生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例一

1、生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例( (一）一）團(tuán)結(jié)守紀(jì)、篤學(xué)上進(jìn)團(tuán)結(jié)守紀(jì)、篤學(xué)上進(jìn) .,.,.問(wèn)問(wèn)題題解解決決一一些些生生活活中中的的優(yōu)優(yōu)化化數(shù)數(shù)本本節(jié)節(jié)我我們們運(yùn)運(yùn)用用導(dǎo)導(dǎo)值值的的有有力力工工具具小小導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)是是求求函函數(shù)數(shù)最最大大我我們們知知道道習(xí)習(xí)前前面面的的學(xué)學(xué)過(guò)過(guò)通通通通常常稱(chēng)稱(chēng)為為這這些些問(wèn)問(wèn)題題最最省省、效效率率最最高高等等問(wèn)問(wèn)題題最最大大、用用料料生生活活中中經(jīng)經(jīng)常常遇遇到到求求利利潤(rùn)潤(rùn)，優(yōu)優(yōu)化化問(wèn)問(wèn)題題 上的最小值上的最小值在在、函數(shù)、函數(shù),3051232123 xxxy ）會(huì)會(huì)怎怎樣樣？，改改為為（若若把把30,30上上的的最最大大值值為為，在在、函函數(shù)數(shù) 20si

2、n)(2 xxxf最小值為最小值為小??？才才能能使使四四周周空空白白面面積積最最的的尺尺寸寸如如何何設(shè)設(shè)計(jì)計(jì)海海報(bào)報(bào)，左左、右右兩兩邊邊各各空空上上、下下兩兩邊邊各各空空版版心心面面積積為為豎豎向向張張貼貼的的海海報(bào)報(bào)，要要求求你你設(shè)設(shè)計(jì)計(jì)一一張張如如圖圖所所示示的的現(xiàn)現(xiàn)在在宣宣傳傳通通常常需需要要張張貼貼海海報(bào)報(bào)進(jìn)進(jìn)行行學(xué)學(xué)校校或或班班級(jí)級(jí)舉舉行行活活動(dòng)動(dòng)，、例例,.12,128.12dmdmdm版心面積版心面積海報(bào)總面積海報(bào)總面積四周空白面積四周空白面積 x)0(128)2128)(4()( xxxxS)0(128)2128)(4()( xxxxS7285122285122)( xxxxx

3、S72)(165122取取得得最最小小值值為為時(shí)時(shí)，即即當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)xSxxx 22)16)(16(25122)(xxxxxS 0S160S160 ）（時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)）（時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)xxxx內(nèi)的唯一的極大值點(diǎn)內(nèi)的唯一的極大值點(diǎn)，在（在（是函數(shù)是函數(shù))0)(16 xSx72)16S()S( 的最小值為的最小值為xdm16dm8:,優(yōu)優(yōu)化化問(wèn)問(wèn)題題的的基基本本思思路路是是利利用用導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)解解決決我我們們不不難難發(fā)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)由由上上述述例例子子程可歸納為：程可歸納為：上述解決優(yōu)化問(wèn)題的過(guò)上述解決優(yōu)化問(wèn)題的過(guò)優(yōu)優(yōu)化化問(wèn)問(wèn)題題用用函函數(shù)數(shù)表表示示的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)問(wèn)題題優(yōu)優(yōu)化化問(wèn)問(wèn)題題的的答答案案用用導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)

4、解解決決數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)問(wèn)題題多多少少？容容積積最最大大？最最大大容容積積是是時(shí)時(shí)，箱箱底底的的子子，箱箱底底的的邊邊長(zhǎng)長(zhǎng)是是多多少少做做成成一一個(gè)個(gè)無(wú)無(wú)蓋蓋的的方方底底箱箱沿沿虛虛線線折折起起（如如圖圖）的的正正方方形形，再再把把它它的的邊邊余余下下一一個(gè)個(gè)邊邊長(zhǎng)長(zhǎng)為為去去相相等等小小正正方方形形，的的正正方方形形鐵鐵片片的的四四角角切切變變例例：在在邊邊長(zhǎng)長(zhǎng)為為xcm6060 xxxx瓶瓶飲飲料料的的利利潤(rùn)潤(rùn)最最小?。浚┢科孔幼影氚霃綇蕉喽啻蟠髸r(shí)時(shí)，每每（？使使每每瓶瓶飲飲料料的的利利潤(rùn)潤(rùn)最最大大）瓶瓶子子半半徑徑多多大大時(shí)時(shí)，能能（問(wèn)問(wèn)最最大大半半徑徑為為且且制制造造商商能能制制作作的的瓶瓶子

5、子分分，的的飲飲料料制制造造商商可可獲獲利利已已知知每每出出售售位位是是厘厘米米是是瓶瓶子子的的半半徑徑，單單分分，其其中中瓶瓶子子的的制制造造成成本本是是形形瓶瓶裝裝的的某某種種飲飲料料某某制制造造商商制制造造并并出出售售球球問(wèn)問(wèn)題題21.62 . 0L1.80. 12cmmrr 解：由于瓶子的半徑為，所以每瓶飲料的利潤(rùn)是解：由于瓶子的半徑為，所以每瓶飲料的利潤(rùn)是324( ) 0.20.83yf xrr320.8 (),3rr06r 令2( )0.8(2 )0fxrr當(dāng)2( )0rfr時(shí), 當(dāng)半徑當(dāng)半徑r時(shí)，時(shí)，f (r)0它表示它表示 f(r) 單調(diào)遞增，單調(diào)遞增， 即半徑越大，利潤(rùn)越高；

6、即半徑越大，利潤(rùn)越高；當(dāng)半徑當(dāng)半徑r時(shí)，時(shí)，f (r)0 它表示它表示 f(r) 單調(diào)遞減單調(diào)遞減， 即半徑越大，利潤(rùn)越低即半徑越大，利潤(rùn)越低0)( ,)2 , 0(xfr時(shí)當(dāng)0)( ,)6 , 2(xfr時(shí)當(dāng)ry)3(8 . 0)(23rrrf o嗎嗎？你你能能解解釋釋它它的的實(shí)實(shí)際際意意義義是是減減函函數(shù)數(shù)，時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)利利潤(rùn)潤(rùn)才才為為正正值值時(shí)時(shí)，好好相相等等，當(dāng)當(dāng)飲飲料料的的利利潤(rùn)潤(rùn)與與飲飲料料瓶瓶恰恰時(shí)時(shí)，即即瓶瓶子子的的半半徑徑是是時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng))(0,2)r,3r3cm, 0)3(3rffr 1.半徑為半徑為cm 時(shí)，利潤(rùn)最小，這時(shí)時(shí)，利潤(rùn)最小，這時(shí)(2)0f表示此種瓶?jī)?nèi)飲料的利潤(rùn)還不

7、夠瓶子表示此種瓶?jī)?nèi)飲料的利潤(rùn)還不夠瓶子的成本，此時(shí)利潤(rùn)是負(fù)值的成本，此時(shí)利潤(rùn)是負(fù)值半徑為半徑為cm時(shí)，利潤(rùn)最大時(shí)，利潤(rùn)最大未命名.gspryo)3(8 . 0)(23rrrf231、當(dāng)半徑為、當(dāng)半徑為2cm時(shí)時(shí),利潤(rùn)最小利潤(rùn)最小,這時(shí)這時(shí)f(2)0,2、當(dāng)半徑為、當(dāng)半徑為6cm時(shí)，利潤(rùn)最大。時(shí)，利潤(rùn)最大。從圖中可以看出從圖中可以看出:從圖中，你還能看出什么嗎？。半半徑徑為為司司能能制制造造的的瓶瓶子子的的最最大大不不含含瓶瓶子子成成本本），且且公公的的利利潤(rùn)潤(rùn)產(chǎn)產(chǎn)成成本本后后此此處處利利潤(rùn)潤(rùn)指指除除出出飲飲料料生生分分的的飲飲料料，公公司司將將獲獲利利出出售售。已已知知每每分分，瓶瓶底底為為分

8、分身身為為似似看看成成上上底底）。其其中中瓶瓶近近身身和和瓶瓶底底（將將瓶瓶蓋蓋部部分分瓶瓶子子的的制制造造成成本本包包括括瓶瓶，瓶瓶高高為為子子的的底底面面半半徑徑為為售售圓圓柱柱形形瓶瓶裝裝飲飲料料。瓶瓶可可口口可可樂(lè)樂(lè)公公司司制制造造并并出出cmmlcmcmrcmrcm6,(1 . 01/.250/.10,522h 5rr問(wèn)題3、磁盤(pán)的最大存儲(chǔ)量問(wèn)題(1) 你知道計(jì)算機(jī)是如何存儲(chǔ)、檢索信息的嗎？(2) 你知道磁盤(pán)的結(jié)構(gòu)嗎？(3)如何使一個(gè)圓環(huán)狀的磁盤(pán)存儲(chǔ)盡可能多的信息？Rr例3：現(xiàn)有一張半徑為R的磁盤(pán)，它的存儲(chǔ)區(qū)是半徑介于r與R的環(huán)行區(qū)域。(1)是不是r越小，磁盤(pán)的存 儲(chǔ)量越大？(2)

9、r為多少時(shí)，磁盤(pán)具有最大存儲(chǔ)量（最外面的磁道不存儲(chǔ)任何信息）？解：存儲(chǔ)量=磁道數(shù)每磁道的比特?cái)?shù))(22)(rRrmnnrmrRrf(1) 它是一個(gè)關(guān)于r的二次函數(shù)，從函數(shù)的解析式可以判斷，不是r越小，磁盤(pán)的存儲(chǔ)量越大。(2) 為求f(r)的最大值，先計(jì)算0)( rf)2(2)(rRmnrf0)(,2;0)(,2rfRrrfRr時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)0)( rf令mnR，Rr2,2,2最大存儲(chǔ)量為磁盤(pán)具有最大存儲(chǔ)量時(shí)當(dāng)因此2Rr 解得例例4:某種圓柱形的飲料罐的容積一定時(shí)某種圓柱形的飲料罐的容積一定時(shí),如何確定它的如何確定它的高與底半徑高與底半徑,使得所用材料最省使得所用材料最省?Rh解解 設(shè)圓柱的高為設(shè)圓柱

10、的高為h,底面半徑為底面半徑為R.則表面積為則表面積為 S(R)=2Rh+2R2.又又V=R2h(定值定值),.2RVh則2222)(RRVRRS.222RRV.042)(2RRVRS由.23VR 解得3222VRVh從而即即h=2R.可以判斷可以判斷S(R)只有一個(gè)極值點(diǎn)只有一個(gè)極值點(diǎn),且是最小值點(diǎn)且是最小值點(diǎn).答答 罐高與底的直徑相等時(shí)罐高與底的直徑相等時(shí), 所用材料最省所用材料最省.例2將一段長(zhǎng)為100cm的鐵絲截成兩段，一段彎成正方形，一段彎成圓，問(wèn)如何截法使正方形與圓面積之和最小？(1)寫(xiě)出該廠的日盈利額T(元)用日產(chǎn)量x(件)表示的函數(shù)關(guān)系式；(2)為獲最大日盈利，該廠的日產(chǎn)量應(yīng)定為多少件？解析(1)由意可知次品率 p日產(chǎn)次品數(shù)/日產(chǎn)量，每天生產(chǎn) x 件，次品數(shù)為 xp，正品數(shù)為 x(1p)因?yàn)榇纹仿?p3x4x32，當(dāng)每天 x 件時(shí)，有 x3x4x32件次品，有 x13x4x32 件正品所以 T200 x13x4x32 100 x3x4x322564xx2x8(xN)(2)T25(x32)(x16)(x8