空間向量立體幾何(絕對經(jīng)典)

1、例1：已知平行六面體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，化簡下列向量表達(dá)式，并標(biāo)出化簡結(jié)果的向量。(如圖)ABCDA1B1C1D1G1)1 (AAADAB1111)1 (ACCCACAAACAAADAB解M 始點(diǎn)相同的三個(gè)不共面向量之和，等于以這三個(gè)向量為棱的平行六面體的以公共始點(diǎn)為始點(diǎn)的對角線所示向量 推論推論: :如果如果 為經(jīng)過已知點(diǎn)為經(jīng)過已知點(diǎn)A A且平行且平行已知非零向量已知非零向量 的直線的直線, ,那么對任一點(diǎn)那么對任一點(diǎn)O,O,點(diǎn)點(diǎn)P P在直線在直線 上的充要條件是存在實(shí)數(shù)上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t,t,滿足等式滿足等式OP=OA+t OP=OA+

2、t 其中向量叫做直線的其中向量叫做直線的方向向量方向向量. .llaaOABPa 若若P P為為A,BA,B中點(diǎn)中點(diǎn), , 則則12 OPOAOB2.2.共面向量定理共面向量定理: :如果兩個(gè)向量如果兩個(gè)向量 不共線不共線, ,則向量則向量 與向量與向量 共面的充要共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)對條件是存在實(shí)數(shù)對 使使, a byx, p, a bOMabABAPp pxayb 推論推論: :空間一點(diǎn)空間一點(diǎn)P P位于平面位于平面MABMAB內(nèi)的充內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對要條件是存在有序?qū)崝?shù)對x,yx,y使使 或?qū)臻g任一點(diǎn)或?qū)臻g任一點(diǎn)O,O,有有 MPxMAyMB OPOMxMAyMB注意：

3、注意：空間四點(diǎn)空間四點(diǎn)P、M、A、B共面共面 存存在在唯唯一一實(shí)數(shù)對實(shí)數(shù)對,xyMPxMAyMB （） 使得(1)OPxOMyOAzOBxyz 其其中中，例1：已知m,n是平面內(nèi)的兩條相交直線，直線l與的交點(diǎn)為B，且lm，ln，求證：l。nmggmnll證明：在內(nèi)作不與m、n重合的任一條直線g,在l、m、n、g上取非零向量l、m、n、g，因m與n相交，得向量m、n不平行，由共面向量定理可知，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對（x，y），使 g=xm+yn, lg=xlm+yln lm=0,ln=0 lg=0 lg lg 這就證明了直線l垂直于平面內(nèi)的任一條直線，所以l 鞏固練習(xí)：利用向量知識(shí)證明三垂線定理a

4、AOP.,0,0,0,PAaPAaaOAaPOaPAOAyPOxPAyxOAPOOAPOaOAaOAaPOaPOPOaa即使有序?qū)崝?shù)對定理可知，存在唯一的不平行，由共面向量相交，得又又而上取非零向量證明：在PAaOAaaPAOAPAPO求證：且內(nèi)的射影，在是的垂線，斜線，分別是平面已知：,復(fù)習(xí):2. 向量的夾角:abOABab0ab ，ab ，向量 的夾角記作:ab與a b | | cos,aba b 1.空間向量的數(shù)量積:111222( , , ),( , )ax y z bx y z設(shè)12121 2x xy yz zcos| |a babab ，12121 2222222111222x x

5、y yz zxyzxyz5.向量的模長:2222|aaxyz( , , )ax y z設(shè)4.有關(guān)性質(zhì):(1)兩非零向量111222(,),(,)axyzbxyz12121 20 x xy yz z0aba b (2)| | |a bab | |,a baba b 同方向| |,a baba b 反方向注意：此公式的幾何意義是表示長方體的對注意：此公式的幾何意義是表示長方體的對角線的長度。角線的長度。OABP3.A、B、P三點(diǎn)共線的充要條件三點(diǎn)共線的充要條件A、B、P三點(diǎn)共線三點(diǎn)共線APt AB A(1)OP xOyOB x y 反過來，對空間任意兩個(gè)不共線的向量反過來，對空間任意兩個(gè)不共線的向

6、量 ， ，如，如果果 ，那么向量，那么向量 與向量與向量 , 有什么位有什么位置關(guān)系？置關(guān)系？abbyxpab共線，分別與 bbya, a x確定的平面內(nèi)，都在 bbya, ax確定的平面內(nèi)，并且此平行四邊形在 ba共面，與即確定的平面內(nèi)，在bbbyap,aaxpabABPp Cp例例5 (課本例課本例)已知已知 ABCD ，從平面，從平面AC外一點(diǎn)外一點(diǎn)O引向量引向量 A,OEkOA OFkOB OGkOC OHkOD 求證：四點(diǎn)求證：四點(diǎn)E、F、G、H共面；共面；平面平面AC/平面平面EG.BCDOEFGH證明：證明：四邊形四邊形ABCD為為 ACABAD （）EGOGOE kOCkOA

7、()k OCOA kAC （）代入）代入()k ABAD ()k OBOAODOA OFOEOHOE 所以所以 E、F、G、H共面。共面。EFEH 證明：證明：由面面平行判定定理的推論得：由面面平行判定定理的推論得：EFOFOE kOBkOA ()k OBOA kAB 由知由知EGkAC /EGAC/EFAB/EGAC面面面面ABCDOEFGH 共線向量共線向量 共面向量共面向量定義定義向量所在直線互相平向量所在直線互相平行或重合行或重合平行于同一平面的向量平行于同一平面的向量,叫做共面向量叫做共面向量.定理定理推論推論運(yùn)用運(yùn)用判斷三點(diǎn)共線，或兩判斷三點(diǎn)共線，或兩直線平行直線平行判斷四點(diǎn)共面，

8、或直線判斷四點(diǎn)共面，或直線平行于平面平行于平面) 0(/ababapabbyxpABtOAOPACyABxOAOP小結(jié)小結(jié)共面共面) 1(APyxOByOxO) 1(0zyxOCzOByOAxOP3）射影eaeaABBAelABBABlBAlAllelaAB,cos,111111射影。方向上的正射影，簡稱或在上的在軸叫做向量，則上的射影在作點(diǎn)上的射影在點(diǎn)同方向的單位向量。作上與是，和軸已知向量BAleA1B1注意：在軸l上的正射影A1B1是一個(gè)可正可負(fù)的實(shí)數(shù)，它的符號(hào)代表向量與l的方向的相對關(guān)系，大小代表在l上射影的長度。ABAB例例2：已知：在空間四邊形：已知：在空間四邊形OABC中，中，O

9、ABC，OBAC，求證：，求證：OCABACOBCBOA，證明：由已知ABCO 0)(0)(0,0OAOCOBOBOCOAACOBBCOA所以O(shè)AOBOCOBOBOAOCOA所以00)(0OCBAOCOBOAOCOBOCOA所以ABOC 所以3.已知空間四邊形，求證：。,OABCOBOCAOBAOC OABC OACB證明：()| |cos| |cos| |cos| |cos0OA BCOA OCOBOA OCOA OBOAOCOAOBOAOBOAOB OABC 4. 4.空間向量基本定理空間向量基本定理 若三個(gè)向量若三個(gè)向量a a，b b，c c不共面，則對空間任一向量不共面，則對空間任一向

10、量p p，存在有序?qū)崝?shù)，存在有序?qū)崝?shù)組組 x，y，z ，使得，使得p pxa ayb bzc.c.其中其中a，b，c叫做空間的一個(gè)叫做空間的一個(gè)基底基底，a，b，c都叫做都叫做基向量基向量 若空間向量的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量互相垂直，則稱這個(gè)若空間向量的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量互相垂直，則稱這個(gè)基底為基底為正交基底正交基底，若三個(gè)基向量是互相垂直的單位向量，則稱這，若三個(gè)基向量是互相垂直的單位向量，則稱這個(gè)基底為個(gè)基底為單位正交基底單位正交基底x x1 1xx2 2，y y1 1yy2 2，z z1 1zz2 2(R) (R) a/bA PPBl=uuu ruuu r121212(,)111xx

11、yyzzPllllll+線線面面平平行行 面面面面平平行行 (五五)、空間位置關(guān)系的向量法：、空間位置關(guān)系的向量法：異面直線所成角的范圍： 0,2ABCD1D,CD AB 與 的關(guān)系？思考：思考：,DC AB 與 的關(guān)系？結(jié)論：結(jié)論：coscos,CD AB |題型一：線線角題型一：線線角線線角線線角復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)線面角線面角二面角二面角小結(jié)小結(jié)引入引入題型二：線面角題型二：線面角直線與平面所成角的范圍： 0,2ABO, n BA 與 的關(guān)系？思考：思考：n結(jié)論：結(jié)論：sincos, n AB |題型二：線面角題型二：線面角線線角線線角復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)線面角線面角二面角二面角小結(jié)小結(jié)引入引入題型三：二面角題

12、型三：二面角二面角的范圍：0, 1n2n 2n 1ncos12|cos,|n n cos12|cos,|n n ABO關(guān)鍵：觀察二面角的范圍關(guān)鍵：觀察二面角的范圍線線角線線角復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)線面角線面角二面角二面角小結(jié)小結(jié)引入引入2、E為平面為平面外一點(diǎn)外一點(diǎn),F為為內(nèi)任意一內(nèi)任意一 點(diǎn)點(diǎn), 為平面為平面的法向量的法向量,則點(diǎn)則點(diǎn)E到平面的距離為到平面的距離為: 3、a,b是異面直線是異面直線,E,F分別是直線分別是直線a,b上的點(diǎn)上的點(diǎn), 是是a,b公垂線的方向向量公垂線的方向向量,則則a,b間距離為間距離為|nEFnd|nEFndnn n FEO xzy幾何法幾何法坐標(biāo)法坐標(biāo)法一一.引入兩個(gè)重要的

13、空間向量引入兩個(gè)重要的空間向量 1.直線的方向向量 把直線上任意兩點(diǎn)的向量或與它平行的向量都稱為直線的方向向量直線的方向向量.如圖,在空間直角坐標(biāo)系中,由A(x1,y1,z1)與B(x2,y2,z2)確定的直線AB的方向向量是2121 21(,)A B x x y y z z zxyAB求平面的法向量的坐標(biāo)的一般步驟: 第一步第一步(設(shè)設(shè)):設(shè)出平面法向量的坐標(biāo)為n=(x,y,z). 第二步(列):根據(jù)na = 0且nb = 0可列出方程組 第三步(解):把z看作常數(shù),用z表示x、y. 第四步(取):取z為任意一個(gè)正數(shù)(當(dāng)然取得越特 殊越好),便得到平面法向量n的坐標(biāo). 11122200 xx

14、 yy zzxx y y z z 例例1在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量. A AABCDOA1B1C1D1zxy解：以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,設(shè)平面OA1D1的法向量的法向量為n=(x,y,z), 那么O(1，1，0)，A1(0，0，2)，D1(0，2，2)得平面OA1D1的法向量的坐標(biāo)n=(2,0,1).取z =120 xzy解得:2020 x yzx yz 得:1OA1OD 由 =（-1，-1，2）， =（-1，1，2） 例例2已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,C1CB=C1CD=BCD=,

15、求證: C C1BDA1B1C1D1CBAD 證明：設(shè) a, b, c, 依題意有| a |=| b |， 于是 a b = c (a b)= ca cb = |c|a|cos|c|b| cos=0 C C1BDCDCB1CCBDCBCD 1CCBD 例例3棱長都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1, D,E分別是AC,CC1的中點(diǎn),求證: (1)A1E 平面DBC1; (2)AB1 平面DBC1A1C1B1ACBEDzxy 解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DB為y軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz.則 A(-1,0,0), B(0, ,0), E(1,0,1), A1(-1,0,2), B1(0,

16、,2), C1(1,0,2). 設(shè)平面DBC1的法向量為n=(x,y,z),則 解之得 ， 取z = 1得n=(-2,0,1) (1) =- n,從而A1E 平面DBC1 (2) ,而 n =-2+0+2=0 AB1 平面DBC1330302yzx02yzx) 1, 0 , 2(1EA)2 , 3, 1 (1AB1AB 例例4 正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點(diǎn),求證:平面AED平面A1FDzxyABCDFEA1B1C1D1 證明:以A為原點(diǎn)建立如圖所示的的直角坐標(biāo)系A(chǔ)- xyz, 0202yzx021yzx平平面AED平面A1FDn1 n2 = -2+0+2=

17、0同理可得平面A1FD的法向量為n2=(2,0,1)取z=2得n1=(-1,0,2)解得：設(shè)平面AED的法向量為n1=(x,y,z)得) 1 , 0 , 2(AE)0 , 2 , 0(AD于是 ，設(shè)：正方體的棱長為2,那么E(2,0,1),A1(0,0,2), F(1,2,0),D(0,2,0), 例例5如圖在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中點(diǎn),則對角線DB1與CM所成角的余弦值為_. BC A MxzyB1C1D1A1CD 解: 以A為原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系A(chǔ)- xyz, 設(shè)正方體的棱長為2, 那么 M(1,0, 0), C(2,2,0), B1(2, 0, 2), D

18、(0,2 ,0),30153452444041042cos =|cos|CM1DB設(shè)DB1與CM所成角為, 與 所成角為,) 0 , 2, 1(CM) 2 , 2, 2(1DB于是： (2)直線與與平面所成的角 若n是平面的法向量, a是直線L的方向向量,設(shè)L與所成的角, n與與a所成的角 則 = - 或= - 于是, 因此n|cos|sinnananana|arcsinnana22naa 例例6正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為a,高為 ，求AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角。a2zxyC1A1B1ACBO 解:建立如圖示的直角坐標(biāo)系,則 A( ,0,0),B(0, ,0) A1( ,0

19、,). C(- ,0, ) 設(shè)面ABB1A1的法向量為n=(x,y,z) 得 由 ，解得 ， 取y= ,得n=(3, ,0)， 設(shè) 與n夾角為夾角為 而 故：AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角大小為30.2aa23a22a2a)2, 0 , 0(),0 ,23,2(1aAAaaAB0200232azayxa03zyx33)2, 0 ,(1aaAC21332320039|003|cos|sin22aaaaa.30 （3）二面角 設(shè)n1 、n2分別是二面角兩個(gè)半平面、的法向量，由幾何知識(shí)可知，二面角-L-的大小與法向量n1 、n2夾角相等（選取法向量豎坐標(biāo)z同號(hào)時(shí)相等）或互補(bǔ)（選取法向量豎坐標(biāo)z異號(hào)

20、時(shí)互補(bǔ)），于是求二面角的大小可轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)平面法向量的夾角，這樣可避免了二面角的平面角的作圖麻煩.n1n2n1n2 例例7 在四棱錐S-ABCD中DAB=ABC=90，側(cè)棱SA底面AC，SA=AB=BC=1，AD=2，求二面角A-SD-C的大小.zxyABCDS解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz，則 B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），S（0，0，1）. 設(shè)平面SCD的法向量n1=(x,y,z),則由 得 n1=(1,1,2). 而面SAD的法向量n2 = (1,0,0). 于是二面角A-SD-C的大小滿足 二面角A-SD-C的大小為 .)0 , 1 , 1(),1,

21、 1 , 1 (CDSC得取解得2,22,00zzyzxyxzyx,66610014111,coscos21nn66arccos 例例8在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,求異面直線AC1與BD間的距離.zxyABCDD1C1B1A1 解:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則 A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C1(1,1,1), 設(shè)異面直線AC1與BD的公垂線的方向向量n=(x,y,z),則由 ,得 n=(-1,-1,2). , 異面直線AC1與BD間的距離)0 , 1 , 1(),1 , 1 , 1 (1BDAC得取解得2,22,00zzyzxyxzy

22、x)0 , 0 , 1 (AB66411|001|nnABd 例例9 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1= ,AC=BC=1,ACB=90, 求B1到面A1BC的距離.2zxyCC1A1B1AB 解:以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz ,則 C(0,0,0),A1(1,0, ),B(0,1,0),B1(0,1, ). 設(shè)面A1BC的法向量n=(x,y,z),由 得 n=(- ,0,1). , 或 , 或 , 可見,選擇平面內(nèi)外兩點(diǎn)的向量時(shí),與平面內(nèi)的點(diǎn)選擇無關(guān). 22),0 , 1 ,0(),2,0 , 1 (1CBCA得取得,1,02,002zyzxyzx)2, 0 , 0(1BB2363212|200|1nnBBd)0 , 1 , 1(