經(jīng)典：周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)

1、2021/8/61廣東白云學(xué)院廣東白云學(xué)院通信工程系通信工程系楊新盛楊新盛 E-mail: E-mail: Signal and SystemSignal and System2021/8/623.3 3.3 周期信號(hào)的周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)1. 1. 周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)分析周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)分析)(tf根據(jù)傅里葉級(jí)數(shù)理論，任何滿足滿足狄里克雷根據(jù)傅里葉級(jí)數(shù)理論，任何滿足滿足狄里克雷(Dirichlet)(Dirichlet)條件的周期連續(xù)信號(hào)條件的周期連續(xù)信號(hào)可展開為三角傅里葉級(jí)數(shù)或復(fù)指數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)?？烧归_為三角傅里葉級(jí)數(shù)或復(fù)指數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)。狄氏條件：狄氏條件：（1 1）在一周期

2、內(nèi)，間斷點(diǎn)的數(shù)目有限；）在一周期內(nèi)，間斷點(diǎn)的數(shù)目有限；（2 2）在一周期內(nèi)，極大、極小值的數(shù)目有限；）在一周期內(nèi)，極大、極小值的數(shù)目有限；（3 3）在一周期內(nèi)，）在一周期內(nèi)，dttfTtt11)(電子技術(shù)中的周期信號(hào)大都滿足狄氏條件，當(dāng)電子技術(shù)中的周期信號(hào)大都滿足狄氏條件，當(dāng) 滿足滿足狄氏條件時(shí)，狄氏條件時(shí)， 才存在。才存在。nnnFba,)(tf2021/8/63 周期信號(hào)的周期信號(hào)的傅立葉傅立葉級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)周期信號(hào)周期信號(hào)f f（t t）展開為三角傅立葉級(jí)數(shù)）展開為三角傅立葉級(jí)數(shù)設(shè)設(shè) 是周期為是周期為T T的函數(shù)的函數(shù) tnbtnaatfnnn1110sincos2)( TttdttfTa11

3、)(20 TttnTttntdtntfTbtdtntfTa111111sin)(2cos)(2 ,.sin,.2sin,sin,.,cos.,2cos,cos, 1111111tntttntt?三角函數(shù)集：三角函數(shù)集：)(tf2021/8/64直直流流分分量量20a稱為基波分量，次諧波分量稱為，tbtantnbtnannn11111sincos1nsincos111101110)cos(2sincos2)(nnnnnntnAatnbtnaatf)cos(sincossincos11111nnnnnnnnnntnAtnAbAtnAaAtnbtna22nnnbaAnanbnnnnabtg1 周期信

4、號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)2021/8/65 根據(jù)傅里葉級(jí)數(shù)理論，任何滿足滿足狄里克雷根據(jù)傅里葉級(jí)數(shù)理論，任何滿足滿足狄里克雷(Dirichlet)(Dirichlet)條件的周期連續(xù)信號(hào)條件的周期連續(xù)信號(hào) 都可表示為都可表示為無限多個(gè)、頻率為基頻倍數(shù)的復(fù)正弦信號(hào)的加權(quán)無限多個(gè)、頻率為基頻倍數(shù)的復(fù)正弦信號(hào)的加權(quán)和，若和，若 其中，其中， 為任何整數(shù)，為任何整數(shù)， 為周為周期，期， 為基頻，為基頻， 為相應(yīng)的角頻率，則為相應(yīng)的角頻率，則 tf kTtftfkTTf11Tf2211 10101jntnntTjntntf tF eFf t edtT 周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)2

5、021/8/66 周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)2 2、周期信號(hào)、周期信號(hào)f f（t t）展開為復(fù)指數(shù)付里葉級(jí)數(shù)）展開為復(fù)指數(shù)付里葉級(jí)數(shù)ntnjntjnneetf11nnA21F)(dtetfTeAFtnjTttjnnn111nnnnnn)(1jb-a21sinjA-cosA2121nnnnnntnjtnjntnjtnjeeAatfeetn111110122)(21cos證明：證明：2021/8/67 周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)，的奇函數(shù)）是（的偶函數(shù)）是（又022nn0000n-0nnAAAabaAbnnntnjjntnjneeetfnn11nnA21A21)(故間之

6、外？集中分量之和，至于區(qū)內(nèi)可表示為正交函數(shù)只在以上討論)()(f1,1Tttt )(111111)(sinsin)(coscoskTtjntnjeekTtntnkTtntn 都可展開為付里葉級(jí)數(shù)內(nèi)，在)(tft2021/8/68 用用FSFS分析是對(duì)周期信號(hào)進(jìn)行諧波分解，即分析是對(duì)周期信號(hào)進(jìn)行諧波分解，即用諧波加權(quán)和來合成信號(hào)，因此，用諧波加權(quán)和來合成信號(hào)，因此，F(xiàn)SFS分析又稱為諧波分析。分析又稱為諧波分析。 1jntnnf tF e 周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)2100sin)(40TttnntdtntfTba，的對(duì)稱條件)(tf），縱軸對(duì)稱（偶函數(shù))()(tftf），半半周周

7、鏡鏡像像（奇奇諧諧函函數(shù)數(shù))2()(Ttftf ），半周重疊（偶諧函數(shù))()(2Ttftf，原點(diǎn)對(duì)稱（奇函數(shù)）)()(tftf展開式中系數(shù)特點(diǎn)2100cos)(40TttnntdtntfTab，和偶次諧波無奇次諧波，只有直流諧波分量無偶次諧波，只有奇次周期信號(hào)的對(duì)稱性與付立葉系數(shù)的關(guān)系。周期信號(hào)的對(duì)稱性與付立葉系數(shù)的關(guān)系。FFFF2021/8/69 周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù))()(tftf下形式在一個(gè)周期內(nèi)可寫為如022202tTtTETttTE0nbtf是偶函數(shù)，故)(EtdtTEtdtTETdttfTaTTTT)(02202202222.1出其頻譜圖求其傅立葉展開式并畫如圖

8、所示，有一偶函數(shù)，其波形例)(tftTT2T2TE解解: :2021/8/610 周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù))()(1122nnE)()()(為偶數(shù)為奇數(shù)nnnE042tTnnEEtfn214253122cos)(,E24E294E2254E0111315nAsin1sin8)2(cos241201201121120tdtntnntTETtdtntTETaTTTn2021/8/611 周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)222TtTtTtftf)()(下形式在一個(gè)周期內(nèi)可寫為如0natf是奇函數(shù)，故)()(tft1T出其頻譜圖求其傅立葉展開式并畫如圖所示，有一奇函數(shù)，其波形例

9、2解解:2021/8/612tTnntfnn211211sin)()(20111314nA13221121201211121201120) 1(2)sin)(1cos(8sin24)2(sin)(4nTTTnntnntnntTtdtntTTTtdtntfTb 周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)2021/8/613 周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù))()(tftf下形式在一個(gè)周期內(nèi)可寫為如42424442442TtTtTTtTtTTtTtTt)(tfT2T4T12T0cos)42(cos4cos)42(2cos)(2124144142221tdtntTtdtntTtdtntTTtd

10、tntfTaTTTTTTTTn出其頻譜圖求其傅立葉展開式并畫形如圖所示，有一奇諧函數(shù)，其波例3解解: :2021/8/614sin)42(sin44)2(sin)(41241401120tdtntTtdtntTTTtdtntfTbTTTTn?nnnn0) 1(821222sin8cos4)sin)(1cos()sin)(1cos(16222411241211140121112nntnTntnntnnttnntnntTTTTTT 周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)2021/8/615 周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)、 21211821212jtTnntfjnnsin)()(280

11、11nA298225813152021/8/6164T2TTtE)(tf00)23sin2(sin)2sin143sin14sin1(2)coscos(21111114321401nnnETnnTnnTnnTEtdtnEtdtnETaTTTn出其頻譜圖求其傅立葉展開式并畫形如圖所示，有一偶諧函數(shù)，其波例4解解: : 周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)2021/8/617、 212sin12)(2jtTnnEtfjn)cos1 ()cos23cos12(cos)sinsin(24321401nnEnnnnEtdtnEtdtnETbTTTn為偶數(shù)為奇數(shù)nnEn20E012nA2E3E1416

12、 周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)2021/8/618周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜 為了能既方便又明白地表示一個(gè)信號(hào)中包含有哪些頻率分量，為了能既方便又明白地表示一個(gè)信號(hào)中包含有哪些頻率分量，各分量所占的比重怎樣，就采用了稱為頻譜圖的表示方法。各分量所占的比重怎樣，就采用了稱為頻譜圖的表示方法。一、一、 頻譜圖的概念頻譜圖的概念由上一節(jié)知周期信號(hào)由上一節(jié)知周期信號(hào)f f（t t）可用付里葉級(jí)數(shù)來表示。）可用付里葉級(jí)數(shù)來表示。110)cos(2)(nnntnAatf或或njnntjnneAFetf21F)(1n相位頻譜的關(guān)系圖（線圖）與幅度頻譜的關(guān)系圖（線圖）與11nnAnn 周期信號(hào)的

13、傅立葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)2021/8/619二二 、典型周期信號(hào)的頻譜、典型周期信號(hào)的頻譜周期矩形脈沖信號(hào)F（t）22TtT：脈沖周期：脈沖寬度A：脈沖幅度第一步：首先展開為三角形式的傅立葉級(jí)數(shù)f(t)是偶函數(shù)bn=0AT222222)(20TAAdtTdttfTTTa12T：三角函數(shù)公共周期 周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)2021/8/620)(2sin2sin2cos)(2122TnSaTATnTnTATnnAtdtntfTTTna第二步：展成指數(shù)形式付里葉級(jí)數(shù)第二步：展成指數(shù)形式付里葉級(jí)數(shù)FSFS)cos()(2)(11tnTnSaTATAtfn )cos()2(2111

14、tnnSaTATAn)2(11221nSaTAdtATeFtjnnetjnnnSaTAtf1)2()(1 函數(shù)的公共周期稱為三角:21 Tsin()()tf tS tt 周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)2021/8/621當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)第三步：頻譜分析第三步：頻譜分析)(2)2(2122TnSaTAnSaTAabaAnnnnAn與與之比值有關(guān)，取之比值有關(guān)，取 T)()2(1TnSaTAnSaTAFn51TAnFn與與包絡(luò)線均為包絡(luò)線均為)2(1 nSa1 n為離散頻率為離散頻率n,.2,20)2(Sa即即n2,.4,20)2(Sa 周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)2021/8/6

15、22計(jì)算第一個(gè)振幅為零的諧波次數(shù)計(jì)算第一個(gè)振幅為零的諧波次數(shù)n n)51(5222211 TTnTnTn 取即帶入得將令1 TA22412 13 14 15 An幅度頻譜圖幅度頻譜圖2431tttSasin)(抽樣函數(shù)234 周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)2021/8/623abtgnnn10 an00an)2(221nSaTAFeAAnjNnn&n0)2(1 nSa0)2(1 nSa0Fn0Fn0即即?eFnjnnA21015n相位頻譜圖相位頻譜圖16110 周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)2021/8/6241 2412 13 14 15 Acnn21TA24-第

16、四步：討論頻譜結(jié)構(gòu)與第四步：討論頻譜結(jié)構(gòu)與 、T T 的關(guān)系的關(guān)系T01 0TAT 21 TA當(dāng)非周期信號(hào)連續(xù)頻率1 n非周期信號(hào)連續(xù)頻譜 此例中此例中 為一實(shí)數(shù)。幅度頻譜與相位頻譜可以合為一實(shí)數(shù)。幅度頻譜與相位頻譜可以合畫在一張圖上。畫在一張圖上。)2(nSaTAFn110 周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)2021/8/6255T10T 周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)2021/8/626對(duì)于一般頻譜，常以對(duì)于一般頻譜，常以0 0頻率開始頻率開始 振幅將為包絡(luò)線振幅將為包絡(luò)線最大值的最大值的1/101/10的頻率之間的頻帶定義為信號(hào)的頻帶寬度的頻率之間的頻帶定義為信號(hào)的頻帶寬度2.2.當(dāng)當(dāng)T T不變，不變， 減小時(shí)減小時(shí)TAT T不變不變間隔不變間隔不變振幅為振幅為0 0的諧波頻率的諧波頻率1BfBf2B,.,423.3.頻帶寬度的定義頻帶寬度的定義對(duì)于周期矩形信號(hào)，一般對(duì)于周期矩形信號(hào)，一般或周期矩形信號(hào)的時(shí)間特性周期矩形信號(hào)的時(shí)間特性：f(t)變化快 f(t)變化慢頻率特性：頻率特性：變化快的信號(hào)必然具有較寬的頻帶。變化快的信號(hào)必然具有較寬的頻帶。T 21 B 周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)2021/8/627周期信號(hào)的頻譜特點(diǎn)周期信號(hào)的頻譜特點(diǎn)(1)(1)離散性離散性譜線是離散的而不是連續(xù)的，譜線之間譜線是離散的