D14無(wú)窮小量與無(wú)窮大量1ppt課件

1、目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第一章 二、二、 無(wú)窮小的等價(jià)代換無(wú)窮小的等價(jià)代換 三三 、無(wú)窮大量、無(wú)窮大量 一、一、 無(wú)窮小量及其階無(wú)窮小量及其階 第四節(jié)無(wú)窮小量與無(wú)窮大量目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 當(dāng) 1. 定義定義1 . 假設(shè)假設(shè)0 xx 時(shí), 函數(shù)( )0,x則稱函數(shù)( )x0 xx 例如 :,0)1(lim1xx函數(shù) 1x當(dāng)1x時(shí)為無(wú)窮小;,01limxx函數(shù) x1x時(shí)為無(wú)窮小;,011limxx函數(shù) x11當(dāng)x)x(或?yàn)闀r(shí)的無(wú)窮小量,簡(jiǎn)稱無(wú)窮小 .時(shí)為無(wú)窮小.)x(或一、一、 無(wú)窮小量及其階無(wú)窮小量及其階 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定義定義1 . 假設(shè)假設(shè)0 xx 時(shí), 函數(shù)

2、( )0,x則稱函數(shù)( )x0 xx )x(或?yàn)闀r(shí)的無(wú)窮小量,簡(jiǎn)稱無(wú)窮小 .)x(或0limsin0 xx1lim0 xx0limln(1)0 xx0limarcsin0 xx0limarctan0 xx1lim( )02nn22lim(4)0 xx1limsin0nn以零為極限的數(shù)列也是當(dāng)n時(shí)的無(wú)窮小目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定義定義1 . 假設(shè)假設(shè)0 xx 時(shí), 函數(shù)( )0,x則稱函數(shù)( )x0 xx )x(或?yàn)闀r(shí)的無(wú)窮小量,簡(jiǎn)稱無(wú)窮小 .)x(或說(shuō)明說(shuō)明: 2.無(wú)窮小量不是一個(gè)非常小的數(shù)，0是可以作為無(wú)窮小的唯一常數(shù) ! 1.無(wú)窮小首先是一個(gè)函數(shù)，其次要指明自變量趨向于什么。只有在

3、自變量趨向確定下并引起函數(shù)值趨于0，才能稱函數(shù)為無(wú)窮小。目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定義定義1 . 假設(shè)假設(shè)0 xx 時(shí), 函數(shù)( )0,x則稱函數(shù)( )x0 xx )x(或?yàn)闀r(shí)的無(wú)窮小量,簡(jiǎn)稱無(wú)窮小 .)x(或說(shuō)明說(shuō)明: 除 0 以外任何很小的常數(shù)都不是無(wú)窮小 ! 因?yàn)?)(lim0 xfxx,0,0當(dāng)00 xx時(shí), 0)(xf顯然 C 只能是 0 !CC目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 其中(x) 為一個(gè)無(wú)窮小定理定理 1 . ( 無(wú)窮小與函數(shù)極限的關(guān)系無(wú)窮小與函數(shù)極限的關(guān)系 )lim( )( )( )f xaf xax證證: :僅就 的情形證明,其他情形類似.0 xx 必要性必要性 設(shè)設(shè)0

4、lim( )xxf xa, ,那那么么0lim( ) 0 xxf xa令令( )( )xfxa，那那么么其中(x) 是當(dāng) 的無(wú)窮小,并且0 xx ( )( )f xax充分性充分性 設(shè)設(shè)( )( )f xax, ,(x) 是當(dāng) 的無(wú)窮小0 xx 那那么么0lim( )xxf x0lim( )xxax0lim( )xxax a2. 無(wú)窮小量的性質(zhì)無(wú)窮小量的性質(zhì)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 說(shuō)明說(shuō)明: 無(wú)限個(gè)無(wú)窮小之和不一定是無(wú)窮小無(wú)限個(gè)無(wú)窮小之和不一定是無(wú)窮小 !例如，例如，1211lim222nnnnnn1(1)有限個(gè)無(wú)窮小量的代數(shù)和是無(wú)窮小量;定理定理 2. 自變量相同變化趨勢(shì)的無(wú)窮小量有如

5、下性質(zhì)自變量相同變化趨勢(shì)的無(wú)窮小量有如下性質(zhì):(2)有限個(gè)無(wú)窮小量的乘積是無(wú)窮小量;目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 證證: :由已知, f在x0處是局部有界的,故0,0,M0(, ),xU x 恒有( ).f xM從而0(, ),xU x ( ) ( )|( )|,x f xMx故|( )|( ) ( )|( )|.Mxx f xMx0lim( )0,xxx由于0lim( ) ( )0,xxx f x由加逼性得知所以(x) f(x) 是當(dāng) 時(shí)的無(wú)窮小.0 xx (x) 是當(dāng) 的無(wú)窮小,0 xx 定理定理 3. 設(shè)設(shè)f是在x0處局部有界的函數(shù),那么(x) f(x) 是當(dāng) 時(shí)的無(wú)窮小.0 xx 目錄

6、 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 (x) 是當(dāng) 的無(wú)窮小,0 xx 定理定理 3. 設(shè)設(shè)f是在x0處局部有界的函數(shù),那么(x) f(x) 是當(dāng) 時(shí)的無(wú)窮小.0 xx (x) 是當(dāng) 的無(wú)窮小,x 定理定理. 設(shè)設(shè)f是在 內(nèi)有界(即 ) 那么(x) f(x) 是當(dāng) 時(shí)的無(wú)窮小.x ( )U 0,( ),( )MxUf xM 恒有可以簡(jiǎn)記作：有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小。目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1. 求求.sinlimxxx解解: 1sinx01limxx利用定理 3 可知.0sinlimxxx說(shuō)明說(shuō)明 : y = 0 是是xxysin的漸近線 .Oxyxxysin目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束

7、,0時(shí)xxxxsin,32都是無(wú)窮小,引例引例 .xxx3lim20,020sinlimxxx,xxx3sinlim0,31但 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ( )o記作,0, )0(C,1lim0,kC是 的高階無(wú)窮小，是 的低階無(wú)窮小是 的同階無(wú)窮小是 的等價(jià)無(wú)窮小,是 的 k 階無(wú)窮小記作( )lim( )xx特別取(x)=x-x0,假設(shè) 則稱(x)是當(dāng)xx0時(shí)的k階無(wú)窮小.00( )limc,()kxxxxx設(shè)(x)與(x)是自變量x有相同變化趨勢(shì)的無(wú)窮小,且(x) 0.定義定義2(無(wú)窮小的階無(wú)窮小的階). 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例2. 當(dāng)當(dāng)x0時(shí)時(shí),試比較下列無(wú)窮小的階試比

8、較下列無(wú)窮小的階:322(1) ( )2,( )2;xxxxx(2) ( )sin ,( );xxxx(3) ( )tan ,( );xxxx21(4) ( )1 cos ,( );2xxxx 解解: (1)32200( )2limlim1;( )2xxxxxxx由于3223220,22,22,xxxxxxx所以當(dāng)時(shí)與是等價(jià)無(wú)窮小 即3220.xxx并且是當(dāng)時(shí)的二階無(wú)窮小(2)00( )sinlimlim1;sin.( )xxxxxxxx由于所以目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 00( )tanlimlim1;tan.( )xxxxxxxx由于所以(4)2002( )1 cos1limlim1;1

9、 cos.1( )22xxxxxxxx由于所以1 cos0.xx并且是當(dāng)時(shí)的二階無(wú)窮小例例2. 當(dāng)當(dāng)x0時(shí)時(shí),試比較下列無(wú)窮小的階試比較下列無(wú)窮小的階:322(1) ( )2,( )2;xxxxx(2) ( )sin ,( );xxxx(3) ( )tan ,( );xxxx21(4) ( )1 cos ,( );2xxxx 解解: (3)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 由上例中(2)(3)(4)可得,當(dāng)x0時(shí),sintan ,xxx211 cos.2xx根據(jù)高階無(wú)窮小的定義,上式還可以表示為:當(dāng)x0時(shí),221sin( ),tan( ),1 cos().2xxxxxxxxx注意: 并非每個(gè)無(wú)窮小

10、都有階數(shù),比如當(dāng)x0時(shí),1sinxx目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例3. 3. 證明證明: :當(dāng)當(dāng)0 x時(shí),11nx.1xn證證: 0limx11nxxn10limx11nnxxn111nnx21nnx1,0時(shí)當(dāng) x11nxxn1nnba)(ba1(naban 2)1nb1x分子目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例4. 證明證明: e1 (0)xx x證證:, 1e xy令, )1ln(yx則,0,0yx時(shí)且xexx1lim0)1ln(lim0yyyyyy1)1ln(1lim0eln11xx1e ln(1) (0)xx x 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 因而 即有等價(jià)關(guān)系: 說(shuō)明說(shuō)明: 上述證

11、明過(guò)程也給出了等價(jià)關(guān)系上述證明過(guò)程也給出了等價(jià)關(guān)系: )1ln(1lim10yyy目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 無(wú)窮小的等價(jià)關(guān)系具有如下性質(zhì)：無(wú)窮小的等價(jià)關(guān)系具有如下性質(zhì)：(1) 自反性：,那么,那么(2) 對(duì)稱性：假設(shè)(3) 傳遞性：假設(shè)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 證明提示證明提示:二、二、 無(wú)窮小的等價(jià)代換無(wú)窮小的等價(jià)代換 定理定理4 . 設(shè)設(shè)(x)與與(x), 都是自變量有相都是自變量有相同變化趨勢(shì)的無(wú)窮小同變化趨勢(shì)的無(wú)窮小,假設(shè)假設(shè) 并并且且( )( )xx與( )( )( )( ),xxxx( )lim( ),xx存在那么( )lim( ),xx也存在并且( )( )limlim(

12、 )( )xxxx( )( )( )( )( )( )( )( )xxxxxxxx目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例5. 利用無(wú)窮小等價(jià)代換定理求以下極限利用無(wú)窮小等價(jià)代換定理求以下極限解解: 因?yàn)橐驗(yàn)?()020121(1)limarcsinarctan23xxxx222112122xxx0arcsin2lim2xxx(arcsin)2xu 0lim1sinxuu所以所以arcsin,arctan.2233xxxx同理2200121limlim6arcsinarctan232 3xxxxxxx x目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .sintanlim30 xxxx30limxxxx原式30)co

13、s1 (tanlimxxxx2132210limxxxx(2)解解: 原式 注意注意: 應(yīng)用無(wú)窮小等價(jià)代換定理求極限時(shí)應(yīng)用無(wú)窮小等價(jià)代換定理求極限時(shí),只能對(duì)待只能對(duì)待求極限函數(shù)中的無(wú)窮小因子進(jìn)行求極限函數(shù)中的無(wú)窮小因子進(jìn)行.若待求極限的函數(shù)若待求極限的函數(shù)表達(dá)式中含有函數(shù)的加減法運(yùn)算表達(dá)式中含有函數(shù)的加減法運(yùn)算,則不能對(duì)其中的相則不能對(duì)其中的相加與相減的無(wú)窮小項(xiàng)進(jìn)行等價(jià)代換加與相減的無(wú)窮小項(xiàng)進(jìn)行等價(jià)代換.目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 231x221x(3).1cos1)1 (lim3120 xxx解解:,0時(shí)當(dāng) x1)1 (312 x231x1cos x221x0limx原式32目錄 上頁(yè) 下

14、頁(yè) 返回 結(jié)束 三、三、 無(wú)窮大量無(wú)窮大量(絕對(duì)值無(wú)限趨大的變量絕對(duì)值無(wú)限趨大的變量)定義定義3 . 設(shè)設(shè)0:()f U xR是一個(gè)函數(shù),假設(shè)0lim( ),xxf x 即0|0 xx|0,0,M使得當(dāng)則稱函數(shù)f(x)是當(dāng) 時(shí)的無(wú)窮大量,簡(jiǎn)稱無(wú)窮大 .0 xx時(shí),恒有|( )|,f xM定義定義3 . 設(shè)設(shè)0:()f U xR 是一個(gè)函數(shù),假設(shè)lim( ),xf x即xX0,0,XM 使得當(dāng)則稱函數(shù)f(x)是當(dāng) 時(shí)的無(wú)窮大量,簡(jiǎn)稱無(wú)窮大 .x 時(shí),恒有|( )|,f xM若在定義中改為Mxf)(則記作)(lim)(0 xfxxx)(lim()(0 xfxxx, )(Mxf目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回

15、 結(jié)束 注意注意:1. 無(wú)窮大不是很大的數(shù), 它是描述函數(shù)的一種狀態(tài).2. 函數(shù)為無(wú)窮大 , 必定無(wú)界 . 但反之不真 !例如例如, 函數(shù)函數(shù)),(,cos)(xxxxf)2( nf)(n當(dāng)2n但0)(2nf,時(shí)所以x)(xf不是無(wú)窮大 !xxycosOxy目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例6. 證明證明11lim1xx證證: 任給正數(shù)任給正數(shù) M ,要使,11Mx即,11Mx只要取,1M則對(duì)滿足10 x的一切 x , 有Mx11所以.11lim1xx11xy假設(shè) ,)(lim0 xfxx則直線0 xx 為曲線)(xfy 的鉛直漸近線 .鉛直漸近線說(shuō)明說(shuō)明:xyO1目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束

16、 假設(shè) lim( ),xf xa則稱直線ya為曲線)(xfy 的水平漸近線 .如下圖Oxyxy1. 01limxx.10的水平漸近線為xyy目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 假設(shè))(xf為無(wú)窮小, 且,0)(xf那么)(1xf為無(wú)窮大.)(1xf假設(shè))(xf為無(wú)窮大,為無(wú)窮小 ;那么據(jù)此定理(1) , 關(guān)于無(wú)窮大的問(wèn)題都可轉(zhuǎn)化為 無(wú)窮小來(lái)討論.定理定理5. 在自變量的相同變化趨勢(shì)下在自變量的相同變化趨勢(shì)下,有下述結(jié)論有下述結(jié)論:說(shuō)明說(shuō)明:(1)有限個(gè)無(wú)窮大量的乘積是無(wú)窮大量有限個(gè)無(wú)窮大量的乘積是無(wú)窮大量;(3) 無(wú)窮大量與有界量之和是無(wú)窮大量無(wú)窮大量與有界量之和是無(wú)窮大量.目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回

17、結(jié)束 兩個(gè)無(wú)窮大量的代數(shù)和不一定是無(wú)窮大量;無(wú)窮大量與有界量的乘積不一定是無(wú)窮大量.注意注意:大O記號(hào)設(shè)函數(shù)f(x)與g(x)定義在x0的某去心鄰域 中,假設(shè) 在x0處是局部有界的,則記作 .特別地,假設(shè)f(x)在x0處是局部有界的,則記作f(x)=O(1).0()U x( )( )f xg x( )( ( )f xO g x例如例如:sin(1), sin( )11OxO xxx目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 思考題思考題任何兩個(gè)無(wú)窮小都可以比較嗎？不能不能例例: : 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí) x,1)(xxf xxxgsin)( 都是無(wú)窮小量但 )()(limxfxgxxxsinlim 不存在且不為無(wú)窮大

18、故當(dāng) 時(shí) x)(xf和和)(xg不不能能比比較較.解解.目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 6 6、xaxnx1)1(lim10 = =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .練練 習(xí)習(xí) 題題目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 7 7、當(dāng)、當(dāng)0 x時(shí)，時(shí)，)0(3 aaxa 對(duì)于對(duì)于x是是_階無(wú)窮小階無(wú)窮小 . .8 8、當(dāng)、當(dāng)0 x時(shí)，無(wú)窮小時(shí)，無(wú)窮小xcos1 與與nmx等價(jià)，則等價(jià)，則 ._, nm 二、求下列各極限：二、求下列各極限：1 1、xxxx30sinsintanlim ；2 2、 eelim；3 3、xxxx sinsinlim0 ；4 4、axaxax tantanlim；目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 三、三、 證明：若證明：若 ,是無(wú)窮小，則是無(wú)窮小，則)(0 . .四、