D1-3函數(shù)極限ppt課件

1、一、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限二、自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限二、自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限第三節(jié)第三節(jié) 函數(shù)的極限函數(shù)的極限 , )(xfy 對(duì)0)1(xx 0)2(xx0)3(xxx)4(x)5(x)6(自變量變化過(guò)程的六種形式自變量變化過(guò)程的六種形式: 根據(jù)自變量的這種變化過(guò)程，本節(jié)主要研究以下根據(jù)自變量的這種變化過(guò)程，本節(jié)主要研究以下兩種情況：兩種情況：二、當(dāng)自變量二、當(dāng)自變量x的絕對(duì)值無(wú)限增大時(shí)，的絕對(duì)值無(wú)限增大時(shí)，f(x)的變化趨勢(shì)，的變化趨勢(shì)，的極限的極限時(shí)時(shí)即即)(,xfx 一、當(dāng)自變量一、當(dāng)自變量x無(wú)限地接近于無(wú)限地接近于x0時(shí)，時(shí)，f(x

2、)的變化趨勢(shì)的變化趨勢(shì)的極限的極限時(shí)時(shí)即即)(,0 xfxx 一、自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限的變化趨勢(shì)的變化趨勢(shì)函數(shù)函數(shù)時(shí)時(shí)考察考察1)1(2)(,12 xxxfx 這個(gè)函數(shù)雖在這個(gè)函數(shù)雖在x=1處處無(wú)定義，但從它的圖無(wú)定義，但從它的圖形上可見，當(dāng)點(diǎn)從形上可見，當(dāng)點(diǎn)從1的的左側(cè)或右側(cè)無(wú)限地接左側(cè)或右側(cè)無(wú)限地接近于近于1時(shí)，時(shí)， f(x)的值無(wú)的值無(wú)限地接近于限地接近于4，我們稱，我們稱常數(shù)常數(shù)4為為f(x)當(dāng)當(dāng)x1 時(shí)時(shí) f(x) 的極限。的極限。1xyo4 Axf)( 00 xx 0 x 0 x,0鄰鄰域域的的去去心心點(diǎn)點(diǎn) x.0程程度度接接近近體體現(xiàn)現(xiàn)xx

3、 怎樣用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃怎樣用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃,0 xx 無(wú)限接近無(wú)限接近)(xf函數(shù)函數(shù)于確定值于確定值A(chǔ)？;)(任意小任意小表示表示Axf .0的的過(guò)過(guò)程程表表示示xx 00 xx ),(0 xUxO0 x , 0 若若)( , 0 若若1.1.定義定義定義定義1 1設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)有定義有定義., 0 ,00時(shí)時(shí)使當(dāng)使當(dāng) xx Axf)(,)(0Axfxx有有極極限限時(shí)時(shí)函函數(shù)數(shù)則則稱稱 ,)(lim0Axfxx 記作記作).()(0 xxAxf或或, 0 恒有恒有)(xf在點(diǎn)在點(diǎn)x0某去心鄰域內(nèi)某去心鄰域內(nèi)注注 定義習(xí)慣上稱為極限的定義習(xí)慣上稱為極限的定義其三個(gè)要素：定義其三個(gè)要素：10。正數(shù)。正

4、數(shù)，20。正數(shù)。正數(shù)，30。不等式。不等式)|0(|)(|0 xxAxf定定義義 .)(,0, 0, 00 Axfxx恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng)0lim( )xxf xA 定義中定義中 |00 xx0 xx 表表示示 所以所以x x0時(shí)，時(shí)，f(x) 有無(wú)極限與有無(wú)極限與 f(x)在在x0處的狀處的狀態(tài)并無(wú)關(guān)系，這是因?yàn)槲覀兯P(guān)心的是態(tài)并無(wú)關(guān)系，這是因?yàn)槲覀兯P(guān)心的是f(x) 在在x0附附近的變化趨勢(shì)，即近的變化趨勢(shì)，即 x x0時(shí)時(shí)f(x) 變化有無(wú)終極目標(biāo)，變化有無(wú)終極目標(biāo)，而不是而不是f(x) 在在x0這一孤立點(diǎn)的情況這一孤立點(diǎn)的情況 。約定。約定x x0但但 xx00反映了反映了x充分靠近充

5、分靠近x0的程度，它依賴于的程度，它依賴于，對(duì)一固定的對(duì)一固定的而言，合乎定義要求的而言，合乎定義要求的并不是唯并不是唯一的。一的。由不等式由不等式 |f(x) A| 來(lái)選定，來(lái)選定，一般地，一般地，越小，越小，越小越小, 0 AyA必存在必存在x0的去心鄰域的去心鄰域,00 xx對(duì)于此鄰域內(nèi)的對(duì)于此鄰域內(nèi)的 x,對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖形位于這一帶形區(qū)域內(nèi)對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖形位于這一帶形區(qū)域內(nèi).的幾何意義的幾何意義Axfxx )(lim. 20作出帶形區(qū)域作出帶形區(qū)域, 0 ,00 xx當(dāng)當(dāng) Axf)(, 0 xyO)(xfy A A0 x 0 x 0 xA一般說(shuō)來(lái)一般說(shuō)來(lái),)(lim0Axfxx 論論證證應(yīng)

6、從不等式應(yīng)從不等式 Axf)(動(dòng)身動(dòng)身, 推導(dǎo)出應(yīng)小于怎樣的正數(shù)推導(dǎo)出應(yīng)小于怎樣的正數(shù),這個(gè)正數(shù)就是要找的與這個(gè)正數(shù)就是要找的與 相對(duì)應(yīng)的相對(duì)應(yīng)的 , 這個(gè)推導(dǎo)常常是困難的這個(gè)推導(dǎo)常常是困難的. 但是但是, 注意到我們不需要找最大的注意到我們不需要找最大的, 所以所以Axf )(適當(dāng)放大些適當(dāng)放大些,的式子的式子,變成易于解出變成易于解出0 xx . 找到一個(gè)需要的找到一個(gè)需要的 找到找到就證明完畢就證明完畢.可把可把 . lim 00 xxxx證明證證 , | 0 , , 00時(shí)則當(dāng)取xx |0 xx . lim , 00 xxxx故成立例例1 1例例2 證明證明5)13(lim2 xx證證

7、|2|3|5)(| xxf |2|3|5)(|xxf要使要使3|2| x只須只須于是于是0 )3( 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) |2|0 x恒有恒有 |5)(|xf5)13(lim2 xx例例3.lim00 xxxx 證證0)(xxAxf , 0 ,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx00 xxxx Axf)(要要使使,0 xx有有 00 xxx即即只只要要.lim,0:000 xxxxx 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)證明證明0 x且且 取取,0 x 0 x min 00 xxx 0 x可用可用00 xxx 保證保證(1) 證明證明 914lim2 xx證證, 0 由于由于 24914 xx要使要使 914x解出解出)(2 x只要只要,42 x可取

8、可取 ,20時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x有有 ,914 x 914lim2 xx解不等式解不等式,4 4 (2) 證明證明0coscoslim0 xxxx 0coscosxx2sin20 xx 0 xx證證, 0 可取可取, ,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx有有,coscos0 xx0coscoslim0 xxxx 2sin2sin200 xxxx 3. 左、右極限左、右極限(單側(cè)極限單側(cè)極限)例如例如, 0, 10,1)(2xxxxxf設(shè)設(shè)00 xx和和分分,0 xx從從左左側(cè)側(cè)無(wú)無(wú)限限趨趨近近; 00 xx記作記作,0 xx從從右右側(cè)側(cè)無(wú)無(wú)限限趨趨近近. 00 xx記記作作. 1)(lim0 xfx兩種情況分別討論兩

9、種情況分別討論!xyO1xy 112 xy左極限左極限, 0 右極限右極限Axfxxxx )(lim)(000記作記作Axfxxxx )(lim)(000記作記作, 0 .)( Axf恒恒有有00 xxx 使得使得時(shí)時(shí),Axf )0(0或或, 0 , 0 00 xxx使得使得時(shí)時(shí),.)( Axf恒恒有有Axf )0(0或或.)(0Axf 或或或或.)(0Axf 00 xxx注注Axfxx )(lim0Axfxf )0()0(00均均存存在在和和右右極極限限左左極極限限)0()0(00 xfxf且且0000 xxxxxx性質(zhì)常用于判斷分段函數(shù)當(dāng)性質(zhì)常用于判斷分段函數(shù)當(dāng)x趨近于趨近于分段點(diǎn)分段點(diǎn)

10、時(shí)的極限時(shí)的極限.(1) 左、右極限均存在, 且相等；(2) 左、右極限均存在, 但不相等；(3) 左、右極限中至少有一個(gè)不存在.找找例題！ 函數(shù)在點(diǎn) x0 處的左、右極限可能出現(xiàn)以下三種情況之一：試證函數(shù)試證函數(shù),1sin1)( xxxxxf)(lim1xfx xx 1lim.,1無(wú)極限無(wú)極限時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x證證)(lim1xfx xxsinlim1 1 1sin 左、右極限不相等左、右極限不相等,故故.)(,1無(wú)無(wú)極極限限時(shí)時(shí)xfx 例例4111211)( 2xxxxxxf求)(lim1xfx)(lim1xfxy = f (x)xOy1121在 x = 1 處的左、右極限.1lim21xx0)

11、 1(lim1xx解練習(xí)練習(xí).lim0不不存存在在驗(yàn)驗(yàn)證證xxx證證xxxxxx 00limlim1)1(lim0 xxxxxxx00limlim 11lim0 x左右極限存在但不相等左右極限存在但不相等,.)(lim0不不存存在在xfxyx11 o二、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限二、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限.sin時(shí)時(shí)的的變變化化趨趨勢(shì)勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀觀察察函函數(shù)數(shù) xxx返回返回問(wèn)問(wèn)題題: :函函數(shù)數(shù))(xfy 在在 x的的過(guò)過(guò)程程中中, 對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)函函數(shù)數(shù)值值)(xf無(wú)無(wú)限限趨趨近近于于確確定定值值 A.通過(guò)上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察通過(guò)上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:. 0sin)(,無(wú)無(wú)限限接接近近于于無(wú)無(wú)限

12、限增增大大時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxfx 問(wèn)題問(wèn)題: 如何用精確的數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃函數(shù)如何用精確的數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃函數(shù)“無(wú)無(wú)限接近限接近”.;)()(任任意意小小表表示示AxfAxf .的過(guò)程的過(guò)程表示表示 xXx:. 1 定定義義定義定義X Axfx)(lim.)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng):)1(情情形形 x, 0 :)2(情形情形xAxf )(limAxf )(lim2. 另兩種情形另兩種情形, 0 X,時(shí)時(shí)使當(dāng)使當(dāng)Xx |)(|Axf恒有恒有, 0 , 0 X,時(shí)時(shí)使當(dāng)使當(dāng)Xx .)(上有定義上有定義在在設(shè)設(shè)axxf |)(|Axf恒有恒有.)(上有定義上有定義在在設(shè)設(shè)axxf

13、 x xAxfx )(lim且且Axfx )(limAxfx )(lim解解顯然有顯然有,2arctanlim xx,2arctanlim xx可見可見xxarctanlim和和xxarctanlim雖然都存在雖然都存在, 但它們不相等但它們不相等.xxarctanlim 故故不存在不存在.例例5 討論極限討論極限 是否存在是否存在?xxarctanlim 22yxyarctanx X X,時(shí)時(shí)或或當(dāng)當(dāng)XxXx A的的幾幾何何意意義義Axfx )(lim. 3,|時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Xx 有有 |)(|Axf, 0 , 0 X AxfA)()(xfy 函數(shù)函數(shù),為為中中心心線線以以直直線線Ay .2 的帶

14、形區(qū)域內(nèi)的帶形區(qū)域內(nèi)寬為寬為 )(xfy 圖形圖形完全落在完全落在:xyO例例6 . 2121lim 33xxx證明：證證 , 0 , 2121 33xx要 , |21 3x即要 , 21 | 3x即 , | , 21 3有時(shí)則當(dāng)故取XxX 2121 33xx成立. 由極限的定義可知:. 2121lim 33xxxxxysin 例例70sinlim xxx證明證明證證, 0 ,1 X取取,|時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Xx 0sinxx. 0sinlim xxx故故要使要使,0sin xx成立成立.xxxxsin0sin ,|1x 只要只要 |1x有有,1| x即即 解不等式解不等式| x解出解出xyO,)(li

15、mCxfx 如果如果Cy . 111lim22 xxx試證試證證證, 0 注意注意有有12111222 xxx,22x 為了使為了使,11122 xx只要使只要使,22 x,2 x即即,2 X取取,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Xx 有有 2222111xxx的圖形的的圖形的. 111lim22 xxxx解出解出水平漸近線水平漸近線(horizontal asymptote).,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x結(jié)論結(jié)論則直線則直線)(xfy 是是函函數(shù)數(shù)三、函數(shù)極限的性質(zhì)三、函數(shù)極限的性質(zhì) 函數(shù)極限與數(shù)列極限相比函數(shù)極限與數(shù)列極限相比,有類似的性質(zhì)有類似的性質(zhì),定理定理1(1(極限的唯一性極限的唯一性) )有極限有極限,若在自變量的

16、某種變化若在自變量的某種變化趨勢(shì)下趨勢(shì)下,則極限值必唯一則極限值必唯一.定理定理2(2(局部有界性局部有界性) ),0時(shí)時(shí)若當(dāng)若當(dāng)xx f(x)有極限有極限,則則f(x)在在 上有界上有界;),(0 xU,時(shí)時(shí)若當(dāng)若當(dāng) xf(x)有有極限極限,|, 0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)則則存存在在XxX .)(有有界界函函數(shù)數(shù)xf且證明方法也類似且證明方法也類似.)(xf,)(lim)1(0Axfxx 若若定理定理3(3(局部保號(hào)性局部保號(hào)性) )證證 (1) 設(shè)設(shè)A0,取正數(shù)取正數(shù),2A ,)(lim0Axfxx 由由, 0 則則,00 xx使使當(dāng)當(dāng),2)(AAxf 即即2)(2AAxfAA . 0)( xf);0)

17、(0)(,),(0 xfxfxU或或有有內(nèi)內(nèi)則則在在),0)(0)(),()2(0 xfxfxU或或內(nèi)內(nèi)有有若若在在).0(0 AA或或則則必必有有23A2A有有自己證自己證),0(0 AA或或且且),0()(lim0 AAxfxx若若只要取只要取,2A 便可得更強(qiáng)的結(jié)論便可得更強(qiáng)的結(jié)論:證證 (1),2)(Axf 已證已證也即也即2)(Axf (2)自己證自己證.定理定理3 (1)的證明中的證明中,),(0內(nèi)內(nèi)使在使在 xU.2| )(|Axf 有有不論不論, 0 則則, 00 AA或或定理定理 3 ,0時(shí)時(shí) A,0時(shí)時(shí) A),0)(0)(),()2(0 xfxfxU或或內(nèi)內(nèi)有有若若在在 )

18、.0(0 AA或或則則必必有有證證, 0)( xf設(shè)設(shè) 假設(shè)上述論斷不成立, 0 A即設(shè)即設(shè)那末由那末由(1)就有就有),(0 xU在該鄰域內(nèi)在該鄰域內(nèi), 0)( xf這與這與. 0 A所以所以類似可證類似可證 的情形的情形.0)( xf假設(shè)矛盾假設(shè)矛盾,若定理若定理3(2)3(2)中的條件改為中的條件改為, 0)( xf必有必有?0 A不能不能! ! 20lim xx如如 是否是否0定理定理3 3),0(0,)(lim)1(0 AAAxfxx或或且且若若);0)(0)(,),(0 xfxfxU或或有有內(nèi)內(nèi)則則在在定理定理3 3定理定理4(4(函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系)

19、 )如果極限如果極限存在存在,nx為函數(shù)為函數(shù))(xf的定義域內(nèi)任一收斂于的定義域內(nèi)任一收斂于x0的數(shù)列的數(shù)列,那么相應(yīng)的函數(shù)值數(shù)列那么相應(yīng)的函數(shù)值數(shù)列且滿足且滿足:0 xxn ),( Nn)(nxf必收斂必收斂,且且證證 設(shè)設(shè)那那么么, 0 , 0 ,|00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx.|)(| Axf有有對(duì)此對(duì)此, 0 ,N ,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Nn 有有.|0 xxn,nN故當(dāng)時(shí),|00 xxn有有.|)(| Axfn即即0limxxnn )(lim0 xfxx).(lim)(lim0 xfxfxxnn )(limnnxfA,)(lim0Axfxx 例例8.1sinlim0不不存存在在證證明明xx證證xy1sin ,1 nxn取取, 0lim nnx; 0 nx且且 ,2141 nxn取取, 0lim nnx; 0 nx且且1limsinlimsin0nnnnx而 214sinlim1sinlim nxnnn而而1lim n, 1 二者不相等二者不相等,.1sinlim0不存在不存在故故xx1. 函數(shù)極限的函數(shù)極限的 或或X 定義定義;2. 函數(shù)極限的性質(zhì)函數(shù)極限的性質(zhì)局部保號(hào)性局部保號(hào)性; ;四、