第6章多元函數(shù)微分學3-10

1、中南大學開放式精品示范課堂高等數(shù)學建設組中南大學開放式精品示范課堂高等數(shù)學建設組高等數(shù)學高等數(shù)學A A6.1.5 6.1.5 全增量及全微分全增量及全微分 全增量的概念全增量的概念 全微分的定義全微分的定義 連續(xù)與可微的關系連續(xù)與可微的關系 可微的必要條件可微的必要條件 可微的充分條件可微的充分條件 全微分的記號全微分的記號全增量及全微分的定義全增量及全微分的定義全微分計算習例全微分計算習例2-6內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)全微分在數(shù)值計算中的應用全微分在數(shù)值計算中的應用近似計算近似計算誤差估計誤差估計6.1.56.1.5全增量及全微分全增量及全微分一、全增量及全增量及全微分的定義全微分的定義 ),(),

2、(yxfyxxf xyxfx ),(),(),(yxfyyxf yyxfy ),(由一元函數(shù)微分學中增量與微分的關系得由一元函數(shù)微分學中增量與微分的關系得6.1.5 6.1.5 全增量及全微分全增量及全微分1.全增量的概念全增量的概念).,(),(yxfyyxxfz 應用應用 一元函數(shù)一元函數(shù) y = f (x) 的微分的微分)( xoxAyxxfy)(d近似計算近似計算估計誤差估計誤差2. 全微分的定義全微分的定義定義定義: 如果函數(shù)如果函數(shù) z = f ( x, y )在定義域在定義域 D 的內(nèi)點的內(nèi)點( x , y ),(),(yxfyyxxfz可表示成可表示成, )(oyBxAz其中其

3、中 A , B 不依賴于不依賴于 x , y , 僅與僅與 x , y 有關，有關，稱為函數(shù)稱為函數(shù)),(yxf在點在點 (x, y) 的的全微分全微分, 記作記作yBxAfz dd22)()(yx則稱函數(shù)則稱函數(shù) f ( x, y ) 在點在點( x, y) 可微，可微，處全增量處全增量AxBy 驗證函數(shù)可微驗證函數(shù)可微, 須考察兩個方面須考察兩個方面: ;, )1(的線性函數(shù)的線性函數(shù)是是yxdz ).0( , 0 )2( yBxAz若函數(shù)在域若函數(shù)在域 D 內(nèi)各點都可微內(nèi)各點都可微, 則稱此函數(shù)則稱此函數(shù)在在D 內(nèi)可微內(nèi)可微.3. 連續(xù)與可微的關系連續(xù)與可微的關系定理定理1 如果函數(shù)如果

4、函數(shù)),(yxfz 在點在點),(yx可微分可微分, 則則函數(shù)在該點連續(xù)函數(shù)在該點連續(xù). 證明證明 ),( oyBxAz , 0lim0 z ),(lim00yyxxfyx ),(lim0zyxf ),(yxf 故故函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點點),(yx處處連連續(xù)續(xù). 4. 可微的必要條件可微的必要條件定理定理2 . ,),(),(yyzxxzdzyzxzyxyxfz 且且存在存在則則可微可微在在若若證明證明 ),( oyBxAz .,成立成立對任意對任意yx ),(),(,0yxfyyxfx 有有時時當當|),(|yoyB ByyoByyxfyyxfyy )(lim),(),(lim00

5、,Byz 即即.Axz 同理同理. yyzxxzdz 一元函數(shù)在某點的導數(shù)存在一元函數(shù)在某點的導數(shù)存在 微分存在微分存在多元函數(shù)的各偏導數(shù)存在多元函數(shù)的各偏導數(shù)存在 全微分存在全微分存在.)0 , 0( 000),( 1222222處的可微性處的可微性在在討論討論例例 yxyxyxxyyxf解解 xfxffxx)0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(0 , 0 . 0)0 , 0(), 0(lim)0 , 0(0 yfyffyy yBxAz 22)()(yxyx 22)()(yxyx 20)(2xxxxy , 021 .)0 , 0(),( 處不可微處不可微在在yxf可微可微可偏導可偏導

6、5. 可微的充分條件可微的充分條件 定理定理3 如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的偏偏導導數(shù)數(shù)xz 、yz 在在點點),(yx連連續(xù)續(xù)，則則該該函函數(shù)數(shù)在在點點),(yx可可微微分分 證明證明 ),(),(yxfyyxxfz ),(),(yyxfyyxxf ),(),(yxfyyxf xyyxxfx ),(1 中值定理中值定理yyyxfy ),(2 )1,0(21 yxyyxfxyxfyx 21),(),( 2121 yx, 00 )(21 oyx 即即故函數(shù)故函數(shù)),(yxfz 在點在點),(yx處可微處可微.xyxfx ),(1 偏導連續(xù)偏導連續(xù)yyxfy ),(2 )0, 0,(21時

7、的無窮小時的無窮小為為 yx 6. 全微分的記號全微分的記號 習慣上，記全微分為習慣上，記全微分為.dyyzdxxzdz 全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù)全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù).dzzudyyudxxudu 通常我們把二元函數(shù)的全微分等于它的兩個通常我們把二元函數(shù)的全微分等于它的兩個偏微分之和這件事稱為偏微分之和這件事稱為二元函數(shù)的微分符合二元函數(shù)的微分符合疊加原理也適用于二元以上函數(shù)的情況疊加原理也適用于二元以上函數(shù)的情況7. 全微分計算習例全微分計算習例 22,.ux yxydu設設求求例例3,)0 , 0(),( 0)0 , 0(),( 1sin),( 622 yx

8、yxyxxyyxf設設例例?)4?()3( ?)2?()1( ,)0 , 0(是否可微是否可微偏導數(shù)是否連續(xù)偏導數(shù)是否連續(xù)偏導數(shù)是否存在偏導數(shù)是否存在是否連續(xù)是否連續(xù)處處在在例例 2 2 計算函數(shù)計算函數(shù) xyez 在點在點 )1 , 2( 處的全微分處的全微分. . 解解,xyxe dyyzdxxzdz 因此，因此，.dyxedxyexyxy .222dyedxedz (2, 1) 處的全微分處的全微分它們均連續(xù)。因此，函數(shù)可微分。它們均連續(xù)。因此，函數(shù)可微分。,xyye xxyexz yxyeyz 例例322,.ux yxydu設設求求解解22,uxyyx 22,uxxyy 2222.du

9、xyydxxxy dy,uuxy因因連連續(xù)續(xù)，故故解解,2cos21yzzey ,yzye 所求全微分所求全微分.)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz , 1 xyzeyxxu 2sin yyzeyxyu 2sin zyzeyxzu 2sin 證證 （1）令令,cos x,sin y ),(lim)0 , 0(),(yxfyx. 0)0 , 0( f232222)0 , 0(),()(limyxyxyx 220cossinlim 0 ),0 , 0(f )0 , 0(xfxfxfx )0 , 0()0 ,(lim0, 000lim0 xx )0 , 0(yfyfyfy )0 ,

10、0(), 0(lim0, 000lim0 yy ),(lim)0 , 0(),(yxfyx232222)0 , 0(),()(limyxyxyx 220cossinlim 0 )0 , 0()0 , 0(yfxffyx 22232222)()()()()()(yxyxyx 22222)()()()(yxyx )0 , 0()0 , 0( yfxffyx 則則22222)()()()(xxxx 41 ),()0 , 0()0 , 0( oyfxffyx 即即總結(jié)：總結(jié)： 00,fx yxy證證明明在在點點是是否否可可微微的的步步驟驟： 0000,;xyfxyfxy(1)(1)求求 0000000

11、02200,limxyxyfxx yyfxyfxyxfxyyxy 2 考考察察極極限限 000030,xyxy（ ）如如果果上上式式極極限限為為 ，則則在在點點可可微微，如如果果極極限限不不存存在在，則則在在點點不不可可微微。?)4?()3( ?)2?()1( ,)0 , 0(是否可微是否可微偏導數(shù)是否連續(xù)偏導數(shù)是否連續(xù)偏導數(shù)是否存在偏導數(shù)是否存在是否連續(xù)是否連續(xù)處處在在解解 xyyxxy 221sin0)1()0, 0( 0yx),0 , 0(01sinlim22)0, 0(),(fyxxyyx 故函數(shù)連續(xù)故函數(shù)連續(xù).,)0 , 0(),( 0)0 , 0(),( 1sin),( 622 y

12、xyxyxxyyxf設設例例xfxffxx )0 , 0()0 ,(lim)0 , 0()2(0, 000lim0 xx. 0)0 , 0( yf同理同理,)0 , 0(),(時時當當 yx ),(yxfx,1cos)(1sin22322222yxyxyxyxy (3)當點當點),(yxP沿直線沿直線xy 趨于趨于)0 , 0(時時, ),(lim0yxfxxxy ,|21cos|22|21sinlim330 xxxxxx不存在不存在.所以所以),(yxfx在在)0 , 0(不連續(xù)不連續(xù).同理可證同理可證),(yxfy在在)0 , 0(不連續(xù)不連續(xù). yBxAf0 )4(2222)()()()

13、(1sinyxyxyx 2)()(22yx )0, 0( 0 yx故故),(yxf在點在點)0 , 0(可微可微. 0)0,0( df多元函數(shù)連續(xù)、可導、可微的關系多元函數(shù)連續(xù)、可導、可微的關系函數(shù)可微分函數(shù)可微分函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù) 偏導數(shù)連續(xù)偏導數(shù)連續(xù)偏導數(shù)存在偏導數(shù)存在可知當可知當*二、全微分在數(shù)值計算中的應用二、全微分在數(shù)值計算中的應用1. 近似計算近似計算由全微分定義由全微分定義xy)(),(),(oyyxfxyxfzyx),(yyxxfyyxfxyxfyx),(),(較小時較小時,yyxfxyxfzzyx),(),(dzd及及有近似等式有近似等式:),(yxf(可用于近似計算可用于近似

14、計算; 誤差分析誤差分析) (可用于近似計算可用于近似計算) 半徑由半徑由 20cm 增大增大解解: 已知已知,2hrVV,100,20hr) 1(2005. 01002022V即受壓后圓柱體體積減少了即受壓后圓柱體體積減少了 .cm2003例例7. 有一圓柱體受壓后發(fā)生形變有一圓柱體受壓后發(fā)生形變,到到 20.05cm , 則則 rrh2hr 21,05. 0hr)cm(2003高度由高度由100cm 減少到減少到 99cm ,體積的近似改變量體積的近似改變量. 求此圓柱體求此圓柱體例例8.8.計算計算的近似值的近似值. 02. 204. 1解解: 設設( , )yf x yx, ,則則),

15、(yxfx取取1,2,xy則則)02. 2,04. 1(04. 102. 2f(1, 2)(1, 2)(1, 2)xyffxfy 08. 102. 0004. 021),(yxfy,1yxyxxyln0.04,0.02xy 分別表示分別表示 x , y , z 的絕對誤差界的絕對誤差界, ,2. 誤差估計誤差估計利用利用yyxfxyxfzyx),(),(令令z 的絕對誤差界約為的絕對誤差界約為( , ) ( , ) zxxyyfx yfx yz 的相對誤差界約為的相對誤差界約為yyxxzyxfyxfyxfyxfz),(),(),(),(則則zyx , ,時，yxz ) 1 (,)2(時xyz

16、類似可以推廣到三元及三元以上的情形類似可以推廣到三元及三元以上的情形. .xzz )(2xyyxy x1yx乘除后的結(jié)果相對誤差變大乘除后的結(jié)果相對誤差變大很小的數(shù)不能做除數(shù)很小的數(shù)不能做除數(shù)例例9. 利用公式利用公式CbaSsin211 . 030,01. 03 . 8,01. 05 .12Cba求計算面積時的絕對誤差與相對誤差求計算面積時的絕對誤差與相對誤差.解：解：aSaSaCbsin2112.5,8.3,30 , 0.01, 1800abCabC13. 0 S故絕對誤差約為故絕對誤差約為又又CbaSsin21所以所以 S 的相對誤差約為的相對誤差約為SS30sin3 . 85 .122

17、1bCasin21CCabcos2194.250.1325.94%5 . 0 計算三角形面積計算三角形面積. .現(xiàn)測得現(xiàn)測得bbSccS例例10.10.在直流電路中在直流電路中, 測得電壓測得電壓 U = 24 伏伏 ,解解: 由歐姆定律可知由歐姆定律可知4624IUR( 歐歐)所以所以 R 的相對誤差約為的相對誤差約為IURIUR0.3 + 0.5 R 的絕對誤差約為的絕對誤差約為 RR0.8 0.3;定律計算電阻定律計算電阻 R 時產(chǎn)生的相對誤差和絕對誤差時產(chǎn)生的相對誤差和絕對誤差 .相對誤差為相對誤差為 測得電流測得電流 I = 6安安, 相對誤差為相對誤差為 0.5 ,= 0.032 ( 歐歐 )= 0.8 求用歐姆求用歐姆內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小