高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)點(diǎn)撥 對(duì)定積分的概念剖析

1、對(duì)定積分的概念剖析學(xué)習(xí)定積分對(duì)理解中學(xué)教材是必要的，如祖日恒原理.只有學(xué)習(xí)了定積分才能更好地理解它，要想學(xué)好本部分，也需從定義學(xué)起.一、關(guān)于定積分的概念.定積分的定義：如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)（如圖1），用分點(diǎn)將區(qū)間等分成個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)，作和式，當(dāng)時(shí)，上述和式無(wú)限接近某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)叫做函數(shù)在區(qū)間上的定積分，記作，即，這里，與分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間叫做積分區(qū)間，函數(shù)叫做被積函數(shù)，叫做積分變量，叫做被積式注意：1定積分是一種“和”的極限，蘊(yùn)含著分割、近似代替，求和、取極限的思想方法，這種思想方法來(lái)源于“計(jì)算底邊在區(qū)間上，高為的曲邊梯形的面積”分割：將大曲邊梯形分割成很多

2、個(gè)小曲邊梯形，即在區(qū)間內(nèi)取個(gè)點(diǎn)，它們依次為，這些點(diǎn)把區(qū)間等分成個(gè)小區(qū)間近似代替：當(dāng)分點(diǎn)較多，又分割的較細(xì)時(shí)，即在每個(gè)小區(qū)間上的值變化不大時(shí)，在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)，以為高，為底的小矩形面積近似代替相應(yīng)區(qū)間上的小曲邊梯形的面積（近似代替可以有以直代曲，以勻速代變速，以恒力代變力，以圓柱代圓錐等多種方式）求和：將區(qū)間上近似代替小曲邊梯形的小矩形的面積加起來(lái)，就是所求曲邊梯形面積的近似值.取極限：當(dāng)上述分割越來(lái)越細(xì)，即分點(diǎn)無(wú)限增多，同時(shí)小區(qū)間的長(zhǎng)度趨近于零時(shí)，則求和公式的極限就是曲邊梯形的面積.許多實(shí)際問(wèn)題，如求體積、變力作功、變速直線運(yùn)動(dòng)的路程等，都可以通過(guò)“分割、近似代替、求和、取極限”歸結(jié)成這

3、種特殊結(jié)構(gòu)的“和”的極限.拋開(kāi)實(shí)際問(wèn)題的具體意義，從數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)上來(lái)考慮問(wèn)題，就產(chǎn)生了定積分的定義.2在定義中均假設(shè)，當(dāng)或時(shí)，有或3定積分是一種“和”的極限值，所以是一個(gè)常數(shù)，與被積函數(shù)在積分區(qū)間有關(guān)，與積分變量用什么字母表示無(wú)關(guān)4如果被積函數(shù)在積分區(qū)間上連續(xù)，那么定積分必定存在，如無(wú)特別聲明，我們總假定被積函數(shù)在積分區(qū)間上連續(xù)2定積分的幾何意義：（1）當(dāng)函數(shù)時(shí)，定積分在幾何上表示：由曲線、直線及軸所圍成的曲邊梯形（圖2）的面積即（2）如果在區(qū)間，函數(shù)時(shí)，那么曲邊梯形位于軸下方（圖3）在右端的和式中，由于，故從而積分，這時(shí)它等于圖3所示曲邊梯形面積的負(fù)值，即或（3）當(dāng)在區(qū)間上有正有負(fù)時(shí)，積分在幾何上表示圖4所示的幾個(gè)小曲邊梯形面積的代數(shù)和（軸上方面積取正號(hào)，軸下方面積取負(fù)號(hào)）二、典例分析例1根據(jù)定積分的幾何意義計(jì)算定積分：解：由幾何意義，所求定積分表示由直線及所圍成圖形的面積，即圖中陰影部分面積因此例2利用定積分定