高等數(shù)學(xué)真題復(fù)習(xí)資料詳解

1、絕密考試結(jié)束前全國(guó)2013年1月高等教育自學(xué)考試高等數(shù)學(xué)（一）試題課程代碼：00020試卷總體分析：A章第F第三章第四章第五章合計(jì)一、單項(xiàng)選擇題（2*5 ）22222010二、填空題（3*10）33669330三、計(jì)算題（一）（5*5）055010525四、計(jì)算題（二）（7*3）00777021五、應(yīng)用題（9*1 ）0000099六、證明題（5*1 ）0005005合計(jì)51020202817100試卷詳解：請(qǐng)考生按規(guī)定用筆將所有試題的答案涂、寫(xiě)在答題紙上。選擇題部分注意事項(xiàng)：1 .答題前，考生務(wù)必將自己的考試課程名稱(chēng)、姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用黑色字跡的簽字筆或鋼筆填寫(xiě)在答題紙規(guī)定的 位置上。2 .每小

2、題選出答案后，用 2B鉛筆把答題紙上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂 其他答案標(biāo)號(hào)。不能答在試題卷上。一、單項(xiàng)選擇題（本大題共5小題，每小題2分，共10分）在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其選出并將“答題紙”的相應(yīng)代碼涂黑。錯(cuò)涂、多涂或未涂均無(wú)分。21 .設(shè)函數(shù) f x 1 x x ,貝 f（x） =A. x（x+ 1） B. x（x-1）C.（x+1）（x-2） D. （x-1）（x+2）答案：B知識(shí)點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)解：f x 1 x2 x令 x 1 t,則 x t 12故f t t 1 t 1 t 1 t即f x x 1 x2 .若x 0時(shí)函數(shù)f

3、(x)為x2的高階無(wú)窮小量，則lim ' (2x)= x 0 xA. 0B. -C. 1D. 82答案：A知識(shí)點(diǎn)：無(wú)窮小量的比較解：根據(jù)高階無(wú)窮小量的定義f(x) c lim 2 =0. X 0 x23.設(shè)函數(shù)f xx2 x9x3 1 ,則高階導(dǎo)數(shù)f(12)x =C. 10! D. 0A . 12!B. 11!答案：D知識(shí)點(diǎn)：高階導(dǎo)數(shù)2931152斛：fx x x x 1 x x x11 15 12 1f' x 11x 5x 2x11 25 22 2f" x 11 10x5 4x 2xM110fx11!x12fx04.曲線(xiàn)A.僅有鉛直漸近線(xiàn)答案：B知識(shí)點(diǎn)：曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)

4、B.僅有水平漸近線(xiàn)C.既有水平漸近線(xiàn)又有鉛直漸近線(xiàn)D.無(wú)漸近線(xiàn)1x解：Q limy lim2 lim 0xx 3 x2 x 3 1x原曲線(xiàn)有水平漸近線(xiàn)y=05.設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù),a(x)xtf(t)dt,則(x) =A. x f (x) B. a f(x) 答案：CC. -x f(x) D, -a f (x)知識(shí)點(diǎn)：變限積分的導(dǎo)數(shù)解： (x)axtf(t)dt'xf x非選擇題部分注意事項(xiàng)：用黑色字跡的簽字筆或鋼筆將答案寫(xiě)在答題紙上，不能答在試題卷上。二、填空題(本大題共10小題，每小題3分，共30分)2x 16.設(shè)函數(shù)f x Ig2，則f(x)的定義域?yàn)?.知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)定義域解：根

5、據(jù)題意得0,解得x -72即原函數(shù)定義域?yàn)?-,+21 2 27.極限 lim l 2x =.x 0知識(shí)點(diǎn)：重要極限11212解：lim l 2x2 x2 lim l 2x2 3 lim l 2x2 x e2 x 0x 0x 08 .某商品需求量 Q與價(jià)格P的函數(shù)關(guān)系為 Q=150-2P2,則P=6時(shí)的邊際需求為 知識(shí)點(diǎn)：邊際分析解：Q'p 6 4Pp 6249 .函數(shù)f x x2在區(qū)間0, 1上滿(mǎn)足拉格朗日中值定理的中值=知識(shí)點(diǎn)：拉格朗日中值定理解：Qf' 2 f f(0) 1 1 01244 310.函數(shù)f x x -x 1在區(qū)間-1,1上的取小值為3知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)最值32斛

6、： 由 f' x 4x 4x 0解得原函數(shù)在0,1內(nèi)駐點(diǎn)為x 0,1 ,2Q f( 1) 2 , f (0) 1,f(1) 33 .2原函數(shù)在 0,1的最小值為2311 .極限lim處.x 0 (1 x)ln(1 x)知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)極限解： 法一：limsinx lim xlim 1x 0 (1x)ln(1x) x o(1 x)xx 01xcosx dlim 1x 0ln(1 x) 1、工 一sin x法一 ：limx 0 (1 x)ln(1 x)12.定積分 1xcosxdx .知識(shí)點(diǎn)：奇函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的定積分性質(zhì)1解：根據(jù)奇函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的定積分值為0,得 xcosxdx113

7、.微分方程xy y的通解為 .知識(shí)點(diǎn)：可分離變量微分方程dy dxy xdy dxy xIn y In x In Cy Cxx14 .若 f x dx 3e3 C ,貝U f（x）=.知識(shí)點(diǎn)：不定積分的定義xx解：f x3e3 C ' e315 .設(shè)函數(shù) z=eysin x y ,貝U =.y知識(shí)點(diǎn)：偏導(dǎo)數(shù)解：eysin x y ey cos x y ey sin x y cos x y y=0三、計(jì)算題（一）（本大題共5小題，每小題5分，共25分）3e cos2x, 16.討論函數(shù)f(x)1(1 3x)x,知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)的連續(xù)性解:Qf(0) e3一3-3lim f(x) lim e

8、cos2x e x 0x 01lim f(x) lim (1 3x)x lim (1x 0x 0x 0lim f (x) lim f(x) f (0)x 0x 0故函數(shù)f(x)在x=0處連續(xù).x 0在x=0處的連續(xù)性.x 013x產(chǎn)17,設(shè)函數(shù) yearcsinx,求 d y.1 arcsinx arcsinx解：法一：Q y' e ' e=21 xarcsinxarcsinxarcsinx arcsinxe法一：dy d e e d arcsin x dx1x218.求不定積分xe-2xdx .知識(shí)點(diǎn)：不定積分的分部積分法無(wú)力 -2x1-2x角牛：xe dx xde21 -2

9、K-2x .1-2x 1 -2x c-xe e dx - xe - e C2 22-e-2x x 2 C21八2, x 0119.設(shè)函數(shù)f(x) 1 x,計(jì)算定積分1f(x)dx.1 x, x 0知識(shí)點(diǎn)：定積分計(jì)算01: 11 xdx 2-dx1 o1 x3 o12x 2 arctan x0 一 一134x=2圍成.20 .計(jì)算二重積分xdxdy ,其中區(qū)域D由曲線(xiàn)y 1, y x2及直線(xiàn)Dx知識(shí)點(diǎn)：二重積分的計(jì)算解，二到;"的X題20圖（注：若先對(duì)，積分，可參照以上步驟給分.）1 24 2解二：I xdxdy xdxdx111 y2 y知識(shí)點(diǎn)：定積分的計(jì)算12 2x1 2 12 y

10、dy42 2x dy1 2 04 rdy21 y1 4 -421y dy12 4y11y 122 41y11-4y2214四、計(jì)算題（二）（本大題共3小題，每小題7分，共21分）21.設(shè)函數(shù)y1 x ln 1 x1,2 十 dy一arctan x，求一2dx x o知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)求導(dǎo)dr=+ X) ln(l (arctan.r2/XbH?22.求曲線(xiàn)y xe2x的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).知識(shí)點(diǎn)：曲線(xiàn)的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)令尸工0,可得工在區(qū)間（7c,T）上曲線(xiàn)是凸的: 在區(qū)間（一1,竹）上尸，0,曲線(xiàn)是凹的. 曲線(xiàn)的拐點(diǎn)是（注:凹凸區(qū)間可包含端點(diǎn).）23 .計(jì)算定積分2 _x_01-x2dx .sin/d/五

11、、應(yīng)用題（本題 9分）N (萬(wàn)24 .設(shè)某企業(yè)生產(chǎn)一定量的某產(chǎn)品時(shí)可用兩種原料，第一種為x （千噸），第二種為y （千噸），其電能消耗量度）與兩種原料使用量的關(guān)系為22N x 2xy 2y 4x 6y 105問(wèn)如何使用兩種原料方可使電能消耗達(dá)到最低，并求此時(shí)的最低能耗.知識(shí)點(diǎn)：二元函數(shù)的最值卜令隹二不，-"0,解得驍點(diǎn)根據(jù)實(shí)際意義可知能耗的最小值一定存在. E蛀點(diǎn)睢.故當(dāng)上=】千噸L 3 =1 （千噸）時(shí)能就最I(lǐng)ff.此時(shí)的最低能耗N = 100（萬(wàn)度）r注：在論證最小性時(shí)可采用如卜方法：在駐點(diǎn)處B = N：=2, C = N：=4.螂I力E'“尺C<Q,且故當(dāng)兒=1（干噸&y =【（千噸）時(shí)能耗地低，此時(shí)的最低能耗是川=100 1萬(wàn)廈人六、證明題（本題 5分）3x25