,所以原方程組可轉化為x y 1和x y 1兩個方程組,x 2y 4 x 2y 4分別解上述兩個方程組得方程組的解為:x12y1 1x2V2(2) 5x2 x xv5x21 2 0.2jx2 5x 1 2 0,【總結】考察利用因式分解法求二元二次方程組的解.【練習9】解下列

38、方程：(1) 3x2 9x 2&5x 1 2(1 3x)；【難度】【答案】(1)為 0, x2 5 ； (2) x1 -0, x25【解析】(1)原方程可以轉化為3x2 15x 2>/x2 5x1 2 0，3 x2 5x設 Jx2 5x 1 t 0 ,貝U 3 x2 5x223 t2 1 ,原方程可以轉化為3 t210,因為t 0,所以t 1,整理為3t2 2t 5 0 ,因式分解為t 1 3t 5即Jx2 5x 1 1,整理得x2 5x 0,因式分解為x x 50,得x 0, x25,經(jīng)檢驗用0,x25是原方程的解；(2)原方程可以轉化為(5x2 1) 1 x xj5x2 1

39、0,整理得 V5x2 11 J5x211 x J5x2110 ,從而因式分解為J5x2 11d5x2 1 1x0,所以原方程可以轉化為.聲7 1解 J5f1 1 0 得，X 上10 , 加 5解 Vsx21 1 x 0 , 即)5x2 11經(jīng)檢驗x31, x4 -是方程V5X70或者V5x1 1 x 0兩個方程.10；5 -1x 1 ,斛得 *31 , x4 -,1 1 x 0的增根，綜上X10 , X2 0是原方程的根.55【總結】考察利用整體換元法解無理方程，注意解完后要驗根.【練習10解下列方程組:(1)2Xxy x y 1 0y2 3x 3y 16 0(2)22x 2xy y 3x 3

40、y 2 0(2x y)2 (2x y) 12 0X2V2X3V3X4V4Xi(2)yX2V22353X3V3X4V41373【解析】(1)由因式分解得X 1 y 10,得 x 1 或 y 1 .把x 1代入式整理得2y 3y 18 0,解得：y 6, y23,所以原方程組的解為X11X2y16V2把y 1代入式整理得x2 3x 18X33,所以原方程組的解為X3V3X4V4綜上原方程組的解為X1X2V21X363y31X4V4(2)由可整理為2 0,因式分解為 X y 2 x y 10;由因式分解為2x y 4 2x y 30,x y 1 0所以原方程組可轉化為2x y 4 0x y 2xx

41、y 2 0 x y 2 0 2x y 4 0' 2x y 3 0 '分別解這四個方程組得原方程組的解為:X1y15323X2V22353X3X4V3V41373【總結】考察二元二次方程組的解法，能因式分解的盡量因式分解來降次，從而轉化為次數(shù)低50 / 27些的方程組來求解.【練習11解方程：2x 27弋7x & Jx 7 35.【難度】【答案】x 841. 144【解析】觀察方程，可以轉化為x 2&7x x 7 7x vx7 35 7，2從而得瓜Vx_7 xxx>T42 0,因式分解為Vx Jx7 7& Jx 7 60 ,因為Vx-7 0 ,-_,

42、 、“、841所以只有57x萬6 0 ,解這個無理方程得 x，144，一一 841經(jīng)檢驗x不是原方程的解.144【總結】考察復雜方程的解法，注意整體變形，解完后要檢驗.【練習12解方程:【難度】22_.x y 5y 122x xy 6y 2【答案】x11x2y10y21x30 , y3114152114110x4y4114121,14110【解析】由得 x2 y2 5y 1,由 得 2x2 xy 6y 2,則 25y22 2x xy 6y,解得:y 0或2y x 4 0,所以原方程組的解為x11x21y10y20當2y x 4 0,得2y 4 x,代入整理得 5y2 21y 15 0,解得：y

43、12114110y12114110代入2y 4x得x111411.141,K 55綜上原方程組的解為X1x2yi0V2X3y31141521 .14110X4V41141521 JT4110【總結】考察復雜二元二次方程組的解法，注意進行方法的歸納總結.【練習13】已知方程組y 4X有兩組實數(shù)解y 2x mxx-xx2-和,且x1x2y y1yy20,_2x2(1)求m的取值范圍；(2)試用關于m的代數(shù)式表示出n;(3)是否存在這樣的值 m,使n的值等于-2,若存在，求出這樣的所有的m的值;若不存在，請說明理由.【難度】【答案】(1) m 1 且m 0； (2) n 8m-； (3) m 2 2

44、厄.222【解析】(1)把 代入 得2x m 4x,整理得4x 4 m 1 x m 0,21此一兀二次方程有兩個實數(shù)根，所以0,即 16 m-116m2 0,得m 1,1 一因為乂涇 0,即兩個解都不為 0,所以可得 m 0,綜上m 2且m 0；，2 x1 x24 m 1m2(2) n ,由韋達te理知 x1 x2 ,x1x2 ,2442 K x28m 8代入n ,整理得n .x1x2m(3)因為n 2 ,即22 一,整理得m2 4m 4 0 ,m1-解得：m 2 272 ,因為m -,所以m 2 272 .【總結】考察二元二次方程組的解的應用，綜合性較強，注意韋達定理的熟練用.課后作業(yè)【作業(yè)

45、U用換元法解無理方程 J2x22x i 2x2 2x 7 0時，如果設J2x2 2x i y ,將原方程化為關于y的整式方程，那么這個整式方程是 【答案】y2 y 6 0 .2x2 2x y2 i ,則無理方程7 0,整理得y2y 6 0.【解析】 辰2x i y ,則2x2 2x i y2 ,所以J2x2 2x i 2x2 2x 7 0可以轉化為y【總結】考察換元法解無理方程的方法.【作業(yè)2】下列方程哪些是二元二次方程：2x底2 缶2y 0,xy 3 0 ,ixy【答案】【解析】二元二次方程的概念是含兩個未知數(shù)且最高次是2次的整式方程.由此可以判斷因為只含有一個未知數(shù)，不是二元二次方程.是分式方程，也不是二元二次方程.【總結】考察二元二次方程的基本概念.【作業(yè)3】方程組2x的一組解是（x A.yB.C.D.【解析】觀察知2x3,整理得2x 3x0,解得xix2i,代入y xi,得yi5, y20,從而原方程組的解為xiyix2y2i 一, .所以答案選C.0【總結】考察方程組的解的概念.【作業(yè)4】下列方程有無實數(shù)根 ？并說明理由(1)JX2 0;(2)44x x 7;(3)772x "&quo