余弦定理說課稿教案

1、余弦定理從容說課課本在引入余弦定理內(nèi)容時(shí)，首先提出探究性問題如果已知三角形的兩條邊及其所夾的角，根據(jù)三角形全等的判定方法，這個三角形是大小、形狀完全確定的三角形我們?nèi)匀粡牧炕慕嵌葋硌芯窟@個問題，也就是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計(jì)算出三角形的另一邊和兩個角的問題”.這樣，用聯(lián)系的觀點(diǎn)，從新的角度看過去的問題，使學(xué)生對過去的 知識有了新的認(rèn)識，同時(shí)使新知識建立在已有知識的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)上，使學(xué)生能夠形成良好的知識結(jié)構(gòu).設(shè)置這樣的問題，是為了更好地加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué).比如對于余弦定理的證明，常用的方法是借助于三角的方法，需要對三角形進(jìn)行討論，方法不夠簡潔，通過向量知 識給予證明，引起學(xué)生對向量

2、知識的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)感受向量法證明余弦定理的簡便之處教科書就是用了向量的方法，發(fā)揮了向量方法在解決問題中的威力.在證明了余弦定理及其推論以后，教科書從余弦定理與勾股定理的比較中，提出了一個思考問題 勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角 形中三邊平方之間的關(guān)系， 如何看這兩個定理之間的關(guān)系？”并進(jìn)而指出， 從余弦定理以及余弦函數(shù)的性質(zhì)可知，如果一個三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是直角；如果小于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是鈍角；如果大于第三邊的平方， 那么第三邊所對的角是銳角 由上可知，余弦定理是勾股定理的推廣”.還要啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生注意

3、余弦定理的各種變形式，并總結(jié)余弦定理的適用題型的特點(diǎn)，在解題時(shí)正確選用余弦定理達(dá) 到求解、求證目的啟發(fā)學(xué)生在證明余弦定理時(shí)能與向量數(shù)量積的知識產(chǎn)生聯(lián)系，在應(yīng)用向量知識的同時(shí)，注意使學(xué)生體會三角函數(shù)、正弦定理、向量數(shù)量積等多處知識之間的聯(lián)系 教學(xué)重點(diǎn)余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程及其基本應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)1向量知識在證明余弦定理時(shí)的應(yīng)用，與向量知識的聯(lián)系過程；2余弦定理在解三角形時(shí)的應(yīng)用思路；3勾股定理在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程中的作用.教具準(zhǔn)備投影儀、幻燈片兩張、第一張：課題引入圖片（記作1.1.2 A ）如圖,在Rt ABC中，有A2+B2=C2問題:在圖、中,能否用b、c、A求解a?第二張：余弦定理（

4、記作1.1.2B）余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的 積的兩倍形式一 ：a2=b2+c2-2bccosA, b2=c2+a2-2cacosB，c2=a2+b2-2abcosC，形式,2 2 2A b c a:cosA=2bc2 2 , 2cab，cosB=2ca2 , 2 2a b c，cosC=2ab三維目標(biāo)一、知識與技能1掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法2會利用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題；3能利用計(jì)算器進(jìn)行運(yùn)算.二、過程與方法1利用向量的數(shù)量積推出余弦定理及其推論；2通過實(shí)踐演算掌握運(yùn)用余弦定理解決兩類基本的解三角形問

5、題三、情感態(tài)度與價(jià)值觀1培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問題的運(yùn)算能力；2通過三角函數(shù)、余弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的關(guān)系，來理解事物之間的普遍聯(lián)系與 辯證統(tǒng)一.教學(xué)過程導(dǎo)入新課師 上一節(jié)，我們一起研究了正弦定理及其應(yīng)用，在體會向量應(yīng)用的同時(shí)，解決了在三角形已知兩角、一邊和已知兩邊與其中一邊對角這兩類解三角形問題當(dāng)時(shí)對于已知兩邊夾角求第三邊問題未能解決，下面我們來看幻燈片1.1.2A,如圖（1）,在直角三角形中，根據(jù)兩直角邊及直角 可表示斜邊，即勾股定理，那么對于任意三角形，能否根據(jù)已知兩邊及夾角來表示第三邊呢？下面我們根據(jù)初中所學(xué)的平面幾何的有關(guān)知識來研究這一問題J.在厶ABC中，設(shè)B

6、C=A,AC=B,AB=C,試根據(jù)B、C、A來表示 A.師由于初中平面幾何所接觸的是解直角三角形問題，所以應(yīng)添加輔助線構(gòu)成直角三角形，在直角三角形內(nèi)通過邊角關(guān)系作進(jìn)一步的轉(zhuǎn)化工作，故作CD垂直于 AB于D，那么在RtA BDC中，邊A可利用勾股定理用 CD、DB表示,而CD可在Rt ADC中利用邊角關(guān)系 表示,DB可利用AB-AD轉(zhuǎn)化為AD,進(jìn)而在Rt ADC內(nèi)求解.解：過C作CD丄AB,垂足為D,則在Rt CDB中,根據(jù)勾股定理可得a2=cd2+bd2./在 Rt ADC 中,CD2=B2-AD2,又 BD2=（C-AD）2=C2-2C AD+AD2,A2=B2-AD2+C2-2C AD+A

7、D2=B2+C2-2C AD .又在 Rt ADC 中,AD=B COsA,二 a2=b2+c2 -2abcosA.類似地可以證明b2=c2+ a2-2caco sB.c2=a2+b2-2abcosC.另外，當(dāng)A為鈍角時(shí)也可證得上述結(jié)論，當(dāng)A為直角時(shí)，a2+b2=c2也符合上述結(jié)論，這也正是我們這一節(jié)將要研究的余弦定理，下面我們給出余弦定理的具體內(nèi)容.（給出幻燈片1.1.2B）推進(jìn)新課1. 余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的 積的兩倍.在幻燈片1.1.2B中我們可以看到它的兩種表示形式：形式一：a2=b2+c2-2bccosA, b2=c+a2-2c

8、acosB,c2=a2+b2-2abcosC.cos A.222b c a2bc2 2 . 2cabcosB2ca形式2 , 2 2 a b ccosC2ab師 在余弦定理中，令C =90。時(shí)，這時(shí)cosC=0,所以c2=a2+b2,由此可知余弦定理是勾股定理的推 廣.另外,對于余弦定理的證明，我們也可以仿照正弦定理的證明方法二采用向量法證明，以進(jìn)一步體會向量知識的工具性作用 合作探究2. 向量法證明余弦定理證明思路分析師聯(lián)系已經(jīng)學(xué)過的知識和方法，可用什么途徑來解決這個問題？用正弦定理試求，發(fā)現(xiàn)因 A、B均未知，所以較難求邊 C 由于余弦定理中涉及到的角是以 余弦形式出現(xiàn)，從而可以考慮用向量來

9、研究這個問題由于涉及邊長問題，那么可以與哪些 向量知識產(chǎn)生聯(lián)系呢？生 向量數(shù)量積的定義式a b=|a|b|cos0某中B為A、B的夾角師 在這一點(diǎn)聯(lián)系上與向量法證明正弦定理有相似之處，但又有所區(qū)別首先因?yàn)闊o須進(jìn)行正、余弦形式的轉(zhuǎn)換，也就少去添加輔助向量的麻煩當(dāng)然，在各邊所在向量的聯(lián)系上仍然通過向量加法的三角形法則，而在數(shù)量積的構(gòu)造上則以兩向量夾角為引導(dǎo)，比如證明形式中含有角C，則構(gòu)造CB?CA這一數(shù)量積以使出現(xiàn)COsC.同樣在證明過程中應(yīng)注意兩向量夾角是以同起點(diǎn)為前提11(2)向量法證明余弦定理過程：如圖，在 ABC中，設(shè)AB、BC、CA的長分別是 c、a、b.由向量加法的三角形法則，可得 A

10、C AB BC ,+ 2B) BC 22 2AC?AC (AB BC)?(AB BC) AB2 2AB?BC BC2 AB 2AB BC cos(180 c2 2accosB a2,即 B2=C2+A2-2AC COs B.由向量減法的三角形法則，可得BC AC ABBC?BC (AC AB)?(AC AB)22b 2bccosA c即 a2=b2+c2-2bccosA.AC22AC ?AB 2AB2 ACAC ? AB cos AAB2由向量加法的三角形法則，可得ABAC CB AC BC,AB? AB (AC BC)?(AC BC)AC2 2AC?BC BC2AC2 AC? BC cosC

11、2bC2 2b 2bacosC a ,即 c2=a2+b2-2abcosC.方法引導(dǎo)（1）上述證明過程中應(yīng)注意正確運(yùn)用向量加法（減法）的三角形法則.F在證明過程中應(yīng)強(qiáng)調(diào)學(xué)生注意的是兩向量夾角的確定，AC與AB屬于同起點(diǎn)向量，則夾角為a； AB與BC是首尾相接，則夾角為角B的補(bǔ)角180b；AC與BC是同終點(diǎn)，則夾 角仍是角C.合作探究師思考：這個式子中有幾個量？從方程的角度看已知其中三個量，可以求出第四個量，能 否由三邊求出一角？生（留點(diǎn)時(shí)間讓學(xué)生自己動手推出）從余弦定理，又可得到以下推論：b2 c2 a2a2 c2 b2b2 a2 c2cos A ，cos B ，cos C .2bc2ac2b

12、a師 思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角 形中三邊平方之間的關(guān)系，如何看這兩個定理之間的關(guān)系？生（學(xué)生思考片刻后會總結(jié)出）若 ABC中，C =90則cosC=0，這時(shí)c2=a2+ b2.由此可知 余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例.師從余弦定理和余弦函數(shù)的性質(zhì)可知，在一個三角形中，如果兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是直角；如果兩邊的平方和小于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是鈍角，如果兩邊的平方和大于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是銳角.從上可知，余弦定理可以看作是勾股定理的推廣.現(xiàn)在，三角函數(shù)把幾何中關(guān)于三角形的定

13、性結(jié)果都變成可定量計(jì)算的公式了.師 在證明了余弦定理之后，我們來進(jìn)一步學(xué)習(xí)余弦定理的應(yīng)用（給出幻燈片1.1.2B）通過幻燈片中余弦定理的兩種表示形式我們可以得到，利用余弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題：（1）已知三邊，求三個角.這類問題由于三邊確定，故三角也確定，解唯一，課本P8例4屬這類情況.（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角.這類問題第三邊確定，因而其他兩個角唯一，故解唯一，不會產(chǎn)生類似利用正弦定理解三角形 所產(chǎn)生的判斷取舍等問題接下來，我們通過例題來進(jìn)一步體會一下例題剖析【例1】在厶ABC中，已知B=60 cm, C=34 cm, A=41解三角形(角度精確到 1邊

14、長 精確到1 cm).解：根據(jù)余弦定理，a2=b2+c2-2bccosA=602+342-2 60 34cos41 600+1 156-4 080 X 0.75471676.82,所以 A 41 cm.csinA 34 sin4134 0.656由正弦定理得 sinC=0.544 0,a4141C 33,因?yàn)镃不是三角形中最大的邊，所以C是銳角.利用計(jì)數(shù)器可得B=180 -A-C=180 -41 -33 =106 cm,解三角形.【例 2在厶ABC 中，已知 a =134.6 cm, b=87.8 cm, c =161.7解：由余弦定理的推論，得bcosA= 一2 2 2 2 2 2ca87.

15、8161.71346 0.554 齡 562bc2 87.8 161.720 ；2 c cosB=a2 b22ca2 2 2134.616787.80.839 時(shí) 32 2 134.6 161.753 ；C =180 -(A+B)=180 -(56 20 +32 53 )=90 47知識拓展 補(bǔ)充例題：【例1】在厶ABC中，已知a=7,b=10,c=6,求A、B和C.(精確到 分析：此題屬于已知三角形三邊求角的問題，可以利用余弦定理形式二.1,意在使學(xué)生熟悉余弦定理的.222解： cos A b c a2bc2 2210670.72562 102 ,2a b/ cosC=2abc272102

16、622 7 10113 0.807 1,140 C 36. B=180 -(A+ C)=180-(44 +36 )=100.教師精講(1)為保證求解結(jié)果符合三角形內(nèi)角和定理，即三角形內(nèi)角和為180。，可用余弦定理求出兩角，第三角用三角形內(nèi)角和定理求出.(2)對于較復(fù)雜運(yùn)算，可以利用計(jì)算器運(yùn)算.【例2在厶ABC中，已知a=2.730,b=3.696,c=82 28解這個三角形(邊長保留四個有效數(shù)字， 角度精確到1).分析:此題屬于已知兩邊及其夾角解三角形的類型，可通過余弦定理形式一先求出第三邊，在第三邊求出后其余角求解有兩種思路：一是利用余弦定理的形式二根據(jù)三邊求其余角，二是利用兩邊和一邊對角利

17、用正弦定理求解，但根據(jù)1.1.1斜三角形求解經(jīng)驗(yàn)，若用正弦定理需對兩種結(jié)果進(jìn)行判斷取舍，而在0。180之間，余弦有唯一解，故用余弦定理較好解：由 c2=a2+b2-2abcosC=2.7302+3.6962-2 忽.730 &696 febs82 28得 c4.297. cosA=b22 2c a2bc3.69624.29722.73022 3.696 4.297 0.776 7, A39 2. B=180(A+C)=180-(39 2 +82 28 )=58 30.教師精講通過例2,我們可以體會在解斜三角形時(shí)，如果正弦定理與余弦定理都可選用 兩個定理均可，求角則用余弦定理可免去判斷取舍的麻煩

18、【例3】在 ABC中，已知A=8,B=7,B=60,求C及Saabc.分析:根據(jù)已知條件可以先由正弦定理求出角A,再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求出角、 一 1弦定理求出邊 C,而三角形面積由公式 Saabc= acsinB可以求出.2若用余弦定理求C,表面上缺少C,但可利用余弦定理能達(dá)到求C的目的. 下面給出兩種解法.8解法一：由正弦定理得sin A sin60；A2=98.2 :；C2=21.8 :c，得 C1=3,c2=5,si nC二 A1=81.8二 C1=38.2由7sin 601 |二 SaABc=-aGSinB 6、3 或 SaABc=-ac2sin B2 2解法二：由余弦定理得 b2

19、= c+ a2-2cacosB,二 72=c+82-2 8xccos60：整理得 c2-8c+15=0,b2=c2+a2-2cacosB 建立關(guān)于10、31 廠解之，得 C1=3,c2=5. Saabc= ac( sinB6.3 或 Saabc=2，那么求邊用C，再利用正C的方程，亦教師精講在解法一的思路里，應(yīng)注意由正弦定理應(yīng)有兩種結(jié)果 之處，體現(xiàn)出余弦定理作為公式而直接應(yīng)用的另外用處 的觀點(diǎn)去解決，故解法二應(yīng)引起學(xué)生的注意 .綜合上述例題，要求學(xué)生總結(jié)余弦定理在求解三角形時(shí)的適用范圍；已知三邊求角或已知兩邊及其夾角解三角形，同時(shí)注意余弦定理在求角時(shí)的優(yōu)勢以及利用余弦定理建立方程的解 法，即已知兩邊、一角解三角形可用余弦定理解之 課堂練習(xí)，避免遺漏；而解法二更有耐人尋味，即可以用之建立方程，從而運(yùn)用方程1.在 A ABC 中：(1)已知 c=8,b=3,b=60 :求 A;已知 a=20,bB=29,c=21，求 B;已知 a=33,c=2,b=150 ,求 B;已知 a=2,b=2, c=3+1,求 A.解： 由 a2=b2+c2-2bccosA，得 a2=82+32-2 8 X3cos60 49. / A=7.2 2 , 2”2 一 2 “2cab20 2129由 cosB，得cosB0 . B=902 20