空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

1、第八章立體幾何初步 第1課時(shí) 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系對應(yīng)學(xué)生用書（文）9799頁（理）99101頁' " 墀前"考點(diǎn)引領(lǐng)八考情分析考點(diǎn)新知理解空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系；會用數(shù)學(xué)語言規(guī)范的表述空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系.了解公理1、2、3及公理3的推論1、2、3,并能正確判定；了解平行公理和等角定理.理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義， 能判定空間兩直線的位置關(guān)系；了解異面直 線所成角.1 .（原創(chuàng)）已知點(diǎn)P、Q,平面”,將命題“PC % Q? 訂 PQ?改成文字?jǐn)⑹鍪谴鸢福喝酎c(diǎn)P在平面a內(nèi)，點(diǎn)Q不在平面a內(nèi)，則直線PQ不在平面a內(nèi).解析：正確理解符號語言表達(dá)空

2、間點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系，能正確進(jìn)行自然語言、 圖形語言和符號語言的相互轉(zhuǎn)化.2 .（原創(chuàng)）有下列命題：空間四點(diǎn)共面，則其中必有三點(diǎn)共線； 空間四點(diǎn)不共面，則 其中任何三點(diǎn)不共線； 空間四點(diǎn)中有三點(diǎn)共線， 則此四點(diǎn)共面；空間四點(diǎn)中任何三點(diǎn)不 共線，則此四點(diǎn)不共面.其中正確的命題是 （填序號）答案：解析：只須四點(diǎn)共面，任何三點(diǎn)不必共線；正確；錯(cuò)誤.3 .（必修2P28習(xí)題1改編）在正方體 ABCDA1BCD1中，與AD1平行的對角線有 條.答案：1解析：與AD1平行的對角線僅有1條，即BC1.4 .（必修2P31練習(xí)12改編）如圖所示，在三棱錐 ABCD中，E, F, G, H分別是棱AB,

3、BC, CD, DA的中點(diǎn)，則（1）當(dāng)AC, BD滿足條件 ，四邊形EFGH為菱形；（2）當(dāng)AC, BD滿足條件 ，四邊形EFGH是正方形.答案：AC= BD AC=BD且 ACBD解析：易知 EH/ BD/ FG,且 EH=-BD=FG,同理 EF/ AC/ HG,且 EF="AC = HG, 22顯然四邊形EFGH為平行四邊形.要使平行四邊形 EFGH為菱形需滿足 EF= EH,即AC= BD; 要使四邊形 EFGH為正方形需滿足 EF= EH且EH EH,即AC= BD且AC, BD.5 .（必彳2P24練習(xí)3改編）設(shè)P表示一個(gè)點(diǎn)，a, b表示兩條直線，“、3表示兩個(gè)平面， 給

4、出下列四個(gè)命題，其中正確的命題是 （填序號） PC a, PC aT a i a ； an b=P, b i q a i 3 ；D a / b, a i a , P b, PC “T bi”； “net, pc a , pc 3T pc b.答案：解析：當(dāng)an a= P時(shí)，PC a , PC a ,但a? a ,錯(cuò)；an 3= P時(shí)，錯(cuò)；如圖，a/b, PCb,P? a, 由直線a與點(diǎn)P確定唯一平面 o又a/b,由a與b確定平面丫，但丫經(jīng)過直線a與點(diǎn)P,丫與“重合， b 1 a ,故正確；兩個(gè)平面的公共點(diǎn)必在其交線上，故 正確.、知識清單1 .公理1:如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這

5、條直線上所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi).公理2:如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其他的公共點(diǎn)，這些公共點(diǎn)的集合 是一條直線.公理3:經(jīng)過不在同一直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.推論1:經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.推論2:經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面.推論3:經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面.2 .空間兩條直線的位置關(guān)系位直大系共面情況公共點(diǎn)個(gè)數(shù)相交直線在向T囿內(nèi)1平行直線在同T囿內(nèi)沒有異囿直線不同在任何一個(gè)平囿內(nèi)沒有3 .平行直線的公理及定理(1)公理4:平行于同一條直線的兩條直線平化(2)定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行九縣方向相同，那么這兩個(gè)角 相等

6、.備課札記咪中技巧點(diǎn)撥精通題型i 平面的基本性質(zhì)例I 畫一個(gè)正方體 ABCDAiBiCiDi,再畫出平面 ACDi與平面BDCi的交線，并且說明理由.i、EC AC、EC 平面 ACDi、EC BD、EC 平面 BDCi、FC DCi、解：FC CDi、 FC 平面 ACD FC平面DCB,則EF為所求.備選變式(教師專享)在長方體ABCDAiBiCiDi的AiCi面上有一點(diǎn)P(如圖所示，其中P點(diǎn)不在對角線 BiDi)上. (1)過P點(diǎn)在空間作一直線1,使1/直線BD,應(yīng)該如何作圖？并說明理由；兀(2)過P點(diǎn)在平面AiCi內(nèi)作一直線 m,使m與直線BD成口角，其中厭0,-,這樣的直線有幾條，應(yīng)

7、該如何作圖？圖解：(i)連結(jié)BiDi, BD,在平面AiCi內(nèi)過P作直線1,使l/ BDi,則l即為所求作的直 線，如圖(a). BiDi / BD,(2) BD / BiDi, 直線m與直線BD也成“角，即直線m為所求作的直線，如圖(b).由兀圖知m與BD是異面直線，且 m與BD所成的角 延0, £ .當(dāng)a=兀,這樣的直線 m有且只有一條，當(dāng) 井£時(shí)，這樣的直線 m有兩條.圖(b)題型2共點(diǎn)、共線、共面問題例2)如圖，四邊形ABEF和ABCD都是直角梯形，/ BAD=Z FAB= 90 ° BC/I =21AD, BE/ =,FA, G、H 分別為 FA、FD

8、的中點(diǎn).(1)證明：四邊形 BCHG是平行四邊形.(2) C、D、F、E四點(diǎn)是否共面？為什么？11(1)證明：由已知 FG=GA, FH= HD,可得 GH/=AD.又 BC/=2AD, ， GH/=BC.， 四邊形BCHG為平行四邊形.1(2)解：(解法1)由BE/ =2AF, G為FA中點(diǎn)知，BE/ =FG ,， 四邊形BEFG為平行四 邊形.EF/ BG.由知 BG/CH,， EF/ CH,. EF與 CH 共面.又 D C FH,， C、 D、F、E四點(diǎn)共面.1(解法2)如圖，延長 FE、DC分別與AB交于點(diǎn) M、M: BE/ =_AF, z. B為MA 中占1BC/ =2AD,B為

9、MA 中點(diǎn).M 與 M '重合，即 FE 與 DC 交于點(diǎn) M(M).C、D、F、E四點(diǎn)共面.變式訓(xùn)練如圖，在正方體 ABCD A1B1CD1中，對角線 AC與平面 BD。交于點(diǎn) O, AC、BD交于 點(diǎn)M, E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為AA1的中點(diǎn).求證：(1) C、O、M三點(diǎn)共線；(2) E、C、D1、F四點(diǎn)共面.證明：(1) C1、O、MC平面BDC1,又C1、O、MC平面A1ACC,由公理2知，點(diǎn) C1、O、M在平面BDC1與平面 A1ACC1的交線上，C1、O、M三點(diǎn)共線.(2)連結(jié) EF,A、B、C、D, E、F 分別是 AB,NA的中點(diǎn)，EF/ ABAB/ CD1,EF/ CD1

10、.1. E、C、D1、F 四點(diǎn)共面.題型3 空間直線位置關(guān)系問題例3 已知A是 BCD平面外的一點(diǎn)，E, F分別是BC, AD的中點(diǎn).(1)求證：直線EF與BD是異面直線；(2)若ACXBD, AC=BD,求EF與BD所成的角.(1)證明：假設(shè)EF與BD不是異面直線，則 EF與BD共面，從而DF與BE共面，即AD 與BC共面，所以A、B、C、D在同一平面內(nèi)，這與 A是 BCD平面外的一點(diǎn)相矛盾.故直 線EF與BD是異面直線.(2)解：取CD的中點(diǎn)G,連結(jié)EG FG,則EG/ BD,所以相交直線EF與EG所成的角，1即為異面直線 EF與BD所成的角.在 RtEGF中，由EG= FG= 2AC,求

11、得/ FEG= 45° ,即 異面直線EF與BD所成的角為45°.備選變式(教師專享)已知四棱錐PABCD的頂點(diǎn)P在底面的射影恰女?是底面菱形ABCD的兩條對角線的交點(diǎn)，若AB=3, PB= 4,則PA長度的取彳1范圍為 答案：昕5)解析：由題意知 POL平面 ABCD, AB=3, PB=4,設(shè) PO= h, OB = x,貝U PA2=h2+9 x2= 16 x2x2+9=25 2x2,因?yàn)?0<x<3 ,所以 7<25 - 2x2<25 ,所以巾<PA<5.' 新般推薦-1 .(2013福州檢測)給出下列四個(gè)命題： 沒有公共

12、點(diǎn)的兩條直線平行；互相垂直的兩條直線是相交直線；既不平行也不相交的直線是異面直線； 不同在任一平面內(nèi)的兩條直線是異面直線.其中正確命題是 (填序號)答案：解析：沒有公共點(diǎn)的兩條直線平行或異面， 故命題錯(cuò)；互相垂直的兩條直線相交或異 面，故命題錯(cuò)；既不平行也不相交的直線是異面直線， 不同在任一平面內(nèi)的兩條直線是異 面直線，命題、正確.2 .下列命題錯(cuò)誤的是 (填序號) 如果平面平面3,那么平面a內(nèi)一定存在直線平行于平面3；如果平面a不垂直于平面3,那么平面a內(nèi)一定不存在直線垂直于平面3； 如果平面0a平面 飛 平面 口平面丫，a n 3 4,那么直線l,平面丫, 如果平面平面3,那么平面a內(nèi)所有

13、直線都垂直于平面3答案：解析：根據(jù)長方體模型可知，是錯(cuò)的.3 .如圖是正四面體的平面展開圖，G, H, M, N分別為DE, BE, EF, EC的中點(diǎn)，在這個(gè)正四面體中：& H UN tGH與EF平行；BD與MN為異面直線；GH與MN成60°角；DE與MN垂直.以上四個(gè)命題中，正確命題的是 (填序號)答案：解析：還原成正四面體知 GH與EF為異面直線，BD與MN為異面直線，GH與MN成 60° 角，DEXMN.4 .若直線l不平行于平面 “且1? ”，則下列命題正確的是 (填序號)”內(nèi)的所有直線與1異面；a內(nèi)不存在與1平行的直線；a內(nèi)存在唯一的直線與1平行；a內(nèi)的

14、直線與1都相交.答案：5 .從正方體ABCD AiBiCiDi的8個(gè)頂點(diǎn)中任意取4個(gè)不同的頂點(diǎn)，這4個(gè)頂點(diǎn)可能是： (1)矩形的4個(gè)頂點(diǎn)；(2)每個(gè)面都是等邊三角形的四面體的4個(gè)頂點(diǎn)；(3)每個(gè)面都是直角三角形的四面體的4個(gè)頂點(diǎn)；(4)有三個(gè)面是等腰直角三角形，有一個(gè)面是等邊三角形的四面體的4個(gè)頂點(diǎn).其中正確的結(jié)論有答案：4解析：四邊形ABCD適合(1),四面體ACB1D1適合(2), DB1C1D1適合(3), DA1C1D1適合(4), 因此正確的結(jié)迨有 4個(gè).一力造般醛UH喀506 .若空間中有兩條直線，則“這兩條直線為異面直線”是“這兩條直線沒有公共點(diǎn) ”的條件.(填“充分不必要”、“

15、必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”)答案：充分不必要解析：若兩條直線無公共點(diǎn)，則兩條直線可能異面，也可能平行.若兩條直線是異面直線，則兩條直線必?zé)o公共點(diǎn).7 . (2013南昌*II擬)若P是兩條異面直線1、m外的任意一點(diǎn)，則下列命題中假命題的是條直線與條直線與條直線與條直線與1、m都平行;1、m都垂直;1、m都相交;1、m都異面. (填序號)過點(diǎn)P有且僅有過點(diǎn)P有且僅有過點(diǎn)P有且僅有過點(diǎn)P有且僅有答案：解析：是假命題，因?yàn)檫^點(diǎn)P不存在一條直線與1、m都平行；是真命題，因?yàn)檫^點(diǎn)P有且僅有一條直線與1、m都垂直，這條直線與兩異面直線的公垂線平行或重合；是假命題，因?yàn)檫^點(diǎn) P也可能沒有一

16、條直線與1、m都相交；是假命題，因?yàn)檫^點(diǎn) P可以作 出無數(shù)條直線與1、m都異面，這無數(shù)條直線在過點(diǎn) P且與1、m都平行的平面上.8 .如圖，在四面體 ABCD中作截面PQR,若PQ、CB的延長線交于 M, RQ、DB的延 長線交于N, RP、DC的延長線交于 K.求證：M、N、K三點(diǎn)共線.證明： M PQ,直線 PQ 1平面PQR, M BC,直線 BC i平面BCD, z. M是平 面PQR與平面BCD的一個(gè)公共點(diǎn)，即 M在平面PQR與平面BCD的交線l上.同理可證：N、K也在l上.M、N、K三點(diǎn)共線.9 .已知：a、b、c、d是不共點(diǎn)且兩兩相交的四條直線，求證：a、b、c、d共面.證明：證

17、法1:若當(dāng)四條直線中有三條相交于一點(diǎn)，不妨設(shè) a、b、c相交于一點(diǎn)A, 直線d和A確定一個(gè)平面 o又設(shè)直線d與a、b、c分別相交于 E、F、G,則A、E、F、GC仁： A、EC a, A、EC a, /. a a.同理可證 b i a , c i a. a、b、c、d 在同一平面 a 內(nèi).證法2:當(dāng)四條直線中任何三條都不共點(diǎn)時(shí)，如圖. 這四條直線兩兩相交，則設(shè)相 交直線a、b確定一個(gè)平面 a設(shè)直線c與a、b分別交于點(diǎn)H、K,則H、KC a又H、KC c, c 1 a.同理可證 d 1 a.-. a、b、c、d四條直線在同一平面 a內(nèi).1 .證明點(diǎn)線共面的常用方法：一是依據(jù)題中所給條件先確定一個(gè)平面,然后證明其余 的點(diǎn)或線都在面內(nèi)；二是將