MATLAB-ch014數(shù)值計算-常微分方程2ppt課件

1、第第1414講講 數(shù)值計算數(shù)值計算常微分方程常微分方程張建瓴張建瓴內(nèi)容提要內(nèi)容提要 在科學研究和工程教學中會經(jīng)常遇到常微分方程。在科學研究和工程教學中會經(jīng)常遇到常微分方程。只含有一個自變量的微分方程稱為常微分方程只含有一個自變量的微分方程稱為常微分方程(Ordinary Differential Equations，ODE)。它或者沒有解析解，或。它或者沒有解析解，或者求取解析解的代價無法忍受，或者只有數(shù)值解等。者求取解析解的代價無法忍受，或者只有數(shù)值解等。在在MATLAB中，時常微分方程的解法一般有兩種：數(shù)值中，時常微分方程的解法一般有兩種：數(shù)值解和符號解解和符號解(解析解解析解)。常微分方

2、程的求解問題可分為：初值問題常微分方程的求解問題可分為：初值問題(Initial Value Problem，IVP)和邊值問題和邊值問題(Boundary Vaule Problem，BVP)。14.1 14.1 常微分方程的數(shù)值解常微分方程的數(shù)值解一般微分方程式描述系統(tǒng)內(nèi)部變量的變化率如何受系一般微分方程式描述系統(tǒng)內(nèi)部變量的變化率如何受系統(tǒng)內(nèi)部變量和外部激勵，如輸入的影響。統(tǒng)內(nèi)部變量和外部激勵，如輸入的影響。當常微分方程式能夠解析求解時，可用當常微分方程式能夠解析求解時，可用MATLAB的的符號工具箱中的功能找到精確解。符號工具箱中的功能找到精確解。在微分方程難以獲得解析解的情況下，可以方

3、便地在在微分方程難以獲得解析解的情況下，可以方便地在數(shù)值上求解。數(shù)值上求解。微分方程數(shù)值解是數(shù)值計算的基本內(nèi)容，由于微分方微分方程數(shù)值解是數(shù)值計算的基本內(nèi)容，由于微分方程的多樣性，有不同的解法。程的多樣性，有不同的解法。MATLAB給出的給出的7種解種解法分別由法分別由7個不同的函數(shù)來完成。個不同的函數(shù)來完成。 一、剛性問題一、剛性問題(Stiff Problem)1、剛性方程、剛性方程對于一個常微分方程組，如果其對于一個常微分方程組，如果其Jacobian矩陣的特征矩陣的特征值相差十分懸殊，那么這個方程組就稱為剛性方程組。值相差十分懸殊，那么這個方程組就稱為剛性方程組。對于剛性方程組，為保持

4、解法的穩(wěn)定，步長選取根對于剛性方程組，為保持解法的穩(wěn)定，步長選取根困難。有些解法不能用來解剛性方程組，而有些解困難。有些解法不能用來解剛性方程組，而有些解法對穩(wěn)定性的要求不嚴格，可以用來解決剛性問題。法對穩(wěn)定性的要求不嚴格，可以用來解決剛性問題。二、求解微分方程初值問題的常用命令二、求解微分方程初值問題的常用命令 MATLAB為解常微分為解常微分方程初值問題提供的方程初值問題提供的命令包括：微分方程命令包括：微分方程結(jié)算命令、被解算命結(jié)算命令、被解算命令、調(diào)用的常微分方令、調(diào)用的常微分方程文件格式命令、積程文件格式命令、積分算法參數(shù)選項分算法參數(shù)選項(Options)處理命令以處理命令以及輸出

5、處理命令等。及輸出處理命令等。這些命令的含義特點這些命令的含義特點和使用范圍如表所示。和使用范圍如表所示。 求解微分方程初值問題的常用命令求解微分方程初值問題的常用命令 （1表中單步法表中單步法是指只需要前一步是指只需要前一步的解即可計算出當?shù)慕饧纯捎嬎愠霎斍暗慕?，不需要附前的解，不需要附加初始值。在計算加初始值。在計算過程中可隨便改變過程中可隨便改變步長而不會增加任步長而不會增加任何附加的計算量。何附加的計算量。（2表中多步法表中多步法是指需要前幾次是指需要前幾次的解來計算當前的解來計算當前的解。的解。三、求解常微分方程的一般步驟三、求解常微分方程的一般步驟對于對于n階微分方程初值問履，由于

6、函數(shù)及其直至階微分方程初值問履，由于函數(shù)及其直至(n-1)階導階導數(shù)在某自變量點的值已知，所以由泰勒級數(shù)展開，可算數(shù)在某自變量點的值已知，所以由泰勒級數(shù)展開，可算出新的函數(shù)及導數(shù)值。出新的函數(shù)及導數(shù)值。在在MATLAB中，具體利用其命令來解初值問題。常微分中，具體利用其命令來解初值問題。常微分方程的步驟是：方程的步驟是：（1根據(jù)在工程實際中各學科的規(guī)律、定理和公式列出微根據(jù)在工程實際中各學科的規(guī)律、定理和公式列出微分方程和相應(yīng)的初始條件；分方程和相應(yīng)的初始條件；（2運用變量替換，把一個高階方程寫成一階微分方運用變量替換，把一個高階方程寫成一階微分方程組，初始條件也要做相應(yīng)地替換；程組，初始條件

7、也要做相應(yīng)地替換；求解常微分方程的一般步驟求解常微分方程的一般步驟（3根據(jù)變換后的一階微分方程組，編寫計算導數(shù)的根據(jù)變換后的一階微分方程組，編寫計算導數(shù)的M文件文件(在在MATLAB中稱為中稱為ODE文件文件)；（4使編寫好的使編寫好的ODE函數(shù)文件和變換后的初值供函數(shù)文件和變換后的初值供Y0微微分方程解算命令調(diào)用，運行后即可得到分方程解算命令調(diào)用，運行后即可得到Y(jié)(包含包含y及其導及其導數(shù)數(shù))在指定的時間區(qū)恥的數(shù)值解。在指定的時間區(qū)恥的數(shù)值解。四、求解常微分方程的命令格式四、求解常微分方程的命令格式MATLAB提供了多種解算常微分方程的命令提供了多種解算常微分方程的命令(如表如表13-1中所

8、列中所列)，這些命令函數(shù)的用法完全相同，以函數(shù)，這些命令函數(shù)的用法完全相同，以函數(shù)ode45為例，其最完整的調(diào)用格式為：為例，其最完整的調(diào)用格式為： T,Y=ode45(f,tspan,y0,options,p1,p2,) 式中：式中：f f是定義常微分方程的文件名字符串，這些函數(shù)是針是定義常微分方程的文件名字符串，這些函數(shù)是針對一階常微分方程組設(shè)計的，對于高階微分方程，必須先對一階常微分方程組設(shè)計的，對于高階微分方程，必須先化為形如化為形如 的一階微分方程組。在這里要注意：的一階微分方程組。在這里要注意：定義常微分方程組的函數(shù)必須以定義常微分方程組的函數(shù)必須以t t、x x為輸入?yún)?shù)為輸入?yún)?/p>

9、數(shù)( (順序不能順序不能變變) )，以，以 為輸出參數(shù)，并且輸出為輸出參數(shù)，并且輸出 必須是列向量。必須是列向量。 ),(txfx x x 參數(shù)說明參數(shù)說明tspantspan是一個向量，當被賦予二元向量是一個向量，當被賦予二元向量t0 tfinalt0 tfinal時，時，指定微分方程指定微分方程y=F(t,y)y=F(t,y)在初始條件在初始條件y0y0下，從下，從t0t0到到tfinaltfinal進行積分；進行積分；當當tspantspan被賦予多元向量被賦予多元向量t0,t1,tfinalt0,t1,tfinal時，在時，在tspantspan指定的時刻序列上求數(shù)值解。此時指定的時刻

10、序列上求數(shù)值解。此時tspantspan中的元素中的元素必須按單調(diào)次序排列。必須按單調(diào)次序排列。 y0是初始狀態(tài)列向量。是初始狀態(tài)列向量。 )1(0000nyyyy參數(shù)說明參數(shù)說明 options是一些可選的算法綜合參數(shù)，由函數(shù)是一些可選的算法綜合參數(shù)，由函數(shù)odeset進行設(shè)置。進行設(shè)置。當輸入?yún)?shù)只有三個時，或第四個輸入?yún)?shù)位置上用空矩陣當輸入?yún)?shù)只有三個時，或第四個輸入?yún)?shù)位置上用空矩陣“ ”賦值時，算法將使用賦值時，算法將使用options的缺省設(shè)置。的缺省設(shè)置。p1和和p2是傳遞給是傳遞給F的參數(shù)，從第的參數(shù)，從第5個輸入?yún)?shù)起，以后的各輸個輸入?yún)?shù)起，以后的各輸入?yún)?shù)都是向入?yún)?shù)都

11、是向ODE文件傳遞的參數(shù)。它們的使用可避免采用文件傳遞的參數(shù)。它們的使用可避免采用參數(shù)的全局變量方式傳遞。參數(shù)的全局變量方式傳遞。T是輸出參數(shù)，為所求數(shù)值解的時間列向量，是輸出參數(shù)，為所求數(shù)值解的時間列向量，Y是數(shù)值解的矩是數(shù)值解的矩陣，它的每一行對應(yīng)著列向量陣，它的每一行對應(yīng)著列向量T中的一個時間值。中的一個時間值。例例14-1example14_1.m考慮描述振蕩器的經(jīng)典的范得波考慮描述振蕩器的經(jīng)典的范得波Var der Pol微分方微分方程的初值問題。程的初值問題。已知初始條件為已知初始條件為x0=1，x0=0。0)1 (222xdtdxxdtxd例例14-2 example14_2.m

12、解微分方程組解微分方程組(剛性問題剛性問題)：已知二階微分方程：已知二階微分方程y=1000(1-y2)y-y初始條件：初始條件：y(0)=0，y(0)=1，求該微分方程的解。，求該微分方程的解。 14.2 ODE14.2 ODE文件文件ODE文件是專門被微分方程解算命令文件是專門被微分方程解算命令(如如ode45)調(diào)用的調(diào)用的M函數(shù)文件。函數(shù)文件。ODE文件的功能很多，其中計算每一步的導文件的功能很多，其中計算每一步的導數(shù)是其最基本、必不可少的功能。另外，還有一些常用的數(shù)是其最基本、必不可少的功能。另外，還有一些常用的功能，如解算指令中功能，如解算指令中options的參數(shù)設(shè)置、事件設(shè)置等。

13、的參數(shù)設(shè)置、事件設(shè)置等。MATLAB給給ODE文件制定了比較嚴整的格式和規(guī)定。而文件制定了比較嚴整的格式和規(guī)定。而對于初學者來說，這樣的對于初學者來說，這樣的ODE文件就顯得比較復雜。為文件就顯得比較復雜。為幫助用戶理解和編寫幫助用戶理解和編寫ODE文件，文件，MATLAB提供了一個提供了一個“模板文件模板文件odefile.m。用戶在自己編寫。用戶在自己編寫ODE文件時，可文件時，可以借助此模板，在模板中填入適當?shù)膬?nèi)容，刪去不需要以借助此模板，在模板中填入適當?shù)膬?nèi)容，刪去不需要的內(nèi)容。的內(nèi)容。一、一、ODEODE文件模板文件模板一個一個ODEODE文件就是被微分方程解算指令文件就是被微分方程

14、解算指令( (如如od45)od45)調(diào)用的調(diào)用的M M函數(shù)文件，用戶可根據(jù)需要，使用任何其他文件名。函數(shù)文件，用戶可根據(jù)需要，使用任何其他文件名。 在缺省情況下，在缺省情況下，ODEODE解算指令處理形如解算指令處理形如dy/dt=F(t,y)dy/dt=F(t,y)的微分的微分方程問題，方程問題，t t是自變量，是自變量，y y是一階微分方程組的列向量形式是一階微分方程組的列向量形式函數(shù)。解算時，解算指令重復調(diào)用函數(shù)。解算時，解算指令重復調(diào)用F=odefile(T,Y)F=odefile(T,Y)，此處，此處T T是一個時間序列，是一個時間序列，Y Y是一個列向量，輸出參數(shù)是一個列向量，輸

15、出參數(shù)F F是一個同長是一個同長度的列向量度的列向量ODEODE文件的經(jīng)典最簡形式為：文件的經(jīng)典最簡形式為：function F=odefile(t,y)function F=odefile(t,y)F=;F=;ODE文件模板格式文件模板格式在在ODEODE文件中，最完整的格式為：文件中，最完整的格式為：function varargout=odefile(t,y,flag,p1,p2,)function varargout=odefile(t,y,flag,p1,p2,)其中：其中：t t和和y y是積分變量，是積分變量，t t必須作為第一輸入?yún)?shù)，而必須作為第一輸入?yún)?shù)，而y y必須作為第

16、二輸入?yún)?shù)。必須作為第二輸入?yún)?shù)。plpl和和p2p2是被傳遞的參數(shù)，這里是被傳遞的參數(shù)，這里僅列出兩個參數(shù)，實際上，傳遞參數(shù)的數(shù)目不受限制。僅列出兩個參數(shù)，實際上，傳遞參數(shù)的數(shù)目不受限制。flagflag是切換變量，它必須處在第三個輸入?yún)?shù)位置上是切換變量，它必須處在第三個輸入?yún)?shù)位置上二、二、ODE模板的使用方法模板的使用方法1 1、ODEODE模板使用步驟模板使用步驟如果用戶需要編寫比較復雜的如果用戶需要編寫比較復雜的ODE文件，該模板將十分有文件，該模板將十分有用。其具體步驟如下：用。其具體步驟如下：（1在在MATLAB命令窗口中運行命令窗口中運行help odefile，就會出現(xiàn)，就

17、會出現(xiàn)ODE模板；模板；（2將此模板文件全部內(nèi)容復制到文件編輯器中；將此模板文件全部內(nèi)容復制到文件編輯器中；（3用戶根據(jù)需要，將模板文件中的那些不被使用的情況用戶根據(jù)需要，將模板文件中的那些不被使用的情況(Case)連同相應(yīng)的子函數(shù)刪除；連同相應(yīng)的子函數(shù)刪除；如無特別原因，盡量少改動模板中所有的子函數(shù)名、輸如無特別原因，盡量少改動模板中所有的子函數(shù)名、輸入和輸出參數(shù)名。用戶根據(jù)具體問題編寫相應(yīng)的程序。入和輸出參數(shù)名。用戶根據(jù)具體問題編寫相應(yīng)的程序。1 1、ODEODE模板使用步驟模板使用步驟（4 4把編寫好的文件存入用戶自己的工作目錄，以備調(diào)用。把編寫好的文件存入用戶自己的工作目錄，以備調(diào)用。

18、編寫好的編寫好的ODEODE文件用戶可以給一個新名字，但要注意文件用戶可以給一個新名字，但要注意以下三者間的一致：存放在工作目錄上的名稱；函數(shù)以下三者間的一致：存放在工作目錄上的名稱；函數(shù)文件第一行中等式右邊的函數(shù)名稱；在微分方程解算文件第一行中等式右邊的函數(shù)名稱；在微分方程解算指令調(diào)用該指令調(diào)用該ODEODE文件時的字符串名稱。文件時的字符串名稱。2 2、MATLABMATLAB提供的微分方程幫助資源提供的微分方程幫助資源MATLABMATLAB為微分方程指令的使用提供了豐富的幫助資源。它們?yōu)槲⒎址匠讨噶畹氖褂锰峁┝素S富的幫助資源。它們的分布形式和位置為：的分布形式和位置為：（1 1PDEP

19、DE文件文件matlabRl2helppdf_docmatlabusing_ml.pdfmatlabRl2helppdf_docmatlabusing_ml.pdfmatlabR12helppdf_docmatlabrefrefbook.pdfmatlabR12helppdf_docmatlabrefrefbook.pdf（2 2在線幫助在線幫助使用使用help funfunhelp funfun以及對具體命令進一步使用以及對具體命令進一步使用helphelp，或使，或使用用helpwinhelpwin查閱。查閱。M A T L A BM A T L A B 實 現(xiàn)實 現(xiàn) O D EO D E

20、 演 示 的演 示 的 M M 文 件 位 于 ：文 件 位 于 ：matlabRl2toolboxmatlabdemos matlabRl2toolboxmatlabdemos 14.3 常微分方程的符號解常微分方程的符號解從數(shù)值計算角度看，與初值問題求解相比，微分方程從數(shù)值計算角度看，與初值問題求解相比，微分方程邊值問題的求解顯得更為復雜和困難。而這一問題對邊值問題的求解顯得更為復雜和困難。而這一問題對于符號計算來說，不論是初值問題，還是邊值問題，于符號計算來說，不論是初值問題，還是邊值問題，其求解微分方程的命令形式相同，并且相當簡單。其求解微分方程的命令形式相同，并且相當簡單。但符號計算

21、可能花費較多的時間，也可能得不到簡單的但符號計算可能花費較多的時間，也可能得不到簡單的解析解以及得不到封閉式的解，甚至也可能無法求解。解析解以及得不到封閉式的解，甚至也可能無法求解。不論怎樣，微分方程的符號解法和數(shù)值解法有很好的互不論怎樣，微分方程的符號解法和數(shù)值解法有很好的互補作用。補作用。一、微分方程符號解的一般命令一、微分方程符號解的一般命令在在MATLABMATLAB中，函數(shù)中，函數(shù)dsolvedsolve可用來求常微分方程的符號解。在符號方程中，可用來求常微分方程的符號解。在符號方程中，用符號表達式中包含的字母用符號表達式中包含的字母“D“D來代替微分運算，符號來代替微分運算，符號D

22、2D2，D3D3，DNDN分別對應(yīng)于第二、第三、分別對應(yīng)于第二、第三、第、第N N導數(shù)。這樣，導數(shù)。這樣，D2yD2y就是就是d2y/dt2d2y/dt2在符號數(shù)在符號數(shù)學工具箱中對應(yīng)的形式。因變量是位于學工具箱中對應(yīng)的形式。因變量是位于D D后面的變量，缺省的自變量為后面的變量，缺省的自變量為t t。還可以在命令中加入包含自變量的參數(shù)，將自變量變?yōu)槠渌栕兞?。還可以在命令中加入包含自變量的參數(shù)，將自變量變?yōu)槠渌栕兞?。函?shù)函數(shù)dsolvedsolve的調(diào)用格式為：的調(diào)用格式為：S=dsolve(eqnl,eqn2,)1、輸入?yún)?shù)的內(nèi)容、輸入?yún)?shù)的內(nèi)容輸入?yún)?shù)包含三部分內(nèi)容：微分方程、初始

23、條件和指定獨立輸入?yún)?shù)包含三部分內(nèi)容：微分方程、初始條件和指定獨立變量。其中，微分方程是必不可少的輸入內(nèi)容，其余內(nèi)容視變量。其中，微分方程是必不可少的輸入內(nèi)容，其余內(nèi)容視需要而定，可有可無。輸入的參數(shù)必須以字符形式編寫。需要而定，可有可無。輸入的參數(shù)必須以字符形式編寫。2 2、獨立變量的規(guī)定、獨立變量的規(guī)定關(guān)于指定獨立變量的規(guī)定：若要指定獨立變量，則總是關(guān)于指定獨立變量的規(guī)定：若要指定獨立變量，則總是由全部輸入?yún)?shù)由全部輸入?yún)?shù)eqnleqnl、eqn2eqn2、中的量后一個參數(shù)中的量后一個參數(shù)eqnneqnn定義。若不對獨立變量加以專門定義，則該指令定義。若不對獨立變量加以專門定義，則該指令將默認小寫英文字母將默認小寫