極化恒等式在數(shù)量積中的應(yīng)用(教師版)

1、極化恒等式在數(shù)量積求值中的應(yīng)用【教學(xué)目標】1 . 了解極化恒等式概念，理解極化恒等式的幾何意義;2 .能利用極化恒等式解決數(shù)量積中的求值問題.【教學(xué)過程】1,極化恒等式的概念：極化恒等式最初出現(xiàn)于高等數(shù)學(xué)中的泛函分析，它表示數(shù)量積可以由它誘導(dǎo)出的范數(shù)來表示，把這個極化恒等式降維至二維平面即得：r r 1 r r 2 r r 2極化恒等式：設(shè)a,b是平面內(nèi)的兩個向量，則有 a ba b a b4uur uuu o o極化恒等式的幾何意乂：在ABC中，AD是BC邊上的中線，AB AC AD2 BD2.我們從極化恒等式看到向量的數(shù)量積可轉(zhuǎn)化為中線長與半底邊長的平方差，此恒等式的精妙之處在于建立向量與

2、幾何長度（數(shù)量）之間的橋梁，實現(xiàn)向量與幾何、代數(shù)的巧妙結(jié)合.2,極化恒等式在數(shù)量積求值中的應(yīng)用：極化恒等式對研究數(shù)量積問題有著怎樣的幫助呢？我們通過對比幾道例題的解題思路 來思考這個問題.例1. （2016年江蘇數(shù)學(xué)高考第13題）如圖，在ABC中，D是BC的中點，E,F是uur uurA D上的兩個三等分點，BA CAuur4, BFuurCFuur uurXAB法一：（坐標法）解：以直線BC為x軸，過點D且垂直于BC的直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系xOy ,如圖：設(shè) A(3a,3b),B( c,0) ,C(c,0),貝U有 E(2a,2b), F(a,b)BA CAuuu uun

3、BF CFuur uuuBE CE222,3a c,3b3a c,3b9a c 9b 4(a c, b)g(ac,b)a2c2 b21,則 a2b2 - ,c2 1388_ 一._一.22.272a c,2b2ac,2b4a2c24b28uur uuuBE CEWEUD提UDIJIUDC UD 提 UD2InDUE42uunBC2WDUF6 12Inc UB上面的解法采用基向量的思想，將平面內(nèi)向量用FD, BC表示.而這樣一個轉(zhuǎn)化的過程可以用“極化恒等式”直接描述.如下:法二:(基向量)uuu2uuu2uiH2ui«2解:uu uuBA CAuuuDAuuu DBuuu DAuuu

4、DC4ADBC36FD BC444uuu BFuuuCFuuu DFuuu DBuuu DFuuu DCuuu2 4FDuuu2 BC1 ,因此uuu2FD5 uuf2 ,BC81342設(shè) BD x, DFuur uurBA CA9y2uur4 , BFuuu 222CF y x 1,則有 y25 28,X13uur uuuBE CE4y2當題目需要從中線與底邊這我們看到極化恒等式其實是一種基向量思想的公式化表達, 兩個方向?qū)ふ一蛄繒r，運用極化恒等式可以更好，更快的達到解題的目的從前面的題目，我們看到極化恒等式對研究共起點（終點）向量數(shù)量積問題有很大的幫 助，但是對于有些不共起點（終點）向量

5、數(shù)量積問題，我們是否可以用極化恒等式來探索呢?比如：例2 （南通、泰州、揚州、連云港、淮安五市 2013屆高三三模第13題改編）在平面四邊形 ABCD中，點E, F分別是邊AD,CD 5uuu urnuuu uuu若AD BC 15 ,貝U AC BD的值為法一:（坐標法）解：建立如圖所示的平面直角坐標系xAy ,設(shè) A(0,0), B(1,0),D(Xi,yi),C(X2,y2)uuuQBCuuuOCuurOB (x2i,y2)uuu ADuurBC("%)處2i,y2) X1X2Vi V215uuuQBDuuu ODuurOB (X11，Vi)uuuACuurBD(X2, V2)

6、gXi1, Vi)X1X2V1V2X215 X1 X2uuu2 QEFX2怎y)2則（X1X21)22(V1V2)8 ， (X1X2)2(V12V2)2(X1 X2) 1 8uuu 2 又QCD(X12 ,X2)(V12V2)uuuACuuuBD15X1 x2 14法二：（基向量）uuu uuu uuu解：Q2EF AB DCuuu2 uiu2 uuut4EF AB DCuur 2ABuuu DC又AB=1, DC= 5, EFuurABuuu DCuuuQADuurBC15uuu (ACurnurnCD)g(BDuuuDC) 15uuuurn則 ACgBDuuuACuuu DCuuu uuu

7、 uuu2CDgBD DC 15uuuuuu可化為ACgBDuur ABuuu uuu uuu uuu BC DC CDg BCuur CDB 15Fuuu uuu uuu uuuuuu urnACgBD AB DC 15,故ACgBD =14法三（極化恒等式）解：如圖，取 AB,AC,CD,BD 中點 H,I ,J,K .四邊形ABCD中，易知EF,KI ,HJ三線共點于Ouuu uuuQAD BC 15uutrHKuurHI1522HO IO4uuu 又Q ACuuuBDuuu4HEuuuHFHO2 FO2在EFI中,Q EF5 行,FI由中線長公式知IO°,從而HO24uuu

8、uur 1AC BD =4(4)214.本題對于學(xué)生來說思路較難發(fā)現(xiàn)，但從極化恒等式的角度對條件、目標進行探索，思路清晰，過程自然，很輕松就解決了問題。3 .鞏固練習(xí):是邊 BC 的中點2 , A 60 ,若點P滿足1 .（2012 浙江高考 uur uuuAM 3, BC 10, ABgACurn uuu 22解：ABgAC AM BM2 . （2017蘇錫常鎮(zhèn)一模）在4uuo uuuuuu uur uirAP ABAC ,且 BP CP解：取BC的中點D,連接DP由 AB 1 AC 2 A 60uur uir22BP CP 1 OP BO ,）在 ABC 中,M.1故1或-一4B3 .（2

9、017南通二模）如圖，在平面四邊形 ABCD中，O為BD的中點，且OA 3, OC 5.若AB AD 7,則 BC , DC的值是.解：AB AD AOOP 三uir uuu則 2，又BP AC BO27,又 OA 3則有 OB 4,BC DC CO2 BO2 25 16 9uiu uuuuuu uuu4 .（自編）在梯形 ABCD 中，滿足 AD/BC, AD 1,BC 3 , ABgDC 2,則 ACgBD=解：過A點作AE平行于DC,交BC于E,取BE中點F連接AF,過D點作DH平行于AC,交BC延長線于H,取BH中點G,連接DG,uuu uuu uur uurABgDC ABgAE A

10、F2 BF2 AF2 1 2,uuu uuu uur uuir222ACgBD DBgDH BG DG 4 DG又FG BG BF 1,AD/BC,則四邊形ADGF為平行四邊形uuu uuuAF DG , ACgBD 1極化恒等式在數(shù)量積求最值中的應(yīng)用【教學(xué)目標】1 .能利用極化恒等式解決數(shù)量積中的求最值問題：2 .思考使用極化恒等式解決數(shù)量積最值問題時，有何區(qū)別【教學(xué)過程】例1 （2016屆南通、揚州、泰州二模第12題）如圖（2）,在同一平面內(nèi)，點 A位于兩平行直線m,n的同側(cè)，且A到m,n的距離分別為1, 3 .點B,C分別在m,n ,uuu uuu iuur uuiu ,_ ,法一:（坐

11、標法）解：以直線n為x軸，過點A且垂直于n的直線為y軸， 建立如圖所示的平面直角坐標系xOy ,如圖：則 A（0,3）, C（c,0）, B（b,2）,urnuuu則 AB （b, 1）, AC （c, 3）,從而（b c）2 （ 4） 2 52 ,2uur uuu（b + c）221即（b c）2 9,又 ABgAC bc+3 +3=,44當且僅當b c時等號成立.法二.（極化恒等式）解：連接BC ,取BC的中點Duui uuu 22AB AC AD BD又ADuuu一 ABuuuACuuu 故AB2 urn AC254BD252254又因為1 BC24 uuu umBCmin 31 2 ,

12、所以（AB AC）max214OABymxCC nmBDAB AC 5 ,則AB AC的取大值是例2中我們注意到所求目標為共起點向量數(shù)量積的最大值，而條件告訴我們 BC邊上的中線長為5 ,故易聯(lián)系到極化恒等式，只需求底邊BC的最小值即可2例2 （2016屆南京三模第13題）在半徑為1的扇形AOB中，/ AOB = 60。，C為弧上的動點，AB與OC交于點P,則OP-BP的最小值是 法一.（坐標法）解：以直線OB為x軸，過點A且垂直于OB的直線為y軸, 建立如圖所示的平面直角坐標系，如圖:則 A(0,-23),O( 2,0), B(2,0)可得AB直線方程為2xurnOP (x2x)2 3 y3

13、uir BP(x設(shè) P (x,l(1213-,(1 2x)2 22x)um uurOP BP3.2 14x -3x+ -=4(x-)-2816, N f f 一一，.，一當x= 3時，OP BP的取小值是8116法二：（基向量）uuu uuu uir解：OP OB BP, BP x,x 0,1uuu uir 則 OP BPuur uir uirOB BP BP所以當1一時，取得最小值4116法三：（極化恒等式）解:如圖取OB的中點D ,連接PDuurOP山r22BP PD ODPD即求PD的最小值.由圖可知：當PD AB時PDminB則OP - BP的最小值是 .16極化恒等式從中起到例1與例

14、2通過將數(shù)量積的最值問題轉(zhuǎn)化為幾何線段的最值問題, 重要的橋梁作用.但區(qū)別于例1,例2將數(shù)量積的最值問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)三角形的中線長最值問 題.例2中求PD的最小值還可以看成“以 D為圓心的圓與線段 AB有公共點，求圓半徑最 小值”.從這種角度看較類似的還有 2016屆鹽城市三模第11題：uur uir例3.已知線段 AB的長為2 ,動點C滿足CA CB （為常數(shù)），且點C總不在以點1 一，B為圓心，一為半徑的圓內(nèi)，則負數(shù)的最大值是2解析：如圖，取AB的中點D ,連接CDuir uurCA CB CDCD .1, 1 _1 , 又由點C總不在以點B圓心，1為半徑的圓內(nèi),D21. .一 ,，一31

15、,則負數(shù) 的最大值是 324uur uir本題我們將條件“線段 AB的長為2 ,動點C滿足CA CB （為常數(shù)）”通過極化恒等式轉(zhuǎn)化為C點的軌跡為圓，題目就轉(zhuǎn)化為圓與圓的位置關(guān)系問題，較易解決例4.設(shè)。是 ABC外接圓的圓心，a, b,c分別為角A, B,C對應(yīng)的邊，已知2 一 2b 2b cuur uur0 ,則BC AO的范圍是解析一：設(shè)D為BC的中點,uuur uuu則 AO ADuuuDOuuir uur uur uur 得 BC AO BC (ADuuur uur uuuDO) BC ADuur uuur uuirBC DO) BCuuuADuur uur 又由BC ACuuur u

16、urAB, AD1 uuurAC 2uurABuuruuu uur 1則 BC AD ACuurABuurACuur ABuuur2 ACuuu2 AB2(2b b2)b22b b2uuur 合BCuurADb2可求得uurBCuurAD<2 ,解uur BC析uuuAOuur uuuCB OAuur(OBABC uuur OC)外uuu OA接圓uuu uuu半徑uuur uuuOB OA OC OA2R cosAOB R2cosAOCR2cos2 c2R cos2B_ 2_2 _ 2R2(1 2sin2C) R2(12sin 2B)2R2sin2又因為b2 2b0,所以2bb2uur

17、所以BCuurAO1 h2 一 b214l(2b 2(b 2)2b2)b2(b2)2(24(0 uur 故BCb 2)uurAO的范圍是4,2).解析三：設(shè)ABC外接圓的半徑為R,分別取AB、AC的中點E、F ,則依題意可得uur BCuuuAOuurCBuuu uur uuurOA (OB OC)uuuOAuum uuuOB OAuuur uuuOC OAuuu 因為OBuurOA1 uur uuu o uur (OB OA)2 (OB4uur o 1 1OA)2 4(4OEUUU2uur2AB ）（極化恒等式）uur2 OE同理可得1 2 c4 uur OCR2uuuOA_212-2AE2

18、 c2 R24 1 uur uuu o 4(OC OA)21 2-c 4 uuur (OC ': 1-c4uuuOA)2R21 2 c2 uuui21 - -(4OF4uur 2AC )uuur 2OFuuu 所以BC1 h2b4uuurAOR2R2又因為b22bAF21b24R21buur所以BCuurAO1 h2b21(R22 b2)41 h2b21 h2 b41 2 c2R2二 b20,所以2bb22(2b(b 2)2b2)b2(b2)2(22)24(0uurb 2)uur1AO的范圍是,2).4由0 b24鞏固練習(xí):1.正方體 ABCD A B1C1D1的棱長為2,MN是它內(nèi)切

19、球的一條弦（把球面上任意兩點之間uuur uuu的線段稱為球的弦），P為正方體表面上的動點，當弦 MN最長時，PM gPN的最大值為 _222.PO2 MO2 PO2 1uuir uuu解：設(shè)球心為 O,當弦MN最長時，MN過O,此時PM gPNuuur uuu又PO最大值為 點，故PM gPN的最大值為22 . （2013北京市朝陽區(qū)二模）點P是棱長為1的正方體ABCD ABQ1D1的底面A1B1CQ1上uir uuu一點，則PAgPC的取值范圍是解;取AC中點O,連接PO如皿 22216PAgPCPO2AO2PO2一,又 PO1,-622uur uur1PAgPC的取值范圍是 -113 .

20、設(shè)正方形 ABCD的邊長為 4,動點P在以AB為直徑的圓弧 APB上（如圖所示），則uuu uuuPDgPC的取值范圍是A解：取CD的中點uuu uuuPDgPCPE222DE PE 4 ,又 PE 2, . 5uur uuuPDgPC0,1E,連接PE4 .如圖放置的邊長為1的正方形ABCD頂點分別在x軸，y軸正半軸（含原點）滑動，則解：取BC中點E,連接OEuun uuuOBgOC的最大值為uuu uuru 9OBgOC OE2由條件知O在以AD為直徑的半圓上,取AD中點F連接OF,EFOE OFEFuur uuuOBgOC的最大值為25.（自編）在平面直角坐標系xOy中，A,B分別在x,

21、 y正半軸上移動，AB 2 ,若P點滿足uur uirPAgPB 2，則OP的取值范圍為解：取AB中點為C,連接PCuir uir222-PAgPB 2 PC2 AC2 PC2 1, PC 3故P在以C為圓心， .為半徑的圓上由條件知O在以AB為直徑的半圓上則 OP 3 1, 3 1極化恒等式在數(shù)量積問題的綜合應(yīng)用【教學(xué)目標】3 .能利用極化恒等式解決數(shù)量積中較復(fù)雜的綜合問題：4 .反思使用極化恒等式解決數(shù)量積最值問題的好處【教學(xué)過程】例1. （2015年鹽城市高三數(shù)學(xué)調(diào)研 14題）正方形ABCD邊長為1,中心為O,直線l經(jīng) uuuurnuur過中心O,交AB于M ,交CD于N, P為平面上一

22、點，且 20P OB （1 ）OC ,則uuu uuuPM PN的最小值為.法一.（坐標法）解：建立如圖所示的平面直角坐標系,如圖：則 B( 1, 1),C(L 1),設(shè) P(x,y)2222uuu 因為20PuuuOB (1uuu )OC所以(2x,2y)(2, 2)1又令M(, 21、a),N( ,a),a221 0,211 21),則 P(1ADNMCuuir uuu則 PM PN =(1 2 )2161616當且僅當1一，a2法二.（極化恒等式）解：如圖連接OP并延長交BC線段于因為B,H,C三點共線uuu 所以20PuuuOB (1uuu )OCuuur OHuuur uuuPM P

23、NPO2OMOH 22OM 2uuir (PMuuuPN )minOH 2)min_2(OM )max1616練習(xí):（2012南京模擬）在線EF上，若ABC的面積為2,ABC中，點E , F分別是線段 uur uuu uiu2則PBgPC BC的最小值是AB, AC的中點，點P在直解：取BC的中點D,連接PDULT uuu uur2PBgPC BC PD BD 4BD，又 ABC 的面積為 2uir uuu UIU24_設(shè)ABC中bc邊上的高為h, PBgPC BCh2 3 4收h問題也可以從“已知向量數(shù)量積的最值求相關(guān)參數(shù)”的角度發(fā)問，比如：例2 （揚州市2015屆高三上學(xué)期期末考試第14題

24、）已知A（0,1）,曲線C：y logax恒uiu uur過點B ,若P是曲線C上的動點，且ABgAP的最小值為2,則a =-法一：（坐標法）UUU UUU解：由條件知：當0 a 1時，（ABgAP）min 0,故a 1又由 A(0,1),B(1,0)，設(shè) P(x,logax)則有：UUU UUU ABgAP (1, 1)g(x,loga x 1) x loga x 1;令 f (x) x loga x 11j1 x iTa1f (x) 1 ln-a0,xxln a xin a一、，1，一 ，1因為 0 x , f (x) 0,故 f(x)在(0,)上減；ln aln a1 一 .1x,f (

25、x) 0,故£(*)在(，+ )上增； ln aln a11所以 x 時，f (x)min +log a (ln a) 1=2ln aln a令 ln a t,有 ln t t 1=0,易知 t 1,則 a e.法二：(極化恒等式)解：易知a 1,如圖B（1,0） 則AB 盤,連接BP,取BP的中點C,連接ACUIU ULU因為ABgAP的最小值為2,則有（AC2 BC2）min 2 （ 2）2 AB2等價于 AB2 BC2 AC2,即 ABP 90°當且僅當P與B重合時，取等號此時曲線C在B處的切線斜率為1,即 '=1 ln a例2需要抓住題目中隱含條件AB也，通

26、過極化恒等式將數(shù)量積的最值轉(zhuǎn)化為角的最值，理清等號成立的條件，從而求出參數(shù)有的時候題目的條件會告訴數(shù)量積的最值對應(yīng)的位置，然后求相關(guān)的量，比如:1例3.（2013年浙江局考第7題）在ABC中，P0是邊AB上一定點，滿足P0B AB4，uir urn uuu uuu且對于邊 AB上任意一點P,恒有PBgPC RBgPC則下列選項中正確的是 （）A ABC 90°B BAC 90°C AB AC.D. AC BC法一:（坐標法）解：以AB所在直線為x軸，以AB中垂線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系xOy,不妨設(shè) AB 4,C（a,b）,P（x,0） （ 2 X 2）則 BP0 1,A( 2,0), B(2,0), P°(1,0)1 uuuuiruuu RB (1,0) , PB (2 x,0) , PC uir urn 對于邊AB上任意一點P,恒有PBgPC(2 x)(a x) a 1 對 2 x 2 恒成立整理可得x2 (a 2)x a 1 >0恒成立令 f (x) x2 (a 2)x a 12,必有f( 2) 9 3a 0,無解;2 ,必有f (2)a2 0, a 0；即C在AB的垂直平分線上AC BC ,故 ABC為等腰三角形，故選D .PP0法二：（極化恒等式）解：取BC邊中點D ,連接PD , P0Duir uur uuu