高中數(shù)學專題講義-二項式定理-求展開式中的指定項

1、求展開式中的指定項知識內(nèi)容1 .二項式定理 二項式定理a bn C0an Cn1an 1b C：an 2b2 . C；bn n N這個公式表示的定理叫做二項式定理.二項式系數(shù)、二項式的通項C：an C1an1b C；an2b2 . C：bn叫做a b n的二項展開式，其中的系數(shù)C； r 0, 1, 2, ., n叫做二項式系數(shù)， 式中的C：an rbr叫做二項展開式的通項，用Tri表示,即通項為展開式的第r 1項：Tr 1 Cnanb.二項式展開式的各項哥指數(shù)二項式a bn的展開式項數(shù)為n 1項，各項的哥指數(shù)狀況是各項的次數(shù)都等于二項式的哥指數(shù)n .字母a的按降哥排列，從第一項開始，次數(shù)由n逐

2、項減1直到零，字母b按升哥排列，從第一項起，次數(shù)由零逐項增1直到n.幾點注意通項Tr1 Cnanrb是a bn的展開式的第r 1項，這里r 0,1,2,., n .二項式a b n W r 1項和b a n的展開式的第r 1項C：bn rar是有區(qū)別的，應用二項式定理時，其中的a和b是不能隨便交換的.注意二項式系數(shù)（C：）與展開式中對應項的系數(shù)不一定相等，二項式系數(shù)一定為正，而項的系數(shù)有時可為負.通項公式是 a b n這個標準形式下而言的，如a b n的二項展開式的通項公式是Tr 11 rC；an rbr （只須把 b看成b代入二項式定理） 這與Tr 1 C：an rb是不同的，在這里對應項的

3、二項式系數(shù)是相等的都是c：，但項的系數(shù)一個是i rcn, 一個是c：,可看出，二項式系數(shù)與項的系數(shù)是不同的概念.設 a 1, b x,則得公式：1 xn 1 C：x C：x2 . C：xr . xn.通項是 Tr 1 C：an rbr r 0, 1, 2, ., n 中含有 Tr 1, a, b, n, r 五個元素， 只要知道其中四個即可求第五個元素.當n不是很大，|x比較小時可以用展開式的前幾項求(1 x)n的近似值.2 .二項式系數(shù)的性質(zhì)楊輝三角形：對于n是較小的正整數(shù)時，可以直接寫出各項系數(shù)而不去套用二項式定理，二項式系數(shù)也可以直接用楊輝三角計算.楊輝三角有如下規(guī)律：“左、右兩邊斜行各

4、數(shù)都是 1 .其余各數(shù)都等于它肩上兩個數(shù)字的和.二項式系數(shù)的性質(zhì)：a b n展開式的二項式系數(shù)是：C0, C；, C2, ., C；,從函數(shù)的角度看 C：可以看成是r為自變量的函數(shù)f r ,其定義域是：0, 1, 2, 3, ., n .當n 6時，f r的圖象為下圖：，=W20 T - IRI A - 14 -1 215 ：&；jt5 ： - T4 息 44-*-o,Qg -*這樣我們利用“楊輝三角”和n 6時f r的圖象的直觀來幫助我們研究二項式系數(shù)的性質(zhì).對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等.事實上，這一性質(zhì)可直接由公式cm C：m得到.增減性與最大值如果二項式的哥指

5、數(shù)是偶數(shù)，中間一項的二項式系數(shù)最大； 如果二項式的哥指數(shù)是奇數(shù)，中間兩項的二項式系數(shù)相等并且最大.由于展開式各項的二項式系數(shù)順次是Cni n 21, Cn, Cn13 n n 1 n 2Cn 1 2 3Cnn n 1 n 2 . n k 2 k nn1n2 nk2nk11 2 3 . k 1' Cn1 2 3k 1 k其中，后一個二項式系數(shù)的分子是前一個二項式系數(shù)的分子乘以逐次減小1的數(shù)（如n, n 1, n 2, .），分母是乘以逐次增大的數(shù)（如 1, 2, 3,）.因為，一個自然數(shù)乘以一個大于1的數(shù)則變大，而乘以一個小于1的數(shù)則變小，從而當 k依次取1，2，3,等值時，Cn的值轉(zhuǎn)化

6、為不遞增而遞減了.又因為與首末兩端“等距離”的兩項的式系數(shù)相等,所以二項式系數(shù)增大到某一項時就逐漸減小，且二項式系數(shù)最大的項必在中間.當n是偶數(shù)時,n 1是奇數(shù)，展開式共有1項,所以展開式有中間一項，并且這一項的二項式系數(shù)最大,n 最大為Cn2.當n是奇數(shù)時,n 1是偶數(shù)，展開式共有1項,所以有中間兩項.這兩項的二項式系數(shù)相等并且最大，最大為n 1Cn"n 1Cn"二項式系數(shù)的和為2n，即C0C； C2Cr . nCn2n.奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和，即C0 C2 C4 C1 C3 C52n 17n7n 7n .7n7n7n .常見題型有：求展開式的某

7、些特定項、項數(shù)、系數(shù)，二項式定理的逆用，賦值用，簡單的組合數(shù)式問題.典例分析【例1】31X6的展開式中的第四項是6【例2】方 -y= 的展開式中，x3的系數(shù)等于 【例3】A.【例4】【例5】A.【例6】【例7】【例8】【例9】【例10 3Q 51 2 Vx1 淑 的展開式中x的系數(shù)是4B.2C. 2D. 49若X 9的展開式中X3的系數(shù)是84,則a X5X a （x R）展開式中X3的系數(shù)為10,則實數(shù)a等于 x1B. -C. 1D. 22若（1 2X）n a0 &X a?X2 LanXn,則 a2的值是（）A. 84 B.84C. 280D. 280（x拒y）8的展開式中X6y2項的

8、系數(shù)是（）A. 56B.56C. 28D.28若 3x 1 5 a5X5 a4X4a,X a0,則 a2 的值為（）2A. 270B. 270xC. 90D.（1 、&）6（1 Tx）4的展開式中X的系數(shù)是 （用數(shù)字作答）在（x2 4x 2）5的展開式中，x的系數(shù)為 （用數(shù)字作答）290X【例11】在(x2 4x 2)5的展開式中，X2的系數(shù)為 (用數(shù)字作答)【例12在(x2 4x 2)5的展開式中，X3的系數(shù)為 (用數(shù)字作答)【例13】求(x2 3x 1)9(2x 1)4展開式中含x2項系數(shù).【例14在(1 x) (1 x)2 L (1 x)6的展開式中，x2項的系數(shù)是 .(用數(shù)字作

9、答)【例15(x 1) (x 1)2 (x 1)3 (x 1)4 (x 1)5的展開式中x2的系數(shù)等于.(用數(shù)字作答)【例16(x2工)9展開式中x9的系數(shù)是 (用數(shù)字作答)2xA. -14B. 14C. -28D. 28【例18 在(x 1)(x2)(x 3)(x 4)(x5）的展開式中，含x4的項的系數(shù)是（A.15B. 85C.120 D. 274789 .3x) (1 x) (1 x)的展開式中，含x的系數(shù)是56【例19在（1 x） （1 x） （1（用數(shù)字作答）【例20】求（1 x x2）6展開式中x5的系數(shù).【例21（1 Jx）6（1 底）4的展開式中x的系數(shù)是 （用數(shù)字作答）【例2

10、2】在（x2 4x 2）5的展開式中，x的系數(shù)為 （用數(shù)字作答）252【例23在（x4x 2）的展開式中，x的系數(shù)為（用數(shù)字作答）【例24】在（x2 4x 2）5的展開式中，x3的系數(shù)為（用數(shù)字作答）【例25】求（x2 3x 1）9（2x 1）4展開式中含x2項系數(shù).【例26在（1 x） （1 x）2 L （1 x）6的展開式中，x2項的系數(shù)是.（用數(shù)字作答）【例27(x 1) (x 1)2 (x 1)3 (x 1)4 (x 1)5的展開式中x2的系數(shù)等于.(用 數(shù)字作答)O 1【例28 (用數(shù)字作答).(x2 ，)9展開式中x9的系數(shù)是 2x【例29】在(x 1)(x1)8的展開式中【例30

11、 【例31 A. -14B. 14的系數(shù)是()C. -28D. 28在(x(A)1)(x152)(x 3)(x(B)4)(x855)的展開式中，含(C) 120x4的項的系數(shù)是()(D) 274在(1x)5(1 x)6 (1x)7893(1 x) (1 x)的展開式中，含x項的系數(shù)是A.10B. 10C.5D. 5(用數(shù)字作答)【例32 求(1 xx2)6展開式中5x5的系數(shù).5【例33】在二項式x2 1的展開式中，含x4的項的系數(shù)是()xA. 10B. 10C. 5 D. 5【例34(1 2x)3(1 x)4的展開式中x的系數(shù)是 , x2的系數(shù)為 1【例35】1 - (1 x)4的展開中含x

12、2的項的系數(shù)為()xA. 4B. 6C. 10D. 12_ 6_ 4例36 1 xx 1 7x的展開式中x的系數(shù)是()A. 4B. 3C. 3D. 43【例37】求1 x 1105x展開式中x5的系數(shù);5【例38】在二項式x2 1的展開式中，含x4的項的系數(shù)是()x【例39】（x 2）6的展開式中x3的系數(shù)是（)A. 20B. 40C. 80D. 160【例40】在（1 、加）4的展開式中，x的系數(shù)為 （用數(shù)字作答）_ 3_ 3【例41】在（1 x）3 1 xx1次 的展開式中，x的系數(shù)為 （用數(shù)字作答）9【例42】x 1 的二項展開式中含x3的項的系數(shù)為（）xA.36B.84C. 36D.

13、84【例43若（x2工）6的二項展開式中x3的系數(shù)為5,則a.（用數(shù)字作答）ax2【例44 設常數(shù)a 0, (ax2 4= x）4展開式中x3的系數(shù)為3 ,則a =2【例45 已知（1 kx2）6 （ k是正整數(shù)） 8 一的展開式中，X的系數(shù)小于120,則k【例46 已知（xcos1）5的展開式中x2的系數(shù)與（x 5）4的展開式中4X3的系數(shù)相等【例47 【例48 【例49】cosA.101X210的二項展開式的第6項的系數(shù)為（B.252C.210D. 252若（x2工）6的二項展開式中 axx3的系數(shù)為5則a2，若（x m）2n 1 與（mx的取值范圍是（1 2,A.（一，一2 32n1)

14、(n)m 0）的展開式中含xn的系數(shù)相等，則實數(shù) m1)C. (, 0)D.(0,)【例50 已知ao sin x cosx dx ,貝U二 項式展開式中含x2項的系數(shù)【例51】在（ax 1）7的展開式中，x3的系數(shù)是x2的系數(shù)與x4的系數(shù)的等差中項，若實數(shù) a 1,那么a .【例52】已知（1 kx2）6 （ k是正整數(shù)）的展開式中，x8的系數(shù)小于120,則k 【例53】就百 yG）4的展開式中x3y3的系數(shù)為【例54若（1 x）n的展開式中，x3的系數(shù)是x的系數(shù)的7倍，求n;【例55】（x y）10的展開式中，x7y3的系數(shù)與x3y7的系數(shù)之和等于 【例56】已知a為實數(shù)，（x a）10展

15、開式中x7的系數(shù)是15,則an【例57】二項式x7x4 的展開式中第三項系數(shù)比第二項系數(shù)大44,求第4項的系數(shù).x91【例58】求x 的一項展開式中含x3的項的二項式系數(shù)與系數(shù). xn1【例59若x 的展開式中前三項的系數(shù)成等差數(shù)列，則展開式中x4項的系數(shù)為2x【例60 令 an 為 fn(X)(1 x)n1的展開式中含xn1項的系數(shù)，則數(shù)列1的前2009項和為 an【例61】在(ax 1)7 (a 1)的展開式中，x3的系數(shù)是X2的系數(shù)與X4的系數(shù)的等差中項, 求a的值.【例 62 已知 1 ax 5 1 10x bx2 L a5x5 ,貝1J b 【例63】在1 xn展開式中，x3與x2的系數(shù)分別為a,b,如果93,那么b的值為() bA. 70B. 60C. 55D. 40【例64若包乂 1)5的展開式中x3的系數(shù)是 80,則實數(shù)a的值是4【例65】設常數(shù)a 0,ax2 二 展開式中x3的系數(shù)為則ax2n【例66若2x - 展開式中含 工項的系數(shù)與含 4項的系數(shù)之比為5,則n等于xxx( )A. 4B. 6C. 8D. 101 【例67】設20為fn(x) (1 x)n1的展開式中含xn1項的系數(shù)，則數(shù)列 - 的前n項和為 ann【例68】已知x 2 展開式的第二項與第三項的系數(shù)比是1:2,則n 2x【例69】在(1 x2)20的展