第三節(jié)空間曲面與曲線

1、例1：求與A(2,3,1)和B(4,5,6)等距離的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)跡。1.曲面方程的一般概念：而滿足此方程的點(diǎn)都在曲面上，則稱此方程為該曲面的方程，而曲面稱為此方程的圖形。定義：若曲面上的點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y,z)都滿足方程 F(x,y,z) =0，一一. .曲面及其方程：曲面及其方程：解：設(shè) M(x,y,z)為動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，動(dòng)點(diǎn)應(yīng)滿足的條件是|AM|=|BM|3 3 空間曲面與空間曲線空間曲面與空間曲線由距離公式得222222) 6() 5() 4() 1() 3() 2(zyxzyx整理得 0631044zyx此即所求點(diǎn)的規(guī)跡方程，為一平面方程。 2.坐標(biāo)面及與坐標(biāo)面平行的平面方程：坐標(biāo)面yoz 、

2、坐標(biāo)面xoz以及過點(diǎn)(a,b,c)且分別與之平行的平面方程為：x=0; y=0; x=a; y=b 過點(diǎn)(a,b,c)且與xoy面平行的平面方程:z=c坐標(biāo)平面xoy的方程：z=0 球面的標(biāo)準(zhǔn)方程：以M0(x0,y0,z0)為球心，R為半徑的球面方程為(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2如：如： x2+y2+z2+2x-2y-2=0整理得： (x+1)2+(y-1)2+z2=22 球面的一般方程：3. 球面方程：x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D=0特點(diǎn)：平方項(xiàng)系數(shù)相同；沒有交叉項(xiàng)。表示一個(gè)球心在（-1,1,0)，半徑為2的球。4.母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程： 一般我們將動(dòng)

3、直線L沿定曲線c平行移動(dòng)所形成的軌跡稱為柱面。其中直線L稱為柱面的母線，定曲線c稱為柱面的準(zhǔn)線。母線平行于坐標(biāo)軸的柱面的特點(diǎn)為：缺一個(gè)變量，母線平行于未出現(xiàn)哪個(gè)變量的同名坐標(biāo)軸。若柱面的母線平行于z軸，準(zhǔn)線c是xOy面上的一條曲線，其方程為 F(x,y)=0，則該柱面的方程為F(x,y)=0;此時(shí)有以下結(jié)論：本章中只研究母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程。同理， G(x,z)=0, H(y,z)=0在空間中分別表示母線平行于y軸和x軸的柱面。圓柱面；橢圓柱面；雙曲柱面；拋物柱面。以上所舉例均為母線平行于z軸的情況，其他情況類似。（1）x+y=a幾種常見柱面：222ayx（2）12222byax（3）1

4、2222byax（4）pyx22（5）平面； 一般情況下我們將一平面曲線c繞同一平面內(nèi)的定直線L旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。其中c稱為母線，L稱為其軸。本章中我們只研究繞坐標(biāo)軸放置的曲面。 設(shè)yoz平面上有一已知曲線c其方程為f(y,z)=0，將c繞z軸旋轉(zhuǎn)一周后,設(shè)曲面上任一點(diǎn)為P(x, y,z ),過點(diǎn)P可作圓面，其與z軸相交得到的點(diǎn)為M(0, 0,z )，與曲線c的交點(diǎn)為N(0, y1,z ),此三點(diǎn)滿足方程：( , )0f y z 現(xiàn)在建立方程：4.旋轉(zhuǎn)曲面：221PMMNyxy 點(diǎn)N滿足方程22(, )0fxyz 1(, )0f y z cMPN曲線c繞y軸旋轉(zhuǎn)所得曲面方程為：0

5、),(22zxyf0),(22zyxf繞z軸為0),(22yzxf0),(22zyxf繞z軸為0),(22zyxf同理，同理，設(shè)xoz平面上有一已知曲線c其方程為f(x,z)=0，繞x軸為設(shè)xoy平面上有一已知曲線c其方程為f(x,y)=0，繞x軸為特點(diǎn)：（1）旋轉(zhuǎn)曲面總有兩個(gè)變量的平方的系數(shù)相同。（2）求旋轉(zhuǎn)曲面方法：繞哪個(gè)軸旋轉(zhuǎn)，那個(gè)變量就不變，另一個(gè)變量變成22 該該變變量量未未出出現(xiàn)現(xiàn)的的變變量量如：xoy22134xy 平面上的曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)得曲面方程：22 22()134yzx 即222134xyz 繞y軸旋轉(zhuǎn)得曲面方程：22 22()134xzy 即222134xzy 空間曲線一

6、般可看作兩個(gè)曲面的交線，若兩個(gè)曲面的方程分別為F(x,y,z)=0和G(x,y,z)=0，則易知其交線c的方程為( , )0( , )0F x y zG x y z 稱此方程組為曲線c的一般方程。例例1 1：方程組22252xyzz 表示怎樣的曲線？解解：平面z=2上以(0,0,2)為圓心的單位圓。1.空間曲線的一般方程：二二. .空間曲線及其方程：空間曲線及其方程：解：表示母線平行于z軸，準(zhǔn)線在xoy222()( )22aaxy 它們的交線是xoy面上的一個(gè)圓.例2:方程222222()()22Zaxyaaxy 表示怎樣曲線?表示中心在原點(diǎn)，半徑為a的上半球面222zaxy (, 0)2a2

7、a面上其圓心在 ，半徑為 的圓柱面2.空間曲線的參數(shù)方程： 方程組)()()(tzztyytxx稱為空間中曲線的參數(shù)方程。設(shè)空間曲線方程如果選定一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)x=x(t)代入上述方程組,并由它解出y=y(t),z=z(t)得例3：如果空間一點(diǎn)M在圓柱面 x2 +y2 =a2 上以等角速度繞z軸旋轉(zhuǎn)，同時(shí)，以等速度v沿平行于z軸的正方向移動(dòng)，則點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的軌跡叫螺旋線，求其參數(shù)方程( , )0( , )0F x y zG x y z P同時(shí)又在平行于z軸的方向等速地上升。其軌跡就是圓柱螺線。 圓柱面222ayx yz0 xa x = y =z =acos tbtM(x,y,z)asin ttM螺線

8、從點(diǎn)P Q當(dāng) t 從 0 2，bPQ 2叫螺距N.Q（移動(dòng)及轉(zhuǎn)動(dòng)都是等速進(jìn)行，所以z與t成正比。)點(diǎn)P在圓柱面上等速地繞z軸旋轉(zhuǎn)；三三. .空間曲線在坐標(biāo)面上的投影：空間曲線在坐標(biāo)面上的投影：( , , )0:( , , )0F x y zLG x y z 在該方程組中消去z得H(x,y)=0，此為一個(gè)通過曲線L ，母線平行于z軸的柱面，稱為曲線c關(guān)于此投影柱面與xOy平面的交線即為c在xOy平面上的投影曲線，簡(jiǎn)稱投影，其方程為( ,)00H x yz 同理可得L在yOz面及xOz面上投影方程為00),(yzxT00),(xzyR和xOy面的投影柱面。解:消去z得1-y2=3x2+y2投影柱面

9、方程為3x2+2y2=101322zyx投影曲線方程011232yzx投影曲線方程消去x得z=1-y2012xyz投影曲線方程消去y得3x2+1-2z=0投影柱面方程為3x2-2z-1=0投影柱面方程為z=1-y2例1：求曲線L： 在三個(gè)坐標(biāo)面上的22213yzzyx投影曲線？的交線是一條空間曲線例2:兩個(gè)柱面 和 222azx222ayx例例5 5：求曲線1) 1() 1(1222222zyxzyx在xOy面上的投影方程。 解解：上式減下式得z=1-y，代回上式得投影柱面02222yyx從而曲線在xOy面上的投影方程為222200 xyyz 方程為z =021 11 22zyxyxzo解122 yxL122 yx 01 22zyx.得交線L：投影柱面 22222 yxzyxz由 22222zxyzxyLxoy 求求曲曲面面及及的的交交線線在在平平面面上上的的投投影影。得投影曲線為：例6： 1283442 2222xzyzxzyL：L:xz y0L轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系，有下頁圖( )轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系，有下