工程力學答案梁的變形

1、第五章梁的變形測試練習1 .判斷改錯題5-1-1梁上彎矩最大的截面，撓度也最大，彎矩為零的截面，轉角亦為零.（）5-1-2兩根幾何尺寸、支承條件完全相同的靜定梁，只要所受荷栽相同，則兩梁所對應的截面的撓度及轉角相同，而與梁的材料是否相同無關。（）5-1-3懸臂梁受力如圖所示，若A點上作用的集中力P在AB段上作等效平移，則A截面的 轉角及撓度都不變。（）5-1-4圖示均質等直桿（總重量為W）,放置在水平剛性平面上，若A端有一集中力P作用， 使AC部分被提起，CB部分仍與剛性平面貼合，則在截面C上剪力和彎矩均為零。（）P題5-1-3圖A1 / / t f i i t fIf f t f i t f

2、 fC B題5-1-4圖5-1-5撓曲線近似微分方程不能用于求截面直梁的位移。（）5-1-6等截面直梁在彎曲變形時，撓度曲線的曲率最大值發(fā)生在轉角等于零的截面處。（）5-1-7兩簡支梁的抗剛度日及跨長2a均相同，受力如圖所示，則兩梁跨中截面的撓度不等 而轉角是相等的。（）5-1-8簡支梁在圖示任意荷載作用下，截面C產(chǎn)生撓度和轉角，若在跨中截面C又加上一題5-1-7圖個集中力偶M0作用，則梁的截面C的撓度要改變，而轉角不變。（）題5-1-8圖5-1-9 一鑄鐵簡支梁，在均布載荷作用下，當其橫截面相同且分別按圖示兩種情況放置時， 梁同一截面的應力及變形均相同。（）5-1-10圖示變截面梁，當用積分

3、法求撓曲線方程時，因彎矩方程有三個，則通常有6個積 分常量。（）2 .填空題. M (x),，-5-2-1撓曲線近似微分方程y (x)(-)的近似性表現(xiàn)在 和。EIP15-2-2已知圖小二梁的抗彎度EI相同，若使二者自由端的撓度相等，則P2P1P2,題5-2-2圖5-2-3應用疊加原理求梁的變形時應滿足的條件是： 。5-2-4在梁的變形中撓度和轉角之間的關系是 。5-2-5用積分法求圖示的外伸梁(BD為拉桿)的撓曲線方程時，求解積分常量所用到的邊 界條件是 ,連續(xù)條件是 。5-2-6用積分法求圖示外伸梁的撓曲線方程時，求解積分常量所用到邊界條件是, 連續(xù)條件是。5-2-7圖示結構為 次超靜定梁

4、。題5-2-5圖C題5-2-6圖X題5-2-7圖5-2-8純彎曲梁段變形后的曲率與外力偶矩M的關系為,其變形曲線為 曲線。5-2-9兩根EI值相同、跨度之比為1: 2的簡支梁，當承受相同的均布荷載q作用時，它 們的撓度之比為 。5-2-10當梁上作用有均布荷載時，其撓曲線方程是x的 次方程。梁上作用有集中力時，撓曲線方程是x的 次方程。梁上作用有力偶矩時，撓曲線方程是x的一次方程。 5-2-11圖示外伸梁，若AB段作用有均布荷載，BC段上無荷載，則AB段撓曲線方程是x 的 次方程；BC段撓曲線方程是x的 次方程。q 口 I，B； CfTJTT題5-2-11圖 Px5-2-13已知梁的撓度曲線方

5、程為y(x) (3l x),則該梁的彎矩方程為 。6EI5-2-14梁的變形中，撓度和截面彎矩M的關系是,撓度和截面剪力Q的關系是。5-2-15為使圖示AB段的撓曲線為一直線，則x= 。5-2-16要使圖示簡支梁的撓曲線的拐點位于距A端1/3處，則Mi：M2= 。5-2-17圖示靜定梁，其BD上無荷載作用，若已知B截面的撓度yB,則C截面的撓度yC=, D截面的轉角8 d=。A P C P絲B ； D，l a題5-2-15圖題5-2-16圖題5-2-17圖3.選擇題5-3-1簡支梁長為l,跨度中點作用有集中力P,則梁的最大撓度f=( ) (EI =常量)Pl 3Pl45Pl5A. B. C.4

6、8EI48EI384EIPl3D.3EI5-3-2懸臂梁長為l,梁上作用有均布荷載q,則自由端截面的撓度為。()ql4ql3ql4ql3A.B.C.D.-6EI6EI8EI8EI5-3-3兩梁尺寸及材料均相同，而受力如圖示，則兩梁的A.彎矩相同，撓曲線形狀不相同B.彎矩相同，撓曲線形狀相同C.彎矩不相同，撓曲線形狀不相同D.彎矩不相同，撓曲線形狀相同5-3-4圖示(a)、(b)兩梁，長度、截面尺寸及約束均相同，圖(a)梁的外力偶矩作用在C截面， 圖(b)梁的外力偶矩作用在B支座的右作側，則兩梁AB段的內(nèi)力和彎曲變形的比較是 ()。Ao內(nèi)力相同，變形不相同B.內(nèi)力及變形均相同C.內(nèi)力及變形均不相

7、同PD.內(nèi)力不相同，變形相同5-3-5當用積分法求圖示梁的撓度曲線方程時，在確定積分常量的四個條件中，除x=0,0 A=0;x=0,yA=0外，另兩個條件是()。a . (yc)左=(yc)右,(e。左=(e c)右B. (yc)左=(yc)右,yB=0C. yc=0, yB=0D . yB=0, 9 c=05-3-6 圖示簡支梁在分布荷載q (x) =f(x)作用下，梁的撓度曲線方程為()。EIy(x) M (x)dxdx Cx D,其中，積分常量A.C0, D0C.C0, D0B.C0, D0D.C0, D0題5-3-5圖神 二狀(刈ty題5-3-6圖5-3-7撓曲線方程中的積分常梁主要反

8、映了A.對近似微分方程誤差的修正B.剪力對變形的影響C.約束條件對變形的影響D.梁的軸向位移對變形的影響5-3-8圖示懸臂梁在B、C兩截面上各承受一個力偶矩作用，兩力偶矩大小相等，轉向相反, 使梁產(chǎn)生彎曲變形。B截面的變形為()。A.y0,0B. y 0,0*JBfMoMo c)C.y0,0Do y 0,0:I題5-3-8圖5-3-9圖示簡支梁受集中力作用，其最大撓度f發(fā)生在()。A.集中力作用處 Bo跨中截面C.轉角為零處 Do轉角最大處5-3-10兩簡支梁EI及l(fā)均相同，作用荷載如圖所示?？缰薪孛鍯分別產(chǎn)生撓度yc和轉角8 c,則兩梁C點的撓度及兩梁C點的轉角有()。A. 0 c相等，yc

9、不相等Bo 0 c不相等，yc相等C. 0 c和 都不相等 D。0 c和yc都相等4.計算題5-4-1試畫出圖示各梁撓曲線的大致形狀。(a)(b)(e)題5-4-1圖5-4-2 一簡支梁承受圖示分布荷載q=Kx2 （K為已知），試求此梁的撓曲線方程（設1 =常 量）。5-4-3已知圖示梁的帶積分常量的撓曲線方程為Eiyi(x)Ely?3ql2163q|2162X12X2- x1C X1D1(0X112ql 3 q /l、4X2(X2 f12242C2 X22)D2IX2l)試求方程中的積分常量。5-4-4試用疊加法求圖示梁B點的撓度和轉角。（El =常量）1y 題 5-4-2 圖1/2*題5-

10、4-4圖5-4-5外伸梁受圖示荷載作用，試求C截面的撓度和A截面的轉角。（1 =常量。）5-4-6矩形截面梁AB的抗彎剛度為EI,受力如圖示。試問B端支座向上抬高A為多少時， 梁的A截面的彎矩和C截面的彎矩絕對值相等。（材料的抗拉與抗壓性能相同）5-4-7圖示彎曲的鋼板梁AB,截面為矩形，寬度為b,高度為h,鋼板放在剛硬地面上時 原有曲率半徑為P ,在兩端受力P作用使其平直，則將有均布壓力作用于剛硬地面C-C上。 已知剛梁E （彈性模量），試求所需的P力及其在壓平時梁內(nèi)的最大正應力。題5-4-5圖題5-4-6圖題5-4-7圖5-4-8長度為1、抗彎剛度為EI的懸臂梁AB,受均布荷載q作用而彎曲

11、時，與半徑為r的 剛性圓柱面接觸，如圖所示。試求當梁上某一段AC與剛性圓柱面在C點接觸(假設C點 與梁左端A的距離為x)時，B點的撓度。5-4-9單位長度重量為q、抗彎剛度為EI的矩形截面鋼條，放置在水平剛性面上，剛條的 一端伸出水平面一小段CD,如圖所示。若伸出長度為a,試求剛條翹起而不與水平面接觸 的CD段的長度bo5-4-10超靜定梁如圖所示,AB段內(nèi)作用有均布荷載q,當C支座向下沉陷.iTlB C式q題5-4-8圖題5-4-9圖t1M0題5-4-11圖試求梁的反力。題5-4-10圖5-4-11矩形截面懸臂梁如圖所示，梁長為1,在沿其截面高度h承受非均勻加熱，設梁頂 部溫度改變?yōu)閠l,底

12、部溫度改變?yōu)閠2,且t2t1。溫度沿截面高度呈線形改變。材料的線膨脹 系數(shù)為a,彈性模量為E,由于不均勻受熱而使梁發(fā)生彎曲變形，當梁的懸臂端施加偶矩Mo 時，能使梁展直。問應施加多大的外力偶矩？5-4-12懸臂梁AB和CD的自由端處用拉桿BC相連,受力如圖所示，若AB梁和CD梁的抗 彎剛度日相等，試求在下列兩種情況下C點的撓度.(1)當BC桿為剛性桿，即EA=8時；當BC桿長為L EI 與時。2 l2l3-4i/D題5-4-12圖5-4-13 AB與BC兩梁較接于B,如圖所示。已知兩梁的抗彎度相等，P=40kN/m,試求B 點的約束力。5-4-14懸臂梁和簡支梁材料和截面均相同。已知E及未受力

13、前AB梁B點與CD梁中點之 間的間隙A （垂直距離），如圖所示，當受P力后AB梁在B點的撓度大于A,試求各梁的 支座反力。4m _ 2m. 2m.q0I，題5-4-15圖5-4-15具有初始撓度的AB梁如圖所示，梁的EI和l均為已知。當梁上作用有三角形分布 荷載時（q。已知），梁便呈直線形狀。試求梁的初始撓曲線方程。題5-4-13圖5-4-16試根據(jù)對稱性求圖示梁的撓曲線方程。1 =常量5-4-17兩端固定的等截面梁，梁上作用一外力偶矩M。，如圖所示。欲使在固定端A的反 力偶矩Ma為零，則力偶矩M。應作用在梁上何位置？（即x = ?）BA|. l/2 J . l/2 % 5-4-16 圖 5-

14、4A題5-4-17圖-14R測試練習解答1.判斷改錯題 5-45-1-1 X。撓度穩(wěn)轉角不僅與彎矩有關，而且與邊界位移條件也有關，例如，當懸臂梁自 由端作用有集中力解時，自由端的M = 0,但撓度和轉角都是最大值。5-1-2 X。凡彈，圈變形均與材料的彈性模量值有關。5-1-3 Vo外力在研究的梁段以外，用等效力系代替不影響研究段的內(nèi)力及變形。5-1-4 X。在C截面上彎矩為零而剪力不為力零。5-1-5 X?？梢杂糜谧兘孛媪海皇欠帜钢械腎z不同。5-1-6 X。根據(jù)1y（x） 蛆，可知曲率工最大值應在M最大的截面處（EI=常量 時）。5-1-7 Vo若將2q分解成正對稱和反對稱兩組，就可明顯

15、看出，在正對稱的q作用下C點 有撓度，轉角等于零。5-1-8 X。在C截面加上一力偶矩后C截面的撓度不變，而轉角改變。5-1-9 X。應力不同，變形相同。因為變形只與Iz有關，而T形截面無論還是，其慣性矩Iz是相等的。而應力不僅與Iz有關而且還與ymax (上下邊緣到中性軸的距離)有關，丁 這種方法的最大拉應力比+這種方法的最大拉應力要大。5-1-10 x彎矩方程式有三個,2.填空題但積分時要分成四段，因截面改變處要分段。5-2-1忽略剪力Q的影響；1(y) 15-2-28。因Ra3P2(2a)33EIP1,所以P2(2a)33a5-2-3小變形及材料為線彈性5-2-4y (x)(x)5-2-

16、5x 0,yA 0 x l,yB l BD ;5-2-6Na 0, (i)ay 0;(2 )A, (y1)Ay2 ) A5-2-7二次5-2-8M；圓弧線日5-2-94_45q(1)5q(21)16。因 M)/4 1/16384 EI 384 EI5-2-105-2-115-2-124；4；3； 21合理安排受力，減小M ;減小1;加大日5-2-13M (x)P(1 x)5-2-14y (x)M(x).EIy(x)Q(x)EI5-2-155-2-16l -a1/25-2-17yc1 s3 yB/2a5-3-45-3-95-3-55-3-103.選擇題5-3-1 A 5-3-2C 5-3-35-

17、3-6 D5-3-7 C 5-3-84計算題5-4-2梁的撓曲線方程為(1) 求分布荷載的合力t0q(x)dxKl 33求合力作用點到點的距離：dt0q(x)dx xP3i433P Kl - 3P Kl(2) 求反力.Ra - , Rb 41244(3)列 M (x)Ra xKx3 x34Kl5,D 90(2)連續(xù)光滑條件：l / ,、Xi X2,(y1)CXi X2 ；,Wi)c，(y2)C,解出C20W2)c,，解出 D2 05-4-4(1)只有q作用時，(B)q 3 ql6EI(yB )qql48EI“ M (x)(4)代入y 中并積分，由邊界條件確定CEI所以y(x) (5l3x2x5

18、4l5)360EI5-4-3(1)邊界條件：Xi0, y i 10,解出 Ci0Xi0, y 0,解出 Di0(2)只有P=ql作用時：嗎2(b)pc)p2ei ,l 3 l 2l P夕丐)l (yB )P (yC) P ( C)P2 3EI 2EI 2 (3)然后兩者疊加：7ql324EIyB ( B)q ( B ) P11ql448EI5-4-5(1)只有M012ql2作用時，（a）m0Mol3EI),yC M0( B )M0 ( )(2 )只有q作用時,A) q(1ql2) l86EI（,）(3 )疊力:yc5-4-6(2 )由 A、(yc)q(A) M0(yC )M0（洌）l83EI(

19、A)q(yc)ql_27ql348EI ,5ql4384 EI/l4 q(R8EI ()將B約束解除，用反力Rb代替。1C兩截面的彎拒絕對值相等可列萬程一rbi2l_ . P ,、P RbI ,解出 Rb ()23P .（3 ）在P和Rb作用下，求B點的撓度。3莊3EIPl3144EIl 22EI 2RbI33EI（負號表示向上）5-4-7(1)這是一個求變形和應力的綜合題。求壓力P:依題意，當兩端加上力P后使其平直且在C-C面上產(chǎn)生均布壓力q,因2P此可以將其簡化為兩端錢支的簡支梁，其反力均為P,C-C面上的均布壓力q 2P 。l4(2 )24 Eh5l2簡支梁在均布壓力q作用下中點的撓度等

20、于8 ,以一 ，解出P KEbJ）3 384 EI5 lM 1 l2M,axM max _ ql ， max . 8Wz5-4-8當q=0時，AB梁上沒有外力，梁軸線平直，A端曲率為零。當荷載q由0增加，到12、_ 1q。時，梁A端的彎矩為 一ql , A端曲率一2M(x)EI12髀EIqo2EIrl21211-q（l x）當q q0時，梁上某一段AC與剛性面接觸，C點端曲率為-22EI（x） r EI解得B點的撓度包括三部分，即y b (yB) i (yB)2 (yB)32產(chǎn))22r qr x（yB）i為C點的撓度（yB）i 一2r（yB）2為C點的轉角引起B(yǎng)點的撓度（yB）2 1（l12旦

21、）（2目r qr qr（yB）3為CD段當作懸臂梁在q作用下B點的撓度(yB)38EL(l x)422qr 以上三種撓度疊加，即為點B的撓度yB工（旦 l2）2r qr5-4-9由于AB段平直，所以B點的彎矩、轉角及撓度均等于零。B點和C點與剛性平面接 觸，簡化為較支座，則BCD端簡化為外伸臂梁。在該梁上作用有均布荷載q（自重）但要滿足B 0的條件，如圖（a）所示。求e B時，可取BC為簡支梁，而CD上的均布力向C點平移得一集中力qa和一力偶矩M 012-qa ,如圖（b）所不。根據(jù)8=0的條件求解b,即B ( B )q ( B)M0qb32EI(1qa2) b 06EI解出b 2ar 口一

22、qa2/2 % %5-4-10這是一個在外力作用及有支座位移下的一次超靜定問題。將C約束解除，用約束力Rc代替，成為基本結構。變形協(xié)調(diào)條件是yc尤(向上)。96 EI在q和Rc共同作用下求出ycql43Rcl348EI24EI,并將其代入變形協(xié)調(diào)方程，解出1Rcql(),然后根據(jù)平衡萬程求出Ra、Rb即-11 一、 -5 一、Ra -T-ql( ), Rb -ql()-，2485-4-11梁在不均勻溫度的變化下，發(fā)生彎曲和伸長變形，由于t2t1,所以軸線以上伸長少, 而軸線以下伸長大，使梁發(fā)生凸向下的彎曲變形，B點有向上的撓度，設為(AB)t。在梁的設Mo作用下B點的自由端上作用力偶矩Mo后，

23、能使變形展直，B點又回到原水平位置,撓度為(B) M 0。由(A B)(b)m0 ,變形條件可以解出 M0值。其中(B )t,、.2a(t2 L)l2hMl22EI，代入變形條件中解得Moa(t2 L)EIoh5-4-12(1)當桿BC的EA=時，桿不變形，將BC桿切短，用Rbc代替其約束，取基本結構。變形協(xié)調(diào)條件為yB=yc( J ),解出Rb5PC,則 yC yB32RbcI33EI5Pl396EI當EAEAF時，桿BC有伸長變形，同樣將BC桿切段，用Rbc代替,取基本結構。這時的變Rbc I調(diào)條件為ycyBl BC lBCEA2EIRbcSyc25Pl3336 EI5-4-13這是一個二次超靜定問題。若不計桿的軸向變形，則結構無水平約束力，將該問題 簡化為B校只有一個垂直約束力為未知數(shù)的結構。在B較處切斷，用約束力Rb代替，取出 基本結構，并根據(jù)B點的變形協(xié)調(diào)條件建立補充方