高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)點(diǎn)撥 活用圓錐曲線“統(tǒng)一性”定義解題

1、活用圓錐曲線“統(tǒng)一性”定義解題從點(diǎn)的集合（或軌跡）的觀點(diǎn)來(lái)看，圓錐曲線（除圓外）都是與定點(diǎn)和定直線距離的比是常數(shù)e的點(diǎn)的集合（或軌跡）這個(gè)定點(diǎn)稱為焦點(diǎn)，定直線稱為他們的準(zhǔn)線，由于常數(shù)e的取值范圍不同，曲線分為橢圓、雙曲線和拋物線深刻理解這一定義（以下簡(jiǎn)稱“統(tǒng)一性”定義），對(duì)解決有關(guān)圓錐曲線問(wèn)題有著舉足輕重的作用，下面就此舉例說(shuō)明：一、活用圓錐曲線“統(tǒng)一性”定義判斷曲線的形狀例1已知平面上的動(dòng)點(diǎn)M（x，y）滿足方程.問(wèn)點(diǎn)M的軌跡是 （ ）（A）橢圓 (B)雙曲線 (C)拋物線 (D)直線分析：一般情況下，識(shí)別點(diǎn)的軌跡是通過(guò)化簡(jiǎn)方程來(lái)進(jìn)行的，但此例若用此法處理不僅麻煩，且由于其曲線的對(duì)稱軸與坐標(biāo)軸

2、不平行，化簡(jiǎn)了方程的形式仍很難識(shí)別，若能用圓錐曲線“統(tǒng)一性”定義去思考，答案則顯而易見(jiàn)解：原方程可化為 .此式的幾何意義可理解為：在平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)M（x，y）到定點(diǎn)（-2，-l）的距離與到定直線：3x4y一120的距離之比為5：1，由圓錐曲線的“統(tǒng)一性”定義可知，這樣的軌跡是以定點(diǎn)（-2，-l）為焦點(diǎn)，以直線L：3x4y一12二0為準(zhǔn)線的雙曲線二、活用圓錐曲線“統(tǒng)一性”定義求曲線方程例2：如圖，ABCD是一張矩形紙片，AB=4,AD=8,按圖形所示方法進(jìn)行折疊，使折疊后的B點(diǎn)都落在AD上，此時(shí)B記為B，（注：折痕EF中，點(diǎn)F也可落在邊CD上）。過(guò)B作BTCD交EF于T點(diǎn)，求T點(diǎn)的軌跡方程.分析：本

3、題是有關(guān)折疊問(wèn)題的一道題，應(yīng)注意折疊前后的圖形聯(lián)系。就本題而言，連結(jié)TB后，有|TB|=|TB|，即T到定點(diǎn)B的距離與到直線AD距離相等，所以T的軌跡為拋物線，剩下的工作就是建系，求方程及范圍，同樣應(yīng)注意應(yīng)用圖形的幾何性質(zhì).解：連結(jié)TB，由EBT與EBT全等可知，|TB|=|TB|即動(dòng)點(diǎn)T到定點(diǎn)B與到定直線AD距離相等，所以T的軌跡為拋物線的一部分，B為焦點(diǎn)，AD為準(zhǔn)線，以AB的中垂線為x軸，以BA為y軸建立直角坐標(biāo)系，AB中點(diǎn)為O，設(shè)其方程為x2=-2py，則|OB|=2,所求方程為x2=-8y. 當(dāng)沿x軸為折痕時(shí)，T在原點(diǎn)O；當(dāng)沿A與BC中點(diǎn)連線為折痕時(shí)，T在BC的中點(diǎn)，所以T點(diǎn)橫坐標(biāo)范圍

4、是0x4.T點(diǎn)的軌跡方程為x2=-8y(0x4).例3：求經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(1,2)，以y軸為準(zhǔn)線，離心率為的橢圓左頂點(diǎn)的軌跡方程.分析：設(shè)橢圓左頂點(diǎn)為A(x,y)由題設(shè)可知，左焦點(diǎn)F所滿足的關(guān)系是明確的，因此，解決此題的關(guān)鍵是將A的坐標(biāo)轉(zhuǎn)移到F點(diǎn)上去（找出A點(diǎn)坐標(biāo)與F點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系式），然后再根據(jù)題設(shè)條件（點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離與到準(zhǔn)線的距離之比為），利用圓錐曲線統(tǒng)一性定義，列出關(guān)系式，經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)整理，求得軌跡方程.解：設(shè)橢圓左頂點(diǎn)為A(x,y)，左焦點(diǎn)為F，反向延長(zhǎng)線AF交y軸（左準(zhǔn)線）于點(diǎn)Q，則M(1,2)到y(tǒng)軸的距離d=1，如圖，由橢圓統(tǒng)一性定義可得F點(diǎn)的坐標(biāo)為，再根據(jù)統(tǒng)一性定義，由,即化簡(jiǎn)得所求軌跡方

5、程：.三：活用圓錐曲線“統(tǒng)一性”定義判斷直線與圓的位置關(guān)系例4：已知拋物線y2=2px，判斷以過(guò)焦點(diǎn)的弦為直徑的圓與拋物線準(zhǔn)線的位置關(guān)系。分析：判斷直線與圓的位置關(guān)系可考慮圓心到直線的距離.解：如圖，由拋物線的定義知|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|且|MM1|=|AA1|+|BB1|MM1|=|AF|+|BF|即以為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切.同理可證以橢圓和雙曲線的焦點(diǎn)弦為直徑的圓與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線分別相離，相切。四、活用圓錐曲線“統(tǒng)一性”定義求最值例5：點(diǎn)A（3，2）為定點(diǎn)，點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線上移動(dòng)，若取得最小值，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。分析：題設(shè)中|PF|是拋物線的焦半徑，則|PF

6、|等于點(diǎn)P到其準(zhǔn)線的距離，所以的最小值即可轉(zhuǎn)化為|PA|+d的最小值.解：拋物線的準(zhǔn)線方程為，設(shè)P到線的距離為，則=。要使取得最小值，則過(guò)A向準(zhǔn)線作垂線y=2可知此時(shí)取得最小值，把代入，得P（1，2）.五、活用圓錐曲線“統(tǒng)一性”定義求圓錐曲線的離心率例6一直線過(guò)圓錐曲線的焦點(diǎn)F1且傾抖角為600，它與圓錐曲線交于A、B兩點(diǎn)，若|FA|=2|FB|，求該圓錐曲線的離心率分析：因AB是焦點(diǎn)弦，故其焦半徑可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)A、B到準(zhǔn)線的距離，利用平面幾何圖形性質(zhì)，結(jié)合統(tǒng)一性定義可得以解決解：設(shè)|FB|x，則|FA|=2x，|AB|=3x,過(guò)A、B兩點(diǎn)且平行于x軸的直線分別交其相應(yīng)的準(zhǔn)線于M、N兩點(diǎn)，則|AM|=（e為圓錐曲線的離心率）.過(guò)B點(diǎn)作BKAM, K為垂足，由于直線AB與x軸成600，由此可求得：|AK|=,又|AM|=|AK|+|BN|,即,所以e=.六、活用圓錐曲線“統(tǒng)一性”定義確定有關(guān)角的取值范圍例7：過(guò)拋物線y2=-x的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn)，且在直線x=上的射影分別是M,N則MFN等于（ ）A 450 B 600 C 900 D 以上都不對(duì)分析：此題借助拋物線的定義與平面幾何性質(zhì)即可解