第七章平面向量

1、金州數(shù)學(xué)提高班興義民族師范學(xué)院數(shù)學(xué)系胡其明編輯整理第七章 平面向量考綱導(dǎo)讀1 .理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念.2 .掌握向量的加法和減法的運(yùn)算法則及運(yùn)算律.3 .掌握實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算法則及運(yùn)算律，理解兩個(gè)向量共線的充要條件.4 . 了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐標(biāo)的概念，掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算.5 .掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長度、角度 和垂直的問題，掌握向量垂直的條件.6 .掌握平面兩點(diǎn)間的距離公式以及線段的定比分點(diǎn)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，并且能熟練運(yùn)用；掌握 平移公式.7 .掌握正、余弦定理，并能初步運(yùn)用它們解斜三角形

2、.向量由于具有幾何形式與代數(shù)形式的雙重身份”，使它成為中學(xué)數(shù)學(xué)知識的一個(gè)交匯點(diǎn),成為多項(xiàng)內(nèi)容的媒介.主要考查：1 .平面向量的性質(zhì)和運(yùn)算法則，共線定理、基本定理、平行四邊形法則及三角形法則.2 .向量的坐標(biāo)運(yùn)算及應(yīng)用.3 .向量和其它數(shù)學(xué)知識的結(jié)合.如和三角函數(shù)、數(shù)列、曲線方程等及向量在物理中的應(yīng)用.4 .正弦定理、余弦定理及利用三角公式進(jìn)行恒等變形的能力.以化簡、求值或判斷三角形的 形狀為主.解三角形常常作為解題工具用于立體幾何中的計(jì)算或證明.第1課時(shí)向量的概念與幾何運(yùn)算基礎(chǔ)過關(guān)1 .向量的有關(guān)概念既有 又有 的量叫向量.的向量叫零向量.的向量，叫單位向量. 叫平行向量，也叫共線向量.規(guī)定零

3、向量與任一向量 .且 的向量叫相等向量.2 .向量的加法與減法 求兩個(gè)向量的和的運(yùn)算，叫向量的加法.向量加法按 法則或法則進(jìn)行.加法滿足 律和 律. 求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，叫向量的減法.作法是將兩向量的 重合，連結(jié)兩向量的,方向指向.3 .實(shí)數(shù)與向量的積 實(shí)數(shù)兒與向量a的積是一個(gè)向量，記作 九a.它的長度與方向規(guī)定如下： | a a |=-當(dāng)九0時(shí)，兒a的方向與a的方向;當(dāng)九V 0時(shí)，九a的方向與a的方向;當(dāng)，一 =0時(shí)，九a.？（ g） =（九+ w a =-Ma + b）=. 共線定理：向量b與非零向量a共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)入使得.4. 平面向量基本定理：如果 向、e2是同一平面

4、內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量，那么對于這一平 面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對實(shí)數(shù) 為、抽，使得. 設(shè)0、e2是一組基底，a = xiei+丫，b = x?ei +y?e2 ,則a與B共線的充要條件 是.典型例題例1.已知 ABC中，D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn).設(shè)AB =a , aC =b，求BE .解：Be = ae-Ab = 1（Ab + aC）-aB= - - a 441 .+ 4b變式訓(xùn)練1.如圖所示，D是 ABC邊AB上的中點(diǎn)，則向量 CD等于（）1 - D . BC + - BA 2解:A例2.已知向量a=2ei_3e2, b=2e!+3e2,c =2e1_9e2,其中el、e2不共線，

5、求實(shí)數(shù) 九、N ,使c =A1a +Mb .解：c=入a+ 疝=2易9e2=(2升2ei + (3入+ 3科屆=2計(jì)2尸2,且一3入+ 3一9=：入 =2,且(1= 一 1變式訓(xùn)練2:已知平行四邊形 ABCD的對角線相交于。點(diǎn)，點(diǎn)P為平面上任意一點(diǎn)，求證：PA PB PC PD =4PO證明 pA + PC = 2 pO , pB + pD = 2 pO, = pA + pB + pC + pD = 4 pO例3.已知ABCD是一個(gè)梯形，AB、CD是梯形的兩底邊，且 AB = 2CD, M、N分別是DC和AB的中點(diǎn)，若 AB =*，AD =b ,試用 a、 b表示BC和MN .解： 連 NC

6、,貝U NC =AD =b MN =MC MN JAB+CN =1a-b ; BC = NC _NB =b - a 442變式訓(xùn)練3:如圖所示，OADB是以向量OA= a , OB = b為鄰邊的平行四邊形，又麗=BC ,3CN = 1 CD ,試用 a、b 表示 OM , ON , MN . 3解：0M = - a + b , ON = - a + b ,6633MN = 1 a 1 b26例4.設(shè)a, b是兩個(gè)不共線向量，若a與b起點(diǎn)相同，"巳t為何值時(shí)，a，tb，3(a+b)三向量的終點(diǎn)在一條直線上?5、e-一一12一1一一解：設(shè) atb =九a(a+b) ( £ C

7、 R)化簡整理得：(九1)a+(t 九)b =0333a與b不共線，第-31 -頁共27頁1 一 p ' 1 ,=d,OE故t G時(shí)，a,tb,3(a+b)三向量的向量的終點(diǎn)在一直線上.=e,設(shè) tw R,如果 3a =c,2b = d,變式訓(xùn)練 4：已知 OA=a,OB' = b,OC =c,ODe=t(a+b),那q為耳值V，f,Da J點(diǎn)彳二斜直線上？.解：由題設(shè)知，CD =d c = 2b3a,CE = e=(t 3萬+中，f, D,E.點(diǎn)條 直線上的充要條件是?在實(shí)數(shù)k ,使得CE = kCD ,即(t -3)a+tb = -3ka+2kb ,整理得(t -3 3k)

8、a =(2k -t)b .若a,b共線，則t可為任意實(shí)數(shù)；t 3 3k =06右a,b不共線，則有,解之得，t = .t -2k =05綜上，a,b共線時(shí)，則t可為任意實(shí)數(shù)；a,b不共線時(shí)，t=9. 5小結(jié)歸納1 .認(rèn)識向量的幾何特性.對于向量問題一定要結(jié)合圖形進(jìn)行研究.向量方法可以解決幾何中 的證明.2 .注意O與O的區(qū)別.零向量與任一向量平行.3 .注意平行向量與平行線段的區(qū)別.用向量方法證明 AB / CD,需證 如/ CD ,且AB與CD不共線.要證 A、B、C三點(diǎn)共線，則證 AB / AC即可.4 .向量加法的三角形法則可以推廣為多個(gè)向量求和的多邊形法則，特點(diǎn)：首尾相接首尾連；向量減

9、法的三角形法則特點(diǎn)：首首相接連終點(diǎn).第2課時(shí)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算基礎(chǔ)過關(guān)1 .平面向量的坐標(biāo)表示分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量 了、j作為基底，對于一個(gè)向量 a,有且只有一對實(shí)數(shù)x、y,使得a = x+y j.我們把（x、y）叫做向量a的直角坐標(biāo)，記作 .并 且 | a |=.2 .向量的坐標(biāo)表示與起點(diǎn)為 的向量是對應(yīng)的關(guān)系.3 .平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：右 a = （x1、yi）, b = （x2、y2）,入C R,則：a + b =-ra b =入a =已知 A（x1、yi）, B（x2、y2）,則 AB =.4.兩個(gè)向量a = （xi、yi）和b = （x2、y2）共線的充要條件是

10、.典型例題例1.已知點(diǎn)A （2, 3）, B （-1, 5）,且AC = 1 AB ,求點(diǎn)C的坐標(biāo). 3解 AC = 1AB=（12）OC = Oa+Ac=（1, 口），即 c（1, 11）3'333 '、一4 3T4, 1 T變式訓(xùn)練 1.若 OA=（2,8）, OB =（7,2）,則 1AB =3T T解：（3,2）提示：AB =OB OA = （9, 6）例 2.已知向量 a = (cos , sin B), b = (cos § ,3.-cos(sin-1), 口 b |= 25 ,求 cos( k 3 的值.變式訓(xùn)練 2.已知 a 2b = ( 3, 1),

11、 2a+b=( 1, 2),求 a + b .解 a =(-1, 1), b =(i, o),a+b =(o, i)例 3.已知向量 a = (1,2), b = (x, 1), el = a + 2 b , £=25b,且后/而，求 x.解：el = (1 + 2x, 4), e2 = (2-x, 3),局 / e2 = 3(1 + 2x) =4(2x)= x=；變式訓(xùn)練 3.設(shè) a = (ksin 0 , 1) b = (2 cos 0 , 1) (0 < <5)/6,求證：k >73 .c .22cos(1-二)證明：k= 2-cos'k- 73 =3

12、- > o k>；3sin【sin1例4.在平行四邊形 ABCD中，A(1, 1), AB=(6, 0),點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，線段 CM與BD交于點(diǎn)P.(1)若AD=(3, 5),求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)當(dāng)|而|=|而|時(shí)，求點(diǎn)P的軌跡.解：(1)設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x°, y°),AC =AD DB =(3,5) (6,0) =(9,5) =(x°，yo-5)得 xo=1O yo=6 即點(diǎn) C(10, 6)，、一2.，、2-，.，、(2) AB = AD .,點(diǎn) D 的軌跡為(x1) +(y1) = 36 (yw1) M為AB的中點(diǎn) P分BD的比為-2設(shè)

13、P(x, y),由 B(7 , 1) 則 D(3x-14, 3y-2) 點(diǎn)P的軌跡方程為(xf)2十y1)2 =4(y=1)變式訓(xùn)練4.在直角坐標(biāo)系x、y中，已知點(diǎn)A(0, 1)和點(diǎn)B(-3, 4),若點(diǎn)C在/ AOB的平分 線上，且|OC|=2,求玩的坐標(biāo).解 已知 A (0, 1), B ( 3, 4)設(shè) C (0, 5),D (-3, 9)則四邊形OBDC為菱形 Z AOB的角平分線是菱形 OBDC的對角線ODOD =3師 OC =2一 2 一 . OC = OD =(3.103 10)5小結(jié)歸納1 .認(rèn)識向量的代數(shù)特性.向量的坐標(biāo)表示，實(shí)現(xiàn)了形”與數(shù)”的互相轉(zhuǎn)化.以向量為工具,幾何問題

14、可以代數(shù)化，代數(shù)問題可以幾何化.2 .由于向量有幾何法和坐標(biāo)法兩種表示方法，所以我們應(yīng)根據(jù)題目的特點(diǎn)去選擇向量的表示 方法，由于坐標(biāo)運(yùn)算方便，可操作性強(qiáng)，因此應(yīng)優(yōu)先選用向量的坐標(biāo)運(yùn)算.第3課時(shí)平面向量的數(shù)量積基礎(chǔ)過關(guān)1.兩個(gè)向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量a 和 b ,過 O 點(diǎn)作 OA = a , OB = b，則/ AOB = 0(0° wew 18瞰向)量a與b的.當(dāng)9=。°時(shí)，a與b；當(dāng)9= 180°時(shí)，a與b；如果a與b的夾角是9。°,我們說a與b垂直，記作.2 .兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義：已知兩個(gè)非零向量a與b,它們的夾角為 a則數(shù)量 叫做a與b的

15、數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a b,即a b =.規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為 0 .右 a = (x 1, yi) , b =(X2, y2),則 a ,b =.3 .向量的數(shù)量積的幾何意義：向cos明做向量b在a方向上的投影 (泥向量a與，的夾角).a b的幾何意義是，數(shù)量a m等于.4 .向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)a、b都是非零向量，e是單位向量，。是a與b的夾角.(1) e = a e = a ± b 當(dāng)a與b同向時(shí)，a i =；當(dāng)a與b反向時(shí)，a石=.4 4) cos 9=. | a -b | <5 .向量數(shù)量積的運(yùn)算律：(1) a -b =；(Za ) b = a (bN(a

16、 + b) c =典型例題例 1.已知 |3|=4, |，|=5,且 a 與 b 的夾角為 例。,求：(2 a + 3b) (3 a 2b).解:(2a +3b)(3a -2b)=- 4變式訓(xùn)練i.已知iai=3,向=4, ia + b|=5,求函一3b|的值.解：6、5例 2.已知向量 a = (sin 日，1), b = (1, cos9), - - <0< 22若a±b,求日；(2)求ia + b|的最大值.解：(1)若 a_l_b ,則 sine 4cos日=0即tang=而g W(上一)，所以g = 2 2-4(2) a +b =q 3 +2(sin - +co

17、sg) =/ 3+22 sin(Q+-)當(dāng)日j時(shí)，a +b的最大值為顯* 4THecr,變式訓(xùn)練 2：已知 a =(cosot,sin 口)，b = (cosP,sin P),其中 0 <ot < P <n .一 彳， 4 r一(1)求證：a+b與a-b互相垂直； (2)若k#b與a-k b的長度相等，求 Pa的值(k為非零的常數(shù)).證明： 7 (a b) (a' -b); a2 -b2 二(cos2 工" sin2 ： ) - (cos2 : sin2 ：) = 0彳 J 、二a+b與a-b互相垂直(2)ka b = (kcos_： cos :,ksin

18、一:： sin :),T T_口a -k b =(cos<- -k cos ： ,sin 二 一ksin :),k a +b| = 4k2 +1 +2kcos( 口 一口), a - kb = Jk2 +1 -2k cos(口 一*),而.k2 1 2kcos(: -二)=k2 1 2kcos( - 二)cos(0 a) =00 a =二2例3.已知O是 ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足(麗 -OC) (OB + OC 2OA) = 0,判斷 ABC 是哪類三角形.解:設(shè) BC 的中點(diǎn)為 D,貝U(oBoC)(oB+oC 2oA)=0=2BC= 0= BC,ADn ABC 是等腰三角形變式訓(xùn)

19、練3:若A(1,2), B(2,3), C(2,5),則4 ABC的形狀是. T T T T T解：直角三角形.提示：AB =(1,1),AC =(3,3), AB AC =0,AB_L AC例 4.已知向量 m = (cos 0 , sin 和0n)=(北sin 0 , cos 0 9c (兀，2 且|)m+n |=史2 ,求5cos(-1號)的值.解：m +n = (cos 0- sin 0+ J2 , cos 0+ sin 0)由已知(cos 0- sin 0+ &)2+ (cos 0+ sin 0)2= 128化簡：cos(. -)4(兀，21cose 7) _16 2-25、

20、. A兀). cos (-|1 cos(.-r：產(chǎn))髀 416二25cos(2+11 -cos(:工一)_ 16一 25 f 一 41.3 變式訓(xùn)練4.平面向量a =(J3, _1),b =(,一),若存在不同時(shí)為 0的實(shí)數(shù)k和t,使2 2-2 /1 2J 144 .x=a+(t 3)b , y =卜9+七，且X_1%，試求函數(shù)關(guān)系式 k=f(t).一,-41344解：由 a =(Q, 1),b =(,必)得 a b=0,|a|=2,|b| = 12 242 T 44蟲442Tm 2,2a (t -3)b (-ka tb)=0,-ka ta b-k(t -3)a b t(t -3)b =031

21、3_13-4k t3 -3t -0,k (t3 -3t), f (t) (t3 -3t) 44小結(jié)歸納1 .運(yùn)用向量的數(shù)量積可以解決有關(guān)長度、角度等問題.因此充分挖掘題目所包含的幾何意義，往往能得出巧妙的解法.2 .注意a b與ab的區(qū)別.ab=04a = 0 ,或b=0.3 .應(yīng)根據(jù)定義找兩個(gè)向量的夾角。對于不共起點(diǎn)的兩個(gè)向量，通過平移，使起點(diǎn)重合.第4課時(shí)線段的定比分點(diǎn)和平移基礎(chǔ)過關(guān)1,設(shè)P1P2是直線L上的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是L上不同于P1、P2的任意一點(diǎn)，則存在一個(gè)實(shí)數(shù)入使而=入昭,人叫做.2.設(shè)P1 (x1、y1)，P2(X2、y2),點(diǎn)P (x、y)分rp2的比是入時(shí)，定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式為:

22、,中點(diǎn)坐標(biāo)公式：。3.平移公式：將點(diǎn)P(x、y)按向量a = ( h、k)平移得到點(diǎn) P'( x',y'),則典型例題例1.已知點(diǎn)A( 1, 4), B(5, 2),線段AB上的三等分點(diǎn)依次為Pi、P2,求Pi、P2的坐標(biāo)及A、B分匣所成的比.解 Pi(x 2) P2(3, 0) (2) 2，2變式訓(xùn)練1.設(shè)|AB| = 5,點(diǎn)p在直線AB上，且|PA|=1,則p分AB所成的比為 .解：或 46例2.將函數(shù)y = 2sin(2x+且)+ 3的圖象C進(jìn)行平移后彳#到圖象 C',使C上面的一點(diǎn)P(三、662)移至點(diǎn)P' (、1),求圖像C對應(yīng)的函數(shù)解析式.解

23、：C': y = 2sin(2x +2)+2變式訓(xùn)練2：若直線2xy+c=0按向量a =(1, 1)平移后與圓x2+y2=5相切，則c的值為 ()A . 8 或2B. 6 或4C. 4 或6D. 2 或8解：A例 3.設(shè)a=(sinx1, cosx - 1), b y苧，222 , f(x)=ab,且函數(shù) y=f (x)的圖象是由 y= sinx 的圖象按向量C平移而得，求c.解：C =(一日 +2k n- -T2 ) (k C z)變式訓(xùn)練3:將y = sin2x的圖象向右按a作最小的平移，使得平移后的圖象在k計(jì) , k +兀(ke Z)上遞減，則a=解：(工，0)4例4.已知 AB

24、C的頂點(diǎn)A(0、0), B(4、8), C(6、一4),點(diǎn)M內(nèi)分 而所成的比為3, N是AC邊上的一點(diǎn)，且 AMN的面積等于 ABC的面積的一半，求 N點(diǎn)的坐標(biāo).解:由 S&mn _|AM | |AN |_'S.ABC - | AB| | AC |2得.=AN =2|AC| 3NC N(4, - 8)3變式訓(xùn)練4.已知 ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為 A (1, 2), B (4, 1), C (3, 4).求AB邊上的中線 CM的長及重心 G的坐標(biāo)；(2)在AB上取一點(diǎn)P,使過P且平行于BC的直線PQ把4ABC的面積分成4： 5兩部分(三 角形面積：四邊形面積)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)解: CM

25、= G(4，5)P(3, )23 33小結(jié)歸納1 .在運(yùn)用線段定比分點(diǎn)公式時(shí)，首先要確定有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)和分點(diǎn)，再結(jié)合圖形確定 分比九.2 .平移公式反映了平移前的點(diǎn)P（x、y）和平移后的點(diǎn)P'（x'、y'）,及向量&=（h, k）三者之間的關(guān)系.它的本質(zhì)是pp' = a.平移公式與圖象變換法則，既有區(qū)別又有聯(lián)系，應(yīng)防止混淆.平面向量章節(jié)測試題一、選擇題1 .若 A (2, -1), B (-1, 3),則 AB 的坐標(biāo)是 ()A. (1, 2)B. (-3, 4)C. (3, -4)2 .與a= (4, 5)垂直的向量是 ()_ 54A. (-5k

26、,4k)B. (-10, 2)C.(-,-)k k3 . 4ABC 中，BC =a, AC、b,則 AB等于()A.a+bB.-(a+b)C.a-b4 .化簡 2(ab)l(2a+4b)+2(2a+13b)的結(jié)果是()5 315A. - a - - bB.0C. -a+-b5555D.以上都不對D. (5k,-4k)D.b-aD.-ab5 .已知|p|=22 ,|q|=3, p與q的夾角為:，則以a=5p+2q,b=p 3q為鄰邊的平行四邊形的一條對角線長為 （）A.15B. 15C. 16D.146 .已知A（2,-2）,B（4,3）,向量p的坐標(biāo)為（2k-1,7）且p II AB ,則k的

27、值為 （）A.10B.107.已知 ABC的三個(gè)頂點(diǎn), 的關(guān)系是（）C 19D 1910. 10_A、B、C及平面內(nèi)一點(diǎn) P滿足PA+PB+PC =AB,則點(diǎn)PA ABCA. P在 ABC的內(nèi)部B. P在 ABC的外部C. P是AB邊上的一個(gè)三等分點(diǎn)D. P是AC邊上的一個(gè)三等分點(diǎn)8.已知 ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，A （1,5）, B（-2,4） , C（-6,-4） , M是BC邊上一點(diǎn)，且 ABM 的面積是1 ABC面積的,則線段AM的長度是（）4A.5B. .85C.5D. -85229 .設(shè)e1,e2是夾角為450的兩個(gè)單位向量，且a=e1+2e2,b=2e1+e2,則|a+b|的值（）A.

28、 3 2B.9C.18 9 . 2D. 3,2 % 210 .若|a|二1,|b|=T2,（a-b），a,則 a與 b 的夾角為（）A.300B.450C.600D.75011 .把一個(gè)函數(shù)的圖象按向量a=（：,-2）平移后，得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=sin（x+彳）-2,則原函數(shù)的解析式為（）A.y=sinxB.y=cosx - C.y=sinx+2D.y= -cosx12 .在AABC中，AB=c, BC= a, CA=b,則下列推導(dǎo)中錯(cuò)誤的是（）A.若ab<0,則AABC為鈍角三角形B.若ab=0,則4ABC為直角三角形C.若a b=b cJijA ABC為等腰三角形 D.若

29、c （ a+b+c）=0,則AABC為等腰三角形二、填空題13 .在4ABC中，已知|AB|=|AC| =4,且AB AC =8,則這個(gè)三角形的形狀是14 .一艘船從A點(diǎn)出發(fā)以2"&km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時(shí)河水的流速為2km/h,則船實(shí)際航行的速度的大小和方向是 .7,已知向公和各的火角為120： lli=2, b =5,則（2-一力戶=15 .若向量 a=(3,q),b =(T1),c=(7,4，現(xiàn)用 a、b 表示 c,則 c=.16 .給出下列命題：若a2+b2=0,則a=b=0;已知 A (xi，yi), B %。2)，則 1AB =(2,212)；已

30、知a,b,c是三個(gè)非零向量，若a+b=0,則|a c|=|b c|已知% >0,良2 >0 ,ei ,e2是一'組基底,a=入ei+ Ke則a與ei不共線,a與e2也不共線;若a與b共線，則a b=|a| |b|.其中正確命題的序號是 .三、解答題17 .如圖,ABCD是一個(gè)梯形，ABCD,RB =2而| , M、N分別是DC ,AB的中點(diǎn)，已知AB=a,AD=b,試用 a、b 表示 DC,BC 和 MN18 .設(shè)兩個(gè)非零向量 er e2不共線.如果 AB=e+e2,BC =2e+8e2,CD =3(e1-e2)求證：A、B、D共線；試確定實(shí)數(shù) k,使ke+e2和e1+ke

31、2共線.19 .已知 ABC中,A(2,4),B(-1,-2),C(4,3),BC 邊上的高為 AD.求證：AB，AC;求點(diǎn)D與向量AD的坐標(biāo).20 .已知 ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為 A(1,2),B(4,1),C(3,4).求AB邊上的中線 CM的長;在AB上取一點(diǎn)P使過P且平行與BC的直線PQ把AABC的面積分成4:5兩部分，求P點(diǎn)的坐標(biāo).21 .已知a、b是兩個(gè)非零向量，證明：當(dāng) b與a+入b(0R)垂直時(shí)，a+入b的模取得最小值22.已知二次函數(shù) f(x)對任意 xCR,都有 f (1-x)=f (1+x)成立，設(shè)向量 a=(sinx,2), b=(2sinx,-), 2c=(cos2x,1

32、),d=(1,2)。(1)分別求a b和c d的取值范圍；(2)當(dāng)xC 0,的，求不等式f(a b)>f(c d)的解集。平面向量章節(jié)測試題參考答案一、BCDBA ; DDADB ; BD二、13.等邊三角形；14.大小是4km/h,方向與水流方向的夾角為600 ； 15.a-2b ; 16.1 111二、17. . |AB |=2|CD |.-. AB =2DCDC = AB =a,BC=ba , MN =a b2224I |.18 .丁 BD=BC+CD =5e+5e2=5AB , . . AB BD 又有公共點(diǎn) B,，A、B、D 共線設(shè)存在實(shí)數(shù) 入使ke+e2=入(e+ke2)k=

33、入且k入=1，k= ±119 .由 AB AC =0 可知 AB _LAC 即 AB ±AC設(shè) D (x,y) ,. AD =(x 2,y 4), BC =(5,5), BD =(x+1, y+2) AD _LBC 5(x-2)+5(y-4)=0 BD/ BC . 5(x+1) 5(y+2)=07 5D( - -)AD 2 2520.(1) M (23 一 15 一,2) CM =(-,-2),|CM 尸、262設(shè)P (x,y)s s S apq4S apq4| AP |SbPQC5S ABC9| AB |24. (x -1, y -2) =-(3,-1) . P(3-)3

34、3a b21.當(dāng) b 與 a+ 入 b(0R)垂直時(shí)，b (a+ 入 b) =0,二 ab b2| a+ 入 b 叔b2 *2 ZaLb+a2 = jb21 +ab)2 +a2 _(羋)2 bb當(dāng)入=些時(shí)，| a+入取|得最小值.b2當(dāng)b與a+入b( R R)垂直時(shí)，a+入b的模取得最小值.22.(1) a b=2sin2x+1 -1c d=2cos2x+1 -1(2)f(1-x)=f(1+x)，f(x)圖象關(guān)于 x=1 對稱當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù) m>0時(shí)，f(x)在(1,)內(nèi)單調(diào)遞增,由 f(a b)>f(c d)= a b > c d,即 2sin2x+1>2cos2x+1

35、又xC0, tt /.x (-,)4 4當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù) m<0時(shí),f(x)在(1, +oc )內(nèi)單調(diào)遞減， 由 f(a b)>f(c d)= a b > c d,即 2sin2x+1<2cos2x+1又xC0,兀:.xe 0,2L)u (巴h、44故當(dāng)m>0時(shí)不等式的解集為 d,3L)；當(dāng)m<0時(shí)不等式的解集為0,-)LJ(,n > 4 444五年局考薈萃2009年高考題一、選擇題1.(2009年廣東卷文)已知平面向量a=(x,1) , b=( x,x2),則向量a + b ()A平行于x軸B.平行于第一、三象限的角平分線C.平行于y軸D.平行于第二、四

36、象限的角平分線答案C22斛析 a+b =(0,1+x)，由1+x =0及向量的性質(zhì)可知，C正確.2. ( 2009廣東卷理)一質(zhì)點(diǎn)受到平面上的三個(gè)力 F1,F2,F3 (單位：牛頓)的作用而處于平衡狀態(tài).已知F1, F2成600角，且Fi, F2的大小分別為2和4,則53的大小為() A.6 B. 2 C.2、5D.2,7答案D解析F32=F12+F22-2F1F2cos(1800600) =28,所以F3=2萬，選 D.3. (2009浙江卷理)設(shè)向量 a, b滿足：| a |=3, | b |=4, ab = 0.以a, b, ab的模 為邊長構(gòu)成三角形，則它的邊與半徑為1的圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)

37、最多為 ()A. 3 B. 4 C . 5D. 6答案C 解析 對于半徑為1的圓有一個(gè)位置是正好是三角形的內(nèi)切圓，此時(shí)只有三個(gè)交點(diǎn) ， 對于圓的位置稍一右移或其他的變化，能實(shí)現(xiàn)4個(gè)交點(diǎn)的情況，但5個(gè)以上的交點(diǎn)不能實(shí)現(xiàn).4. (2009 浙江卷文)已知向量 a =(1,2), b = (2, 3) .若向量 c 滿足(c+a)/b, c_L (a + b), 則 c =()7 7(二，)3 9(77(一二, 二)39答案 D HTL4TTLW解析 不妨設(shè) C =(m,n),則 a +c =(1+m,2 + n ,a +b = G ,對于(c + a )/b ,則c” 、 c/c 、 -T d J

38、八-77有3(1 +m) =2(2 +n)；又 c_L(a+b ),則有 3m-n = 0,則有 m = 一一，n = 一一93【命題意圖】此題主要考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，通過平面向量的平行和垂直關(guān)系的考查， 很好地體現(xiàn)了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算在解決具體問題中的應(yīng)用.5. (2009北京卷文)已知向量a=(1,0),b = (0,1),c = ka + b(kw R),d =a b ,如果 c/d那么A. k =1且c與d同向C. k =1且c與d同向答案 D).k =1且c與d反向.k = 一1且c與d反向.w解析本題主要考查向量的共線(平行)、向量的加減法.屬于基礎(chǔ)知識、基本運(yùn)算考查. a=

39、(1,0 ), b=(0,1),若 k=1 ,則 c=a + b=(1,1), d = ab = (1,1),顯然，a與b不平行，排除A、B.若 k=1 ,則 c= a + b = (1,1 ), d=a+b = (1,1),即cd且c與d反向，排除C,故選D.6. (2009北京卷文)設(shè)D是正APP2 P3及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合，點(diǎn)P0是ARP2P3的中心，若集合S=P |P w D,| PP0 |W| PP |,i =1,2,3,則集合S表示的平面區(qū)域是 ()A.三角形區(qū)域B.四邊形區(qū)域C.五邊形區(qū)域D .六邊形區(qū)域答案 D 解析本題主要考查集合與平面幾何基礎(chǔ)知識.本題主要考查閱讀與理解、

40、信息遷移以及學(xué)生的學(xué)習(xí)潛力，考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力.屬于創(chuàng)新題型.如圖，A B C D、E、 F為各邊三等分點(diǎn)，答案是集合S為六邊形ABCDEF其中，BA = P2AEPA(i =1,3)即點(diǎn) P 可以是點(diǎn) A.7. (2009北京卷理)已知向量 a、b不共線，c = ka + b(kR), d=a-b,如果 cd,那么()A . k =1且c與d同向BC.k=1且c與d同向Dk = 1且c與d反向k 二 一1且c與d反向答案 D解析本題主要考查向量的共線(平行)、向量的加減法.屬于基礎(chǔ)知識、基本運(yùn)算的考查取 a = (1,0 ), b = (0,1),若 k =1 ,則 c=a +

41、 b=(1,1), d=a-b = (1,-1 ),顯然，a與b不平行，排除A、B.若 k=T,則 c=-a + b= (T,1), d=-a+b=-( 1,1),bC + BA = 2bP ,則(即cd且c與d反向，排除C,故選D.D. PA PB PC = 08.（2009山東卷理）設(shè)P是 ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),A. PA PB -0 B. PC PA -0 C. PB PC -0答案B解析：因?yàn)锽C十BA=2BP ,所以點(diǎn)P為線段AC的中點(diǎn)，所以應(yīng)該選 Bo【命題立意】：本題考查了向量的加法運(yùn)算和平行四邊形法則，可以借助圖形解答9. 2 2009 全國卷 n 文）已知向量 a = （2

42、,1）, a - b = 10, I a + b I = 5J2，貝 U I b I =A. ,5 B.10C.5D.25答案 C解析 本題考查平面向量數(shù)量積運(yùn)算和性質(zhì)，由a+b = 5j2知（a+b） 2=a2+b2+2ab=50,得 |b|=5 選 C.10. (2009全國卷I理)設(shè) a、b、c是單位向量，且 a b =0,貝U (a c)(b c)的最小值為()A. 2B. ,2-2C. -1 D. 1 - .2答案DJTT33 TH “TTT32解析 :a,b,c是單位向量二(a -c)*(b-c)= aLb- (a + b)_c+ c= 1-|a b|jc|=1- J2cos a

43、b,c 一 1 - 2 .11. (2009湖北卷理)已知P I Q 二A. 1, 1 B.答案A解析因?yàn)閍=(1,m)P =a|a=(1,0) +m(0,1),mw R, Q =b | b = (1,1)+n(1,1),n w R是兩個(gè)向量集合，則()-1 ,1 C. 1 , 0D. 0, 1b=(1n,1 +n)代入選項(xiàng)可得Pcq = (i,i)故選a.12. (2009全國卷n理)已知向量 a =(2,1 ),a-b = 10,|a+b|=5j2 ,則 |b|二()A. ,5 B. ,10 C. 5 D.25答案C解析,*50 =|；:|2=|；|2 -2aLb+ |b|2 = 5+20

44、 + |b|2二|b|=5 故選 C.b =1 則 a +2b13. （2009遼寧卷理）平面向量 a與b的夾角為60°, a =（2,0）,A.、,3 B. 2、,3 C. 4D.2答案B解析 由已知 |a| = 2,|a +2b| 2=a2+4a b+4b2 = 4+4X2X1X cos60° +4=12a+2b| = 27314. （2009寧夏海南卷理）已知 O, N, P在AABC所在平面內(nèi)，且OA = OB = OC , NA + NB + NC = 0 ,且PAPB =PB PC =PC *PA ,則點(diǎn)Q N, P依次是A.重心C.外心ABC 的外心垂心重心垂

45、心D.B.重心外心內(nèi)心外心重心內(nèi)心答案C（注：三角形的三條高線交于一點(diǎn)，此點(diǎn)為三角型的垂心） 解析由OA =OB =OC知,O為iABC的外心；由NA + NB+NC =0知，O為AABC的重心'：PA,PB =PB PC(PA PC ),PB=0,二 CAPB=0,二 CA_L PB,同理，AP _L BC,. P為AABC勺垂心,選C.15. (2009 湖北卷文)若向量 a= (1, 1), b= (-1,1 ), c= (4, 2),貝U c二A.3a+b B. 3a-bC.-a+3bD. a+3b答案B故選B解析由計(jì)算可得C = （4, 2） = 3C - b16.（2009

46、湖南卷文）如圖 1, D, E, F分別是AABC的邊AB, BC, CA的中點(diǎn)，則（）A.AD BE CFJBDTADD.To-答案A解析* * crAD= DB,二 AD +BE =DB +BE =DE = FC,得 AD +BE +CFAd BE Cf - Ad dF Cf -At cf -0.或AD17. （2009遼寧卷文）平面向量a與b的夾角為60°, a= （2,0）, | b |=1,則 | a +2b | 等A3C.4D.12答案B解析 由已知 |a| =2,|a +2b| 2=a2+4a b+4b2 = 4+4X2X1x cos60° +4=12a+2b

47、 =27318. （2009 全國卷 i 文）設(shè)非零向量 a、b、c滿足 |a|=|b|=|c|,a + b=c，則 <a,b> =）A. 150°B.120°C.60°D.30°答案B解析 本小題考查向量的幾何運(yùn)算、考查數(shù)形結(jié)合的思想，基礎(chǔ)題。解由向量加法的平行四邊形法則，知a、b可構(gòu)成菱形的兩條相鄰邊，且a、b為起點(diǎn)處的對角線長等于菱形白邊長，故選擇Bo19. （2009陜西卷文）在 AABC中,M是BC的中點(diǎn)，AM=1點(diǎn)P在AM上且滿足學(xué) PA = 2PM則科網(wǎng)PA（PB+PC）等于（）A. 49答案A.B.C.D.解析 由AP = 2

48、PM知，p為AABC的重心，根據(jù)向量的加法，AP (PB PC)=2APPM=2APIPmc c 2 1 /4cos0=2 1=3 3920. （2009寧夏海南卷文）已知a = （3,2 ）,b = （1,0 ）,向量Za + b與a 2b垂直，則實(shí)數(shù)九的值為A. -7B.C.D.答案A 解析 向量Za+b = （ 3九一1, 2九），a2b = （ 1,2 ）,因?yàn)閮蓚€(gè)向量垂直，故有（一3 九一1, 2 兒）X （ 1,2 ） =0,即 3 九 + 1 + 4 九=0,解得：九=-1 ,故選.A.21.（2009湖南卷理）對于非0向時(shí)a,b, “a/b ”的正確是（）A.充分不必要條件B.

49、必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案A解析 由a+b =0,可得a = b,即得ab, 但ab,不一定有a = b,所以“a+b = 0” 是“ ab的充分不必要條件。一T T T22. （2009福建卷文）設(shè)a, b, c為同一平面內(nèi)具有相同起點(diǎn)的任意三個(gè)非零向量，且滿足T TTTT TTTa與b不共線，a -L cI al = l c則l b ?cl的值一定等于（）T TA.以a, b為鄰邊的平行四邊形的面積B.以b , c為兩邊的三角形面積C. a , b為兩邊的三角形面積D.以b, c為鄰邊的平行四邊形的面積答案A解析假設(shè)a與b的夾角為日，I b ? c I =

50、I b I=I b I - I a I ? I cos(90 0 ± 6) I = I b| - I a I ? sin 9 ,即為以 a , b 為鄰邊的平行四邊形的面積.23. (2009重慶卷理)已知 a =1, b =6,a(bb a) =2,則向量a與向量b的夾角是()A. 6B.Ji4D.答案c解析因?yàn)橛蓷l件得 a b 一 a2 =2,所以 a b=2+a2=3 = a b cosot = 1 m 6 M cosa,1所以cosa =1,所以u224. (2009重慶卷文)已知向量 a = (1,1),b = (2, x),若a+b與4b2a平行，則實(shí)數(shù)x的值是A. -2

51、答案DB. 0C. 1D. 2解法 1 因?yàn)?a =(1,1),b=(2, x),所以 a+b=(3,x + 1),4b2a = (6,4x 2),由于 a+b 與 4b2a 平行，得 6(x+1) 3(4x 2) = 0 ,解得 x=2。解法2因?yàn)閍 +b與4b -2a平行，則存在常數(shù) 九，使a +b =九(4b -2a),即(2九+1)a=(4九1)b,根據(jù)向量共線的條件知，向量 a與b共線，故x=2、一，一一 一，_. H25. (2009湖北卷理)函數(shù)y =cos(2x+一) 2的圖象F按向量a平移到F , F的函數(shù)解析式 6為y = f(x)，當(dāng)y = f(x)為奇函數(shù)時(shí)，向量 a可

52、以等于()jiitjiitA-(-,-2)B.(-,2)C.(-,-2)D.(-,2)6666答案B解析 直接用代入法檢驗(yàn)比較簡單.或者設(shè)v = (x： y'),根據(jù)定義yy' = cos2（ xx）+12 ,根據(jù)y是奇函數(shù)，對應(yīng)求出x，y26. （2009湖北卷文）函數(shù)y =cos（2x +-） -2的圖像F按向量6當(dāng)y=f（x）為奇函數(shù)時(shí)，向量 a可以等于a平移到F/,F/的解析式y(tǒng)=f(x),A.(三，N)B.6答案(晨2)C.(-1D.(-r2)解析由平面向量平行規(guī)律可知，僅當(dāng)，冗 c、， a =（一一，2）時(shí),6F '：f (x) = cos2(x + ) +

53、 - 2 = -sin2x 為奇函數(shù)，故選 D.26.(2009廣東卷理）若F面向量 a , b滿足a + b = 1 , a + b平行于x軸，b = (2,-1),答案(-1,0)-(-2,-1)=(-3,1)解析a+b = (1,0)或(1,0),則 a = (1,0) -(2,-1) = (-1,1)或 a =(-1,0) -(2,-1) =(-3,1).27.量積答案（廿09江蘇卷）已知向量 a和向量b的夾角為30°, |a|=2,|b|=V3,則向量a和向量b的數(shù) a b = .解析考查數(shù)量積的運(yùn)算。3如圖所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧整上變動.它們的夾角為120°.OA *OA yOB *OA,OC *OA = xOA *OA yOB *OA,OC *OB =xOA *OB yOB *OB,cos 二,