第十章、第二節(jié)：對坐標(biāo)的曲線積分

1、第二節(jié)第二節(jié) 對坐標(biāo)的曲線積分對坐標(biāo)的曲線積分 一、問題的提出一、問題的提出 二、對坐標(biāo)的曲線積分的概念二、對坐標(biāo)的曲線積分的概念 三、對坐標(biāo)的曲線積分的計算三、對坐標(biāo)的曲線積分的計算 四、小結(jié)四、小結(jié) 思考題思考題oxyabl一、問題的提出一、問題的提出1 nmim1 im2m1mix iy 實例實例: : 變力沿曲線所作的功變力沿曲線所作的功,:baljyxqiyxpyxf),(),(),( 常力沿直線所作的功常力沿直線所作的功分割分割.),(,),(,1111110bmyxmyxmmannnn .abfw 一質(zhì)點在平面變力一質(zhì)點在平面變力的作用下從的作用下從 a 沿沿 l 移動到移動到

2、b ，計算變力所作的功。，計算變力所作的功。規(guī)定規(guī)定 l 的方向為的方向為.)()(1jyixmmiiii ,1 iiixxx ,1 iiiyyy 求和求和. ),(),(1 niiiiiiiyqxp 取極限取極限 niiiiiiiyqxpw10),(),(lim 近似值近似值精確值精確值,),(),(),(jqipfiiiiii .),(),(iiiiiiiyqxpw 即即 niiww1oxyabl1 nmim1 im2m1mix iy ),(ii ),(iif 用用 表示所有小弧段的最大長度表示所有小弧段的最大長度.)()(1jyixmmiiii ,),(1iiiiimmfw niiiin

3、iiiiyqxp1010),(lim),(lim 二、對坐標(biāo)的曲線積分的概念二、對坐標(biāo)的曲線積分的概念定義定義 設(shè)設(shè) l 為為 xoy 面內(nèi)從面內(nèi)從 a 到到 b 的一條有向光滑曲線弧的一條有向光滑曲線弧,函數(shù)函數(shù) p(x , y ) ，q (x , y) 在在 l 上有界上有界,),(111yxm將將 l 分成分成 n 個小有向弧段個小有向弧段,1iimm oxyab1 nmim1 im2m1m),(ii l任取任取,),(1iiiimm 分別作乘積表達式分別作乘積表達式,),(iiixp 在在 l 上沿上沿 l的方向依次插入的方向依次插入 n 1 個分點個分點, 2, 1ni bmamn

4、,0設(shè)設(shè),1 iiixxx ,1 iiiyyy ,),(iiiyq ),(222yxm),(,111 nnnyxmix iy oxyab1 nmim1 im2m1m),(ii lix iy 并分別作并分別作和和分別作乘積表達式分別作乘積表達式,),(iiixp ,),(iiiyq ,),(1iniiixp ,),(1iniiiyq 用用 表示所有小弧段的最大長度，表示所有小弧段的最大長度，如果當(dāng)如果當(dāng) 0 時時, iniiixp 1),(的極限總存在的極限總存在且與且與 l 的分法及點的分法及點),(ii 的取法無關(guān)，的取法無關(guān)，為為 p (x , y) 在在 有向曲線弧有向曲線弧 l 上對上

5、對坐標(biāo)坐標(biāo) x 的曲線積分的曲線積分 記為記為 lxdyxp),(則稱此極限則稱此極限iniiixp 10),(limoxyab1 nmim1 im2m1m),(ii lix iy 并分別作并分別作和和分別作乘積表達式分別作乘積表達式,),(iiixp ,),(iiiyq ,),(1iniiixp ,),(1iniiiyq 如果當(dāng)如果當(dāng) 0 時時, iniiiyq 1),(的極限總存在的極限總存在且與且與 l 的分法及點的分法及點),(ii 的取法無關(guān)，的取法無關(guān)，為為 q (x , y) 在在 有向曲線弧有向曲線弧 l 上對上對坐標(biāo)坐標(biāo) y 的曲線積分的曲線積分記為記為 lydyxq),(則

6、稱此極限則稱此極限iniiiyq 10),(lim lxdyxp),(iniiixp 10),(lim lxdyxp),(iniiixp 10),(lim對坐標(biāo)的曲線積分統(tǒng)稱為第二類曲線積分對坐標(biāo)的曲線積分統(tǒng)稱為第二類曲線積分被積函數(shù)被積函數(shù)積分弧段積分弧段積分和式積分和式 ldyyxq),(.),(lim10 niiiiyq 坐標(biāo)微分坐標(biāo)微分jyxqiyxpyxf),(),(),( 平面變力平面變力沿沿 l 所作的功所作的功 llydyxqxdyxpw),(),( lydyxqxdyxp),(),(簡記為簡記為若記若記, jdyidxrd 則則 lrdyxfw),(（1）所謂）所謂“對坐標(biāo)的

7、曲線積分對坐標(biāo)的曲線積分”，有兩個特征：，有兩個特征： 積分和是在積分和是在有向曲線弧有向曲線弧 l 上作出的；上作出的； 積分和中的微元素是有向小弧段所對應(yīng)的關(guān)于積分和中的微元素是有向小弧段所對應(yīng)的關(guān)于坐標(biāo)坐標(biāo) x 和和 y 的增量。的增量。 lxdyxp),(iniiixp 10),(lim ldyyxq),(.),(lim10 niiiiyq 幾點說明：幾點說明：即被積表達式中的微分是關(guān)于坐標(biāo)即被積表達式中的微分是關(guān)于坐標(biāo) x 和和 y 的微分。的微分。 ldsyxf),(.),(lim10 niiiisf lxdyxp),(iniiixp 10),(lim ldyyxq),(.),(l

8、im10 niiiiyq （2）當(dāng)）當(dāng) p (x , y) , q (x , y) 在有向光滑曲線弧在有向光滑曲線弧 l 上上連續(xù)時，第二類曲線積分都存在連續(xù)時，第二類曲線積分都存在（3）l 處處光滑的情形可以推廣到分段光滑的情形處處光滑的情形可以推廣到分段光滑的情形oxy1l2l21lll lrdyxf),( 1),(lrdyxf 2),(lrdyxf的曲線積分為的曲線積分為上對坐標(biāo)上對坐標(biāo)在空間有向曲線弧在空間有向曲線弧xzyxp ),( dxzyxp),(（4）推廣至空間的情形）推廣至空間的情形yx1 nmim1 im2m1m),(iii ab0同理同理 dyzyxq),(.),(lim

9、10iniiiixp .),(lim10iniiiiyq dzzyxr),(iniiiizr 10),(lim xpd yqd zrd zrdqdypdx簡記為簡記為ix iy xpd yqd zrd zrdqdypdx簡記為簡記為若記若記,),(),(),(),(kzyxrjzyxqizyxpzyxa 則則,kzdjdyidxrd zrdqdypdx rdzyxa),(三、第二類曲線積分的性質(zhì)三、第二類曲線積分的性質(zhì) lrdyxfyxf),(),()1(21 llrdyxfdyyxqdxyxp),(),(),( llrdyxfrdyxf),(),(21 .),(),(1 killirdyxf

10、rdyxf則則kllll 21)2(若若（3）設(shè)）設(shè) l 是光滑曲線弧，是光滑曲線弧， l是是 l 的反向曲線弧，則的反向曲線弧，則.),(),( llrdyxfrdyxf這說明第二類曲線積分與曲線這說明第二類曲線積分與曲線 l 的方向有關(guān)。的方向有關(guān)。 lxdyxp),(,),(lim10iniiixp 因為因為1 iiixxx lxdyxp),(,),(lim10iniiixp iiixxx 1 lxdyxp),( lxdyxp),(所以所以則則上上設(shè)在設(shè)在),(),(yxgyxfl lldsyxgdsyxf),(),(但第一類曲線積分的性質(zhì)（但第一類曲線積分的性質(zhì)（3）：）：對第二類曲線

11、積分不成立。對第二類曲線積分不成立。因為因為 lxdyxf),(,),(lim10iniiixf lxdyxg),(,),(lim10iniiixg 而而1 iiixxx 可正可負?？烧韶?。三、對坐標(biāo)曲線積分的計算三、對坐標(biāo)曲線積分的計算 ldxyxp),( niiiixp10),(lim 假設(shè)假設(shè) l 的方程為的方程為,)()( tytx t起點起點 a t終點終點 b并設(shè)并設(shè) t 由由 單調(diào)變至單調(diào)變至 時，動點由起點時，動點由起點 a 沿沿 l 運運動至終點動至終點 bbmmmmmmmannii ,11210,0t ,1t,2t,1 it,it,1 nt, nt則參數(shù)值則參數(shù)值,0t,

12、1tnt單調(diào)增加或減少單調(diào)增加或減少oxyabl1 nmim1 im2m1mix iy ),(ii ldxyxp),( niiiixp10),(lim 假設(shè)假設(shè) l 的方程為的方程為,)()( tytx t起點起點 a t終點終點 bbmmmmmmmannii ,11210,0t ,1t,2t,1 it,it,1 nt, ntoxyabl1 nmim1 im2m1mix iy ),(ii 1 iiixxx )()(1 iixt iit )( 其中，其中，,1 iiittt ,1之間之間與與在在 iiitt ),(ii 又設(shè)又設(shè)),(ii 代入上述積分和中得代入上述積分和中得 ldxyxp),(

13、 niiip10)(),(lim iit )( ldxyxp),( niiiixp10),(lim 假設(shè)假設(shè) l 的方程為的方程為,)()( tytx t起點起點 a t終點終點 boxyabl1 nmim1 im2m1mix iy ),(ii ldxyxp),( niiip10)(),(lim iit )( niiip10)(),(lim iit )( 上式右端可以看作關(guān)于上式右端可以看作關(guān)于 t 的一元復(fù)合函數(shù)的一元復(fù)合函數(shù))()(),(tttf 在在 與與 之間的積分和之間的積分和因此因此 ldxyxp),( tdtttf)()(),(定理定理 ),(),(tytx 設(shè)設(shè) p ( x ,

14、 y ) 在有向曲線弧在有向曲線弧 l 上有定義且連續(xù)，上有定義且連續(xù)，并設(shè)并設(shè) l 的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為,)(),(上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)或或在在其中其中 tt0)()(22 tt 且且則則 ldxyxp),(存在，且有存在，且有 ldxyxp),( tdtttp)()(),( t起點起點 a t終點終點 b并設(shè)并設(shè) t 由由 單調(diào)變至單調(diào)變至 時，動點由起點時，動點由起點 a 沿沿 l 運運動至終點動至終點 b，同理有同理有 ldyyxq),( tdtttq)()(),( ldxyxp),( tdtttp)()(),( ldyyxq),( tdtttq)()(),( ld

15、yyxqdxyxp),(),(合并起來合并起來 tdtttqtttp)()(),()()(),(（1）應(yīng)用公式時，用）應(yīng)用公式時，用 l 的方程的方程 ),(),(tytx 及微分公式及微分公式,)(tdtdx 替換被積表達式，替換被積表達式，然后從然后從 起點起點 a 對應(yīng)的參數(shù)對應(yīng)的參數(shù) 到到 終點終點 b 對應(yīng)的參對應(yīng)的參數(shù)數(shù) 作定積分即可。作定積分即可。tdtdy)( ldyyxqdxyxp),(),( tdtttqtttp)()(),()()(),(（2）公式右邊的定積分中，積分下限）公式右邊的定積分中，積分下限 對應(yīng)起點對應(yīng)起點 a ，積分上限積分上限 對應(yīng)終點對應(yīng)終點 b ，因此

16、，因此， 不一定小于不一定小于 。（3）在）在 ldyyxqdxyxp),(),(中，點中，點 ( x , y ) 必須滿足必須滿足 l 的方程的方程公式的其它幾種情形公式的其它幾種情形),(:)1(xyl x = a 對應(yīng)起點對應(yīng)起點 a，x = b 對應(yīng)終點對應(yīng)終點 b,)(xdxdy ldyyxqdxyxp),(),( baxdxxxqxxp)()(,)(, 因此有因此有 ldyyxqdxyxp),(),( tdtttqtttp)()(),()()(),(公式的其它幾種情形公式的其它幾種情形),(:)2(yxl y = c 對應(yīng)起點對應(yīng)起點 a，y = d 對應(yīng)終點對應(yīng)終點 b,)(yd

17、ydx ldyyxqdxyxp),(),( dcydyyqyyyp),()(),( 因此有因此有推廣到空間的情形推廣到空間的情形),(),(),(:)1(tztytx t起點起點 a， t終點終點 b， rdzqdypdx )()(),(),(ttttp)()(),(),(ttttq dtttttr)()(),(),( ,)()(:)2( xzxy ax起點起點 a， bx終點終點 b zrdqdypdx,)( dttdx ,)( dttdy ,)( dttdz ,)(xdxdy ,)(xdxdz 推廣到空間的情形推廣到空間的情形 zrdqdypdx,)()(:)2( xzxy ax起點起點

18、a， bx終點終點 b,)(xdxdy ,)(xdxdz rdzqdypdx baxxxp)(),(, )()(),(,xxxxq dxxxxxr)()(),(, 對坐標(biāo)的曲線積分計算方法總結(jié)對坐標(biāo)的曲線積分計算方法總結(jié) ldyyxqdxyxp),(),(一、平面曲線積分一、平面曲線積分 ),(),(:tytxl t起點起點 a t終點終點 b（1） ldyyxqdxyxp),(),( tdtttqtttp)()(),()()(),(),(:)2(xyl x = a 對應(yīng)起點對應(yīng)起點 a，x = b 對應(yīng)終點對應(yīng)終點 b ldyyxqdxyxp),(),( baxdxxxqxxp)()(,)(

19、, ),(:)3(yxl y = c 對應(yīng)起點對應(yīng)起點 a，y = d 對應(yīng)終點對應(yīng)終點 b ldyyxqdxyxp),(),( dcydyyqyyyp),()(),( 二、空間曲線積分二、空間曲線積分),(),(),(:)1(tztytx t起點起點 a， t終點終點 b， rdzqdypdx )()(),(),(ttttp)()(),(),(ttttq dtttttr)()(),(),( zrdqdypdx,)()(:)2( xzxy ax起點起點 a， bx終點終點 b rdzqdypdx baxxxp)(),(, )()(),(,xxxxq dxxxxxr)()(),(, 應(yīng)用公式時，

20、將應(yīng)用公式時，將 l 的方程及相應(yīng)的微分代入被積表的方程及相應(yīng)的微分代入被積表達式，然后從達式，然后從 起點起點 a 對應(yīng)的參數(shù)對應(yīng)的參數(shù) 到到 終點終點 b 對應(yīng)的對應(yīng)的參數(shù)參數(shù) 作定積分即可。作定積分即可。 公式右邊的定積分中，積分下限公式右邊的定積分中，積分下限 對應(yīng)起點對應(yīng)起點 a ，積分上限積分上限 對應(yīng)終點對應(yīng)終點 b ，因此，因此， 不一定小于不一定小于 。 可用可用 l 的方程化簡被積函數(shù)。的方程化簡被積函數(shù)。例例1.)1 , 1()1, 1(,2的一段弧的一段弧到到上從上從為拋物線為拋物線其中其中計算計算baxylxydxl 解解的定積分，的定積分，化為對化為對x)1(.xy

21、 lxydx 1lxydx.52 xy 2)1, 1( a)1 , 1(b1l2l 21llxydxxydx,:1xyl 1x起點起點 a， 0 x終點終點 o 01)(dxxx52 ,:2xyl 0 x起點起點 o， 1x終點終點 b 2lxydx 10)(dxxx54 lxydx例例1.)1 , 1()1, 1(,2的一段弧的一段弧到到上從上從為拋物線為拋物線其中其中計算計算baxylxydxl 解解,2yydxd xy 2)1, 1( a)1 , 1(b 1y起點起點 a， 1y終點終點 b 1122yydyy的定積分，的定積分，化為對化為對y)2(,2yx lxydx 1142dyy.

22、54 .)0 ,()0 ,()2(;)1(,2的直線段的直線段軸到點軸到點沿沿從點從點的上半圓周的上半圓周針方向繞行針方向繞行、圓心為原點、按逆時、圓心為原點、按逆時半徑為半徑為為為其中其中計算計算abxaaaldxyl 例例2解解,sincos:)1( ayaxl 0 )0 ,(aa)0 ,( ab 起點起點 a， 終點終點 b,sin ddx ,cos ddy ldxy2 02)sin()sin(daa 032sinda.343a 03a)(cos)cos1(2 d .)0 ,()0 ,()2(;)1(,2的直線段的直線段軸到點軸到點沿沿從點從點的上半圓周的上半圓周針方向繞行針方向繞行、圓

23、心為原點、按逆時、圓心為原點、按逆時半徑為半徑為為為其中其中計算計算abxaaaldxyl 例例2解解, 0:)2( yl ax)0 ,(aa)0 ,( ab 起點起點 a， ax終點終點 b ldxy2 aadx00 特點特點：被積函數(shù)相同，起點和終點也相同，但被積函數(shù)相同，起點和終點也相同，但路徑不同積分結(jié)果不同路徑不同積分結(jié)果不同.例例3).1 , 1(),0 , 1()0 , 0(,)3(;)1 , 1()0 , 0()2(;)1 , 1()0 , 0()1(,2222依次是點依次是點，這里，這里有向折線有向折線的一段弧的一段弧到到上從上從拋物線拋物線的一段弧的一段弧到到上從上從拋物線

24、拋物線為為其中其中計算計算baooabboyxboxyldyxxydxl 2xy )0 , 1(a)1 , 1(b解解.)1(的積分的積分化為對化為對 x,:2xyl 1022)22(dxxxxx原原式式 1034dxx. 1 0 x起點起點o， 1x終點終點 b,2xdxdy 例例3).1 , 1(),0 , 1()0 , 0(,)3(;)1 , 1()0 , 0()2(;)1 , 1()0 , 0()1(,2222依次是點依次是點，這里，這里有向折線有向折線的一段弧的一段弧到到上從上從拋物線拋物線的一段弧的一段弧到到上從上從拋物線拋物線為為其中其中計算計算baooabboyxboxyldy

25、xxydxl 解解 1042)22(dyyyyy原原式式 1045dyy. 1 0y起點起點o， 1y終點終點 b,2ydydx .)2(的積分的積分化為對化為對 y,:2yxl 2yx )0 , 1(a)1 , 1(b例例3).1 , 1(),0 , 1()0 , 0(,)3(;)1 , 1()0 , 0()2(;)1 , 1()0 , 0()1(,2222依次是點依次是點，這里，這里有向折線有向折線的一段弧的一段弧到到上從上從拋物線拋物線的一段弧的一段弧到到上從上從拋物線拋物線為為其中其中計算計算baooabboyxboxyldyxxydxl 解解 122ldyxxydx0 0 x起點起點

26、o， 1x終點終點 a，,0 dxdy )3(21lll ) 0 , 1 (a)1 ,1(b1l2l, 0:1 yl 102)002(dxxx, 1:2 xl 0y起點起點a， 1y終點終點 b，,0 dydx 222ldyxxydx 10)102(dyy, 1 例例3).1 , 1(),0 , 1()0 , 0(,)3(;)1 , 1()0 , 0()2(;)1 , 1()0 , 0()1(,2222依次是點依次是點，這里，這里有向折線有向折線的一段弧的一段弧到到上從上從拋物線拋物線的一段弧的一段弧到到上從上從拋物線拋物線為為其中其中計算計算baooabboyxboxyldyxxydxl 解

27、解)3(21lll ) 0 , 1 (a)1 ,1(b1l2l 122ldyxxydx0 102)002(dxxx 222ldyxxydx 10)102(dyy, 1 ldyxxydx22 122ldyxxydx 222ldyxxydx, 1 例例3).1 , 1(),0 , 1()0 , 0(,)3(;)1 , 1()0 , 0()2(;)1 , 1()0 , 0()1(,2222依次是點依次是點，這里，這里有向折線有向折線的一段弧的一段弧到到上從上從拋物線拋物線的一段弧的一段弧到到上從上從拋物線拋物線為為其中其中計算計算baooabboyxboxyldyxxydxl 解解 特點特點：被積函

28、數(shù)相同，起點和終點也相同，但被積函數(shù)相同，起點和終點也相同，但路徑不同而積分結(jié)果相同路徑不同而積分結(jié)果相同.例例4：設(shè)一個質(zhì)點在：設(shè)一個質(zhì)點在 m (x , y) 處受到力處受到力 的作用，的作用， 的大小與的大小與 m 到原點到原點 o 的距離成正比，的距離成正比， 的方向恒指的方向恒指向原點，此質(zhì)點由點向原點，此質(zhì)點由點 沿橢圓沿橢圓12222 byaxfff)0 ,(aa按逆時針方向移動到點按逆時針方向移動到點 ，求，求 力力 所作的功。所作的功。), 0(bbfxy0解：解：ab ),(yxmf l ,sin,cos: byaxl 0 起點起點 a， 2 終點終點 b,sin dadx

29、 ,cos dbdy ,jyixmo mokf ),(jyixk , 0 k, jdyidxrd lrdyxfw),( lkydykxdx例例4：設(shè)一個質(zhì)點在：設(shè)一個質(zhì)點在 m (x , y) 處受到力處受到力 的作用，的作用， 的大小與的大小與 m 到原點到原點 o 的距離成正比，的距離成正比， 的方向恒指的方向恒指向原點，此質(zhì)點由點向原點，此質(zhì)點由點 沿橢圓沿橢圓12222 byaxfff)0 ,(aa按逆時針方向移動到點按逆時針方向移動到點 ，求，求 力力 所作的功。所作的功。), 0(bbf解：解：xy0ab ),(yxmf l ,sin,cos: byaxl 0 起點起點 a， 2

30、終點終點 b,sin dadx ,cos dbdy lrdyxfw),( lkydykxdx 20)cos(sin)sin(cos dbbaak)(222bak 例例5：計算：計算 的方向的方向：從從 z 軸正向看軸正向看 按逆時針方向按逆時針方向解：解： , 2,:222zyxayx dzyxdyzxdxyz)()()(xyzo 計算的關(guān)鍵是將計算的關(guān)鍵是將 的方程的方程表示成參數(shù)方程。表示成參數(shù)方程。 將將 投影到投影到 xoy 面上，投影記為面上，投影記為 01:22zyx 0sincoszyx 0 起點起點 b， 2終點終點 bb a例例5：計算：計算 的方向的方向：從從 z 軸正向看

31、軸正向看 按逆時針方向按逆時針方向解：解： , 2,:222zyxayx dzyxdyzxdxyz)()()( 0sincos:zyx 0 起點起點 a， 2終點終點 ayxz 2 sincos2 sincos2sincos:zyxxyzo b a例例5：計算：計算 的方向的方向：從從 z 軸正向看軸正向看 按逆時針方向按逆時針方向 , 2,:222zyxayx dzyxdyzxdxyz)()()( 0 起點起點 a， 2終點終點 a sincos2sincos:zyxxyzo b a原式原式 = 20)sin)(sinsincos2( cos)sincos2(cos d)sin)(cossi

32、n(cos 2 解：解：四、四、 兩類曲線積分之間的聯(lián)系兩類曲線積分之間的聯(lián)系,)()()1( tytxl ：設(shè)設(shè)有有向向平平面面曲曲線線弧弧為為, )(balt 即即的方向一致的方向一致與與不妨設(shè)不妨設(shè),)()()(cos22ttt ,)()()(cos22ttt at起點起點 a， bt終點終點 b注意注意)(),(ttt 為動點為動點 ( x , y ) 處的一個切向量處的一個切向量指向：指向：,)1(的方向一致的方向一致與與時時當(dāng)當(dāng)ltba ,)2(的方向一致的方向一致與與時時當(dāng)當(dāng) ltba則則 的方向余弦為的方向余弦為t的方向角的方向角為為t ,dttxd)( dttt)()(cos

33、22 sd cos dttyd)( dttt)()(cos22 sd cos lqdypdx所以所以 lsdqp)coscos( ,)()()1( tytxl ：設(shè)設(shè)有有向向平平面面曲曲線線弧弧為為,)()()(cos22ttt ,)()()(cos22ttt at起點起點 a， bt終點終點 b注意注意)(),(ttt 為動點為動點 ( x , y ) 處的一個切向量處的一個切向量, )(balt 即即的方向一致的方向一致與與不妨設(shè)不妨設(shè)的方向角的方向角為為t ,處的一個切向量為處的一個切向量為上動點上動點),(zyx rdzqdypdx（2）設(shè)空間曲線）設(shè)空間曲線 的方程為的方程為),()

34、,(),(tztytx )(),(),(tttt 則仿照平面的情形可以推得則仿照平面的情形可以推得,cossdxd ,cossdyd ,cossdzd dsrqp)coscoscos(注意：方向角注意：方向角 ， ， 與與 x , y , z 有關(guān)。有關(guān)。 at起點起點 a， bt終點終點 b當(dāng)當(dāng) a b 時，時，t的指向與的指向與 的方向一致。的方向一致。, )(bat 即即的方向一致的方向一致與與不妨設(shè)不妨設(shè) 的方向角的方向角為為t ,則有則有),(qpf 若記若記),cos,(cos dsrqprdzqdypdx)coscoscos( llsdqpydqxpd)coscos( ,coss

35、dxd ,cossdyd ,cossdzd ),(ydxdrd llrdfydqxpd lsdf )cos,(cossdsdrd sd)cos,(cos sd 同理若記同理若記),(rqpa ),cos,cos,(cos ),(zdydxdrd sdarda則則其中，其中，)cos,cos,(cos 是與曲線方向一致的單位切向量是與曲線方向一致的單位切向量解：解： rdzqdypdx)3,2, 1()3()2(112222tttt )(),(),(tttt )3,2, 1(2tt 其中，其中，32,:tztytx 相應(yīng)于相應(yīng)于 t 從從 1 變到變到 0 的一段曲線弧的一段曲線弧例例1：將：將

36、化為第一類曲線積分化為第一類曲線積分注意注意 的方向是對應(yīng)于的方向是對應(yīng)于 t 從從 1變到變到 0 ， 故與故與 方向一致的切向量為方向一致的切向量為)3,2, 1(941122yxyx 解：解： rdzqdypdx其中，其中，32,:tztytx 相應(yīng)于相應(yīng)于 t 從從 1 變到變到 0 的一段曲線弧的一段曲線弧例例1：將：將化為第一類曲線積分化為第一類曲線積分)3,2, 1(941122yxyx rdzqdypdx sdrqp)coscoscos( 229411(yxp229412yxxq sdyxyr)941322 sdyxyrxqp 2294132四、小結(jié)四、小結(jié)1對坐標(biāo)曲線積分的概

37、念對坐標(biāo)曲線積分的概念2對坐標(biāo)曲線積分的計算對坐標(biāo)曲線積分的計算3兩類曲線積分之間的聯(lián)系兩類曲線積分之間的聯(lián)系思考題思考題 當(dāng)曲線當(dāng)曲線l的參數(shù)方程與參數(shù)的變化范圍給定的參數(shù)方程與參數(shù)的變化范圍給定之后之后（例如（例如l：taxcos ，taysin ，2 , 0 t，a是正常數(shù)），試問如何表示是正常數(shù)），試問如何表示l的方的方向向（如（如l表示為順時針方向、逆時針方向）？表示為順時針方向、逆時針方向）？思考題解答思考題解答曲線方向由參數(shù)的變化方向而定曲線方向由參數(shù)的變化方向而定.例如例如l：taxcos ，taysin ，2 , 0 t中中當(dāng)當(dāng)t從從 0 變到變到 2時，時，l取逆時針方向取逆時針方向; 反之當(dāng)反之當(dāng)t從從 2變到變到 0 時，時，l取順時針方向取順時針方向. 一、一、填空題填空題: : 1 1、 對對_的曲線積分與曲線的方向有關(guān)；